Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications

435 Pages·2009·3.66 MB·English

Quantum Mechanics:
Fundamental Principles and
Applications
John F. Dawson
Department of Physics, University of New Hampshire, Durham, NH 03824
October 14, 2009, 9:08am EST
c 2007 John F. Dawson, all rights reserved.
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c 2009 John F. Dawson, all rights reserved. ii
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Contents
Preface xv
I Fundamental Principles 1
1 Linear algebra 3
1.1 Linear vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Linear independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Inner product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 The dual space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Non-orthogonal basis sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Eigenvalues and eigenvectors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Non-orthogonal basis vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Projection operators: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.4 Spectral representations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.5 Basis transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.6 Commuting operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.7 Maximal sets of commuting operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Infinite dimensional spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 Translation of the coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 The uncertainty relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Time in non-relativistic quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Canonical quantization 29
2.1 Classical mechanics review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Symmetries of the action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Canonical quantization postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 The Heisenberg picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 The Schr¨odinger picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Schwinger’s transformation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Path integrals 43
3.1 Space-time paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Some path integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Matrix elements of coordinate operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Generating functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii
CONTENTS CONTENTS
3.5 Closed time path integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Initial value conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Connected Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8 Classical expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.9 Some useful integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 In and Out states 55
4.1 The interaction representation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 The time development operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Forced oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Density matrix formalism 63
5.1 Classical theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.1 Classical time development operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.2 Classical averages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.3 Classical correlation and Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.4 Classical generating functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Quantum theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Thermal densities 71
6.1 The canonical ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Ensemble averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Imaginary time formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 Thermal Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5 Path integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6 Thermovariable methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Green functions 77
8 Identical particles 79
8.1 Coordinate representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Occupation number representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3 Particle fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3.1 Hamiltonian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9 Symmetries 83
9.1 Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.1.1 The Galilean group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1.2 Group structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.1 Phase factors for the Galilean group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.2 Unitary transformations of the generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2.3 Commutation relations of the generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.2.4 Center of mass operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2.5 Casimir invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2.6 Extension of the Galilean group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.2.7 Finite dimensional representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.2.8 The massless case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.3 Time translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.4 Space translations and boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.5 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.5.1 The rotation operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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CONTENTS CONTENTS
9.5.2 Rotations of the basis sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.6 General Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.7 Improper transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.7.1 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.7.2 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.7.3 Charge conjugation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.8 Scale and conformal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8.1 Scale transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8.2 Conformal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.9 The Schr¨odinger group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10 Wave equations 115
10.1 Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.2.1 Spinor particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.2.2 Spinor antiparticles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.3 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.4 Massless wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.4.1 Massless scalers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.4.2 Massless vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11 Supersymmetry 123
11.1 Grassmann variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Superspace and the 1D-N supersymmetry group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.3 1D-N supersymmetry transformations in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.4 Supersymmetric generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.5 R-symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.6 Extension of the supersymmetry group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.7 Differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
II Applications 135
12 Finite quantum systems 137
12.1 Diatomic molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.2 Periodic chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.3 Linear chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.4 Impurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.4.1 Bound state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.4.2 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13 One and two dimensional wave mechanics 147
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.2 Schr¨odinger’s equation in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.2.1 Transmission of a barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.2.2 Wave packet propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.2.3 Time delays for reflection by a potential step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.3 Schr¨odinger’s equation in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
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CONTENTS CONTENTS
14 The WKB approximation 159
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.3 Connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.3.1 Positive slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.3.2 Negative slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.4.1 Bound states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.4.2 Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15 Spin systems 169
15.1 Magnetic moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.2 Pauli matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.2.1 The eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.3 Spin precession in a magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.4 Driven spin system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.5 Spin decay: T and T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1 2
15.6 The Ising model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15.7 Heisenberg models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
16 The harmonic oscillator 177
16.1 The Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
16.2 Energy eigenvalue and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16.3 Other forms of the Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.4 Coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
16.4.1 Completeness relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.4.2 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.5 Squeezed states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
16.6 The forced oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
