Programmierte Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie: Übungsprogramm für Mathematiker und Physiker ab 1. Semester

193 Pages·1972·2.54 MB·German

by  Manfred Toussaint

uni-texte
Lehrbucher
G. M. Barrow, Physikalische Chemie I, II, III
W. L. Bontsch-Brujewitsch II. P. Swaigin II. W. Karpenko I A. G. Mironow,
Aufgabensammlung zur Halbleiterphysik
W. Czech, Obungsaufgaben aus der Experimentalphysik
H. Dallmann I K.-H. Elster, Einfiihrung in die hohere Mathematik
M. J. S. Dewar, Einfiihrung in die moderne Chemie
N. W. Efimow, Hohere Geometrie I, II
A. P. French, Spezielle Relativitatstheorie
D. Geist, Halbleiterphysik I, II
P. Guillery, Werkstoffkunde fiir Elektroingenieure
E. Hilla I T. Boublik, Einfiihrung in die statistische Thermodynamik
J. G. Holbrook, Laplace-Transformationen
I. E. Irodov, Aufgaben zur Atom-und Kernphysik
S. G. Krein I V. N. Uschakowa, Vorstufe zur hoheren Mathematik
H. Lau I W. Hardt, Energieverteilung
R. Ludwig, Methoden der Fehler-und Ausgleichsrechnung
E. Meyer I E.-G. Neumann, Physikalische und technische Akustik
E. Meyer I R. Pottel, Physikalische Grundlagen der Hochfrequenztechnik
E. Poulsen Nautrup, Grundpraktikum der organischen Chemie
L. Prandtl I K. Oswatitsch I K. Wieghardt, Fuhrer durch die Stromungslehre
W. Rieder, Plasma und Lichtbogen
H. Seiffert, Einfiihrung in das wissenschaftliche Arbeiten
F. G. Taegen, Einfiihrung in die Theorie der elektrischen Maschinen I, II
W. Tutschke, Grundlagen der Funktionentheorie
W. Tutschke, Grundlagen der reellen Analysis I, II
H.-G. Unger, Elektromagnetische Wellen I, II
H.-G. Unger, Quantenelektronik
H.-G. Unger, Theorie der Leitungen
H.-G. Unger I W. Schultz, Elektronische Bauelemente und Netzwerke I, II
W. Wuest, Stromungsmelltechnik
Skripten
J. Behne I W. Muschik I M. Pasler,
Ringvorlesung zur Theoretischen Physik, Theorie der Elektrizitat
O. Hittmair I G. Adam,
Ringvorlesung zur Theoretischen Physik, Warmetheorie
H. Jordan I M. Weis, Asynchronmaschinen
H. Jordan I M. Weis, Synchronmaschinen I, II
G. Lamprecht, Einfiihrung in die Programmiersprache FORTRAN IV
E. Macherauch, Praktikum in Werkstoffkunde
W. Schultz, Einfiihrung in die Quantenmechanik
W. Schultz, Dielektrische und magnetische Eigenschaften der Werkstoffe
Manfred Toussaint / Klaus Rudolph
Programmierte Aufgaben zur
linearen Algebra und
analytischen Geometrie
Ubungsprogramm fUr
Mathematiker und Physiker
ab 1. Semester
Friedr. Vieweg + Sohn . Braunschweig
Manfred Toussaint ist wissenschaftlicher Assistent am Mathematischen
Institut II der Universitat Karlsruhe, Klaus Rudolph ist Studienrat in Karlsruhe.
Verlagsredaktion: Michael Langfeld
ISBN-13: 978-3-528-03557-0 e-ISBN-13: 978-3-322-86164-1
001: 10.1007/978-3-322-86164-1
1972
Aile Rechte vorbehalten
Copyright © 1972 by Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Verlag, Braunschweig
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auch flir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit
dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mu1\ iiber die Zahlung einer Gebiihr
flir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt flir die Ver
vielfliltigung durch aile Verfahren einschliefl>lich Speicherung und jede Ubertragung auf
Papier, Transparente, Filme, Blinder, Platten und andere Medien.
