Problèmes de préparation à l’agrégation de mathématiques. 2, Algèbre bilinéaire et géométrie, groupes classiques, calcul différentiel, applications géométriques

322 Pages·1999·14.848 MB·French

by  Arnaudiès, Jean Marie

w
ife:
Jean-Marie ARNAUDIES
1
|fP
11
problèmes de preparation
uiKh.V
H'ï^
-ii'i-S'
ill;
à l'AGRÉGATION de
i !'*ih'■'
№1
iIll’
M ATHÉM ATIQUES
"ÿ
->\
3
l$r
g. ALGEBRE BILINEAIRE
ETGÉOMÉTRIE
I
groupes classiques, calcul différentiel,
applications géométriques
Ü!
i
I
si
iï
problèmes de préparation
à l'AGRÉGATION de
MATHÉMATIQUES
2. ALGÈBRE
BILINÉAIRE
GÉOMÉTRIE
ET
groupes classiques,
calcul différentiel,
applications géométriques
Jean-Marie ARNAUDIES
Du même auteur, chez le même éditeur
Problèmes de préparation à l'Agrégation de Mathématiques (4 volumes)
* 1. Algèbre. Groupes, arithmétique, 288 pages.
• 3. Analyse. Séries, séries entières, séries de fonctions, 304 pages.
* 4. Analyse. Intégrale, séries de Fourier, équations différentielles
320 pages.
Séries entières, séries de Puiseux, séries de Fourier. Compléments sur les
fonctions presque-périodiques, 176 pages.
En collaboration avec José Berlin
• Groupes, algèbre et géométrie. Tome 1, 480 pages.
• Groupes, algèbre et géométrie. Tome 2, 784 pages.
♦ Groupes, algèbre et géométrie. Tome 3, à paraître.
ISBN 2-7298-4924-6
© ellipses / édition marketing S.A., 1999
32 rue Bargue, Paris (15^).
La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’Article 41, d’une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». (Alinéa 1er de
l’Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l’éditeur ou du Centre français d’Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.
AVANT-PROPOS
Ce livre est le deuxième, mais dernier paru, des quatre tomes d’un recueil qui
rassemble la majeure partie des problèmes proposés aux étudiants de la préparation
à l’agrégation de mathématiques (concours interne) que j’ai eu l’honneur d’assurer à
l’Université de Paris VI depuis 1990.
Il s’agit, pour l’essentiel, de textes que j’ai composés, guidé par trois règles à mes
j^eux obligatoires pour une préparation efficace: proposer des problèmes adaptés à des
parties bien délimitées du programme plutôt que de trop large synthèse; ne pas poser
plusieurs fois le même sujet; et dans chaque sujet, se fixer un but clair qui, par sa richesse
et son esthétique, ouvre des portes mathématiques.
Même si les thèmes abordés ne sont pas tous originaux, certains étant même bien
connus, pour ne pas dire ressassés, j’espère avoir mis dans chaque énoncé une note per­
sonnelle, soit en approfondissant des résultats quand c’était possible, soit en améliorant
certaines méthodes, voire en en créant de nouvelles.
On trouvera, disséminés dans l’ensemble du recueil, quelques sujets de concours de
Grande Ecole ou d’agrégation. On y trouvera aussi, dans le présent tome, quelques
problèmes de Géométrie que j’avais composés pour les étudiants de Mathématiques
Spéciales M’ entre 1975 et 1990, mais qui ont leur place dans ce livre: ils sont bien
adaptés aux actuels programmes de l’agrégation. On sait à quelle peau de chagrin s’est
réduite l’étude de la Géométrie, mais il semble qu’un renversement de tendance se dessine
depuis 1996, retour de balancier confirmé par les nouveaux programmes de l’agrégation
(ainsi, à la session 1998 de l’agrégation externe, le sujet d’oral “ formes quadratiques et
coniques ” vient-il de faire une rentrée remarquée).
Les figures du présent tome 2 ont été créées sous CABRI-GEOMETRE, sauf celles
de l’énoncé 43, créées sous MATHEMATICA.
Post-Scriptum 1
On reproche à juste titre aux sujets de concours d’être trop longs. On pourrait aussi
adresser ce reproche aux problèmes du présent recueil, bien qu’ils soient comparables aux
sujets habituels des concours (voir le problème 42). C’est un inconvénient mineur, car
ils sont plutôt destinés à l’entraînement et à l’enrichissement personnels.
