Problemski zadaci istra ivaqkog tipa u nastavi algebre u osnovnoj xkoli

58 Pages·2015·0.61 MB·Croatian

Matematiqki fakultet
Univerzitet u Beogradu
e
d
a
r
g
el Problemski zadaci
B
istra(cid:25)ivaqkog tipa u nastavi
f
o

y algebre u osnovnoj xkoli
t
i
s
r
e
master rad
v
i
n
U

-

s
c
ti .rs
a c
a
m g.
e b
h f.
t
t a
a m
M y.
r
of bra
i
y el
t
l
u
c
a
F

f
o mentor: student:

y
r dr Nebojxa Ikodinovi(cid:15) Bojana (cid:17)ivkovi(cid:15)
a
r
b
i
L

l
a
u
t
r
i
V
Beograd, 2015.
Sadr(cid:25)aj
Uvod 1
e
d
1 Matematika i (cid:8)en znaqaj 3
a
r 1.1 Matematika je svuda oko nas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
g
l 1.2 Cilj i zadaci nastave matematike u osnovnoj xkoli . . . . . 3
e
B 1.3 Matematika je mnogima problem . . . . . . . . . . . . . . . . 5

f 1.4 Uqenike treba osloboditi straha od matematike . . . . . . 5
o

y
t
i 2 Matematiqki zadaci i razvoj matematiqkog mix(cid:9)e(cid:8)a 7
s
r
e
v
3 Problemska nastava 11
i
n 3.1 Xta je problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
U
3.2 Problemska situacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

-
s 3.3 Etape u rexavanju problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
c
ati c.rs 3.4 Nivoi problemske nastave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
a 3.5 Znaqaj problemske nastave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
m g.
e b 3.6 Neka praktiqna uputstva za primenu problemske nastave . 16
h f.
t at 3.7 Problemska nastava u funkciji razvijanja sposobnosti uqe-
a m
M y. nika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
r
of ibra 4 Qas problemske nastave 22
y el 4.1 Artikulacija qasa problemske nastave . . . . . . . . . . . . 22
t
l
u 4.2 Povratna informacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
c
a 4.3 Vrednovanje qasa problemske nastave . . . . . . . . . . . . . 24
F

f
o 5 Pripreme za qas 26

y 5.1 Prilog broj 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
r
a 5.2 Prilog broj 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
r
b 5.3 Prilog broj 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
i
L 5.4 Prilog broj 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

l
a
u 6 Analiza odr(cid:25)anih qasova 51
t
r
i
V
Zak(cid:9)uqak 55
Uvod
Kao i ostali savremeni oblici nastave i problemska nastava je na-
stala kao reakcija na tradicionalnu nastavu, koja je i u savremenim
e
d uslovima nastavila da neguje prete(cid:25)no reproduktivnu aktivnost uqe-
a
r nika, nastava u kojoj uqenik dobija nauqne qinjenice u gotovom obliku
g
l a njegov zadatak je da ove qinjenice upamti i xto vernije reprodukuje.
e
B Sve ovo moralo je dovesti do promena. Potrebno je da uqenik uqestvuje

f u procesu koji vodi do znanja, jer je saznanje pre svega proces dola(cid:25)enja
o

y do znanja, a ne gotov proizvod koji treba samo zapamtiti.
t
i Oduxevljenje matematikom qesto poqinje razmixljanjem o nekom za-
s
r
e datku koji nam se, u izvesnom smislu, naroqito dopao. Takav zadatak
v
se mo(cid:25)e sresti na xkolskom qasu, u zbirci zadataka, u razgovoru na
i
n
U zabavama ili sluqajnim susretima. Kao i svako drugo, tako i ovo odu-
xevljenje izaziva interesovanje koje kod nekih brzo prerasta u ozbiljno
-

