Problemi Scelti di Analisi Matematica 2

244 Pages·1986·5.02 MB·Italian

by  E. Acerbi

E. Acerbl L llodlca S. Spagnolo
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I =ob
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Scric dl mîtcrftúicae fisica 3-
EditoreE
Liguorr
;r*i-flLit:.*s
Indice
pag.
Introduzione ............ 9
Parte príma Testi dei problemi. > 11
Parte seconda Risoluzioni dei problemi. >53
Appendice................ " 245
Parte prima
Testi dei problemi
r. (slslr976\
Studiare la cónvergenza (puntuale e uniforme) della serie di
funzioni
t
n=l (l *x)n
Calcolare' la somma di tale serie.
2. (slsl1e76)
Calcolare
.'lT )1,+"
dove
a,: l$,ù: xz +y2 2e2 0(.r (v2 o<y< I l
3. (slslreT6l
Risolvere il sistema di equazioni differenziali
lIIru a--u
I
Ilta u*1)
t
12
Testi dei problemi
c'on i dati iniziali u(0):a, D(Q)=b
4. (slslre76)
Sia l': R-+ R una funzione lipschitziana, crescente e tale che
.l(0):0. Sia (u*').u(r)) la soluzione deì sistema di equazioni diffe-
renziali:
:
,t' f(u-u)
0' = f(u u)
tale che u (0) = ?,(0)=0.
1
Dimostrare che lim e.r(x):iim p(r)
x+ +@ )(+ +€
s. (8161r976)
Studiare la convergenza della serie di funzioni
2n ,a'\.
t lf r"s (r +
J;I
vn
6. (8l6lre76)
Calcolare il volr.rrne dell'ellissoide (in R3) con scmiassi a, b, c.
Trovare poi I'ellissoide di massimo volurne tra qr-relli per cul
a*2bI3c=1
7. (8l6lre16)
Sia
: (
n 0(x z+r/i <r'<1 0(z(
l(x,v,z): I 1 i
Testi dei problemi 13
e sia /: [0.11*P una funzione continua. Provare che
((( ,
I
ll\rvtdxdt'dz=*
))tJl tt3 f(.t)dt .
Do
8. (8l6lre76l
Trovare tutte le frtnzioni u(x,v') di classe CÌ tali che
òu
+u-1,
-ò x
Lt(0,,r):g)'
e. (8l7lre76)
fa) Calcolare
((
lirn ll r'
d,rd'
/.*+ - JJ I +.r2 +.r'2
D-
dove
D, : l(x..r ): 0(r'(l r)0 12 +.r 2 <12
|
(b) Usare il risultato precedente per calcolare
I
arcts(sL'nI)
|
J SCNÍ
0
--.
I4 Testi dei problemi
10. (81711e76\
Calcolare
IJO, d1t dz * yz dx dw) ,
s
ciove S è la sr,rperficie bidimensionale di Ra clefinita paratretricametlte
dalle equazioni
x=r2 +s2 , .v=r-s , z=rs , w=r*s
con 0(r(1 , 0(s( l.
rr. (817lIe76)
Calcolare la distanza fra i due insiemi
4,, ^ lì
,4 : {(x,,v): l)r - _l-r r., (_ 5',I
5
:
f
lx-31+l.r'-31<3i
{(.x,,r,): ,
ricordanclo che dist (A,B)=inf {Oist (a,b): aeA be B)
12. (8171r976)
Sia /: Rt' -+ R una funzionc- di classe C1.
Dimostrare che l' è lipschitziana' con costante di Lipschitz K,
se e solo se
l<K
lrl'(x) Vx€R'
dove D/ indica il gradiente di l.
Supponiamo òn../ sia K-lipschitziana: dire se è sempre possibile'
trovare un indice i € .|1.....r1| trlc clte
Testi dei problemi
<-K
lD,f (.r)l Vx€R'
vn
13. trlr0lr976l
Si consideri il problema di Cauchy
ll \ I
.l' (.T.1 = ---
1
t
-4
:
(a)0)
v(o) a
.
(i) Provare che tale problema ammette u n'unica soluzione ,r,o (-x )
in un intorno di ,r = 0. Caicolare la derivata prima, seconda e terza di
:0.
1,o(x) in r