16.7 The three-dimensional oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
16.8 The Fermi oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
16.8.1 Action for a Fermi oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17 Electrons and phonons 199
17.1 Electron-phonon action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
17.2 Equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
17.2.1 Numerical classical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
17.3 Electron modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
17.4 Vibrational modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
17.5 Electron-phonon interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
17.6 The action revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
17.7 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
17.8 Block wave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
17.8.1 A one-dimensional periodic potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
17.8.2 A lattice of delta-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
17.8.3 Numerical methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
18 Schr¨odinger perturbation theory 223
18.1 Time-independent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
18.2 Time-dependent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
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CONTENTS CONTENTS
19 Variational methods 227
19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
19.2 Time dependent variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
19.3 The initial value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
19.4 The eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
19.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
19.5.1 The harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
19.5.2 The anharmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
19.5.3 Time-dependent Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
20 Exactly solvable potential problems 237
20.1 Supersymmetric quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
20.2 The hierarchy of Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
20.3 Shape invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
21 Angular momentum 239
21.1 Eigenvectors of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
21.1.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
21.1.2 Orbital angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
21.1.3 Kinetic energy operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
21.1.4 Parity and Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
21.2 Rotation of coordinate frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
21.2.1 Rotation matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
21.2.2 Axis and angle parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
21.2.3 Euler angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
21.2.4 Cayley-Klein parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
21.3 Rotations in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
21.3.1 Rotations using Euler angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
21.3.2 Properties of D-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
21.3.3 Rotation of orbital angular momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
21.3.4 Sequential rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
21.4 Addition of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
21.4.1 Coupling of two angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
21.4.2 Coupling of three and four angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
21.4.3 Rotation of coupled vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
21.5 Tensor operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
21.5.1 Tensor operators and the Wigner-Eckart theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
21.5.2 Reduced matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
21.5.3 Angular momentum matrix elements of tensor operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
21.6 Selected problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
21.6.1 Spin-orbit force in hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
21.6.2 Transition rates for photon emission in Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
21.6.3 Hyperfine splitting in Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
21.6.4 The Zeeman effect in hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
21.6.5 The Stark effect in hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
21.6.6 Matrix elements of two-body nucleon-nucleon potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
21.6.7 Density matrix for the Deuteron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
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CONTENTS CONTENTS
22 Electrodynamics 297
22.1 The Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
22.1.1 Probability conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
22.1.2 Gauge transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
22.2 Constant electric field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
22.3 Hydrogen atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
22.3.1 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
22.3.2 Matrix elements of the Runge-Lenz vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
22.3.3 Symmetry group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
22.3.4 Operator factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
22.3.5 Operators for the principle quantum number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
22.3.6 SO(4,2) algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
22.3.7 The fine structure of hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
22.3.8 The hyperfine structure of hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
22.3.9 The Zeeman effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
22.3.10The Stark effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
22.4 Atomic radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.4.1 Atomic transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.4.2 The photoelectric effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.4.3 Resonance fluorescence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.5 Flux quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.5.1 Quantized flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.5.2 The Aharonov-Bohm effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
22.6 Magnetic monopoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
23 Scattering theory 333
23.1 Propagator theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
23.1.1 Free particle Green function in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
23.2 S-matrix theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
23.3 Scattering from a fixed potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
23.4 Two particle scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
23.4.1 Resonance and time delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
23.5 Proton-Neutron scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
III Appendices 343
A Table of physical constants 345
B Operator Relations 347
B.1 Commutator identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
B.2 Operator functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.3 Operator theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
C Binomial coefficients 351
D Fourier transforms 353
D.1 Finite Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
D.2 Finite sine and cosine transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
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CONTENTS CONTENTS
E Classical mechanics 355
E.1 Lagrangian and Hamiltonian dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
E.2 Differential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
E.3 The calculus of forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
E.3.1 Derivatives of forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
E.3.2 Integration of forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
E.4 Non-relativistic space-time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
E.4.1 Symplectic manifolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
E.4.2 Integral invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
E.4.3 Gauge connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
F Statistical mechanics review 381
F.1 Thermal ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
F.2 Grand canonical ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
F.2.1 The canonical ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
F.3 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
F.4 MSR formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
F.4.1 Classical statistical averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
F.4.2 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
F.4.3 Schwinger-Dyson equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
F.5 Anharmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
F.5.1 The partition function for the anharmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
G Boson calculus 397
G.1 Boson calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
G.2 Connection to quantum field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
G.3 Hyperbolic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
G.4 Coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
G.5 Rotation matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
G.6 Addition of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
G.7 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
G.8 Bose tensor operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Index 419
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CONTENTS CONTENTS
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