s bavljenje matematikom. Rexavanje takvih zadataka najvixe doprinosi
c
ati c.rs suxtinskom razvoju mixljenja uqenika, naroqito logike i dovitljivo-
m g.a sti.
e b Uloga nastavnika je izuzetno va(cid:25)na, nastavnik mora dobro da razmi-
h f.
t
t a sli o prirodi gradiva i da pripremi prave problemske zadatke koji (cid:15)e
a m
M y. se naslanjati na prethodna znanja uqenika.
r
of bra ”Motivisati uqenike da nexto uqe, znaqi navesti razlog zbog koga
y eli (cid:15)e uqiti. Ukoliko nastavnik ne uspe da motivixe uqenike za nastavu
t uzaludan je njegov dalji trud.”1
l
u
Cilj ovog rada je da pomogne nastavnicima u va(cid:25)nom i texkom delu
c
a posla koji se odnosi na razvijanje matematiqkog mixljenja, istrajnosti
F
i stvaralaqkih sposobnosti uqenika. Rad je namenjen i uqenicima koji
f
o
(cid:25)ele da samostalno razvijaju matematiqko mixljenje.

y
r U ovom radu date su karakteristike i specifiqnosti problemskih za-
a
r dataka istra(cid:25)ivaqkog tipa i njihov metodiqki znaqaj. Teorijska razma-
b
tranja ilustrovana su praktiqnim primerima. Tako(cid:14)e, u radu se nalaze
i
L
pripreme za qasove matematike u osnovnoj xkoli.

l
a
u
t
r
i
V
1Deji(cid:15), M., Metodika nastave matematike, Jagodina 2000.
1
Uvod
Rad se sastoji od xest poglavlja:
U okviru prvog poglavlja govori se o prisustvu matematike u svako-
dnevnom (cid:25)ivotu. Istaknuti su ciljevi i zadaci matematike u osnovnoj
xkoli. Matematika je qesto problem, a za mnoge je to nepremostiva pre-
preka za napredovanje - zato je uloga nastavnika matematike od posebnog
znaqaja.
Drugo poglavlje ukazuje na znaqaj matematiqkih zadataka za razvoj
matematiqkog mixljenja. Uqenike treba navikavati i osposobljavati da
planski pristupaju rexavanju zadataka, direktno ili indirektno treba
e
d da se utvrde postupci - operacije koje qine mehanizam rexavanja zada-
a
r taka.
g
l Tre(cid:15)e poglavlje govori o suxtini problemske nastave. Ona bitno
e
B utiqe na otklanjanje slabosti klasiqne nastave, a koje se iskazuju u

f negovanju mehaniqkog pam(cid:15)enja umesto mixljenja, u reprodukciji umesto
o
y produkcije, u kopiranju i oponaxanju umesto stvaralaxtva. Tako(cid:14)e data
t
i su praktiqna uputstva za primenu problemske nastave i istaknut znaqaj
s
r problemske nastave za razvoj sposobnosti uqenika.
e
v
Qetvrto poglavlje prikazuje artikulaciju qasa problemske nastave,
i
n
istiqe njegovu vrednost i pogodnost dobijanja povratne informacije u
U
toku qasa.
-

s U petom poglavlju opisane su pripreme za qasove matematike u osnov-
c
ati c.rs noj xkoli na kojima se od uqenika zahtevalo rexavanje problemskih za-
m g.a dataka istra(cid:25)ivaqkog tipa.
e b U xestom poglavlju data je analiza odr(cid:25)anih qasova.
h f.
t
t a
a m
M y.
r
of bra
i
y el
t
l
u
c
a
F

f
o

y
r
a
r
b
i
L

l
a
u
t
r
i
V
2
1 Matematika i (cid:8)en znaqaj
1.1 Matematika je svuda oko nas
e
d
a Ako dovoljno pa(cid:25)ljivo pogledamo oko sebe svuda mo(cid:25)emo videti mate-
r
g matiku. Postoji beskonaqan broj primera u naxem (cid:25)ivotnom prostoru
l
e koji se mogu vezati uz matematiku, ali treba znati gledati oko sebe.
B
Veza izme(cid:14)u matematike i sveta u kome (cid:25)ivimo prirodna je i neraski-

f
o diva, a to na(cid:25)alost qesto zaboravljamo kada matematiku pokuxavamo

y
pribli(cid:25)iti naxim uqenicima.
t
i
s
r
e
v
1.2 Ci(cid:9) i zadaci nastave matematike u osnovnoj
i
n
U
xkoli