Post-Scriptum 2
Quelques modifications dans la table des matières annoncée sont intervenues. Pour
ne pas allonger le présent ouvrage au-delà des exigences éditoriales, nous avons dû renon­
cer aux énoncés 44 à 50, mais nous nous réservons de les proposer sous peu à nos lecteurs
d’une autre manière.
Remerciements
Je remercie les éditions ELLIPSES d’avoir entrepris la publication de ces problèmes;
je rends hommage aux professeurs qui non seulement préparent l’agrégation sans décharge
de service en sus de leurs 18 à 20 heures de cours hebdomadaires, de leurs copies et,
souvent, de leurs contraintes familiales, mais de surcroît se heurtent trop souvent à
d’inexcusables difficultés administratives extra-universitaires. C’est le samedi après-midi
qu’ils “ planchent ” sur les concours blancs, et tout le temps de la préparation, ils sacrifient
le plus clair de leurs congés.
Je remercie enfin tout particulièrement pierre delezoide et JOSÉ bertin, qui ont
bien voulu relire minutieusement nombre des textes de ce volume, et qui y ont apporté
des contributions inappréciables. La virtuosité de Pierre Delezoide pour programmer le
graphisme de MATHEMATICA a été précieuse.
J.M. ARNAUDIES
TABLE DES MATIERES DU TOME 2
page
CHAPITRE III: ALGEBRE LINEAIRE
Problème 22: Théorèmes de Burnside et de Kolchin..........................................3
Problème 23: Extensions multinomiales de Q ..................................................13
Problème 24: Endomorphismes et permutations...............................................27
Problème 25: Groupes de congruence..................................................................41
Problème 26: Théorèmes de Lie et d’Engel.......................................................51
Problème 27: Corps gauche de Q-dimension 9 ..............................................61
CHAPITRE IV: ALGÈBRE BILINÉAIRE
Problème 28: Polynômes orthogonaux................................................................73
Problème 29: Perron-Probenius, cas symétrique................................................83
Problème 30: Un théorème de Jordan....................................... .......................95
Problème 31: Groupes linéaires compacts........................................................105
Problème 32: Matrices de Dirac et spineurs............................ .......................115
CHAPITRE V: CALCUL DIFFERENTIEL
Problème 33: Le Laplacien.................................................................................133
Problème 34: Singularités planes ordinaires.....................................................145
Problème 35: Le théorème de Sard...................................................................155
CHAPITRE VI: GÉOMÉTRIE
Problème 36: Homographies et groupe de Lorentz..........................................165
Problème 37: Le groupe de Mathieu Mn ........................................................187
Problème 38: Homographies et groupe 2I5 .....................................................199
Problème 39: Autour des cycloïdes droites.......................................................213
Problème 40: Autour de l’astroïde.....................................................................233
Problème 41: Les théorèmes de Mac Cullagh..................................................247
Problème 42: Le problème de Koszul................................................................267
Problème 43: Lignes de courbure des quadriques............................................291
NOTATIONS...............................................................................................................312
BIBLIOGRAPHIE.................................................................................................315
TABLE DES MATIÈRES DES AUTRES VOLUMES.........316
Chapitre 3
ALGEBRE
LINÉAIRE

Problème 22 :
Théorèmes de BURNSIDE et KOLCHIN
PREAMBULE
Dans tout le problème, on désigne par K un corps commutatif. Soit V un K -
espace vectoriel et E une partie de Homi<'(U) ; un sous-K-e.v. W de V sera dit
E -stable ssi on a u{W) C W pour tout u e E . On ne demande pas de démontrer
les propriétés élémentaires suivantes: toute intersection et toute somme vectorielle de
sous-K-e.v. E-stables de V est un sous-K-e.v. E-stable.
On notera 'JZ(E) la sous-K-algèbre de Homic(V’) engendrée par E. On notera
C(E) Fensemble {t; G Homi<'(V’) \ {^u e E) uv = vu} . Cet ensemble C{E) s'appelle
le commutant de E , et l'ensemble C(C{E)) s'appelle le bicommutant de E .
Un sous-K-e.v. W de V sera dit E ^irréductible ssi il est non nul et ne contient
aucun sous-K-e.v. E-stable autre que {0} et W.
Une partie S de Hom/c(U) sera appelée un semi-groupe d ^opérateurs de V ssi
on a: S C Idv e S , et la relation {u,v) e S x S entraîne uv e S .
Une partie E de Homic(V^) est dite trigonalisable ssi il existe une base B de V
telle que la matrice dans B de tout élément de E soit trigonale supérieure.