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
Buchbinder: W. Langeliiddecke, Braunschweig
Umschlagentwurf: Peter Morys, Wolfenbiittel
Vorwort
Die programmierten Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen
Geometrie sind als erganzendes Arbeitsmaterial fUr Studenten der
ersten Semester gedacht. Sie sollen einerseits zur selbstandigen
Bearbeitung von Aufgaben anregen und damit schnell zu einer
Vertrautheit mit den Grundbegriffen und Methoden der linearen
Algebra fOOren, sie sollen andererseits die Moglichkeit bieten, das
Verstandnis dieser Begriffe und Methoden ohne fremde Hilfe zu
iiberprufen.
Es handelt sich urn Standardaufgaben zu Begriffen und Problem en,
die nahezu in jeder Anfangervorlesung und in jedem Buch oder
Skriptum zu diesem Thema behandelt werden. Entwickelt wurden
die Aufgaben als Begleitmaterial zu den Vorlesungen von Prof.
Dr. H. Kunle und Prof. Dr. H. Karzel an der Universitat Karlsruhe.
Seit dem Wintersemester 1966/67 wurde die Aufgabensammlung
standig erweitert und iiberarbeitet.
In der vorliegenden Fassung sollen die Aufgaben einem gro~eren
Studentenkreis zuganglich gemacht werden, wovon sich die Verfasser
u. a. auch weitere Verbesserungsvorschlage versprechen. Nicht zuletzt
aber sollen die Aufgaben zeigen, wie auch auf Hochschulniveau
programmiertes Unterrichtsmaterial sinnvoll eingesetzt werden kann,
und somit dazu beitragen, allzu einseitige Vorurteile gegeniiber
dem programmierten Unterricht abzubauen.
Karlsruhe, 1971 M. Toussaint / K. Rudolph
Anleitung zur Bearbeitung ein~r programmierten Aufgabe
Eine programmierte Aufgabe unterscheidet sich dadurch von
einer Aufgabe mit Losung, da& zwischen der AufgabensteHung
und der endgiiltigen Losung Hilfen verschiedener Stu fen ange
boten werden. Diese Hilfen werden nur im Bedarfsfall gelesen
und iibernehmen so die Rolle eines Tutors, der nur dann einen
Tip zur Losung der Aufgabe gibt, wenn er darum gebeten wird.
Die Hilfen sind nach dem Postleitzahlprinzip numeriert. Die Hilfen
erster Stufe mit den Nummern 1, 2, 3, ... findet man auf der
Seite mit der Dberschrift "Hilfen e", die Hilfen zweiter Stufe
entsprechend unter "Hilfen e e" usw. Durch das Programm lei
ten die folgenden Leseanweisungen:
W(n) "Weiter bei Nummer (n)"
Unter der Nummer (n) findet man eine weitere
Teilaufgabe, die man losen soH.
H(n) "Hilfe bei (n)"
Unter der Nummer (n) findet man eine Hilfe zur Losung
des Teilproblems, an dem man gerade arbeitet.
K(n) "Kontrolle durch Vergleich mit Nummer (n)"
Unter der Nummer (n) fmdet man ein Zwischenergebnis,
womit man die eigene Losung vergleichen kann.
Das gegeniiberstehende Flu~diagramm zeigt, wie i. a. die Bearbei
tung einer Aufgabe abUiuft.
Wenn es nicht gelingt, die gestellte Aufgabe ohne Anleitung zu
losen, dann beginnt man das Programm mit Hilfe (1). Unter den
Hilfen erster Stufe wird i. a. die gestellte Aufgabe in Teilaufgaben
zerlegt. Unter (1) wird also zur Losung einer ersten Teilaufgabe
aufgefordert. Hat man diese gelost, folgt man der Anweisung W(2)
und findet bei (2) eine weitere Teilaufgabe. Hilfen zu (1) stehen
unter (11) und Hilfen zu (11) unter (111) oder (112). In (111)
wird man aufgefordert, zur Kontrolle das Ergebnis mit (1121) zu
vergleichen. Sowohl von (11) als auch von (1121) kann man zu
(2) ubergehen.
Es sei betont, da~ man an jeder Stelle im Programm die Moglich
keit hat, ohne Hilfen selbstandig weiterzuarbeiten. Zum Abschlu~
sollte man jedoch die Aufgabe noch einmal mit allen Hilfen
durcharbeiten.
