Quantum Physics (UCSD Physics 130)

548 Pages·2013·9.06 MB·English

Quantum Physics
(UCSD Physics 130)
April 2, 2003
2
Contents
1 Course Summary 17
1.1 Problems with Classical Physics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Thought Experiments on Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Probability Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Wave Packets and Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 The Schr¨odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Eigenfunctions, Eigenvalues and Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 A Particle in a Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Piecewise Constant Potentials in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 The Harmonic Oscillator in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.13 Delta Function Potentials in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.14 Harmonic Oscillator Solution with Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.15 More Fun with Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.16 Two Particles in 3 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.17 Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.18 Some 3D Problems Separable in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.19 Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.20 Solutions to the Radial Equation for Constant Potentials . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.21 Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.22 Solution of the 3D HO Problem in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.23 Matrix Representation of Operators and States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.24 A Study of ℓ=1 Operators and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.25 Spin 1/2 and other 2 State Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.26 Quantum Mechanics in an Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.27 Local Phase Symmetry in Quantum Mechanics and the Gauge Symmetry . . . . . . 34
1.28 Addition of Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.29 Time Independent PerturbationTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.30 The Fine Structure of Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.31 Hyperfine Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.32 The Helium Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.33 Atomic Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.34 Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.35 Time Dependent Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.36 Radiation in Atoms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.37 Classical Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.38 The Classical Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.39 Quantization of the EM Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
1.40 Scattering of Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.41 Electron Self Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.42 The Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.43 The Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 The Problems with Classical Physics 63
2.1 Black Body Radiation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 The Photoelectric Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 The Rutherford Atom * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Atomic Spectra * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1 The Bohr Atom * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.1 Black Body Radiation Formulas * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.2 The Fine Structure Constant and the Coulomb Potential . . . . . . . . . . . 77
2.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.1 The Solar Temperature * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.2 Black Body Radiation from the Early Universe * . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.3 Compton Scattering * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.4 Rutherford’s Nuclear Size * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Diffraction 83
3.1 Diffraction from Two Slits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Single Slit Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Diffraction from Crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4 The DeBroglie Wavelength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.1 Computing DeBroglie Wavelengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5 Wave Particle Duality (Thought Experiments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6.1 Intensity Distribution for Two Slit Diffraction * . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6.2 Intensity Distribution for Single Slit Diffraction *. . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 The Solution: Probability Amplitudes 97
4.1 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Review of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.2 Review of Traveling Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Wave Packets 100
5.1 Building a Localized Single-Particle Wave Packet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Two Examples of Localized Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 The Heisenberg Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
5.4 Position Space and Momentum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Time Development of a Gaussian Wave Packet* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.6 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6.1 Fourier Series * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6.2 Fourier Transform * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6.3 Integral of Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.6.4 Fourier Transform of Gaussian * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.5 Time Dependence of a Gaussian Wave Packet *. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6.6 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6.7 The Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.7.1 The Square Wave Packet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.7.2 The Gaussian Wave Packet * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.7.3 The Dirac Delta Function Wave Packet* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.4 Can I “See” inside an Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.5 Can I “See” inside a Nucleus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7.6 Estimate the Hydrogen Ground State Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.8 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Operators 117
6.1 Operators in Position Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.1 The Momentum Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.2 The Energy Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.3 The Position Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.4 The Hamiltonian Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2 Operators in Momentum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4 Dirac Bra-ketNotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6.1 Verify Momentum Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6.2 Verify Energy Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7.1 Expectation Value of Momentum in a Given State . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7.2 Commutator of E and t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7.3 Commutator of E and x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.7.4 Commutator of p and xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.7.5 Commutator of L and L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
x y
6.8 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5
7 The Schro¨dinger Equation 126
7.1 Deriving the Equation from Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2 The Flux of Probability * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 The Schr¨odinger Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.4 The Time Independent Schr¨odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.1 Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.2 Probability Conservation Equation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6.1 Solution to the Schr¨odinger Equation in a Constant Potential . . . . . . . . . 130
7.7 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 Eigenfunctions, Eigenvalues and Vector Spaces 132
