Problèmes de préparation à l’agrégation de mathématiques. 3, Analyse : séries, séries de fonctions, séries entières

306 Pages·1997·12.627 MB·French

by  Arnaudiès, Jean-Marie

Jean-Marie ARNAUDIES
à l'AGREGATION de
MATHÉMATIQUES
3. ANALYSE
séries, séries entières,
séries de fonctions
problèmes de préparation
à l'AGRÉGATION de
MATHÉMATIQUES
3. ANALYSE
séries, séries de fonctions
séries entières
Jean-Marie ARNAUDIÈS
saisie: Gabrieile ARNAUDIÈS
ISBN 2-7298-4795-2
© ellipses / édition marketing S.A., 1997
32 rue Bargue, Paris (15®).
La loi du 11 rr\ars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'Article 41, d'une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». (Alinéa 1er de
l'Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l'éditeur ou du Centre français d’Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.
PREFACE
Ce livre est le troisième des quatre tomes d’un recueil qui rassemble la majeure partie
des problèmes proposés aux étudiants de la préparation à l’agrégation de mathématiques
(concours interne) que j’ai eu l’honneur d’assurer à l’Université de Paris VI depuis 1990.
Il s’agit, pour l’essentiel, de textes que j’ai composés, guidé par trois règles à mes yeux
obligatoires pour une préparation efficace: proposer des problèmes adaptés à des parties
bien délimitées du programme plutôt que de trop large synthèse; ne pas poser plusieurs
fois le même sujet; et dans chaque sujet, se fixer un but clair qui, par sa richesse et son
esthétique, ouvre des portes mathématiques.
Même si les thèmes abordés ne sont pas tous originaux, certains étant même bien
connus, pour ne pas dire ressassés, j’espère avoir mis dans chaque énoncé une note per­
sonnelle, soit en approfondissant des résultats qui pouvaient être poussés plus loin, soit
en améliorant certaines méthodes, voire en en créant de nouvelles.
Certains des problèmes ont été proposés en temps libre, c’est-à-dire à résoudre tran­
quillement chez soi; d’autres ont fait l’objet de concours blancs^ à résoudre en six heures
à l’Université, “en amphi”. Ces derniers sont signalés par l’indication de la date où ils
ont ainsi servi d’épreuve.
On trouvera dans le recueil quelques sujets de concours de grande Ecole ou d’agréga­
tion. On y trouvera aussi quelques problèmes de Géométrie que j’avais composés pour mes
étudiants de Mathématiques Spéciales M’ entre 1975 et 1990, et qui m’ont paru dignes
de ce livre: ils sont d’ailleurs tout à fait adaptés aux actuels programmes de l’agrégation.
Mais chacun sait à quelle peau de chagrin s’est réduite l’étude de la Géométrie; on ne
peut que le déplorer ou s’en réjouir, selon le goût. Mais puisse un problème tel que celui
consacré aux théorèmes de Mac Cullagh faire réfléchir ne serait-ce qu’un seul déserteur
de la Géométrie!
Le classement des problèmes s’articule autour des grands titres des programmes offi­
ciels: à ce sujet, la table des matières parle d’elle-même. Les tomes 1 et 2 sont dévolus
à l’Algèbre et la Géométrie, les tome 3 et 4 à l’Analyse et à quelques-unes de ses appli­
cations.
Post-Scriptum
La table des matières du présent volume diffère légèrement de celle annoncée. Certains
énoncés ont été supprimés, et d’autres ont été regroupés: par exemple, la condition
suffisante d’analyticité promise est bien là (exercice 2 de l’énoncé 70).
Remerciements
Je remercie les éditions ELLIPSES d’avoir entrepris la publication de ces problèmes;
je remercie aussi les étudiants de l’Université de Paris VI, sans qui beaucoup de ces
sujets n’auraient pas été composés. Le courage de ces étudiants a été pour moi une
vraie source d’énergie: sans décharge de service, tous ont préparé l’agrégation en sus de
leurs 18 ou 20 heures de cours hebdomadaires, sans compter leurs copies et, souvent, de
lourdes contraintes familiales. Et c’est le samedi après- midi, huit fois par an, qu’ils ont
“planché” sur les concours blancs.
J.M. ARNAUDIES
TABLE DES MATIERES DU TOME 3
page
CHAPITRE VII: SÉRIES, FAMILLES SOMMABLES
Problèm e 50: Sept Exercices sur les séries................................................................3
Problèm e 51: Autour du théorème de Hardy..........................................................19
Problèm e 52 : H -développements.............................................................................33
Problèm e 53: Espaces ...........................................................................................41
Problèm e 54: ENS Ulm, 1969 (de Mr Verdier).......................................................49
Problèm e 55: Fractions continues..............................................................................61
Problèm e 56: Ensemble de Cantor et méthode du crible.....................................75
Problèm e 57: Développements de réels positifs.......................................................87
CHAPITRE VIII: ANALYSE FONCTIONNELLE
Problèm e 58: Modes de convergence.........................................................................95
Problèm e 59: Autour du théorème de Riesz.........................................................107
Problèm e 60: Autour du théorème de Weierstrass..............................................113
Problèm e 61: Les meilleures approximations........................................................125
Problèm e 62: Fonctions (3 et ^ àe Nielsen, partie 1........................................137
Problèm e 63: Fonctions ¡3 et ^ àe Nielsen, partie 2........................................153
Problèm e 64: Fraction continue de tgx (Ecole Centrale, 1977) .....................167
CHAPITRE IX: SÉRIES ENTIÈRES
Problèm e 65: L’espace B..........................................................................................183
Problèm e 66: Théorème pentagonal d’Euler.........................................................199
Problèm e 67: Identité de Jacobi.............................................................................211
Problèm e 68: Von Staudt et Lucas........................................................................223
Problèm e 69: Séries entières prolongeables..........................................................237
Problèm e 70: Définition de Zêta de Riemanii sur C \ {1} ................................249
Problèm e 71: Fonctions sans point d’analyticité......................................263
Problèm e 72: Nombres de Stirling.............................................................. 275
NOTATIONS..................................................................................................................296
BIBLIOGRAPHIE.....................................................................................................298
TABLE DES MATIÈRES DES AUTRES VOLUMES...........299
Chapitre 7
Séries, familles
sommables