H(l1) H(111)
(1121)
H(112)
W(2)
W(2)
H(21)
/
/
/
W(3) // W(3)
Inhaltsverzeichnis
1 Beispiele von Ordnungsrelationen 1
2 Beispiel einer Aquivalenzrelation 6
3 Beispiel eines Verkniipfungsgebildes 10
4 Isomorphie von Gruppen 16
5 Lineare Abhangigkeit von Vektoren des IR4 21
6 Einfaches Kennzeichen linear unabhangiger Vektoren 25
7 Kriterium fUr die lineare Abhangigkeit von zwei Vektoren 30
8 Elementare Umformungen 36
9 Bestimmung der Dimension und einer Basis der linearen Hiille
von endlich vielen Vektoren 42
10 Basiswechsel im zweidimensionalen Vektorraum 47
11 Beispiel eines Basiswechsels im zweidimensionalen Vektorraum 52
12 Basiserganzung 57
13 Basen fUr Summen-und Durchschnittsraum eI).dlichdimensionaier
Untervektorraume 61
14 Nichtkollinearitat der Schnittpunkte von Gegenseitenpaaren
am Vierseit 67
15 Schnitt von zwei Ebenen 72
16 Mogiiche Lagen von zwei Geraden zueinander 77
17 Lineare Abbildungen 82
18 Struktur der Losungsrnenge eines linearen Gleichungssystems (LGS) 86
19 Produkt und Summe von linearen Abbildungen und Matrizen 92
20 Inverse Matrizen und Basiswechsel 97
21 Berechnung von Deterrninanten 102
22 Deterrninanten und homogene line are Gleichungssysteme 107
23 Losbarkeitskriterien fUr lineare Gleichungssysteme 114
24 Gau1\sches Eliminationsverfahren fUr lineare Gleichungssysteme 120
25 Berechnung der Inversen einer Matrix 125
26 Darstellung einer Ebene durch ein lineares Gleichungssntem 130
27 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden und Ebenen
mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen 134
28 Darstellung einer affinen Abbildung 140
29 Fixelemente bei Affmitaten 145
30 Affiner Typ einer Quadrik 149
31 Hauptachsentransformation 154
32 Bestimmung von Achse und Winkel einer raumlichen Drehung 160
33 Bestimmung des Zentrums einer Ahnlichkeitsabbildung 165
34 Orthogonales Komplement eines Untervektorraumes 170
35 Beispiel einer speziellen Vektorraumisometrie: Hyperebenenspiegelung 175
Verzeichnis der wichtigsten Stichworte 181
1 Beispiele von Ordnungsrelationen
Vorbemerkung: Wir bezeichnen mit IN die Menge der natiirlichen Zahlen und mit INo
die Menge IN U (0),
Durch
Definition 1: a';;;; b <== 'es gibt ein n E INo mit a + n = b, "a kleiner oder gleich b"
Definition 2: a T b <== es gibt ein m E IN mit a' m = b, "a teilt b"
sind in INo zwei Relationen gegeben, die Kleiner-Gleich-Relation und die Teilbarkeits
relation,
Aufgabe: Zeigen Sie, daB T und .;;;; Ordnungsrelationen in INo sind! Geben Sie den
wichtigsten Unterschied der beiden Relationen an! Bestatigen Sie, daB jede Potenz
abbildung hk: INo ~ INo mit n ~ kn flir festes k E IN die Eigenschaft hat: aus
a';;;; b folgt hk(a) T hk(b)!
(Man nennt solche Abbildungen ordnungserhaltend),
1 Toussaint
1 H1lfen.
1 Sind Ihnen die Eigenschaften bekannt, die fUr partielle und tot ale
Ordnungsrelationen nachzuweisen sind? W(2),8(11)
2 Priife n Sie die Reflexivi ta t (r) zuerst fUr .,;;, dann fUr T! W(3),8(21)
3 Priifen Sie die Antisymmetrie (as) zuerst fUr T, dann fur";;! W(4), H(31)
4 Priifen Sie die Transitivitat (t) zuerst fUr";;, dann fUr T! W(S),8(41)
5 Sind beide Relationen Totalordnungen (lineare Ordnungen)? K(511),8(51)
==
6 Bestatigen Sie die Eigenschaft: a";; b hk(a) T hk(b)
fUr k = 2 mit Hilfe der Definitionen 1 und 2! K(6111),8(61)
2