Problemas de Selectividad de Matemáticas aplicadas a la Ciencias Sociales Comunidad de Madrid

482 Pages·2017·6.15 MB·Spanish

Problemas de Selectividad de Matem´aticas II
Comunidad de Madrid
(Resueltos)
Isaac Musat Herva´s
2
´
Indice general
1. An˜o 2000 9
1.1. Modelo 2000 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Modelo 2000 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Junio 2000 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Junio 2000 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Septiembre 2000 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6. Septiembre 2000 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. An˜o 2001 33
2.1. Modelo 2001 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Modelo 2001 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Junio 2001 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4. Junio 2001 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5. Septiembre 2001 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6. Septiembre 2001 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. An˜o 2002 57
3.1. Modelo 2002 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. Modelo 2002 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3. Junio 2002 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Junio 2002 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5. Septiembre 2002 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6. Septiembre 2002 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4. An˜o 2003 85
4.1. Modelo 2003 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. Modelo 2003 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3. Junio 2003 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4. Junio 2003 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5. Septiembre 2003 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6. Septiembre 2003 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3
5. An˜o 2004 109
5.1. Modelo 2004 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. Modelo 2004 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3. Junio 2004 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4. Junio 2004 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.5. Septiembre 2004 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.6. Septiembre 2004 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6. An˜o 2005 133
6.1. Modelo 2005 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2. Modelo 2005 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3. Junio 2005 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.4. Junio 2005 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5. Septiembre 2005 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.6. Septiembre 2005 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7. An˜o 2006 155
7.1. Modelo 2006 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2. Modelo 2006 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3. Junio 2006 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4. Junio 2006 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.5. Septiembre 2006 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.6. Septiembre 2006 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8. An˜o 2007 177
8.1. Modelo 2007 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2. Modelo 2007 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3. Junio 2007 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.4. Junio 2007 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.5. Septiembre 2007 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.6. Septiembre 2007 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9. An˜o 2008 197
9.1. Modelo 2008 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.2. Modelo 2008 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.3. Junio 2008 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4. Junio 2008 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.5. Septiembre 2008 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.6. Septiembre 2008 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.An˜o 2009 219
10.1.Modelo 2009 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.2.Modelo 2009 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.3.Junio 2009 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4
10.4.Junio 2009 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.5.Septiembre 2009 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.6.Septiembre 2009 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.7.Septiembre 2009 - Opcio´n A (Reserva) . . . . . . . . . . . . 242
10.8.Septiembre 2009 - Opcio´n B (Reserva) . . . . . . . . . . . . 245
11.An˜o 2010 249
11.1.Modelo 2010 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.2.Modelo 2010 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.3.General-Junio 2010 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.4.General-Junio 2010 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11.5.Espec´ıfica-Junio 2010 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . 264
11.6.Espec´ıfica-Junio 2010 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.7.General-Septiembre 2010 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . 271
11.8.General-Septiembre 2010 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . 274
11.9.Espec´ıfica-Septiembre 2010 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . 278
11.10.Espec´ıfica-Septiembre 2010 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . 281
12.An˜o 2011 285
12.1.Modelo 2011 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
12.2.Modelo 2011 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.3.Junio 2011 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.4.Junio 2011 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
12.5.Septiembre 2011 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
12.6.Septiembre 2011 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.An˜o 2012 307
13.1.Modelo 2012 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.2.Modelo 2012 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
13.3.Junio 2012 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
13.4.Junio 2012 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.5.Junio 2012 (coincidente)- Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . 318
13.6.Junio 2012 (coincidente)- Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . 322
13.7.Septiembre 2012 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.8.Septiembre 2012 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
14.An˜o 2013 331
14.1.Modelo 2013 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
14.2.Modelo 2013 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
14.3.Junio 2013 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
14.4.Junio 2013 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
14.5.Junio 2013 (coincidente)- Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . 345
14.6.Junio 2013 (coincidente)- Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . 348
14.7.Septiembre 2013 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5
14.8.Septiembre 2013 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
14.9.Septiembre (coincidente)2013 - Opci´on A . . . . . . . . . . . 358
14.10.Septiembre (coincidente)2013 - Opci´on B . . . . . . . . . . . 361
15.An˜o 2014 365
15.1.Modelo 2014 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
15.2.Modelo 2014 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
15.3.Junio 2014 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
15.4.Junio 2014 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
15.5.Junio 2014 (coincidente)- Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . 378
15.6.Junio 2014 (coincidente)- Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . 382
15.7.Septiembre 2014 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
15.8.Septiembre 2014 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
16.An˜o 2015 391
16.1.Modelo 2015 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
16.2.Modelo 2015 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
16.3.Junio 2015 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
16.4.Junio 2015 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
16.5.Junio 2015 (coincidente)- Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . 404
16.6.Junio 2015 (coincidente)- Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . 406
16.7.Septiembre 2015 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
16.8.Septiembre 2015 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
16.9.Septiembre 2015 (coincidente)- Opci´on A . . . . . . . . . . . 415
16.10.Septiembre 2015 (coincidente)- Opci´on B . . . . . . . . . . . 417
17.An˜o 2016 421
17.1.Modelo 2016 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
17.2.Modelo 2016 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
17.3.Junio 2016 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
17.4.Junio 2016 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
17.5.Junio 2016 (coincidente) - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . 433
17.6.Junio 2016 (coincidente) - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . 435
17.7.Septiembre 2016 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
17.8.Septiembre 2016 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
18.An˜o 2017 447
18.1.Modelo 2017 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
18.2.Modelo 2017 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
18.3.Junio 2017 - Opcio´n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
18.4.Junio 2017 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
18.5.Junio 2017 (coincidente) - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . 458
18.6.Junio 2017 (coincidente) - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . 460
18.7.Septiembre 2017 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
6
18.8.Septiembre 2017 - Opcio´n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
18.9.Septiembre 2017 (coincidente) - Opci´on A . . . . . . . . . . . 470
18.10.Septiembre 2017 (coincidente) - Opci´on B . . . . . . . . . . . 473
19.An˜o 2018 477
19.1.Modelo 2018 - Opci´on A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
19.2.Modelo 2018 - Opci´on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7
8
Cap´ıtulo 1
An˜o 2000
1.1. Modelo 2000 - Opcio´n A
→− →−
Problema 1.1.1 (2 puntos) Dados los vectores u = (a,1 + a,2a), v =
→−
(a,1,a) y w = (1,a,1), se pide:
→− →−
a) (1 punto) Determinar los valores de a para que los vectores u, v y
→−
w sean linealmente dependientes.
→−
b) (0,5 puntos) Estudiar si el vector c = (3,3,0) depende linealmente de
→− →− →−
los vectores u, v y w para el caso a = 2. Justificar la respuesta.
c) (0,5puntos)Justificarrazonadamentesiparaa = 0secumplelaigual-
dad
→− →− →−
u ·(v ∧ w) = 0
Nota: el s´ımbolo ∧ significa producto vectorial.
Soluci´on:
a)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a 1+a 2a (cid:12)
(cid:12)(cid:12) a 1 a (cid:12)(cid:12) = a(a2−1)0 =⇒ a = 0, a = ±1
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 a 1 (cid:12)
→− →− →−
Si a (cid:54)= 0 y a (cid:54)= ±1 =⇒ u, v y w son Linealmente Independientes.
→− →− →−
Si a = 0 o a = ±1 =⇒ u, v y w son Linealmente Dependientes.
b) si a = 2, los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto,
→−
forman una base. Luego el vector c = (3,3,0) es combinaci´on lineal
9
→− →− →−
de u, v y w. Veamos de que combinaci´on lineal se trata, tenemos:
 →−
u = (2,3,4)