-

s
c Matematika kao nastavni predmet u osnovnoj xkoli zasniva se na ele-
ati c.rs mentima matematike kao nauke, jer odgovaraju(cid:15)e nauqne sadr(cid:25)aje trans-
a
m g. formixe i prilago(cid:14)ava uzrastu uqenika. Nastavni program matematike
e b
h f. za osnovnu xkolu pored sadr(cid:25)aja i rasporeda gradiva za odgovaraju(cid:15)e
t
t a
a m razrede osnovne xkole istiqe cilj i zadatke nastave matematike.
M y.
r Cilj nastave matematike u osnovnoj xkoli jeste:
of bra
y eli • da uqenici usvoje elementarna matematiqka znanja koja su potrebna
t za shvatanje pojava i zavisnosti u (cid:25)ivotu i druxtvu;
l
u
c
a • da osposobi uqenike za primenu usvojenih matematiqkih znanja u
F
rexavanju raznovrsnih zadataka iz (cid:25)ivotne prakse, za uspexno na-

f
o stavljanje matematiqkog obrazovanja i za samoobrazovanje;

y
r
a • da doprinese razvijanju mentalnih sposobnosti, formiranju na-
r
b uqnog pogleda na svet i svestranom razvitku liqnosti uqenika.
i
L
Pored ovih opxtih ciljeva mo(cid:25)emo dodati i slede(cid:15)e: razvijanje intere-
l
a
sovanja i ljubavi prema matematici, razvijanje matematiqkog mixljenja
u
t i matematiqke sposobnosti (mo(cid:15) apstrahovanja, matematiqka indukcija,
r
Vi logiqko rasu(cid:14)ivanje, pronalazaqko i stvaralaqko mixljenje), kreativno-
sti, snala(cid:25)ljivosti itd.
3
1. Matematika i njen znaqaj
Zadaci nastave matematike jesu:
• da uqenici stiqu znanja neophodna za razumevanje kvantitativnih
i prostornih odnosa i zakonitosti u raznim pojavama u prirodi,
druxtvu i svakodnevnom (cid:25)ivotu;
• da uqenici stiqu osnovnu matematiqku kulturu, potrebnu za otkri-
vanje uloge i primene matematike u razliqitim podruqjima qove-
kove delatnosti (matematiqko modelovanje), za uspexno nastavljanje
obrazovanja i ukljuqivanja u rad;
e
d
a • da razvija uqenikovu sposobnost posmatranja, opa(cid:25)anja i logiqkog,
r
g kritiqkog, stvaralaqkog i apstraktnog mixljenja;
l
e
B • da razvija kulturne, radne, etiqke i estetske navike uqenika, kao

f i matematiqku radoznalost u posmatranju i izuqavanju prirodnih
o
y pojava;
t
i
s
r • da uqenici stiqu sposobnost izra(cid:25)avanja matematiqkim jezikom i
e
v da se jasno i precizno izra(cid:25)avaju u pismenom i usmenom obliku;
i
n
U • da izgra(cid:14)uju pozitivne osobine uqenikove liqnosti, kao xto su:
- istinoljubivost, upornost, sistematiqnost, urednost, taqnost, odgo-

s
vornost, smisao za samostalni rad;
c
mati g.ac.rs • da uqenici stiqu naviku i obuqavaju se u korix(cid:15)enju raznovrsnih
e b izvora znanja;
h f.
t
at ma • da uqenici usvoje osnovne qinjenice o skupovima, relacijama i pre-
M y. slikavanjima;
r
y of elibra • da uqenici savladaju osnovne operacije s prirodnim, celim, raci-
onalnim i realnim brojevima, kao i osnovne zakone tih operacija;
t
l
u
c • da uqenici upoznaju najva(cid:25)nije ravne i prostorne geometrijske fi-
a
F gure i njihove uzajamne odnose;

f
o
• da osposobi uqenike za preciznost u merenju, crtanju i geometrij-
y
r skim konstrukcijama;
a
r
b • da uqenicima omogu(cid:15)i razumevanje odgovaraju(cid:15)ih sadr(cid:25)aja priro-
i
L dnih nauka i doprinese radnom i politehniqkom vaspitanju i obra-