Un élément u G Hom/<'(U) est dit unipotent ssi u — Idy est nilpotent. On notera
Uy l'ensemble des éléments unipotents de Homic(V').
PARTIE I
Soit V un K-e.v. et soit E une partie de Homic(U).
1 °)
a ) Vérifier que C(E) est une sous--algèbre de Hom/c(V). A quelle condition
a-t-on E C C{E) ?
b ) Comparer C(E) et C(7Z(E)) .
c ) Soit u G C(E), et soit W un sous-AT-e.v. A?-stable de V . Montrer que les
sous-K-e.v. u{W) et u~^{W) sont A?-stables (en particulier, Im(u) et Ker(u) sont
A?-stables).
2 °)
Dans cette question seulement, on suppose V de dimension finie n > 1. On considère
une base B = (ei,..., e^) de V . Soit E la sous-A"-algèbre de Hom;c(y) formée des
endomorphismes dont la matrice dans B est trigonale supérieure. Déterminer C{E) et
c {€{£)).
3°)
Soit m e et soit W\,... ,Wm des sous-A-e.v. A-stables de V tels que
V = . Pour tout k e [l,m], soit vJk le projecteur de V d’image Wk et de
noyau Nk = 0je|[i,m]l\{fc}l^j • Démontrer que les Wk appartiennent à C{E), et que les
Wk sont C(C(A))-stables.
4 °)
Dans cette question, on suppose que A est une sous- A -algèbre A de Hoitij<'(V'), que
V est A -irréductible, et on donne un entier n > 1. On note M le A -e.v. , et p le
morphisme de A -algèbres: A —> qui, à tout a G A , associe l’endomorphisme
de M défini par (xi,...,Xn) •-> (a(xi),..., a(a;n)) (où Xk e V pour tout k). On
4 Chapitre 3, problème 22
notera B l’image de p. Pour tout k e [l,nj, soit ’• V M l’injection linéaire
qui envoie tout x e V sur l’élément {^j,kx)i<j<n de M , où 6 désigne le symbole de
Kronecker {Sx,^ = 0j< si X ^ p et 6x,^ = 1k si X = p). On note Vk = (on
a donc M = Vie ). On considère un sous- K -e.v. B -stable TV de M , distinct de
{0} et de M .
a ) Pour A; G |l,n] et u e A, comparer ^k ^ u et p{u) o . Vérifier que les Vk
sont J5-irréductibles.
b ) Vérifier qu’il existe une partie non vide J de |l,n] de cardinal maximum telle
que TV n ( j Vj) = {0} . On choisit une telle partie J , et on pose P = 0 j e .
c ) Soit k G |[l,n] \ J. Montrer que V¡¿ O (TV + P) ^ {0} , et en déduire que
V/c C TV + P . En déduire que TW = TV 0 P .
5 °)
a ) Soit V G C{E). Montrer que tout sous-espace propre de v est P-stable.
b ) Dans cette sous-question, on suppose que K est algébriquement clos, que V est
de dimension finie n > 1, et que V est E -irréductible. Déduire de a) ci-dessus que
C(E) = Kldv .
PARTIE II
Dans cette partie, on suppose le corps K algébriquement clos. On donne un K -e.v. V
de dimension finie n > 1 et une sous-P-algèbre A de Hom/c(V). On suppose que V
est A-irréductible. Le but de cette partie est de montrer que A = Homic(V’) (théorème
de Burnside). Pour cela, on considère le K-e.v. M = . On définit les sous-PT-
(Vk)i<k<n de TW, les injections PT-linéaires : V —> TW et le morphisme de
K -algèbres p : A ^ Homic(TW) comme en 1-4. On note B l’image p(A). Pour tout
/c G [l, nj , on note ipk = (i-e. (fk est la bijection linéaire: V ^ 14 , x ^¿(x) ),
et on note Wk le projecteur de TW d’image 14 et de noyau Wk = • C)n
fixe une base £ = (ei,...,e^) de V (ainsi e est un élément particulier de TW). Enfin
on note TV l’image de l’application: B M y P ^ P(e) ; autrement dit, TV est l’image
de l’application: A M y a (^(^i)» • • • » Oi(en)) •
1
a ) Montrer que p est injectif.
b ) Pour 2 G |1,nJ et w G i4, comparer Wi o (p(u)) et (piouo cp~^ o .
2 °)
a ) Montrer que TV est B -stable, et en déduire l’existence d’un sous- K -e.v. B -
stable P de TW tel que TW = TV 0 P .
b ) En déduire que TV est C(C(B)) -stable.
