Problemas de matemática aplicada a la administración y economía

154 Pages·2017·6.64 MB·Spanish

Problemas de matemática aplicada a la
administración y economía

Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y
Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición

César A. Yépez
0 REPA SO DE 1 APLICACIONES Y 2 FUNCIONES 3 RECTAS PARÁBOLAS Y 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA

INDICE

6 ÁLGEBRA

MATRICIAL

7 PROGRAMACIÓN
LINEAL

10 LIMITES Y
CONTINUIDAD

11 DIFERENCIACIÓN

Problemas de matemática aplicada a la administración y economía

Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y
Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición.
César Augusto Yépez Gómez 12 TEMAS
4.0, CC-BY-NC-SA ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
Primera edición digital
Número de registro IEPI: 042866
ISBN: 978-9942-28-872-1
13 TRAZADO DE
CURVAS

14 INTEGRACIÓN

Esta obra ha sido creada bajo licencia Creative Commons 4.0, CC, BY, NC, SA: Reconocimiento –No
Comercial-Sin derivar; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras
se reconozca la autoría original, no se utilice con fines de lucro comerciales y se permiten obras
derivadas, siempre que mantenga la misma licencia al ser divulgada.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-SA/4.0/deed.es

Julio, 2017
2
0 REPA SO DE 1 APLICACIONES Y 2 FUNCIONES 3 RECTAS PARÁBOLAS Y 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA

INDICE

Presentación 6 ÁLGEBRA
MATRICIAL

7 PROGRAMACIÓN
El presente trabajo tiene por objeto proporcionar métodos de solución
LINEAL
de problemas aplicados a diversas áreas, en especial a la administración
y economía.
Está dirigido a estudiantes del bachillerato, ya que cubre gran parte de 10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
las destrezas y contenidos que propone el Ministerio de Educación, para
estudiantes de primeros años de educación superior en las carreras de
Administración, Economía, Marketing, etc., y especialmente para
estudiantes y docentes de modalidades a distancia. 11 DIFERENCIACIÓN
Comprende ejercicios y problemas de algebra, funciones, rectas,

parábolas, matrices, funciones logarítmicas y exponenciales,
límites, derivadas e integración y, sus aplicaciones correspondientes al
12 TEMAS
texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-
ADICIONALES DE
WOOD. Decimosegunda edición.
DIFERENCIACIÓN

César A. Yépez 13 TRAZADO DE
CURVAS

14 INTEGRACIÓN

3
0 REPA SO DE 1 APLICACIONES Y 2 FUNCIONES 3 RECTAS PARÁBOLAS Y 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA

INDICE
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN

12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN

4
0 REPA SO DE 1 APLICACIONES Y 2 FUNCIONES 3 RECTAS PARÁBOLAS Y 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA
Índice de contenidos
CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 7
INDICE
0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales.
0.8 Ecuaciones cuadráticas

6 ÁLGEBRA
CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 12
MATRICIAL

1.1 Aplicaciones de ecuaciones
1.2 Desigualdades lineales 7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
1.3 Aplicaciones de las desigualdades

CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS 22
2.1 Funciones 10 LIMITES Y
2.2 Funciones especiales CONTINUIDAD
2.3 Combinaciones de funciones
2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares

11 DIFERENCIACIÓN
CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 36

3.1 Rectas
3.2 Aplicaciones y funciones lineales
3.3 Funciones cuadráticas 12 TEMAS
3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN

CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 47
4.1 Funciones exponenciales
4.2 Funciones logarítmicas 13 TRAZADO DE
CURVAS
4.3 Propiedades de los logaritmos
4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL 58 14 INTEGRACIÓN
6.1 Matrices

6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar
6.3 Multiplicación de matrices
6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices
6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices
(continuación)

5
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ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA
Índice de contenidos

CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL 68 INDICE
7.1 Desigualdades lineales en dos variables
7.2 Programación lineal

6 ÁLGEBRA
CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 79
MATRICIAL
10.1 Límites
10.2 Límites (continuación)
10.4 Continuidad aplicada a desigualdades 7 PROGRAMACIÓN
LINEAL

CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN 88
11.1 La derivada
11.2 Reglas para la diferenciación 10 LIMITES Y
11.3 La derivada como una razón de cambio CONTINUIDAD
11.4 La regla del producto y la regla del cociente
11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia

11 DIFERENCIACIÓN
CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE DIFERENCIACIÓN 102
12.1 Derivada de funciones logarítmicas
12.2 Derivada de funciones exponenciales
12.4 Diferenciación implícita
12.5 Diferenciación logarítmica 12 TEMAS
12.7 Derivadas de orden superior ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN

CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 115
13.1 Extremos relativos
13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado 13 TRAZADO DE
CURVAS
13.3 Concavidad
13.4 Prueba de la segunda derivada
13.6 Aplicación de Máximos y mínimos
14 INTEGRACIÓN
CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 127

14.1 Diferenciales
14.2 La integral indefinida
14.3 Integración con condiciones iniciales
14.4 Más fórmulas de integración
14.7 Teorema fundamental del cálculo integral
14.9 Área
14.10 Área entre curvas
14.11 Excedente de los consumidores y de los productores

6
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ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA
CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA

0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. INDICE

Problemas 0.7 Páginas: 34 – 35. Ejercicios: 10, 15,25, 78, 89,96

6 ÁLGEBRA
En los problemas 7 a 16 determine qué operaciones se aplican a la primera ecuación para obtener
MATRICIAL
la segunda. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes.
No resuelva las ecuaciones

7 PROGRAMACIÓN
10. 𝟐𝒙𝟐+𝟒 =𝟓𝒙−𝟕 ; 𝒙𝟐+𝟐 =𝟓𝒙−𝟕 LINEAL
𝟐 𝟐
 Se divide ambos lados para dos, la equivalencia si se garantiza ya que se divide por
un valor constante.
10 LIMITES Y

CONTINUIDAD
𝟐𝒙(𝟑𝒙+𝟏)
15. =𝟐𝒙(𝒙+𝟒) ; 𝟑𝒙+𝟏 =(𝒙+𝟒)(𝟐𝒙−𝟑)
𝟐𝒙−𝟑
 Se multiplican ambos lado por 2𝑥−3 ; la equivalencia no se garantiza debido a que 11 DIFERENCIACIÓN
2𝑥
2𝑥−3
no sabemos el valor de 𝑥. Por ejemplo si 𝑥 =0 el denominador de sería cero
2𝑥
y éste resultado no esta determinado.

Resuelva las ecuaciones 17 a 80 12 TEMAS
ADICIONALES DE
25. 𝟕𝒙+𝟕 = 𝟐(𝒙+𝟏) DIFERENCIACIÓN
 Resolvemos el producto del lado derecho, luego resolvemos la ecuación para 𝑥
13 TRAZADO DE
7𝑥+7 =2𝑥+2 ⟹ 7𝑥−2𝑥 =2−7 ⟹ 5𝑥 =−5
CURVAS
−5
𝑥 = ⟹ 𝑥 = −1
5
14 INTEGRACIÓN
78. √𝒙−√𝒙+𝟏 =𝟏

 Trasladamos las raíces cuadradas convenientemente para eliminarlas
√𝑥 =1+√𝑥+1
 Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación
2 2
(√𝑥) =(1+√𝑥+1)
𝒙 =𝟏+𝟐√𝑥+1+𝑥+1
7
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ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA
𝒙−𝒙−𝟐 = 𝟐√𝑥+1
−𝟏 = √𝑥+1
INDICE
 √𝑥+1 es positiva, no puede ser igual a -1, luego la ecuación planteada no tiene
solución
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
En los problemas 81 a 92, exprese el símbolo indicado en términos de los símbolos restantes
𝒅
89. 𝒓 = ; 𝒕 7 PROGRAMACIÓN
𝟏−𝒅𝒕
LINEAL
 Resolvemos la ecuación para 𝑡
𝑟(1−𝑑𝑡) = 𝑑 10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
𝑟−𝑟𝑑𝑡 = 𝑑
𝑟−𝑑 𝑟−𝑑
𝑟−𝑑 = 𝑟𝑑𝑡 ⟹ = 𝑡 ⟹ 𝑡 =
𝑟𝑑 𝑟𝑑 11 DIFERENCIACIÓN
96. Ingreso. El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidad de x niños está
dado por 𝒓 =𝟒𝟓𝟎𝒙, y sus costos mensuales totales son 𝒄 =𝟑𝟖𝟎𝒙+𝟑𝟓𝟎𝟎. ¿Cuántos niños
necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otras palabras
¿Cuándo los ingresos igualan a los costos? 12 TEMAS
ADICIONALES DE
 Extraemos los datos correspondientes DIFERENCIACIÓN

Ingreso: 𝑟 = 450𝑥 Costos: 𝑐 = 380𝑥+3500 Equilibrio: 𝑟 = 𝑐
13 TRAZADO DE
 Establecemos la ecuación de equilibrio
CURVAS
𝑟 =𝑐
450𝑥 =380𝑥+3500 14 INTEGRACIÓN

 Resolvemos la ecuación
450𝑥 −380𝑥 = 3500
70𝑥 = 3500
3500
𝑥 = ⟹ 𝑥 = 50
70
Se necesitan 50 niños para alcanzar el punto de equilibrio.
8
0 REPA SO DE 1 APLICACIONES Y 2 FUNCIONES 3 RECTAS PARÁBOLAS Y 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA
0.8 Ecuaciones Cuadráticas

Problemas 0.8 Páginas: 42 – 43 Ejercicios: 23, 31, 37, 73, 79, 82
INDICE
Resuelva por factorización los problemas 1 a 30.

