Qualitative Spatial and Temporal Reasoning

527 Pages·7.684 MB·English

by  Gerard Ligozat(auth.)

Qualitative Spatial and Temporal Reasoning
Qualitative Spatial
and
Temporal Reasoning

Gérard Ligozat
First published 2012 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
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accordance with the Copyright, Designs and Patents Act 1988.
____________________________________________________________________________________
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Ligozat, Gérard.
Qualitative spatial and temporal reasoning / Gérard Ligozat.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-1-84821-252-7
1. Qualitative reasoning. 2. Spatial analysis (Statistics) 3. Space and time--Mathematical models. 4.
Logic, Symbolic and mathematical. I. Title.
Q339.25.L54 2011
511.3--dc23
2011029658
British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-84821-252-7

Printed and bound in Great Britain by CPI Group (UK) Ltd., Croydon, Surrey CR0 4YY
Table of Contents
Introduction.QualitativeReasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Chapter1.Allen’sCalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.“Themysteryofthedarkroom” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2.ContributionsofAllen’sformalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.Allen’sintervalrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1.Basicrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.Disjunctiverelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.Constraintnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2.Expressiveness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3.Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.Constraintpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1.Operations:inversionandcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2.Compositiontable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3.Allen’salgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4.Algebraicclosure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.5.Enforcingalgebraicclosure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.Consistencytests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1.Thecaseofatomicnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2.Arbitrarynetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3.Determiningpolynomialsubsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapter2.PolynomialSubclassesofAllen’sAlgebra . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.“Showmeatractablerelation!” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.SubclassesofAllen’salgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1.AgeometricalrepresentationofAllen’srelations . . . . . . . . . . 30
2.2.2.Interpretationintermsofgranularity . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
vi QualitativeSpatialandTemporalReasoning
2.2.3.Convexandpre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4.ThelatticeofAllen’sbasicrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5.Tractabilityofconvexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.6.Pre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.7.Polynomialityofpre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.8.ORD-Hornrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.MaximaltractablesubclassesofAllen’salgebra . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1.Analternativecharacterizationofpre-convexrelations. . . . . . . 52
2.3.2.Theothermaximalpolynomialsubclasses . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.Usingpolynomialsubclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.1.LadkinandReinefeld’salgorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2.Empiricalstudyoftheconsistencyproblem . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.ModelsofAllen’slanguage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.1.RepresentationsofAllen’salgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2.Representationsofthetime-pointalgebra . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3.ℵ -categoricityofAllen’salgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
0
2.6.Historicalnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Chapter3.GeneralizedIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.“Whentheybuiltthebridge...” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1.Towardsgeneralizedintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.Entitiesandrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.Thelatticeofbasic(p,q)-relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.Regionsassociatedwithbasic(p,q)-relations . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1.Associatedpolytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.2.M-convexityofthebasicrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.Inversionandcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.1.Inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.2.Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.3.Thealgebrasofgeneralizedintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6.Subclassesofrelations:convexandpre-convexrelations. . . . . . . . . 79
3.6.1.(p,q)-relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.2.Convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.3.Pre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7.Constraintnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8.Tractabilityofstronglypre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.8.1.ORD-Hornrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.9.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.10.Historicalnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chapter4.BinaryQualitativeFormalisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.“Nightdriving” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1.Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2.Apanoramaofthepresentedformalisms . . . . . . . . . . . . . . 89
TableofContents vii
