Quantenmechanik für Naturwissenschaftler: Ein Lehr- und Übungsbuch mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen PDF
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Martin O. Steinhauser Quantenmechanik für Naturwissenschaftler Ein Lehr- und Übungsbuch mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen Quantenmechanik für Naturwissenschaftler Martin O. Steinhauser Quantenmechanik für Naturwissenschaftler Ein Lehr- und Übungsbuch mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen MartinO.Steinhauser Dept.SystemsSolutions FraunhoferErnst-Mach-Institut Freiburg,Deutschland ISBN:978-3-662-52787-0 ISBN:978-3-662-52788-7(eBook) DOI10.1007/978-3-662-52788-7 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagGmbHDeutschland2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,Mikroverfilmungenunddie EinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlag,noch dieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdes Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen. Planung:MargitMaly GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier Springer-SpektrumistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringer-VerlagGmbHDeutschland DieAnschriftderGesellschaftist:HeidelbergerPlatz3,14197Berlin,Germany Vorwort Dieses Lehrbuch ist entstanden aus Vorlesungen zu verschiedenen Themenbe- reichen der Quantenmechanik, die ich an der Universität Basel seit dem Früh- jahrssemester 2013 in regelmäßiger Folge für Master- und Bachelorstudenten der Naturwissenschaften (Chemiker, Biologen, Geologen, Nanowissenschaftler, aber auchPhysiker,MathematikerundInformatiker)gehaltenhabe. Die vor einigen Jahren an den Universitäten und Hochschulen eingeführte und mittlerweile abgeschlossene Umstellung der Studiengänge im europäischen Bildungsraum auf das Bachelor/Master-System hat generell zu einer deutlichen „Verdichtung“ und Beschleunigung vieler Studiengänge geführt, so dass heute in den Naturwissenschaften die grundlegenden Methoden der Quantenmechanik oftmalsbereitszuBeginndesStudiumsgelehrtundinPrüfungenabgefragtwerden. Diese zu Recht oftmals beklagte „Verschulung“ des Studiums mit einer Unzahl von zu bewältigenden schriftlichen und mündlichen Prüfungen erfordert daher in besonderem Maße eine pädagogische Aufbereitung der Lehrinhalte und Übungs- möglichkeiten,dieimFallederQuantenmechanikinvielenLehrbücherndurcheine starkeBeschränkungaufsehrformalemathematischeZusammenhängeundwenige, mathematisch extrem anspruchsvolle Beispiele ohne Lösungshinweise erschwert werden.ZudemwirdinderbestehendenLehrbuchliteraturoftmalsnichtderTatsa- cheRechnunggetragen,dassdurchdieUmstellungderStudiengängeunddassehr frühzeitigeUnterrichtenderQuantenmechanikdiemathematischenFähigkeitenund KenntnissebeidenStudierendennochnichthinreichendvorhandenundausgebildet sind.OhnefundiertemathematischeKenntnisseistesjedochleidernichtmöglich, einmehralshöchstensoberflächlichesVerständnisderQuantentheoriezuerlangen. InsofernmüssenindenVorlesungendiemathematischenMethodenzusammenmit derTheoriederQuantenmechanikgelehrtundsystematischentwickeltwerden. Dieses Lehrbuch versucht, der beschriebenen Situation Rechnung zu tragen, indem umfangreiches Übungsmaterial in Form von vollständig gerechneten Bei- spielen im Haupttext und insgesamt mehr als 100 Übungsaufgaben am Ende der jeweiligenKapitelmitausführlichenLösungshinweisenfürmehralsdieHälfteder Aufgabenangebotenwird.Außerdemwerdenca.300Prüfungsfragen–wiesiefür mündlichePrüfungentypischsind–zumEinübenundWiederholenderLerninhalte angeboten. In den einzelnen Kapiteln werden ferner in farblich abgehobenen v vi Vorwort mathematischenExkursenineineraufdasWesentlichekomprimiertenDarstellung eineVielzahlmathematischerZusammenhängeerklärt. Im Allgemeinen erleichtert eine zumindest rudimentäre Kenntnis der histori- schen Wurzeln und der Entstehungsgeschichte einer physikalischen Theorie das Verständnis und das Studium derselben. Ich scheue mich deshalb nicht, auch auf historische Entwicklungen der Quantenmechanik an geeigneter Stelle einzugehen, was in Kursvorlesungen normalerweise nicht geschieht. Hierzu