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Rolf Busam Denis Vogel Thomas Epp Prüfungstrainer Lineare Algebra 500+ Fragen und Antworten mit interaktivem Online-Trainer 2. Auflage Prüfungstrainer Lineare Algebra Rolf Busam · Denis Vogel · Thomas Epp Prüfungstrainer Lineare Algebra 500+ Fragen und Antworten mit interaktivem Online-Trainer 2. Auflage Unter Mitarbeit von Pascal Klaiber Rolf Busam Denis Vogel Mathematisches Institut Mathematisches Institut Universität Heidelberg Universität Heidelberg Heidelberg, Deutschland Heidelberg, Deutschland Thomas Epp Berlin, Deutschland Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf http://extras.springer.com. ISBN 978-3-662-59403-2 ISBN 978-3-662-59404-9 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-59404-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2009, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Annika Denkert Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Vorwort Vorwort zur 2. Auflage InderNeuauflagewurdenDruckfehlerundeinigesachlicheFehlerkorrigiert,soweit siebekanntwurden.BeidenAufgabenhabenwirlediglichdie Raumschiffaufgabe“ ” zus¨atzlich hinzugenommen. Thomas Epp, der die erste Auflage wesentlich mitge- staltet hat, konnte sich aus beruflichen Gru¨nden an der Neuauflage leider nicht mehr beteiligen. Um eine druckf¨ahigeVersion zu erhalten, war etlicher technischer Aufwand erforderlich. Doch Pascal Klaiber hat dies mit großem Engagement ge- meistert. Er hat auchdie QR-Codes bei denjenigen Aufgaben eingefu¨gt, die online bearbeitet werden k¨onnen. EinNovumistdie M¨oglichkeit,fu¨rausgew¨ahlteFragendenBeweisinteraktivu¨ber dasQuiz-Systemder Online-PlattformMaMpf nachzuvollziehenundsichso inten- siver mit den L¨osungen zu besch¨aftigen. Hierbei wird der Leser schrittweise durch dieBeweisegefu¨hrtunderh¨altzujedemSchrittundjederAntworthilfreichesFeed- back. Die Online-Plattform MaMpf ( Mathematische Medienplattform“) wurde ” vonDenis VogelentwickeltundwirdinderLehre amMathematischenInstitutder derUniversit¨atHeidelberg eingesetzt. Fu¨r diesesBuchwurde eine eigene Webseite eingerichtet,die Rustam Steingartmitviel Kreativit¨atund Engagementmit ange- leiteten Beweisenbestu¨ckt hat. Der Zugriffauf die Online-Beweisekannwahlweise u¨ber die QR-Codes erfolgen, die neben den entsprechenden Aufgaben abgedruckt sind, oder u¨ber die Seite https://banane.mathi.uni-heidelberg.de NutzerIn: gast Kennwort: ptlabv Fu¨r Unterstu¨tzung beim Layout danken wir Frau Bianca Alton sowie fu¨r die Be- treuung Frau Dr. Annika Denkert vom Verlag Springer Spektrum. Heidelberg im April 2019 Rolf Busam Denis Vogel v Vorwort zur 1. Auflage Bei dem vorliegenden Band haben wir uns von denselben Zielen und Vorstellun- gen leiten lassen, die wir schon beim ,,Pru¨fungstrainer Analysis” verfolgt haben. Unsere Idee war es, die zentralen Begriffe der Linearen Algebra in einer knappen und zielgerichteten Form zu rekapitulieren, und zwar in einer Weise, die Studen- tinnen und Studenten bei der Pru¨fungsvorbereitung eine echte Hilfestellung bie- tet. Wir wolltenwedereine Aufgabensammlung vorlegennochmit denzahlreichen Lehrbu¨chernund den Einfu¨hrungsvorlesungenzur Linearen Algebra konkurrieren. Stattdessen haben wir versucht, Fragen zu formulieren, die man in einer mu¨ndli- chen Pru¨fung realistischerweise erwarten kann. In aller Regel wird man dort nicht damit konfrontiert, komplizierte Rechnungen und aufwendige Beweise in allen De- tailsvorzufu¨hren,sondernzuzeigen,dassmandiezentralenBegriffeverstandenhat undsieindenwichtigstenBeweistechnikenauchanwendenkann.UnterdiesemGe- sichtspunktsinddieFragenausgesuchtunddieAntwortenformuliertworden,wobei wieder wesentlich die Erfahrungen des erstgenannten Autors aus seiner jahrelan- genT¨atigkeitalsDozentundPru¨feranderRuprecht-Karls-Universit¨atHeidelberg eingeflossen sind. Die Inhalte werden,wie schonbeim,,Pru¨fungstrainerAnalysis“,ineinemknap- penFrage-undAntwort-Stildargestellt.DassolldemLesererm¨oglichen,seinWis- sen stichpunktartig zu u¨berpru¨fen und