l zovanju;
a
u
rt • da interpretacijom matematiqkih sadr(cid:25)aja i upoznavanjem osnov-
Vi nih matematiqkih metoda doprinese formiranju pravilnog pogleda
na svet i svestranom razvitku liqnosti uqenika.
4
1. Matematika i njen znaqaj
1.3 Matematika je mnogima problem
Iako je matematika sve vreme prisutna u naxim (cid:25)ivotima, u xkolama
se uglavnom smatra za te(cid:25)ak, nerazumljiv, apstraktan i samo za retke
”sre(cid:15)nike” uspexan predmet. Takvo gledixte ve(cid:15) generacijama pred-
stavlja ozbiljnu prepreku deqijem napredovanju. Qesto od nastavnika
i roditelja qujemo mixljenja da neka deca jednostavno nisu za matema-
tiku. Mnogo re(cid:14)e se pitamo koliko organizacija nastave, metodiqka
pripremljenost nastavnika, njegova kreativnost, plan i program i pozi-
e
d tivna motivacija uqenika utiqu na njenu uspexnost. Uqenje matematike
a
u xkoli odvija se qesto na vrlo uskom uzorku zadataka u kojem deca
r
g
najqex(cid:15)e ne vide svrhu takvog uqenja i steqena znanja vrlo texko pri-
l
e
B menjuju u svakodnevnom (cid:25)ivotu. Qak i xkolske problemske zadatke koji
f pokuxavaju uspostaviti vezu matematike i svakodnevnih problema, deca
o
najqex(cid:15)e tumaqe kao apstraktne probleme koji zahtevaju izvo(cid:14)enje nekih
y
t operacija sa zadatim brojevima, a znaju(cid:15)i da je va(cid:25)no nexto izraqunati
i
s
r deca se ni ne udubljuju u tekst zadatka i ne razmixljaju xta je stvarni
e
v odgovor na zadati problem. Ako (cid:25)elimo da naxi uqenici zavole ma-
i
n tematiku i poqnu u njoj postizati bolje rezultate, jasno je da mnoge
U
stvari u nastavi treba menjati. Matematika ima veliki znaqaj i ulogu

-
s ne samo kao nastavni predmet koji obrazuje ljude, pru(cid:25)aju(cid:15)i im korisna
c
ati c.rs znanja za (cid:25)ivot ili za nastavljanje xkolovanja, nego i kao predmet koji
a i vaspitava ljude doprinose(cid:15)i izgra(cid:14)ivanju intelektualno sna(cid:25)nih i
m g.
e b naprednih liqnosti.
h f.
t
t a
a m
M y.
r 1.4 Uqenike treba osloboditi straha od
of ibra matematike
y el
t
l
u ”Uqenike treba pridobijati, a ne odbijati. Pri stupanju u xkolu,
c
a uqenici obiqno imaju pozitivan stav prema matematici. Kasnije, neki
F
nauqe da je vole, a neki ne.”1 Stiqu se razne predrasude o tome kako

f
o je matematika texka i da je samo za odabrane, a da oni sami nisu spo-

y
sobni da je savladaju. I sami smo qesto svedoci, kada upitamo nekog
r
a roditelja kako dete uqi u xkoli, da odgovara da mu sve ide dobro osim
r
b matematike. Ovo se najqex(cid:15)e iskazuje u prisustvu dece koja se na ovaj
i
L
naqin samo utvr(cid:14)uju u svom stavu da nisu za matematiku. Mi kao na-