4.2.Directedpointsindimension1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1.Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2.Constraintnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.3.Networksreducibletopointnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.4.Arbitrarydirectedpointnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.Directedintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1.Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2.Constraintnetworksandcomplexity . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.TheOPRAdirectioncalculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.Dipolecalculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.TheCardinaldirectioncalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.1.Convexandpre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6.2.Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7.TheRectanglecalculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.1.Convexandpre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.2.Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8.Then-pointcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8.1.Convexityandpre-convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.9.Then-blockcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.9.1.Convexityandpre-convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.10.Cardinaldirectionsbetweenregions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.10.1.Basicrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.10.2.Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.10.3.Consistencyofbasicnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.10.4.Applicationsofthealgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.11.TheINDUcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.11.1.Inversionandcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.11.2.ThelatticeofINDU relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.11.3.RegionsassociatedwithINDU relations . . . . . . . . . . . . . . 124
4.11.4.Anon-associativealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.12.The2n-starcalculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.12.1.Inversionandcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.13.TheCyclicintervalcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.13.1.Convexandpre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.13.2.Complexityoftheconsistencyproblem. . . . . . . . . . . . . . . 131
4.14.TheRCC–8formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.14.1.Basicrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.14.2.Allen’srelationsandRCC−8relations . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.14.3.Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.14.4.MaximalpolynomialclassesofRCC−8 . . . . . . . . . . . . . . 135
4.15.AdiscreteRCCtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.15.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.15.2.Entitiesandrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
viii QualitativeSpatialandTemporalReasoning
4.15.3.Mereology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.15.4.ConceptofcontactandRCC−8relations. . . . . . . . . . . . . . 138
4.15.5.Closure,interiorandboundary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.15.6.Self-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.15.7.Paths,distance,andarc-connectedness . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.15.8.Distancebetweenregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.15.9.Conceptualneighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Chapter5.QualitativeFormalismsofArityGreaterthan2 . . . . . . . . . 145
5.1.“Thesushibar” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.Ternaryspatialandtemporalformalisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2.1.Generalconcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2.2.TheCyclicpointcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.3.TheDouble-crosscalculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.4.TheFlip-flopandLRcalculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.5.Practicalandnaturalcalculi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.6.Theconsistencyproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.Alignmentrelationsbetweenregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3.1.Alignmentbetweenregionsoftheplane:the
5-intersectioncalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3.2.Ternaryrelationsbetweensolidsinspace . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.3.Ternaryrelationsonthesphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Chapter6.QuantitativeFormalisms,Hybrids,andGranularity . . . . . . 159
6.1.“DidJohnmeetFredthismorning?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.1.1.Contentsofthechapter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.TCSPmetricnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.1.Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2.2.Theconsistencyproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.Hybridnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.1.KautzandLadkin’sformalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.Meiri’sformalism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.1.Temporalentitiesandrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.2.Constraintnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.3.Constraintpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.4.Tractabilityissues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.5.Disjunctivelinearrelations(DLR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.5.1.Aunifyingformalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.5.2.Allen’salgebrawithconstraintsondurations . . . . . . . . . . . . 174
6.5.3.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.6.Generalizedtemporalnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.6.1.Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
TableofContents ix
6.6.2.DefinitionofGTN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.6.3.Expressiveness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.6.4.Constraintpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.6.5.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.7.Networkswithgranularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.7.2.Granularitiesandgranularitysystems . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.7.3.Constraintnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.7.4.Complexityoftheconsistencyproblem . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.7.5.Propagationalgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Chapter7.FuzzyReasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.1.“Picasso’sBlueperiod” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.Fuzzyrelationsbetweenclassicalintervals . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.1.Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.2.ThefuzzyPointalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2.3.ThefuzzyIntervalalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.4.Fuzzyconstraintnetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.5.Algorithms,tractablesubclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.6.Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3.Eventsandfuzzyintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3.1.Fuzzyintervalsandfuzzyrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3.2.Fuzzyconstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.3.3.Anexampleofapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.4.Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.5.Weaklogicalconsequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3.6.Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4.Fuzzyspatialreasoning:afuzzyRCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4.1.Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4.2.Fuzzyregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.4.3.FuzzyRCCrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.4.4.FuzzyRCCformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.5.Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.6.Satisfyingafinitesetofnormalizedformulas . . . . . . . . . . . . 213
