Quaternions, algèbres de Clifford et groupes spinoriels

52 Pages·2017·0.52 MB·French

by  Jérôme Von Buhren

Université de Strasbourg
UFR de Mathématiques
Mémoire de magistère 1
Quaternions, algèbres de Clifford et groupes
spinoriels
Auteur : Tuteur :
Jérôme Von Buhren Christian Kassel
Période du stage : Années 2008/2009

Table des matières
Notation 4
Introduction 6
1 Quaternions 8
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Structure de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Conjugaison dans H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Géométrie des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Produit scalaire sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Produit vectoriel sur R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Paramétrisation de SO(3) et SO(4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Paramétrisation de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Paramétrisation de SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Algèbres de Clifford 18
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Application de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Algèbre de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Conjugaison dans une algèbre de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Propriétés des algèbres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Dimension des algèbres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Base de l’algèbre de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Détermination du centre de l’algèbre de Clifford . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Identification des premières algèbres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Etude de Cl(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Etude de Cl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Etude de Cl(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Groupes spinoriels 32
3.1 Groupes de Clifford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Groupe de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Groupe spécial de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Groupe spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Groupe spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Groupes spinoriels en petite dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
4 Appendice : Algèbres linéaires 38
4.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Produit et somme directe d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Espaces vectoriels quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Superalgèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Remerciements 50
Bibliographie 51
3
Notation
Rappels
M (K) Matrice carrée de taille n à coefficients dans K
n
K[X] Ensemble des polynômes à une indeterminée à coefficients dans K
O(n) Ensemble des isométries vectorielles de l’espace euclidien Rn
SO(n) Ensemble des rotations vectorielles de l’espace euclidien Rn
Sn Sphère unité de Rn muni de la k k
2
vect(X) Sous-espace vectoriel engendré par X
X⊥ Sous-espace vectoriel des vecteurs orthogonaux à X
L(E,F) Espace vectoriel des applications linéaires de E dans F
Ker(f) Noyau de l’application linéaire f
Im(f) Image de l’application linaire f
det(f) Déterminant de l’application linaire f
Ck Combinaison de k parmi n
n
Première partie
H Ensemble des quaternions
Re(q) Partie réelle du quaternion q
Pu(q) Partie pure du quaternion q
q Conjugué du quaternion q
q·r Produit scalaire des quaternions q et r
|q| Valeur absolue du quaternion q
q∧r Produit vectoriel des quaternions purs q et r
Deuxième partie
Cl(E) Algèbre de Clifford de l’espace quadratique (E,q)
Π Automorphisme principal d’une algèbre de Clifford
τ Anti-automorphisme principal d’une algèbre de Clifford
Cl+(E) Sous-algèbre paire de l’algèbre de Clifford Cl(E)
Cl−(E) Sous-espace vectoriel impair de l’algèbre de Clifford Cl(E)
a∗ Conjugué de l’élément a ∈ Cl(E)
Cl(n) Algèbre de Clifford de l’espace Euclidien Rn
4
Troisième partie
A∗ Ensemble des éléments inversibles de l’algèbre A
Γ(n) Groupe de Clifford de l’espace Euclidien Rn
Γ+(n) Groupe spécial de Clifford de l’espace Euclidien Rn
N Norme spinorielle
Spin(n) Groupe spinoriel de l’espace Euclidien Rn
Appendice
Y
E Produit de la famille E
i i
i∈I
M
E Somme directe de la famille E
i i
i∈I
E(X) Ensemble des applications f : X → E telles que f−1(E \{0}) est fini.
Bil(E ×E ,F) Espace vectoriel des applications bilinéaires de E ×E dans F
1 2 1 2
E ⊗F Produit tensoriel des espaces vectoriels E et F
x⊗y Elément décomposable
O
E Produit tensoriel de la famille E
i i
i∈I
O
x Elément décomposable
i
i∈I
d(a) Degré de l’élément a dans la superalgèbre A
E⊗k k−ième puissance tensorielle de l’espace vectoriel E
x⊗k k−ième puissance tensorielle de l’élément x
T(E) Algèbre tensorielle de l’espace vectoriel E
5
Introduction
L’objectif de ce mémoire est de paramétrer les groupes de rotations des espaces euclidiens.
NoussavonsquenouspouvonsparamétrerSO(2)àl’aideducorpsCet,plusprécisément,avecles
nombres complexes de module 1. Cependant nous n’utiliserons pas ce procédé pour paramétrer
les autres groupes de rotations, mais nous construirons avec les quaternions une paramétrisation
de SO(3) et de SO(4), puis nous étendrons ces constructions pour paramétrer SO(n) à l’aide
des algèbres de Clifford et des groupes spinoriels.
Pourcela,nousauronsbesoindesoutilsdebasesdel’algèbrelinéaire,maisaussidenouvelles
notions qui sont définies et étudiées dans un appendice à la fin de ce mémoire (produit tensoriel,
superalgèbre, algèbre tensorielle,...).
Dans la première partie, nous étudierons les quaternions. Après avoir montré qu’ils forment
une algèbre non commutative sur R, nous montrerons que H est un corps. Ensuite, nous établi-
ronslespropriétésprincipalesdeHetnousexhiberonslelienentreHetlagéométrieeuclidienne
de R3. Cette étude débouchera sur une paramétrisation de SO(3) et de SO(4).
Dans la seconde partie, nous étudierons les algèbres de Clifford afin de généraliser le procédé
qui nous a permis de paramétrer SO(3). L’algèbre de Clifford d’un espace quadratique (E,q)
est une algèbre qui possède des propriétés remarquables. Après avoir démontré l’existence des
algèbres de Clifford, nous établirons leurs propriétés les plus importantes (dimension, base,
centre, ...). Nous terminerons cette partie en identifiant les algèbres de Clifford pour les espaces
euclidiens de petite dimension, ce qui nous permettra d’établir le lien entre C, H et les algèbres
de Clifford.
Dans la troisième partie, nous nous intéresserons aux groupes spinoriels afin d’établir le lien
entre l’algèbre de Clifford et les groupes de rotations. Après une étude des groupes de Clifford,
nous construirons les groupes spinoriels à l’aide de la norme spinorielle. Ceci nous permettra
d’exhiber un morphisme de groupes surjectif des groupes spinoriels de l’espace euclidien Rn vers
le groupe des rotations SO(n) et ainsi de paramétrer ce dernier. Nous terminerons la partie
en identifiant les premiers groupes spinoriels, ce qui nous permettra d’établir le lien entre les
groupes spinoriels et la fin de la première partie.
6

