Table Of Content

CALCULUS OF VARIATIONS MA (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:3) SOLUTION MANUAL B(cid:1) Neta Department of Mathematics Naval Postgraduate School Code MA(cid:1)Nd Monterey(cid:2) California (cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5)(cid:4) June (cid:6)(cid:6)(cid:2) (cid:7)(cid:8)(cid:8)(cid:6) c (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:4) Professor B(cid:5) Neta (cid:1) (cid:1) Contents (cid:1) Functions of n Variables (cid:1) (cid:2) Examples(cid:3) Notation (cid:4) (cid:5) First Results (cid:1)(cid:5) (cid:6) Variable End(cid:7)Point Problems (cid:5)(cid:5) (cid:8) Higher Dimensional Problems and Another Proof of the Second Euler Equation (cid:8)(cid:6) (cid:9) Integrals Involving More Than One Independent Variable (cid:10)(cid:6) (cid:10) Examples of Numerical Techniques (cid:11)(cid:12) (cid:11) The Rayleigh(cid:7)Ritz Method (cid:11)(cid:8) (cid:4) Hamilton(cid:13)s Principle (cid:4)(cid:1) (cid:1)(cid:12) Degrees of Freedom (cid:7) Generalized Coordinates (cid:1)(cid:12)(cid:1) (cid:1)(cid:1) Integrals Involving Higher Derivatives (cid:1)(cid:12)(cid:5) i List of Figures (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:8) (cid:9) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:8) (cid:8) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:7) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:9) (cid:11) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:8) (cid:10) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:10)(cid:11) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:12) (cid:1) (cid:1)(cid:12) Plot of y (cid:13) (cid:2) and y (cid:13) tan(cid:14)(cid:2)(cid:15) sec(cid:14)(cid:2)(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6) (cid:7) (cid:2) ii Credits Thanks to Lt(cid:5) William K(cid:5) Cooke(cid:16) USN(cid:16) Lt(cid:5) Thomas A(cid:5) Hamrick(cid:16) USN(cid:16) Major Michael R(cid:5) Huber(cid:16) USA(cid:16) Lt(cid:5) Gerald N(cid:5) Miranda(cid:16) USN(cid:16) Lt(cid:5) Coley R(cid:5) Myers(cid:16) USN(cid:16) Major Tim A(cid:5) Pastva(cid:16) USMC(cid:16) Capt Michael L(cid:5) Shenk(cid:16) USA who worked out the solution to some of the problems(cid:5) iii CHAPTER (cid:1) (cid:1) Functions of n Variables Problems (cid:1)(cid:5) Use the method of Lagrange Multipliers to solve the problem (cid:1) (cid:1) (cid:1) minimize f (cid:13) x (cid:17)y (cid:17)z subject to (cid:3) (cid:13) xy (cid:17)(cid:1) z (cid:13) (cid:12) (cid:2) (cid:7)(cid:5) Show that (cid:4) (cid:4)(cid:2) max (cid:13) (cid:1) (cid:1)cosh(cid:4)(cid:1) cosh(cid:4)(cid:2) (cid:1) (cid:1) where (cid:4)(cid:2) is the positive root of (cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1) cosh(cid:4) (cid:4)sinh(cid:4) (cid:13) (cid:12)(cid:1) (cid:2) Sketch to show (cid:4)(cid:2)(cid:5) (cid:9)(cid:5) Of all rectangular parallelepipeds which have sides parallel to the coordinate planes(cid:16) and which are inscribed in the ellipsoid (cid:1) (cid:1) (cid:1) x y z (cid:17) (cid:17) (cid:13) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) a b c determine the dimensions of that one which has the largest volume(cid:5) (cid:8)(cid:5) Of all parabolas which pass through the points (cid:14)(cid:12)(cid:16)(cid:12)(cid:15) and (cid:14)(cid:1)(cid:16)(cid:1)(cid:15)(cid:16) determine that one which(cid:16) when rotated about the x(cid:4)axis(cid:16) generates a solid of revolution with least possible volume between x (cid:13) (cid:12) and x (cid:13) (cid:1)(cid:1) (cid:18)Notice that the equation may be taken in the form y (cid:13) x(cid:17)cx(cid:14)(cid:1) x(cid:15)(cid:16) when c is to be determined(cid:5) (cid:2) (cid:6)(cid:5) a(cid:5) If x (cid:13) (cid:14)x(cid:3)(cid:5)x(cid:1)(cid:5) (cid:5)xn(cid:15) is a real vector(cid:16) and A is a real symmetric matrix of order n(cid:16) (cid:3)(cid:3)(cid:3) show that the requirement that T T F x Ax (cid:4)x x (cid:4) (cid:2) be stationary(cid:16) for a prescibed A(cid:16) takes the form Ax (cid:13) (cid:4)x(cid:1) Deduce that the requirement that the quadratic form T (cid:6) x Ax (cid:4) (cid:1) be stationary(cid:16) subject to the constraint T (cid:7) x x (cid:13) constant(cid:16) (cid:4) leads to the requirement Ax (cid:13) (cid:4)x(cid:5) where (cid:4) is a constant to be determined(cid:5) (cid:18)Notice that the same is true of the requirement that (cid:7) is stationary(cid:16) subject to the constraint that (cid:6) (cid:13) constant(cid:16) with a suitable de(cid:19)nition of (cid:4)(cid:5)(cid:20) b(cid:5) Show that(cid:16) if we write T x Ax (cid:6) (cid:4) (cid:13) (cid:5) T x x (cid:4) (cid:7) the requirement that (cid:4) be stationary leads again to the matrix equation Ax (cid:13) (cid:4)x(cid:1) (cid:18)Notice that the requirement d(cid:4) (cid:13) (cid:12) can be written as (cid:7)d(cid:6) (cid:6)d(cid:7) (cid:2) (cid:13) (cid:12) (cid:1) (cid:7) or d(cid:6) (cid:4)d(cid:7) (cid:2) (cid:13) (cid:12)(cid:20) (cid:7) Deduce that stationary values of the ratio T x Ax T x x are characteristic numbers of the symmetric matrix A(cid:5) (cid:7) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:5) f (cid:13) x (cid:17)y (cid:17)z (cid:8) (cid:13) xy(cid:17)(cid:1) z (cid:13) (cid:12) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) F (cid:13) f (cid:17)(cid:4)(cid:8) (cid:13) x (cid:17)y (cid:17)z (cid:17)(cid:4)(cid:14)xy (cid:17)(cid:1) z(cid:15) (cid:2) (cid:9)F (cid:13) (cid:7)x(cid:17)(cid:4)y (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:15) (cid:9)x (cid:9)F (cid:13) (cid:7)y (cid:17)(cid:4)x (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:7)(cid:15) (cid:9)y (cid:9)F (cid:13) (cid:7)z (cid:4) (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:9)(cid:15) (cid:9)z (cid:2) (cid:9)F (cid:13) xy (cid:17)(cid:1) z (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:8)(cid:15) (cid:9)(cid:4) (cid:2) (cid:14)(cid:9)(cid:15) (cid:4) (cid:13) (cid:7)z (cid:14)(cid:6)(cid:15) (cid:5) (cid:14)(cid:8)(cid:15) z (cid:13) xy(cid:17)(cid:1) (cid:14)(cid:3)(cid:15) (cid:5) (cid:14)(cid:6)(cid:15) and (cid:14)(cid:1)(cid:3)(cid:15) (cid:4) (cid:13) (cid:7)(cid:14)xy(cid:17)(cid:1)(cid:15) (cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:5) Substitute (cid:14)(cid:11)(cid:15) in (cid:14)(cid:1)(cid:15) (cid:4) (cid:14)(cid:7)(cid:15) (cid:7)x (cid:17) (cid:7)(cid:14)xy (cid:17)(cid:1)(cid:15)y (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:10)(cid:15) (cid:5) (cid:7)y (cid:17)(cid:7)(cid:14)xy (cid:17)(cid:1)(cid:15)x (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:2)(cid:15) (cid:1) x(cid:17)xy (cid:17)y (cid:13) (cid:12) (cid:2) y (cid:17)x(cid:1)y(cid:17)x (cid:13) (cid:12) (cid:3)(cid:4) (cid:2) (cid:3)(cid:5) xy(cid:14)y x(cid:15) (cid:13) (cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:15) (cid:2) (cid:9) x (cid:13) (cid:12) or y (cid:13) (cid:12) or x (cid:13) y (cid:5) x (cid:13) (cid:12) (cid:4) (cid:13) (cid:7) z (cid:13) (cid:1) (cid:5)y (cid:13) (cid:12) by(cid:14)(cid:1)(cid:15) (cid:5) (cid:5) (cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:14)(cid:6)(cid:15) y (cid:13) (cid:12) (cid:4) (cid:13) (cid:7) z (cid:13) (cid:1) (cid:5)x (cid:13) (cid:12) by(cid:14)(cid:1)(cid:15) (cid:5) (cid:5) (cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:14)(cid:6)(cid:15) x (cid:13) y (cid:4) (cid:13) (cid:7) z (cid:13) (cid:1) (cid:5) xy (cid:13) (cid:7) (cid:5) (cid:5) (cid:2) (cid:5) (cid:2) (cid:14)(cid:11)(cid:15) (cid:14)(cid:6)(cid:15) (cid:14)(cid:3)(cid:15) (cid:1) x (cid:13) (cid:7) (cid:5) (cid:2) Not possible So the only possibility x (cid:13) y (cid:13) (cid:12) z (cid:13) (cid:1) (cid:4) (cid:13) (cid:7) f (cid:13) (cid:1) (cid:5) (cid:8) (cid:4) (cid:7)(cid:5) Find max cosh(cid:4) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Di(cid:21)erentiate (cid:1) (cid:1) d (cid:4) cosh(cid:4) (cid:4)sinh(cid:4) (cid:13) (cid:2) (cid:1) (cid:13) (cid:12) d(cid:4) (cid:6)cosh(cid:4)(cid:7) cosh (cid:4) Since cosh(cid:4) (cid:13) (cid:12)(cid:5) (cid:6) cosh(cid:4) (cid:4)sinh(cid:4) (cid:13) (cid:12) (cid:2) The positive root is (cid:4)(cid:2) Thus the function at (cid:4)(cid:2) becomes (cid:4)(cid:2) cosh(cid:4)(cid:2) No need for absolute value since (cid:4)(cid:2) (cid:10) (cid:12) 5 4 3 2 1 0 λ 0 −1 −2 −3 −4 −5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figure (cid:1)(cid:22) (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:1) x y z (cid:9)(cid:5) max xyz s(cid:1)t(cid:1) (cid:17) (cid:17) (cid:13) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) a b c (cid:1) (cid:1) (cid:1) x y z Write F (cid:13) xyz (cid:17)(cid:4) (cid:14) (cid:17) (cid:17) (cid:1)(cid:15) (cid:16) then (cid:1) (cid:1) (cid:1) a b c (cid:2) (cid:7)(cid:4)x (cid:12) (cid:13) Fx (cid:13) yz (cid:17) (cid:14)(cid:1)(cid:15) (cid:1) a (cid:7)(cid:4)y (cid:12) (cid:13) Fy (cid:13) xz (cid:17) (cid:14)(cid:7)(cid:15) (cid:1) b (cid:7)(cid:4)z (cid:12) (cid:13) Fz (cid:13) xy(cid:17) (cid:14)(cid:9)(cid:15) (cid:1) c (cid:1) (cid:1) (cid:1) x y z (cid:12) (cid:13) F(cid:1) (cid:13) (cid:17) (cid:17) (cid:1) (cid:14)(cid:8)(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) a b c (cid:2) If any of x(cid:5) y or z are zero then the volume is zero and not the max(cid:5) Therefore x (cid:13) (cid:12)(cid:5) y (cid:13) (cid:6) (cid:6) (cid:12)(cid:5) z (cid:13) (cid:12) so (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:4)x (cid:7)(cid:4)y y x (cid:12) (cid:13) xFx(cid:17)yFy (cid:13) (cid:2) (cid:17) (cid:13) (cid:14)(cid:6)(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2) a b (cid:5) b a Also (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:4)x (cid:7)(cid:4)y y z (cid:12) (cid:13) zFz (cid:17)yFy (cid:13) (cid:2) (cid:17) (cid:13) (cid:14)(cid:3)(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2) a b (cid:5) b c (cid:1) (cid:1) (cid:9)y (cid:1) b b Then by (cid:14)(cid:8)(cid:15) (cid:13) (cid:1) y (cid:13) taking only the (cid:14)(cid:17)(cid:15) square root (cid:14)length(cid:15) y (cid:13) (cid:1) b (cid:5) (cid:9) p(cid:9) a c x (cid:13) (cid:5) z (cid:13) by (cid:14)(cid:6)(cid:15)(cid:16) (cid:14)(cid:3)(cid:15) respectfully(cid:5) p(cid:9) p(cid:9) (cid:1) (cid:1) (cid:1) x y z The largest volume parallelepiped inside the ellipsoid (cid:17) (cid:17) (cid:13) (cid:1) has dimension (cid:1) (cid:1) (cid:1) a b c a b c p(cid:9) (cid:7) p(cid:9) (cid:7) p(cid:9) (cid:3)