→−
v = (2,1,2)
 →−w = (1,2,1)
(3,3,0) = a(2,3,4)+b(2,1,2)+c(1,2,1) =⇒
 3
 a = −
 2
 
2a+ 2b+ c = 3 
 
3a+ b+ 2c = 3 =⇒ 3
b =
 4a+ 2b+ c = 0  2





 c = 3
3 3
→− →− →− →−
c = − u + v +3w
2 2
c) Si a = 0 tenemos:
 →−
u = (0,1,0)

→−
v = (0,1,0)
 →−w = (1,0,1)
→− →− →− →− →− →−
Sabemos que [u, v , w] = u ·(v ∧ w). Pero
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 1 0 (cid:12)
→− →− →− (cid:12) (cid:12)
[u, v , w] = (cid:12) 0 1 0 (cid:12) = 0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 0 1 (cid:12)
→− →− →−
Luego u ·(v ∧ w) = 0
Problema 1.1.2 (2 puntos)
a) Hallar la ecuaci´on del lugar geom´etrico de los puntos del plano tales
que su distancia al punto A(4,0) es el doble de su distancia a la recta
x = 1.
b) Comprobar que el anterior lugar geom´etrico es una co´nica. Indicar el
tipo de c´onica que es y hallar sus focos.
Soluci´on:
a)
d(P,A) = 2d(P,r), r : x = 1, A(4,0)
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