gehört auch eine Diskussion der verschiedenen möglichen Interpretationen der Quantenmechanik, dieinvielenStandardlehrbüchernentwederkomplettignoriertwirdoderallenfalls deren prominentesten, dogmatischen Vertreterin Platz einräumt, der sogenannten Kopenhagener Deutung mit ihrer eigentümlichen Vorstellung des „Kollaps“ der WellenfunktionbeieinerMessung.FernergebeichbeihistorischenBemerkungen soweit möglich die Originalreferenzen an, die für Studenten über Universitätsbi- bliotheken oder in manchen Fällen auch direkt über das Internet zugänglich sind. Ich empfehle den Studierenden sehr, diese Originalarbeiten wenigstens zu einem späterenZeitpunktimStudiumzulesen,daindiesenArbeitendiewirklichenPro- bleme,diebeiderEntwicklungderTheorieeinerQuantenmechanikzubewältigen waren, besonders deutlich nachzulesen sind. Viele Originalarbeiten setzen aller- dings Vorbildung in klassischer theoretischer Mechanik voraus. Dennoch glaube ich, dass Studierende im fortgeschrittenen Studium viele der Originalarbeiten zur QuantentheoriemitGewinnstudierenkönnen. DiesesLehrbuchwendetsichvornehmlichanStudierende,inderenStudienplan im Bachelor- oder Masterstudium Methoden der Quantenmechanik gelehrt wer- den. Es deckt den Lehrstoff der Quantenmechanik für Naturwissenschaftler ab, der typischerweise in den einführenden Grundvorlesungen an Universitäten und HochschulenbiszumMasterabschlussgelehrtwird,undkannsodemStudierenden alseinBegleiterfürdasgesamteStudiumdienen. DurchdiedidaktischeAufbereitungdesLehrmaterialsunddurchdiedargebotene FülleanÜbungsaufgabenmitausführlichenLösungswegenoderHinweisenfürdie MehrzahlderAufgabeneignetsichdasBuchzumSelbststudiumoderzumStudium parallelzueinerVorlesung.DozentenmögendieAuswahlanÜbungsaufgabenals hilfreichempfinden.SchließlichkanndasBuchauchalseinkompaktesNachschla- gewerk für die Grundlagen der Quantenmechanik und zur Prüfungsvorbereitung Verwendungfinden. Behandeltwerdendienicht-relativistischeQuantenmechanik,alsodieSchrödin- ger-Gleichung und ihre Lösung im Zentralfeld und in verschiedenen Potenzialen, das Wasserstoffatom, der Formalismus der Erzeugungs- und Vernichtungsopera- toren, der harmonische Oszillator, der Elektronenspin, sowie die Elektronenstruk- turtheorie(Hartree-Fock-Lösungsverfahren).LetztereistfürpraktischalleAnwen- dungeninderQuantenchemie,derBiochemieundderphysikalischenChemievon Bedeutung und wird in vielen einführenden Lehrbüchern der Quantenmechanik rechtstiefmütterlichbehandelt.NichtdiskutiertwerdenfortgeschritteneThemender QuantentheoriewiedierelativistischeDirac-GleichungundihreLösungsverfahren, Streutheorie, Gruppentheorie, die sogen. zweite Quantisierung von Feldern in Vorwort vii der Quantenfeldtheorie, die Quantenelektrodynamik, Feynman-Diagramme oder die Elementarteilchentheorie (Quantenchromodynamik) mit ihren Abel’schen und Nicht-Abel’schenEichsymmetrien. Die Sprache der Quantenmechanik ist die Mathematik des Hilbert-Raumes mit unendlich vielen Dimensionen und der linearen Abbildungen in diesem Raum in Form von Operatoren und deren Darstellung in einer Basis als Matrizen. Wir müssen diese Sprache erlernen, wenn wir mehr als nur ein oberflächliches Verständnis für die Problemstellungen, die Methoden und die Lösungsverfahren der Quantenmechanik erlangen wollen. Hierbei versuche ich im Besonderen das nach meiner Erfahrung in Vorlesungen oft sehr heterogene Hintergrundwissen der Studierenden durch eine konsequente Einführung mathematischer Methoden in Exkursen parallel zu den physikalischen Inhalten zu berücksichtigen, um dadurch einegemeinsameformaleBasisfürdasStudiumderQuantenmechanikzuschaffen. Viele angebotene Beispiele und Übungsaufgaben sollen das Einstudieren der Me- thoden und Lösungsverfahren erleichtern, um schließlich das zu erlangen, was im Englischensotreffendals„WorkingKnowledge“bezeichnetwird. Einige Bemerkungen zu den Übungsaufgaben in diesem Buch sind an dieser Stelle angebracht. Es ist selbstverständlich, dass nur durch das Lösen oder Be- arbeiten einer gewissen Anzahl an Übungsaufgaben ein wirkliches Beherrschen der Methoden der Quantenmechanik und ihrer