8.1 Eigenvalue Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2 Hermitian Conjugate of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.4 Eigenfunctions and Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.5 The Particle in a 1D Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.5.1 The Same Problem with Parity Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.6 Momentum Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.7 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.7.1 Eigenfunctions of Hermitian Operators are Orthogonal . . . . . . . . . . . . . 140
8.7.2 Continuity of Wavefunctions and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.8.1 Hermitian Conjugate of a Constant Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.8.2 Hermitian Conjugate of ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
∂x
8.9 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9 One Dimensional Potentials 145
9.1 Piecewise Constant Potentials in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.1.1 The General Solution for a Constant Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.1.2 The Potential Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.1.3 The Potential Well with E >0 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.1.4 Bound States in a Potential Well * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1.5 The Potential Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2 The 1D Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3 The Delta Function Potential * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4 The Delta Function Model of a Molecule *. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.5 The Delta Function Model of a Crystal * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.6 The Quantum Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.7 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.7.1 Probability Flux for the Potential Step * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6
9.7.2 Scattering from a 1D Potential Well * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.7.3 Bound States of a 1D Potential Well * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.7.4 Solving the HO Differential Equation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.7.5 1D Model of a Molecule Derivation *. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.7.6 1D Model of a Crystal Derivation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.9 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10 Harmonic Oscillator Solution using Operators 172
10.1 Introducing A and A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
†
10.2 Commutators of A, A and H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
†
10.3 Use Commutators to Derive HO Energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.3.1 Raising and Lowering Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.4 Expectation Values of p and x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.5 The Wavefunction for the HO Ground State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.6.1 The expectation value of x in eigenstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.6.2 The expectation value of p in eigenstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.6.3 The expectation value of x in the state 1 (u +u ). . . . . . . . . . . . . . . 178
√2 0 1
10.6.4 The expectation value of 1mω2x2 in eigenstate . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2
10.6.5 The expectation value of p2 in eigenstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2m
10.6.6 Time Development Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.7 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11 More Fun with Operators 182
11.1 Operators in a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.1.1 Review of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.1.2 Projection Operators j j and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
| ih |
11.1.3 Unitary Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.2 A Complete Set of Mutually Commuting Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.3 Uncertainty Principle for Non-Commuting Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.4 Time Derivative of Expectation Values * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.5 The Time Development Operator * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.6 The Heisenberg Picture * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.7.1 Time Development Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.8 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12 Extending QM to Two Particles and Three Dimensions 191
12.1 Quantum Mechanics for Two Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.2 Quantum Mechanics in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12.3 Two Particles in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12.4 Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.5 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7
13 3D Problems Separable in Cartesian Coordinates 196
13.1 Particle in a 3D Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
13.1.1 Filling the Box with Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.1.2 Degeneracy Pressure in Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.2 The 3D Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.3 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
14 Angular Momentum 202
14.1 Rotational Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
14.2 Angular Momentum Algebra: Raising and Lowering Operators . . . . . . . . . . . . 203
14.3 The Angular Momentum Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
14.3.1 Parity of the Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
14.4 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
14.4.1 Rotational Symmetry Implies Angular Momentum Conservation . . . . . . . 208
14.4.2 The Commutators of the Angular Momentum Operators . . . . . . . . . . . . 209
14.4.3 Rewriting p2 Using L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2µ
14.4.4 Spherical Coordinates and the Angular Momentum Operators. . . . . . . . . 211
14.4.5 The Operators L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
±
14.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.5.1 The Expectation Value of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
z
14.5.2 The Expectation Value of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
x
14.6 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
15 The Radial Equation and Constant Potentials * 218
15.1 The Radial Equation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15.2 Behavior at the Origin * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15.3 Spherical Bessel Functions * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
15.4 Particle in a Sphere * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.5 Bound States in a Spherical Potential Well * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.6 Partial Wave Analysis of Scattering * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.7 Scattering from a Spherical Well * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.8 The Radial Equation for u(r)=rR(r) * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15.9 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
16 Hydrogen 228
16.1 The Radial Wavefunction Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
16.2 The Hydrogen Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.3 Derivations and Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
16.3.1 Solution of Hydrogen Radial Equation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
16.3.2 Computing the Radial Wavefunctions * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.4.1 Expectation Values in Hydrogen States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8
16.4.2 The Expectation of 1 in the Ground State. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
r
16.4.3 The Expectation Value of r in the Ground State . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.4.4 The Expectation Value of v in the Ground State . . . . . . . . . . . . . . . . 239
r
16.5 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
17 3D Symmetric HO in Spherical Coordinates * 243
18 Operators Matrices and Spin 247
18.1 The Matrix Representation of Operators and Wavefunctions . . . . . . . . . . . . . . 247
18.2 The Angular Momentum Matrices*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
18.3 Eigenvalue Problems with Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