Première partie
Quaternions
8
1.1 Généralités
1.1.1 Structure de H
Définition 1.1.1 On appelle espace des quaternions H le sous-R-espace vectoriel de M (C)
2
engendré par
! ! ! !
1 0 0 1 0 i i 0
1 = , i = , j = , k = .
0 1 −1 0 i 0 0 −i
Proposition 1.1.2 L’espace vectoriel des quaternions H est une sous-R-algèbre de M (C).
2
Démonstration :
Il suffit de vérifier que H est stable par multiplication. On a les relations suivantes :
i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j.
Par conséquent, l’ensemble H est une sous-algèbre de M (C) et, en particulier, une algèbre
2
sur R.
Remarque : Les éléments i, j et k sont inversibles et on a
i−1 = −i, j−1 = −j, k−1 = −k.
Proposition 1.1.3 L’espace vectoriel des quaternions H est de dimension 4 sur R.
Démonstration :
Il suffit de vérifier que les matrices 1, i, j et k sont linéairement indépendantes. Soient a, b,
c, d ∈ R tels que a1+bi+cj +dk = 0. On a alors
! !
a+id b+ic 0 0
= .
−b+ic a−id 0 0
Cette égalité implique que a = b = c = d = 0. Les vecteurs 1, i, j et k sont linéairement
indépendants, et donc H est de dimension 4.
Remarque : Apartirdemaintenant,onécriraunquaternionq souslaformeq = a+bi+cj+dk
où a,b,c,d ∈ R. On pourra ainsi identifier H à R4. On dira que q ∈ R s’il est de la forme q = a
où a ∈ R. De plus, si un quaternion est de la forme q = bi+cj +dk, on dira que q ∈ R3. Un
élément de cette forme est appelé un quaternion pur.
Proposition 1.1.4 Le centre de H est R.
Démonstration :
Il est évident qu’un réel commute avec tous les quaternions car il s’agit d’une homothétie
dans M (C), qui commute avec toutes les matrices de M (C).
2 2
Réciproquement, soit q = a+bi+cj +dk ∈ H un élément du centre. Alors
a+bi+cj +dk = q = iqi−1 = a+bi−cj −dk ⇒ c = d = 0,
a+bi+cj +dk = q = jqj−1 = a−bi+cj −dk ⇒ b = d = 0.
Donc q = a ∈ R.
9