(ii) Provare che la soluzione -}'r(,r..) è clefinita su tutta la semire tta
[0,+""1 ecl ha limitc Der ,tr--)+oo. Calcolare tale limite.
14. trlrolr9T6)
Si consideri la successione di funzioni
f ,(x, ),) =
xn I vn In:t
definite sul quadrantc ? = {f(. .r-. r't: Ì -> ^U . r'>- U^ì I
(a) Dire per rluali punti (.r..y)e 0 si ha
(
2 fnQ,.t') +""
n-1
lb) Dire per quali insiemi ,,1 C Q si ha
) 1+*
sup fn
16 Testi dei problemi
rs. (rlr0lr976l
Dinr ostrare ta funzione continua /(x,.r,) tale
oh
llÍl
ub Vu€R
]J f(x,.t,)dx = VaeR
00
e\ la funzione costantemcnte ugualc- a
Dimostrare che se l' è continua e allora
ii
f'(x, t)d.t -U Vc€R
00
Esistono altre funzioni continuc verificano ( * )?
16. (22nO11976)
Si consicleri 1a curva C di equazioni parametriche
x=t-cos/
t'= I +senl/
con0(r(22r.
(a ) Tracciare un gral'ico approssimativo cli C.
(b)
Scriverc I'ccluazionc c'lella rette normalc a C ncl pLtÌìi
/ /t\ r-u
.,1 = (,r(0). .r'(0)) e nt'l punto B = l' (+) ' (+))
\ \_i/ \-/t
(c) Calcolarc I'are'a clel dominio D cctnrpreso frl clucste riue rcti
'che
e I'arco di curva C ha pcr estremi i puntÌ A e B.
t7 . (22lrolr976)
Si consideri il problema di Cauchy
k*a
Tesli dei problemi I7
y' = ly-xl
y (lo)=a
(i)
Discutere, al variare del parametro reale a, I'esistenza e I'uni-
cità locale e globale di soluzioni.
(ii)
Determinare la soluzione del problema.
(iii) Dire per quali valori di a esistono soluzioni y(x) del problema
tali che
lim "v'(-x.)--l
lxl*+- X
18. (2211011976)
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
" = u'*erJ
l"
la" =u'-aLr
(i) Dire per quali valori del parametro reaie a tutte le soluzioni
(a,a) del sistema sono coppie di funzioni periodiche.
(ii) Dire per quali valorì di a rl sistema ha qualche soluzione
(u,a) con u e o poiinomi non costanti.
(Si consiglia di trasformare il sistema dato in un'equazione
equivalente del 4o ordine).
19. (14lUr977)
Si consideri I'eouazione differenziale
(*) ' : lyl*xz
(i) Trovare la soluzione .y(x) di (x) tale clie -v(a) = 0, con a paîa-
metro reale.
(ii) Esistono altre soluzioni di (*) oltre a quelle trovate in (i)?
18 Testi dei problemí
20. (r4lrlre77)
Si rappresentino graficamente gli insiemi
Kk,t) = {(r,y,z):x2+y2{lzl , s(z(r}
al variare dei parametri reali,s e t con s(0(r.
Dire per quali valori dei parametri s, / la "superficie laterale"
cli
K(s,t) è massima, oppure rninima, sotto la condizione
:
volume (K(s,/))
I
21. (I4lrlr977\
Studiare la convergenza della serie di funzioni
s .-nllJ ^nx
n=O
22. (r4lr lre77)
Sia /(x,;,) una funzione di classe Cl su R2. Dimostrare che,
se
Jv nulla nell'origine, esistono due funzioni A(x,v) e B(x,,y) continue
SU R2 e talì che
f(x,y1: xA(x,y) I vB (x,.t') V(x,-y)e R2
(si consiglia di considerare la funzione CG) = f(tx, tv))
23. (4l2lre77
)
Trovare le soluzioni "r(x) di classe Cr del problema
(y' * x) (v' - x7,7 = g
=-l,o
_),(.'ro) Ct,o)0)