Lösungsverfahren erreicht werden kann. Viele der angebotenen Beispiele und Prüfungsfragen stammen aus früheren Übungen, Klausuren und mündlichen Prüfungen aus der langjährigen Praxis des Verfassers an verschiedenen Universitäten. Um selbstständige Lösungsversuche nicht unnötig zu demotivieren, habe ich auf mathematisch sehr komplizierte und extremspitzfindigeAufgabenverzichtet,sondernversucht,Aufgabenzuformulie- ren,dieohneZuhilfenahmevonSekundärliteraturlösbarsind. DieEinteilungderbehandeltenThemenindieeinzelnenKapitelistwiefolgt: Kap.1 präsentiert eine allgemeine Einführung in einige wichtige Grundlagen und Konzepte aus der klassischen Mechanik, auf denen die Quantenmechanik aufbaut. Kap.2 bietet eine Einführung und Diskussion der wichtigsten experimentellen Beobachtungen und Tatsachen, die zur Entwicklung einer Theorie der inneren StrukturvonAtomenundschließlichzurQuantenmechanikgeführthaben.Ichfolge beidieserEinführungindieQuantenmechanikimWesentlicheneinertraditionellen induktiven Methode durch eine Betrachtung einiger historischer Schlüsselexperi- mente, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts zur Entwicklung der Quantentheorie maßgeblich beitrugen. Hier wird also versucht, aus dem speziellen Experiment herausaufallgemeineGesetzmäßigkeitenzuschließen.DieKenntnisdieserExperi- menteerleichtertdemAnfängererfahrungsgemäßdasAneignenderverschiedenen Ideen und begrifflichen Konzepte, welche durch die Quantentheorie eingeführt werden. In Kap.3 besprechen wir die Grundgleichung der Quantenmechanik – die Schrödinger-Gleichung – und untersuchen ausführlich ihr Lösungsverhalten für einfacheModellsysteme,wiez.B.dasTeilchenimKastenpotenzial. viii Vorwort In Kap.4 biete ich eine axiomatische Darstellung der mathematisch-formalen Grundlagen der Quantenmechanik an. Ausgehend von wenigen Axiomen, welche dieGrundaussagenderQuantentheoriedarstellen,werdendiemathematischenMe- thoden zur Lösung der Grundgleichung der Theorie – der Schrödinger-Gleichung – entwickelt. Wesentliche Elemente sind die lineare Algebra selbstadjungierter Operatoren im Hilbert-Raum. Wir werden auch detailliert die Heisenberg’sche UnschärferelationbesprechenunddieEinführungvonDeltafunktionen(Distributio- nen)fürOperatorenmiteinemkontinuierlichenEigenwertspektrum.DiesesKapitel stellt die wichtigste Basis für das Verständnis der Methoden und Rechenverfahren derQuantenmechanikdarundsolltedahervomLernendenmitbesondererSorgfalt studiertwerden. Kap.5 widmet sich der quantenmechanischen Behandlung des vielleicht wich- tigsten Modellsystems in den Naturwissenschaften, des harmonischen Oszilla- tors. Besonders wichtig in diesem Kapitel ist die Einführung der algebraischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (manchmal auch „Leiteroperatoren“ ge- nannt, welche die formale Darstellung der Theorie wesentlich vereinfachen und die auch unentbehrlich sind für spätere Erweiterungen der Quantenmechanik zu einerQuantenfeldtheorie,beiderauchdieelektromagnetischenFelderselbstquan- tenmechanisch beschrieben (also „quantisiert“) werden. Diese Leiteroperatoren könnenwirindernicht-relativistischenQuantenmechanikbereitsanwendenbeider DiskussiondesWasserstoffatomsunddamitRechnungenerheblichabkürzen. Kap.6 behandelt die Eigenschaften des Drehimpulsoperators, sowie seine Ei- genwerteundEigenvektoren,diefürdieBewegungvonTeilcheninZentralfeldern wichtig sind. Die Spezialisierung auf ein Coulomb-Potenzial ergibt für uns dann diequantenmechanischeLösungdesWasserstoffatoms,alsodieBerechnungseiner Energiewerte und Zustandsfunktionen. Wir besprechen hier ferner die Einführung von Orbitalen als Ein-Elektron-Wellenfunktionen, die in der Chemie gebräuchlich sind,sowiedenSpindesElektrons. In Kap.7 diskutieren wir einige der wichtigsten Näherungsverfahren in der Quantenmechanik, denn die Schrödinger-Gleichung kann nur in sehr wenigen Ausnahmefällen für sehr einfache Probleme (eindimensional oder bei Vorliegen spezieller Symmetrien) analytisch gelöst werden. Wir behandeln auch die sogen. elektronische Schrödinger-Gleichung für Mehr-Elektronen-Atome, die daraus