Problème 50 :
SEPT EXERCICES SUR LES SERIES
PREAMBULE
Le sujet consiste en 7 exercices indépendants entre eux portant sur les séries numériques,
les familles sommables et les produits infinis
EXERCICE I
1
Pour quels couples (a,/3) G IR^ les intégrales:
r di
ta+0 4.
sont-elles convergentes quel que soit l’entier naturel k >2?
2 °)
Pour chacun des couples (a, j3) trouvés à la question 1), discuter la nature de la série
numérique ? où Un = In pour tout n.
EXERCICE II
Soit £ l’ensemble des suites {ak)keN* d’ontiers naturels tels que 0 < < k - 1
pour tout A; > 2 , et que l’ensemble [k \ < k - 1} soit infini.
1 °)
Montrer que l’application:
oo
s s
: R+, a = (Ofe) i-> 5(a) = ^ ^
fc=i
est bien définie, et qu’elle est bijective.
2 °)
Soit a = (ttfe) G S . Prouver que S{a) G Q ssi l’ensemble {k e | ûA: > 1} est
fini.
EXERCICE III
1
Soit (ûn)neN* suite de réels > 0 telle que la série ^ — converge. Démontrer
que la série de terme général Un = ----------------- converge, et qu’on a:
ûi + • • • + Û-Ti
oo oo M
(1) E ^ n < 2 Y ,~ -
n=l n=l
2°)
Au membre de droite de (1), montrer que le facteur 2 est le meilleur possible.
4 Chapitre 7, problème 50
EXERCICE IV
Soit un réel a > 0. Pour tout entier > 1, on pose:
“ (-ir
p—n ^
Démontrer que la série 2n>i converge, et calculer sa somme lorsque a > 1
EXERCICE V
Soit (un)n€i^ suite de nombres complexes.
1
On suppose la série Un absolument convergente. On note l’ensemble des
suites (indexées par N ) de nombres complexes de module 1, et on note C l’image de
l’application:
oo
n—0
Démontrer que C est une partie compacte et connexe de C .
2 ’)
On suppose que les Un sont tous réels > 0, et que la série converge. Soit S
la partie de formée des suites (en)n€i^ d’éléments de {0,1}. Montrer que l’ensemble
/C = ^{S) est une partie compacte de U . Montrer que l’ensemble IC est parfait.
3 ‘)
Soit a un réel dans ]0, ^[ ; on suppose ici que Un = oP’ pour tout entier n . Montrer
que l’ensemble /C est totalement discontinu.
EXERCICE VI
Soit Z eC et ^ € R , avec \z \ <1. Démontrer:
n (l + 2z^"~' cos + z^") = -— -— ^
•*•**■ \ ' / l - 2zcCcOS 0-^ z^
n=l
EXERCICE VII
1
Démontrer:
(1) E " = 1 •
(p.</)6N2
P>2,q>2
2 °)
Soit Q l’ensemble {{p,q) e \ p > 2, ç > 2}, et soit S l’ensemble image de
l’application Q —> (p,g) p^ . Déduire de (1) la relation:
1
E — =
☆ ☆ ☆
Sept exercices sur les séries 5
SOLUTION
EXERCICE I
Pour {a, P) fixé, et pour k entier > 2, notons, lorsqu’elle est définie, fk la fonction
[A;, +oo[—» IR, a: fk{x) = ——— ;■■■■ ■■■:----. Cette fonction est définie, continue et
de signe constant lorsque 0 ^0 . Lorsque /5 = 0, elle n’est pas définie pour les valeurs
impaires de k . Nous supposerons donc ci-dessous 0 ^ 0 .
Question 1 "
On a:
1
fk{x) si P >0 ■,
x-^+oo
fk{x) si P <0 .
X—* +00 X^
Par comparaison des intégrales de fonctions positives, on en déduit que l’intégrale Jk
converge ssi on est dans l’un des deux cas suivants:
Cas I : /î< 0 et a> 1
Cas II: 0 > 0 et a + 0 > 1
Question 2 "
• Cas I :
En choisissant, pour chaque réel e > 0, un entier Ng tel que pour tout n > Ng et
tout a: > n , on ait: I - e < < 1 H- ^, et en intégrant de 7i à +oo, on voit
facilement que:
r+oo ( — 1)^
■'n ~ ( - D - r =
n-oo ^ ' Jn X^ (a- l)n'a-l
On en déduit:
7i-»oo
Par comparaison de séries à termes positifs, la série converge, car 2a — 1 > 1
• Cas II :
On voit, de la même manière que ci-dessus, que:
r+oo
dx 1 1
n-*oo x^"^^ a + /5—1 ’
donc:
1
l«n|
n-*oo Ci 0 — 1 ^
Par suite, la série Yin converge absolument ssi 2a-\-0-l > 1, i.e. ssi 2a+/î-2 > 0.
Supposons maintenant 2a H- /? - 2 < 0. Notons Kn — Jn^ a^0-i ' n^+V-T *
K = T ” / —— = r " ^ — •
Jn U + )xO+^ ^ ^ y„ + ( -1)"X-^) ’