7.4.7.(n;α,β)-models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.4.8.Satisfiabilityandlinearprogramming . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.4.9.Modelswithafinitenumberofdegrees . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4.10.Linkswiththeegg-yolkcalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.Historicalnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Chapter8.TheGeometricalApproachandConceptualSpaces . . . . . . . 223
8.1.“Whatcoloristhechameleon?”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.2.Qualitativesemantics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
x QualitativeSpatialandTemporalReasoning
8.3.Whyintroducetopologyandgeometry? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4.Conceptualspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.4.1.Higherorderpropertiesandrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.4.2.Notionsofconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.4.3.Conceptualspacesassociatedtogeneralizedintervals . . . . . . . 230
8.4.4.Theconceptualspaceassociatedtodirectedintervals . . . . . . . 230
8.4.5.Conceptualspaceassociatedwithcyclicintervals. . . . . . . . . . 231
8.4.6.ConceptualneighborhoodsinAllen’srelations . . . . . . . . . . . 234
8.4.7.Dominancespacesanddominancediagrams . . . . . . . . . . . . 235
8.5.PolynomialrelationsofINDU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.5.1.Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.5.2.ConvexityandHornclauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.5.3.Pre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.5.4.NP-completenessofpre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5.5.Stronglypre-convexrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5.6.ThesubclassG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.5.7.AsummaryofcomplexityresultsforINDU . . . . . . . . . . . . . 257
8.6.Historicalnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Chapter9.WeakRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.1.“Findthehiddensimilarity” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.2.Weakrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.2.1.Weakrepresentationsofthepointalgebra . . . . . . . . . . . . . . 261
9.2.2.WeakrepresentationsofAllen’sintervalalgebra . . . . . . . . . . 262
9.2.3.Weakrepresentationsofthen-intervalalgebra . . . . . . . . . . . 271
9.2.4.Constructingthecanonicalconfiguration . . . . . . . . . . . . . . 273
9.3.ClassifyingtheweakrepresentationsofA . . . . . . . . . . . . . . . . 275
n
9.3.1.ThecategoryofweakrepresentationsofA . . . . . . . . . . . . 275
n
9.3.2.Reinterpretatingthecanonicalconstruction . . . . . . . . . . . . . 277
9.3.3.Thecanonicalconstructionasadjunction . . . . . . . . . . . . . . 279
9.4.Extensiontothecalculibasedonlinearorders . . . . . . . . . . . . . . 283
9.4.1.Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.4.2.Descriptionlanguagesandassociatedalgebras . . . . . . . . . . . 284
9.4.3.Canonicalconstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4.4.TheconstructioninthecaseofA . . . . . . . . . . . . . . 288
Pointsn
9.5.Weakrepresentationsandconfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.5.1.Otherqualitativeformalisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.5.2.Anon-associativealgebra:INDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.5.3.InterpretingAllen’scalculusontheintegers . . . . . . . . . . . . . 291
9.5.4.Algebraicallyclosedbutinconsistentscenarios:thecaseofcyclic
intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.5.5.WeakrepresentationsofRCC−8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.5.6.Fromweakrepresentationstoconfigurations . . . . . . . . . . . . 302
TableofContents xi
9.5.7.Finitetopologicalmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
9.5.8.ModelsinEuclideanspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.6.Historicalnote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Chapter10.ModelsofRCC−8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.1.“Disksintheplane” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.2.Modelsofacompositiontable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.2.1.Complementsonweakrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.2.2.Propertiesofweakrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.2.3.ModelsofthecompositiontableofRCC−8 . . . . . . . . . . . . 311
10.3.TheRCCtheoryanditsmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.3.1.Compositiontablesrelativetoalogicaltheory . . . . . . . . . . . 312
10.3.2.TheRCCtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.3.3.StrictmodelsandBooleanconnectionalgebras . . . . . . . . . . 315
10.3.4.Consistencyofstrictmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.4.Extensionalentriesofthecompositiontable . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.4.1.Propertiesofthetriadsofacompositiontable . . . . . . . . . . . 320
10.4.2.TopologicalmodelsofRCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10.4.3.Pseudocomplementedlattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.4.4.Pseudocomplementationandconnection . . . . . . . . . . . . . . 326
10.4.5.Non-strictmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.4.6.Modelsbasedonregularclosedsets . . . . . . . . . . . . . . . . 328
10.5.ThegeneralizedRCCtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.5.1.Themereologicalcomponent:variationsofaset-theoretic
theme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
10.5.2.Thetopologicalcomponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10.5.3.TheGRCCtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.5.4.ConstructinggeneralizedBooleanconnectionalgebras . . . . . . 335
10.5.5.Anapplicationtofinitemodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.6.Acountableconnectionalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.6.1.Anintervalalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.6.2.Definingaconnectionrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.6.3.Minimalityofthealgebra(B ,C ). . . . . . . . . . . . . . . . . 341
ω ω
10.7.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Chapter11.ACategoricalApproachofQualitativeReasoning . . . . . . . 343
11.1.“Waitinginline” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.2.Ageneralconstructionofqualitativeformalisms . . . . . . . . . . . . 346
11.2.1.Partitionschemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
11.2.2.Descriptionofconfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.2.3.Weakcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.2.4.Weakcompositionandseriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.3.Examplesofpartitionschemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349