ent- wickelteMolekülorbitaltheorieunddieHartree-Fock-Näherung,derenPrinzipdarin besteht, das Mehr-Elektronen-Problem auf ein effektives Ein-Elektron-Problem zurückzuführen. Diese auf dem Variationsverfahren basierende Näherung findet vor allem Verwendung in der Quantenchemie bei der Untersuchung von kleinen MolekülenmitsehrwenigenAtomen. Kap.8 beschäftigt sich schließlich einführend mit den Interpretationen und konzeptionellen Problemen der Quantenmechanik und versucht, die verschiede- nen Ansätze auch durch Betrachtung neuerer Arbeiten zu systematisieren. Dem Lernenden soll aufgezeigt werden, dass keineswegs alle Interpretationsfragen der Quantentheorie abschließend behandelt und gelöst sind – auch wenn durch ein dogmatisches Festhalten an der sogen. Kopenhagener Deutung dieser Eindruck zuweilenerwecktwird. Vorwort ix UmeineKonzentrationaufdenInhaltdesTexteszugewährleisten,verwendeichin diesem Buch grundsätzlich die traditionell männliche Form von Substantiven und Bezeichnungenundimplizieredabeiselbstverständlichstetsdiejeweiligeweibliche Form. SchließlichmöchteichandieserStelledemSpringer-Verlagundhiernamentlich meiner Lektorin Frau Bianca Alton, sowie Frau Margit Maly und Frau Dr. Vera Spillner meinen Dank aussprechen für die reibungslose und sehr angenehme ZusammenarbeitwährendderZeit,inderdiesesLehrwerkentstandenist. Als mich Frau Spillner vom Springer-Verlag kontaktierte, um mich für dieses Buchprojektzugewinnen,sagteichnichtsofort„ja“,sonderneher„ja,vielleicht“, da ich mir nach Erscheinen meines vorherigen Lehrbuches im Springer-Verlag im Jahre 2008 eigentlich aus Zeitgründen „nie wieder“ für Lehrbuchprojekte geschworenhatte.SohabeichnundochgegenmeineeigenenGrundsätzeverstoßen – wie ich hoffe, zum Guten – und würde meine Absichten als erreicht ansehen, wenndiesesWerkseinenZweckalseinführendesLehrbuchfürdieGrundlagender Quantenmechanik undalsStudienbegleiter fürStudentenderNaturwissenschaften guterfüllenwird. FreiburgimBreisgauundBasel, MartinO.Steinhauser imJuni2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ..................................................... 1 1.1 WorausbestehtMaterie? .................................... 1 1.2 DieklassischeMechanik .................................... 4 1.3 DieLagrange-FunktionderklassischenMechanik ............... 5 1.4 DiekanonischenBewegungsgleichungen....................... 8 1.4.1 DeterminismusinderklassischenMechanik............. 9 1.4.2 BewegungsgleichungenundPoisson-Klammern.......... 10 1.5 AusblickaufdieQuantenmechanik ........................... 12 1.5.1 Quantisierung...................................... 13 1.5.2 DasKorrespondenzprinzip ........................... 13 1.5.3 DieSolvay-Konferenzen ............................. 14 1.6 IndeterminismusinderQuantenmechanik ...................... 15 1.7 DieWelleneigenschaftenvonLicht............................ 16 1.7.1 VonNewtonzuMaxwell............................. 17 1.7.2 FormaleBeschreibungvonWellen..................... 19 ZusammenfassungderLernzielevonKap.1 .......................... 22 Übungsaufgaben ................................................ 24 Prüfungsfragen.................................................. 27 WeiterführendeLiteratur.......................................... 28 2 EinführungindieQuantenmechanik.............................. 29 2.1 Einleitung ................................................ 30 2.2 EntwicklungdermodernenAtomtheorie ....................... 35 2.2.1 EntdeckungdesElektrons............................ 36 2.2.2 EntdeckungdesAtomkerns........................... 41 2.3 SchlüsselexperimentezurQuantenmechanik .................... 47 2.3.1 AtomareSpektrenunddiskreteEnergiewerte ............ 48 2.3.2 DasStrahlungsspektrumSchwarzerKörper.............. 54 2.3.3 DerphotoelektrischeEffekt........................... 87 2.3.4 LichtquantenhypothesevonEinstein ................... 88 2.3.5 DerCompton-Effekt ................................ 90 2.3.6 DerFranck-Hertz-Versuch ........................... 96 2.3.7 DieEinstein-KoeffizientenimStrahlungsgleichgewicht.... 98 xi
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