eventuelle Lu¨cken schnell zu entdecken. Das Buch richtet sich an alle Studierenden, die ein gewisses mathematisches Pensum in Ihrem Studium zu erfu¨llen haben. Die Lineare Algebra ist heutzutage derart grundlegend fu¨r s¨amtliche Teilgebiete der Mathematik und in ihrer Dar- stellung derarteinheitlich, dass es ku¨nstlich w¨are, Niveauunterschiede einzufu¨hren und ein Buch u¨ber Lineare Algebra speziell an Diplommathematiker, Lehramts- kandidaten oder Informatiker zu adressieren. Es mag sein, dass es in der Analysis Unterschiede in den Anspru¨chen gibt, aber u¨ber die Grundlagen der Linearen Al- gebra muss im Großen und Ganzen jeder dasselbe wissen. Daher sind Studenten im Haupt- oder Nebenfach Mathematik (mit den Studienzielen Diplom, Bachelor oder Lehramt) genauso herzlich eingeladen, das Buch zur Hand zu nehmen, wie Studierende, die einen Abschluss in Informatik oder in einer Naturwissenschaft anstreben. Wir danken dem Verlagsteam von Spektrum Akademischer Verlag fu¨r die kon- struktive Zusammenarbeit. Besonderer Dank gebu¨hrt unserem Lektor Herrn Dr. Ru¨dinger, ohne dessen kompetente und engagierte Beratung das Buch in dieser Formnichtzustande gekommenw¨are,sowie FrauAlton, die uns w¨ahrendder Ent- stehungsphaseinallenorganisatorischenFragentatkr¨aftigundgeduldigunterstu¨tzt hat. Heidelberg/Berlin im September 2008 Rolf Busam Thomas Epp Inhaltsverzeichnis 1 Algebraische Grundlagen ...................................... 1 1.1 Der Begriff der Gruppe....................................... 1 1.2 Abbildungen zwischen Gruppen, Untergruppen.................. 9 1.3 Der Signum-Homomorphismus ................................ 19 1.4 Ringe und K¨orper ........................................... 23 1.5 Polynomringe ............................................... 29 2 Vektorr¨aume .................................................. 39 2.1 Grundbegriffe............................................... 39 2.2 Basis und Dimension......................................... 47 2.3 Summen von Vektorr¨aumen................................... 52 3 Lineare Abbildungen und Matrizen............................ 55 3.1 Grundbegriffe............................................... 56 3.2 Quotientenvektorr¨aume und affine Unterr¨aume .................. 64 3.3 Matrizen ................................................... 70 3.4 Matrizenringe............................................... 78 3.5 Koordinatenisomorphismenund Basiswechselformalismus......... 84 3.6 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren .......................... 92 3.7 Lineare Gleichungssysteme Teil 1 .............................. 97 3.8 Der Dualraum .............................................. 105 4 Determinanten ................................................ 111 4.1 Alternierende Multilinearformen............................... 112 4.2 Determinanten von Matrizen und Endomorphismen.............. 115 5 Normalformentheorie.......................................... 127 5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren ................................ 127 5.2 Das charakteristische Polynom ................................ 133 5.3 Einsetzen von Matrizen und Endomorphismen in Polynome....... 141 5.4 Die Jordan’sche Normalform .................................. 146 vii viii Inhaltsverzeichnis 6 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume.......................... 155 6.1 Bilinearformen und Skalarprodukte ............................ 155 6.2 Normierte R¨aume ........................................... 163 6.3 Orthonormalbasenund Orthonormalisierungsverfahren ........... 171 6.4 Lineare Gleichungssysteme Teil 2 .............................. 180 6.5 Orthogonale und unit¨are Endomorphismen ..................... 182 6.6 Die adjungierte Abbildung.................................... 189 6.7 Selbstadjungierte Endomorphismen ............................ 194 7 Anwendungen in der Geometrie ............................... 201 7.1 Affine R¨aume ............................................... 