Problemas de Olimpiadas Matemáticas para alumnos de ESO Ciudad Real 2000-2015

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Problemas de
Olimpiadas
Matemáticas
para alumnos de
E.S.O.

Ciudad Real
2000-2015
La colección de problemas que os presento son los propuestos en las diferentes fases
provinciales de Ciudad Real en las Olimpiadas de Matemáticas. El año 2000, con
motivo de la celebración del Año Internacional de la Matemáticas, el Departamento de
Matemáticas de la UCLM puso en marcha esta iniciativa en su sede de Ciudad Real.
Desde ese mismo año y junto con las realizadas en las otras provincias se celebra la
Olimpiada Matemática de CLM para alumnos de E.S.O.

El éxito de esta empresa educativa ha sido avalado por la propia Consejería de
Educación y Ciencia de la JCCM al reconocerla en 2007 como actividad de interés
educativo.

La fase provincial se celebra habitualmente en el mes de Mayo, intentando coincidir con
el día 12, declarado por la FESPM como Día Escolar de las Matemáticas. Se reunen en
ella alrrededor de los 150 alumnos de diversos centros educativos de la provincia para
responder por escrito y de manera individual a tres problemas. Para ello disponen de un
par de horas y la experiencia nos dice que las suelen utilizar casi por completo.

El objetivo de esta jornada que reune a una buena parte de los mejores alumnos de la
provincia es el de resolver los problemas, y para ello es necesario un conocimiento
matemático básico, pensamiento reflexivo, creatividad y esfuerzo. Año tras año vemos
que muchos profesores preparan específicamente a sus alumnos para la olimpiada y,
como no podía ser de otra manera, los resultados se corresponden con éste esfuerzo
previo. Y para ello una colección de problemas de entrenamiento siempre es muy útil.
Ése es el sentido que tiene esta recopilación.

A los alumnos les suelo decir que, ante todo, participar en una olimpiada debe ser una
diversión, un motivo para hacer algo que les gusta y que resulta ser el fin último de la
Matemática: resolver problemas.

También les doy algunos consejos:

Nunca hay que tener miedo a un problema. Hay que tomar los enunciados y
leerlos al menos un par de veces, hasta que tengas claro lo que piden. Para comprender
bien la situación que te presenta un problema suele ser útil ponerse algún ejemplo
concreto.

Luego intenta responder preguntas como: ¿qué me piden?, ¿qué datos me dan?,
¿con qué elementos/figuras/relaciones cuento?, ¿puedo obtener algún dato interesante a
partir de los que ya tengo?, ¿hay algún problema que recuerdo que se parece? ...
¡Tendrás que poner en marcha toda tu creatividad!

Hacer un esquema o un gráfico del problema a veces es un buen medio para
empezar, para comprender mejor y para favorecer la aparición de ideas.

Emprende un camino para resolverlo y ¡adelante con él! No dejes demasiado
pronto una idea que puede ser buena, pero tampoco te enfrasques en ella si ves que no te
da resultado (esto es difícil de valorar al principio pero la práctica te ayudará a
determinar el tiempo).
Un par de consejos para el día de la prueba: entrega siempre los resultados a los
que hayas llegado aunque no hayas terminado del todo, y explica claramente lo que
hayas obtenido.

Los problemas están agrupados por ciclos y numerados, además se las ha puesto un
título con el fin de una más fácil identificación. Los de primer ciclo están precedidos por
un 1, y los de segundo ciclo por un 2. Se han presentado es páginas independientes pues
así se les entrega a los alumnos en la olimpiada y así se les pide que entreguen sus
respuestas, facilitando su concentración, su respuesta y la corrección posterior.

Los temas son variados: geometría, lógica, aritmética, álgebra, azar,…. En cada prueba
se suelen combinar las áreas matemáticas para que la temática de los tres problemas sea
diferente.

Espero que os sea útil.

Miguel Adán Oliver
Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.
Ciudad Real.
Problemas de
primer ciclo
1.1. Un cuadrado Mágico

Un cuadrado mágico como el de la figura tiene la propiedad de que la suma de los
números que hay en cada fila es 15, y lo mismo ocurre con todas las columnas, ¡y con
todas las diagonales!.

¿Sabrías hacer un cuadrado mágico en el que la suma fuera 51 en lugar de 15?.

2 7 6
9 5 1
4 3 8
1.2. Hexágonos regulares

Tenemos dos hexágonos regulares, uno de ellos está inscrito a una circunferencia y el
otro está circunscrito a ella. Se sabe que el área del hexágono inscrito es de 5 m2.
Calcula el área del que está circunscrito.
1.3. Borrado de cifras

Juanito iba contento al colegio porque llevaba bien resuelta la tarea de ese día, que era
multiplicar dos números. Por el camino empezó a llover y las gotas de lluvia habían
borrado muchas de las cifras de la operación, únicamente quedaban las que veis aquí:

_ 1 _
3 _ 2

_ 3 _
3 _ 2 _
_ 2 _ 5

1 _ 8 _ 3 0

Ayuda a Juanito a encontrar las cifras que se le han borrado.
1.4. Muchos nueves

El número a=999...99 tiene en total 99 cifras (que son todas iguales a nueve).
¿Cuántas cifras tendrá después de haberlo multiplicado por 99 ?¿Cuánto suman todas
las cifras de dicho número?
1.5. Pintar el cubo

Cada una de las caras de un cubo se divide en cuatro cuadrados iguales. Estos cuadrados
se colorean de manera que cada dos cuadrados vecinos (que tienen un lado común)
tengan colores distintos.

Justifica cuál será el número mínimo de colores que tenemos que usar.

¿Decimos la verdad si aseguramos que usamos nueve veces el color rojo?.
1.6. La fuente

En el parque hay una fuente que tiene forma de trébol. Dicen que es la más grande de la
ciudad.

¿Cuántos litros de agua caben si la profundidad es de un metro?.