18.4 An ℓ=1 System in a Magnetic Field* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
18.5 Splitting the Eigenstates with Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
18.6 Rotation operators for ℓ=1 *. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
18.7 A Rotated Stern-Gerlach Apparatus* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
18.8 Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2
18.9 Other Two State Systems* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
18.9.1 The Ammonia Molecule (Maser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
18.9.2 The Neutral Kaon System* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.10Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.10.1Harmonic Oscillator Hamiltonian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.10.2Harmonic Oscillator Raising Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.10.3Harmonic Oscillator Lowering Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
18.10.4Eigenvectors of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
x
18.10.5A 90 degree rotation about the z axis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
18.10.6Energy Eigenstates of an ℓ=1 System in a B-field . . . . . . . . . . . . . . . 263
18.10.7A series of Stern-Gerlachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
18.10.8Time Development of an ℓ=1 System in a B-field: Version I . . . . . . . . . 266
18.10.9Expectation of S in General Spin 1 State. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
x 2
18.10.10Eigenvectors of S for Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
x 2
18.10.11Eigenvectors of S for Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
y 2
18.10.12Eigenvectors of S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
u
18.10.13Time Development of a Spin 1 State in a B field . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2
18.10.14Nuclear Magnetic Resonance (NMR and MRI) . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
18.11Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
18.11.1The ℓ=1 Angular Momentum Operators* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
18.11.2Compute [L ,L ] Using Matrices * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
x y
18.11.3Derive the Expression for Rotation Operator R * . . . . . . . . . . . . . . . 274
z
18.11.4Compute the ℓ=1 Rotation Operator R (θ ) *. . . . . . . . . . . . . . . . . 275
z z
18.11.5Compute the ℓ=1 Rotation Operator R (θ ) * . . . . . . . . . . . . . . . . 275
y y
18.11.6Derive Spin 1 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
2
18.11.7Derive Spin 1 Rotation Matrices * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2
9
18.11.8NMR Transition Rate in a Oscillating B Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
18.12Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
18.13Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
19 Homework Problems 130A 283
19.1 HOMEWORK 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
19.2 Homework 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
19.3 Homework 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
19.4 Homework 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
19.5 Homework 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
19.6 Homework 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
19.7 Homework 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
19.8 Homework 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
19.9 Homework 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
20 Electrons in an Electromagnetic Field 292
20.1 Review of the Classical Equations of Electricity and Magnetism in CGS Units . . . . 292
20.2 The Quantum Hamiltonian Including a B-field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
20.3 Gauge Symmetry in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
20.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
20.4.1 The Naive Zeeman Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
20.4.2 A Plasma in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
20.5 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
20.5.1 Deriving Maxwell’s Equations for the Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . 299
20.5.2 The Lorentz Force from the Classical Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . 301
20.5.3 The Hamiltonian in terms of B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
20.5.4 The Size of the B field Terms in Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
20.5.5 Energy States of Electrons in a Plasma I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
20.5.6 Energy States of Electrons in a Plasma II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
20.5.7 AHamiltonianInvariantUnderWavefunctionPhase(orGauge)Transformations307
20.5.8 Magnetic Flux Quantization from Gauge Symmetry . . . . . . . . . . . . . . 308
20.6 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
20.7 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
21 Addition of Angular Momentum 311
21.1 Adding the Spins of Two Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
21.2 Total Angular Momentum and The Spin Orbit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . 312
21.3 Adding Spin 1 to Integer Orbital Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
2
21.4 Spectroscopic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
21.5 General Addition of Angular Momentum: The Clebsch-GordanSeries . . . . . . . . 314
21.6 Interchange Symmetry for States with Identical Particles. . . . . . . . . . . . . . . . 315
21.7 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10
21.7.1 Counting states for ℓ=3 Plus spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2
21.7.2 Counting states for Arbitrary ℓ Plus spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2
21.7.3 Adding ℓ=4 to ℓ=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
21.7.4 Two electrons in an atomic P state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
21.7.5 The parity of the pion from πd nn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
→
21.8 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
21.8.1 Commutators of Total Spin Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
21.8.2 Using the Lowering Operator to Find Total Spin States . . . . . . . . . . . . 319
21.8.3 Applying the S2 Operator to χ and χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
1m 00
21.8.4 Adding any ℓ plus spin 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
2
21.8.5 Counting the States for ℓ ℓ j ℓ +ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
1 2 1 2
| − |≤ ≤
21.9 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
21.10Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
22 Time Independent Perturbation Theory 326
22.1 The Perturbation Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
22.2 Degenerate State Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
22.3.1 H.O. with anharmonic perturbation (ax4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
22.3.2 Hydrogen Atom Ground State in a E-field, the Stark Effect. . . . . . . . . . . 329
22.3.3 The Stark Effect for n=2 Hydrogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
22.4 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
22.4.1 Derivation of 1st and 2nd Order Perturbation Equations . . . . . . . . . . . . 332
22.4.2 Derivation of 1st Order Degenerate Perturbation Equations . . . . . . . . . . 333
22.5 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
22.6 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
23 Fine Structure in Hydrogen 336
23.1 Hydrogen Fine Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
23.2 Hydrogen Atom in a Weak Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
23.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
23.4 Derivations and Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
23.4.1 The Relativistic Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
23.4.2 The Spin-Orbit Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
23.4.3 Perturbation Calculation for Relativistic Energy Shift . . . . . . . . . . . . . 342
23.4.4 Perturbation Calculation for H2 Energy Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
23.4.5 The Darwin Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
23.4.6 The Anomalous Zeeman Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
23.5 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
23.6 Sample Test Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345