l
a stavnici moramo da izbacimo detetu iz glave ideju da je matematika
u
bauk. Treba ih ubediti da je xkolsko gradivo za proseqne uqenike i da
t
r
i svako mo(cid:25)e da ga savlada. Zadaci koje postavlja nastavnik ne treba da
V
1Deji(cid:15), M., Metodika nastave matematike, Jagodina 2003.
5
1. Matematika i njen znaqaj
premaxuju mogu(cid:15)nosti uqenika i da ga obeshrabruju. Velika je radost
dece kada nexto shvataju i razumeju. U razredu mora da vlada klima
slobode i nesputanosti. Uqenici mogu slobodno da pitaju sve, a da pri
tome ne do(cid:25)ive podsmeh. Tek kada ih oslobodimo straha ne(cid:15)e se desiti
da je uvek sve jasno kada nastavnik pita: Da li je sve jasno? Na svako
dobronamerno pitanje koje dolazi od strane uqenika, nastavnik mora da
odgovori i da ga razjasni. Na taj naqin uqenicima se ne(cid:15)e stvarati
konfuzija, a nastavnik (cid:15)e znati xta to uqenici ne znaju i polako po-
punjavati eventualne praznine i propuste. Tako(cid:14)e, uqenici (cid:15)e ste(cid:15)i
e
d poverenje u sebe i razbiti famu da je matematika samo za odabrane. Po-
a
r stupnost u savla(cid:14)ivanju matematiqkog gradiva pove(cid:15)ava interesovanje
g
l za matematiku, a haotiqnost uve(cid:15)ava neznanje i smanjuje interesovanje.
e
B Napomenimo da nezainteresovanost za izuqavanje matematike, a samim

f tim i lenjost uqenika, ne znaqi da uqenici ne vole da rade, ve(cid:15) samo da
o
y ose(cid:15)aju nesposobnost da savladaju intelektualni napor koji se od njih
t
i tra(cid:25)i. Zato nastavnik mora da se potrudi da matematiku pribli(cid:25)i uqe-
s
r nicima i to da svaki pojedinac napreduje prema svojim sposobnostima.
e
v
i
n
U

-

s
c
ati c.rs
a
m g.
e b
h f.
t
t a
a m
M y.
r
of bra
i
y el
t
l
u
c
a
F

f
o

y
r
a
r
b
i
L

l
a
u
t
r
i
V
6
2 Matematiqki zadaci i razvoj
matematiqkog mix(cid:9)e(cid:8)a
e
d Opxte je poznata uloga matematiqkih zadataka u nastavi i uqenju ma-
a
r tematike. S jedne strane, ta uloga je odre(cid:14)ena time xto se konaqan cilj
g
l nastave matematike svodi uglavnom na to da uqenici xto bolje ovladaju
e
B metodama rexavanja sistema zadataka. Na taj naqin, rexavanje matema-

f tiqkih zadataka u nastavi matematike javlja se i kao cilj i kao sredstvo
o

y te nastave. Ako se pojam matematiqkog zadatka shvati dovoljno xiroko,
t
i onda se mo(cid:25)e re(cid:15)i da se izuqavanje matematike ostvaruje najve(cid:15)im delom
s
r
rexavanjem matematiqkih zadataka. Rexavanje matematiqkih zadataka
e
v
slu(cid:25)i raznim konkretnim ciljevima nastave matematike. Bez preteri-
i
n
U vanja mo(cid:25)e se tvrditi da se rexavanjem zadataka ostvaruju gotovo svi
didaktiqki ciljevi nastave matematike:
-

s
atic c.rs • Osibmrbaozloivknei, d-osktaizcaa,njueoqnaovvainjhemiatleimialtuisqtkriahczinjaanjnaek(eusmvaatjeamnjaetpioqjkmeoqvia-,
a
m g. njenice, formiranje znanja i navika pomo(cid:15)u sistema ve(cid:25)banja zada-
e b
h tf. taka, uvo(cid:14)enje u nove sadr(cid:25)aje i stvaranje ogovaraju(cid:15)ih problem-
t a
a m skih situacija, utvr(cid:14)ivanje steqenih znanja tj. ilustracije pri-
M y.
r mene izuqavane teorije i njeno dublje usvajanje, kontrola i samo-
of bra kontrola usvojenosti matematiqkih znanja i dr.);
i
y el
lt • praktiqni (primena matematiqkih znanja u rexavanju raznih pro-
u
blema iz svakodnevne prakse, srodnih disciplina i raznih drugih
c
a
oblasti);
F

f
o • razvojno - vaspitni (formiranje i razvijanje specifiqnog mate-

y matiqkog stila mixljenja i osposobljavanje za aktivnosti matema-
r
a tiqkog karaktera, vaspitanje niza pozitivnih osobina liqnosti -
r
b fabulom, sadr(cid:25)inom i procesom rexavanja zadataka, ostvarivanje
i
L politehniqkog vaspitanja uqenika).