3°)
Soit b G Hoiriic(V). Pour tout i G [l,n], soit Pi = o h o (on a donc
Pi G HomK(V¿) )• Soit P = p(h) (on a donc P = &^iPi = Pi ° )•
a ) On donne 7 G C(B). Pour (2, j) G Il,np , soit l’élément owiO'yo^j
de Homic(V). Montrer que pour tous 2 et j , on a G C(A). A l’aide de I-5-b), en
déduire que pour tous 2 et j , on a aijb = baij . En déduire que pour tout j G |l,n |,
on a (Plf)\y, = (yP)\y. •
b ) Déduire de a) ci-dessus que P G C(C(B)) . En utilisant 2-b) ci-dessus, en déduire
que P(e) e N y et achever d’établir le théorème de Burnside.
Théorèmes de Burnside et de Kolchin 5
PARTIE III
Dans cette partie, on donne un K -e.v. V de dimension finie n > 1, et un semi-groupe
S d’opérateurs de V . Pour tout u G UomK{V), on notre Tr(u) la trace de u . On
note A la sous--algèbre 7^(5) de Homic(y).
1
Soit T la forme K -bilinéaire sur , dont on vérifiera qu’elle est symétrique,
définie par:
r : UomKiV) x Homi<'(V') —^ K , (n,u) i—> r{u,v) = Tr(u'ü)
Montrer que r est non dégénérée (c’est-à-dire: que le seul élément u G HomK{V) tel
que r{u,v) = 0 pour tout v G Hom/c(K) est u = 0 ).
2 °)
Dans cette question, on fait les hypothèses suivantes: K est algébriquement clos, V
est 5 -irréductible, et l’ensemble Tr(5) = {Tr(s)}sç5 est fini. Soit t = card(Tr(5')) .
a ) Montrer que S est un ensemble fini, et que card (5) < , avec i/ = .
Indication: en appliquant le théorème de Burnside, montrer qu^on peut choisir une
base (bi,... ,bn2) du K -e.v. Homj<'(V’) formée d^éléments de S . Une telle base étant
choisie, considérer rapplication K -linéaire
T : Hom/<'(y)— > , u \—^ (Tr(u6i),...,Tr(u6n2))
b ) Montrer que S est un sous-groupe fini de GL^ ( ^ ) •
3
Dans cette question, on fait les hypothèses suivantes: K est algébriquement clos, V
est S -irréductible, et on a un entier e > 1 tel que ( Vs G 5 ) = Id^ .
Montrer que l’ensemble Tr(5) est fini, et en déduire que S est un sous-groupe fini
de GL^(^).
4 ”)
Dans cette question, on fait les hypothèses suivantes: K est algébriquement clos et de
caractéristique nulle, et on a un entier e > 1 tel que ( Vs G 5 ) s® = Idy . On se propose
de montrer que S est un sous-groupe fini de GL^( ^ ). On procède par récurrence sur
n . La propriété découle de 3) ci-dessus si V est S -irréductible, ce qui est notamment
le cas si n = 1. On suppose donc que n > 1, que V est non- S -irréductible, et que
la propriété est vraie en toute dimension < n . Soit alors W un sous- K -e.v. S -stable
de V autre que {0} et V . Notons Q le K-e.v. quotient ^/w > ®t w l’application
canonique: V Q . Soit ip le morphisme de K -algèbres: A Homx(V7) ^ ^
et soit -0 le morphisme de K-algèbres: A —^ Hom/<'((5) qui envoie tout u E A sur
l’unique élément u de Hom;<'((5) tel que uow = wou (on vérifiera que ces définitions
sont justifiées). On munit UomK{W) x Homic((5) de la structure de K -algèbre produit,
et on note G le morphisme de K -algèbres: A HomK{W) x Hom/c((5) de composantes
(f et 7p.
a ) Montrer que l’ensemble ^{S) est un sous-groupe fini de Ghj^{W), et que
l’ensemble xjj{S) est un sous-groupe fini de GLr.{Q ).
b ) Montrer que tout élément de S est diagonalisable.
c ) Soit B = {ei,... ,en) une base du K -e.v. V telle que (ei,..., Cr) soit une base
de W (où r = dimK{W) ). Si s G Ker(0) , montrer que la matrice Mg de s dans B
est de la forme:
Mg
V ^ ^n — r }
où H e i3Xtr,n-r{K).
d ) En déduire que le morphisme G est injectif, et que S est un sous-groupe fini de
GL^( V ). Conclure.