23. 𝒕𝟑−𝟒𝟗𝒕 = 𝟎
6 ÁLGEBRA
 En primer lugar se observa el factor común t
MATRICIAL
𝑡(𝑡2−49) = 0

 Ahora resolvemos la diferencia de cuadrados
7 PROGRAMACIÓN
𝑡(𝑡−7)(𝑡+7) = 0
LINEAL

 Este producto es cero cuando :
𝑡 = 0 o (𝑡−7) = 0 o (𝑡+7) =0
Luego se tiene 10 LIMITES Y
𝑡 = 0 CONTINUIDAD
𝑡−7 = 0 ⟹ 𝑡 = −7
𝑡+7 = 0 ⟹ 𝑡 = 7

11 DIFERENCIACIÓN

En los problemas 31 a 44, encuentre todas las raices reales con el uso de la fórmula cuadrática

31. 𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟐𝟒 = 𝟎
12 TEMAS
 Comparando con la fórmula cuadrática 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0, se tiene ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN

𝑎 = 1 𝑏 =2 𝑐 = −24

 Aplicamos la fórmula cuadrática
13 TRAZADO DE
CURVAS
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 −2±√22−4(1)(−24)
𝑥 = =
2𝑎 2(1)
−2±√4+96 −2±10
𝑥 = = 14 INTEGRACIÓN
2 2

−2+10 8
𝑥 = = ⟹ 𝒙 = 𝟒
2 2
−2−10 −12
𝑥 = = ⟹ 𝒙 = −𝟔
2 2

37. 𝟒−𝟐𝒏+𝒏𝟐 = 𝟎

 Comparamos la ecuación con la fórmula cuadrática 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0
Si 𝑛2−2𝑛+4 = 0 ⟹ 𝑎 = 1 𝑏 = −2 𝑐 = 4

9
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ALGEBRA MÁS ALGEBRA Y GRÁFICAS SIST. DE ECUACIONES Y LOGARITMICA
 Aplicamos la fórmula cuadrática resolviendo para n
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 −(−2)±√(−2)2 −4(1)(4)
𝑛 = =
2𝑎 2(1)
INDICE
2±√4−16 2±√−12
𝑛 = = = 1±√−3
2 2
El valor √−3 no es un número real, por lo que la ecuación 4−2𝑛+𝑛2 = 0 no
tiene soluciones reales.
6 ÁLGEBRA

MATRICIAL
Resuelva por cualquier método los problemas 55 a 76

73. √𝒙−√𝟐𝒙+𝟏+𝟏 = 𝟎 7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
 Para resolver ecuaciones que contienen raíces cuadradas, es conveniente trasladar
a un lado de la ecuación una cantidad con radical.
√𝑥−1 = √2𝑥+1
10 LIMITES Y

CONTINUIDAD
 Elevamos al cuadrado a toda la ecuación
2 2
(√𝑥+1)2 = √2𝑥+1 ⟹ √𝑥 +2√𝑥+1 =2𝑥+1

𝑥+2√𝑥+1= 2𝑥+1 11 DIFERENCIACIÓN
 Nuevamente ubicamos el radical a un solo lado para elevar al cuadrado

2√𝑥 = 2𝑥−𝑥+1−5

(2√𝑥)2 = (𝑥)2 ⟹ 4𝑥 = 𝑥2 ⟹ 𝑥2−4𝑥 =0
12 TEMAS
ADICIONALES DE
 Resolvemos la ecuación cuadrática
DIFERENCIACIÓN
𝑥2−4𝑥 =0
𝑥(𝑥−4) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 , 𝑥−4= 0 ⟹ 𝑥 = 4

79. Geometría. El área de un dibujo rectangular, que tiene un ancho de 2 pulgadas menor que el 13 TRAZADO DE
largo, es de 48 pulgadas cuadradas. ¿Cuál son las dimensiones del dibujo? CURVAS

14 INTEGRACIÓN
𝒂= 𝒙−𝟐

𝒍 =𝒙

 Establecemos los datos
𝐴 = 48𝑚2
𝑙 = 𝑥
𝑎 = 𝑥−2

 Aplicamos la fórmula del área
𝐴 =𝑙.𝑎
10