l
a
u Naroqito je velika uloga problemskih zadataka u razvijanju matema-
t
r tiqkog mixljenja uqenika. Osnovno didaktiqko sredstvo za razvijanje
i
V matematiqkog mixljenja jeste, pre svega, rexavanje ovih ili onih mate-
matiqkih zadataka qiji sadr(cid:25)aj ili naqin rexavanja odgovara odre(cid:14)enoj
7
2. Matematiqki zadaci i razvoj matematiqkog mixljenja
karakteristici mixljenja. Karakteristika matematiqkog mixljenja
mo(cid:25)e se posmatrati sa nekoliko aspekata, kao xto su:
• sadr(cid:25)aj ili tip mixljenja (konkretno, apstraktno, intuitivno funk-
cionalno, dijalektiqko, strukturno, stvaralaqko ili produktivno
mixljenje).
• opxte metode saznanja ili matematiqkog istra(cid:25)ivanja (posmatra-
nje, indukcija, dedukcija, primena analogije, matematiqko modelo-
e vanje).
d
a
r • forma, tj. kvaliteti mixljenja koji odre(cid:14)uju stil mixljenja (gip-
g
l kost, aktivnost, usmerenost, ekonomiqnost, dubina, xirina i sl.).
e
B
f • subjektivna svojstva karaktera liqnosti (taqnost, upornost, kon-
o
ciznost, radoznalost i dr.).
y
t
i
s U procesu nastave matematike adekvatnim didaktiqkim putevima treba
r
e razvijati osnovne komponente matematiqkog mixljenja, obra(cid:15)aju(cid:15)i po-
v
i sebnu pa(cid:25)nju na vaspitanje tzv. matematiqkog stila mixljenja. Ospo-
n
U sobljenost uqenika za rexavanje problemskih zadataka najbolja je kara-

- kteristika stanja matematiqkog mixljenja uqenika i nivoa njihovog ma-

s
c tematiqkog obrazovanja. Da bi se kod uqenika razvijala sposobnost za
ati c.rs rexavanje problemskih zadataka, mora se kod njih pobuditi za to odre-
a
m g. (cid:14)eno interesovanje, obezbediti potrebno vreme, razviti odgovaraju(cid:15)e
e b
h f. misaone operacije (karakteristiqne za odre(cid:14)ene faze rexavanja zada-
t
t a
a m taka).
M y. Prilikom izbora zadataka mora se stalno imati u vidu da svaki za-
r
of bra datak treba da ima odre(cid:14)eni cilj, svrhu, tj. treba da bude karika u
i
y el dobro osmixljenom sistemu zadataka za odre(cid:14)enu nastavnu jedinicu i
t
l temu. Svaki zadatak koji se daje uqenicima treba neqemu da ih nauqi,
u
c a rexavanje treba da bude korak napred u ula(cid:25)enju uqenika u matema-
a
F tiku. Pedagoxka vrednost zadatka ceni se prema ukupnosti svih ele-
f menata koji mogu biti od interesa u konkretnoj situaciji (neposredni
o
nastavni cilj, da li je neophodan bax taj zadatak, konkretni podaci
y
r u zadatku, fabula zadatka, mogu(cid:15)nost da ga uqenik rexi i eventualna
a
r pomo(cid:15) nastavnika, veza sa prethodnim rexavanim i narednim zadacima
b
i itd.).
L
U nastavi matematike prvenstveno moraju biti zastupljeni zadaci
l
a
u qije rexavanje doprinosi dubljem razumevanju i trajnom usvajanju si-
t
r stema matematiqkih znanja predvi(cid:14)enih nastavnim programom. Naravno,
i
V osim toga, moraju u dovoljnom broju biti zastupljene i ve(cid:25)be za formi-
ranje ovih ili onih matematiqkih navika. Pri izuqavanju neke teme
8