201 7.2 Affine Abbildungen und Koordinaten .......................... 208 7.3 Projektive R¨aume ........................................... 215 7.4 Projektive Abbildungen und Koordinaten....................... 220 7.5 Invarianten von Projektivit¨aten ............................... 226 7.6 Projektive Quadriken ........................................ 234 7.7 Affine Quadriken ............................................ 245 Literatur .......................................................... 251 Symbolverzeichnis ................................................. 253 Namen- und Sachverzeichnis....................................... 257 1 Algebraische Grundlagen Wir setzen hier voraus, dass die Leser und Leserinnen mit den Sprech- und Be- zeichnungsweisen der Mengenlehre und dem Abbildungsbegriff hinreichend ver- traut sind. Wir sind nicht der Meinung, dass die Vorlesung ,,Lineare Algebra“ da- zu benutzt werden sollte, Allgemeinheiten u¨ber algebraische Strukturen wie z.B. allgemeine Strukturs¨atze in aller Ausfu¨hrlichkeit vonGrund auf zu behandeln. Al- lerdings ist der Gruppen- und K¨orperbegriff fu¨r den Aufbau der linearen Algebra fundamental, und deswegen beginnen wir das Buch mit einigen Fragen zu den grundlegenden Eigenschaften des Gruppen- und K¨orperbegriffs. 1.1 Der Begriff der Gruppe Gruppen spielen nicht nur in der Linearen Algebra eine zentrale Rolle (z.B. ist ein Vektorraum insbesondere auch eine abelsche Gruppe bezu¨glich der Addition), sondernbesitzenauchzahlreicheAnwendungeninaußermathematischenBereichen wie der Chemie (,,kristallografische Gruppe“) oder in der Physik (etwa bei der Klassifikationder Elementarteilchen). Die Schlagkraftder axiomatischen Methode bei der Einfu¨hrung dieser Begriffe wird sich an vielen Beispielen zeigen. Frage 1 Was versteht man unter einer Gruppe? Wann heißt eine Gruppe abelsch bzw. kommutativ? Antwort: Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknu¨pfung ,,*“, d.h. einer Abbildung ∗: G×G→G, fu¨r die die folgenden Axiome gelten (G1) (Assoziativit¨at) Fu¨r alle a,b,c∈G gilt (a∗b)∗c=a∗(b∗c). (G2) (Existenz neutraler Elemente) Es gibt ein e∈G, so dass fu¨r alle a∈G gilt e∗a=a. e heißt neutrales Element von G. 1 © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von SpringerNature 2019 R. Busam et al., Prüfungstrainer Lineare Algebra, https://doi.org/10.1007/978-3-662-59404-9_1 2 1 Algebraische Grundlagen (G3) (Existenz inverser Elemente) Zu jedem a∈G gibt es ein (cid:2)a∈G mit (cid:2)a∗a=e, wobeiedasneutraleElementbezeichnet.(cid:2)aheißtindiesemFalldaszuainverse Element. Eine Gruppe (G,∗) heißt abelsch bzw. kommutativ,wenn zus¨atzlich a∗b=b∗a fu¨r jedes a, b∈G gilt. (cid:2) Frage 2 Warum gilt fu¨r jede Gruppe (G,∗) mit neutralem Element e e∗a=a=⇒a∗e=a fu¨r alle a∈G sowie (cid:2)a∗a=e=⇒a∗(cid:2)a=e fu¨r alle a∈G? Mit anderen Worten, warum ist ein linksneutrales Element in jeder Gruppe G stets auch rechtsneutral und ein linksinverses Element zu a∈G stets auch rechtsinvers? Antwort: Zu (cid:2)a gibt es nach G3 ein linksinverses Element (cid:2)(cid:2)a. Damit gilt (cid:3) (cid:4) α(cid:2)a=e(a(cid:2)a)= (cid:2)(cid:2)a(cid:2)a (a(cid:2)a)=(cid:2)(cid:2)a((cid:2)a(a(cid:2)a))=(cid:2)(cid:2)a(((cid:2)aa)(cid:2)a)=(cid:2)(cid:2)a(e(cid:2)a)=(cid:2)(cid:2)a(cid:2)a=e. Das beantwortet den zweiten Teil der Frage. Der erste folgt damit aus a∗e=a∗((cid:2)a∗a)=(a∗(cid:2)a)∗a=e∗a=a. (cid:2) Frage 3 Warum ist das neutrale Element e und das zu a ∈ G inverse Element (cid:2)a eindeutig bestimmt, so dass man also von dem neutralen und dem zu a ∈G inversen Element sprechen kann? Antwort: Ist e(cid:2) ein (eventuell von e unterschiedenes) neutrales Element, so folgt mit der Antwort zur vorigen Frage e(cid:2)∗e=e sowie e(cid:2)∗e=e(cid:2), also e(cid:2) =e. Ist (cid:2)a(cid:2) ein (eventuell von a verschiedenes) inverses Element zu a, so gilt (cid:2)a(cid:2) =(cid:2)a(cid:2)∗e=(cid:2)a(cid:2)∗(a∗(cid:2)a)=((cid:2)a(cid:2)∗a)∗(cid:2)a=e∗(cid:2)a=(cid:2)a. (cid:2)
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