problemas de geometría analítica y diferencial

344 Pages·2012·4.96 MB·Spanish

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

ANALÍTICA Y DIFERENCIAL

Ubaldo Usunáriz Balanzategui
Ignacio Usunáriz Sala 

1
2
ÍNDICE

PRÓLOGO 5
GEOMETRÍA ANALÍTICA DELPLANO 7
Sección A Elementos: puntos, rectas, ángulos (22 problemas) 7
Sección B Circunferencia (14 problemas) 15
Sección C Lugares geométricos (45 problemas) 19
Sección D Cónicas (187 problemas) 39
Generalidades (100 problemas) 39
Elipse (27 problemas) 65
Hipérbola (14 problemas) 77
Parábola (46 problemas) 83
Sección E Curvas (223 problemas) 101
Curvas en explícitas (70 problemas) 101
Curvas en implícitas (82 problemas) 133
Curvas en paramétricas (34 problemas) 181
Curvas en polares ( 28 problemas) 197
Tipos particulares de curvas (9 problemas) 215
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO 221
Sección F Elementos. Lugares geométricos (58 problemas) 221
Sección G Cuádricas (128 problemas) 235
Naturaleza. Elementos (62 problemas) 235
Esfera (14 problemas) 253
Elipsoide (7 problemas) 257
Hiperboloides (12 problemas) 261
Paraboloides (10 problemas) 265
Cilindros y conos (23 problemas) 269
Sección H Otras superficies y curvas (30 problemas) 277
GEOMETRÍA DIFERENCIAL 285
Sección I Geometría diferencial en el plano (123 problemas) 285
Sección J Geometría diferencial en el espacio (77 problemas) 323

3
4
PRÓLOGO

Este libro, Problemas de Geometría Analítica y Diferencial, junto con otros dos, Problemas de
Matemáticas y Problemas de Geometría, están dedicados a la presentación y resolución de
problemas que se planteaban hace unas décadas, en la preparación para ingreso en las carreras
de ingeniería técnica superior.

Incluye 907 problemas, de los que 707 se refieren a la geometría analítica y 200 a la geometría
diferencial. Los correspondientes a la geometría analítica se reparten entre la geometría del
plano, con 491 problemas (elementos, circunferencia, lugares geométricos, cónicas, curvas), y la
del espacio, con 216 problemas (elementos, lugares geométricos, cuádricas, otras superficies y
curvas). Los referentes a la geometría diferencial se reparten entre los correspondientes al plano,
con 123 problemas, y los correspondientes al espacio, con 77 problemas.

Esta segunda edición de Problemas de Geometría Analítica y Diferencial tiene por objeto su
puesta a disposición de la Escuela de Ingenieros de Minas de la Universidad Politécnica de
Madrid.

Madrid, verano 2012

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6
Problemas de Geometría Analítica
Geometría Analítica del Plano
Sección A - ELEMENTOS: PUNTOS, RECTAS, ÁNGULOS
A1- En ejes oblicuos de ángulo 60º, se considera el paralelogramo ABCD, Aa,b, B−a,b, C−a,−b,
Da,−b. Se toma como nuevo eje X′, la diagonal AC, sentido positivo hacia la derecha. Como nuevo eje
Y′, la paralela por A a la diagonal BD, sentido positivo hacia arriba. Hallar las coordenadas de los cuatro
vérticesreferidasalnuevosistema.
Solución:
YY’’
YY
XX’’
BB AA
OO
XX
CC DD
El punto A coincide con el origen de los nuevos ejes, luego sus nuevas coordenadas son 0,0. Siendo
x,ylascoordenadasenlosnuevosejes,delcentroOdelparalelogramo,setiene:
x2  a2 b2 2abcos60º  a2 b2 ab,y2  a2 b2 −2abcos60º  a2 b2 −ab.
Luegolascoordenadaspedidas,son:
B − a2 b2 ab, a2 b2 −ab ,C −2 a2 b2 ab,0 ,D − a2 b2 ab,− a2 b2 −ab .
A2- En ejes rectangulares se dan las rectas mx2m−1y3  0, 4m−7x−m2y−8  0. Hallar:
1º) El valor de m para que sean perpendiculares. 2º) En este caso, hallar las coordenadas de su punto de
intersección. 3º)En el mismo caso, hallarel ángulo que forma la primera recta con el ejeOX. 4º)Hallarla
formacontinuadelasegundarectaenfuncióndelpuntodeinterseccióndeambas.
−m 4m−7
Solución: 1º) Para que sean perpendiculares, ha de verificarse que:   −1. Es decir:
2m−1 m2
5 21
m2 −5m1  0. De donde: m  . 2º) Las coordenadas del punto de intersección, son:
2
3713 21 5820 21 −m −5∓ 21
, . 3º) El ángulo pedido es:   arctan  arctan , de
14129 21 −141∓29 21 2m−1 82 21
donde  toma los valores −29º10′22′′ y 19º42′37′′6. 4º) La forma continua de la segunda recta en función
3713 21 5820 21
x− y−
14129 21 −141∓29 21
delpuntodeintersección,es:  .
9 21 32 21
2
A3- En ejes de ángulo 60º se considera la recta que pasa por M4,4 y es perpendicular a OM. 1º) Hallar la
ecuación de esta recta. 2º) Hallar las coordenadas de los puntos de esta recta que distan de M, 2 unidades.
7
3º)HallalabisectrizdelánguloformadopordicharectayelejeOX.
Solución: 1º) Ecuación de OM: y−x  0. Ecuación de las rectas que pasan por M: y−4  x−4. La
1
condición de perpendicularidad es: 1mm′ mm′cos  1  0. Luego   −1. La
2
ecuación pedida es: xy−8  0. 2º) El cuadrado de la distancia de x,8−x a 4,4, es:
x−42 8−x−42 − −2x−48−x−4cos60º  4. De donde las coordenadas pedidas son:
2 3 2 3
x  4 ,y  4∓ .3º)Lasecuacionesdelasbisectricesdelánguloformadoporxy−8  0,
3 3
xy−8 y
y  0,son:   ,esdecir:x−8  0,x2y−8  0.
11−2cos60º 1
A4- En ejes de ángulo   60º, se pide: 1º)Ecuación de la recta que pasa porel punto A1,3y forma con la
recta y  2x un ángulo de 45º. De las dos soluciones, se hallará aquella recta que corta a OY en el punto
máscercanoalorigen.2º)CoordenadasdelospuntosBdeesarectaquedistandeA,3unidades.
Solución:
YY BB
22
AA CC θθ
YY
11
θθ
XX XX
11 22
−2sin60º
1º) Recta pedida: y−3  x−1. Ángulo de las dos rectas: tan45º  . De
12−2cos60º
donde:   −1 3. Las ordenadas de los puntos de corte con x  0, son: y  4 3, siendo el punto
más cercano al origen el correspondiente a  −1 3. En consecuencia, la ecuación de la recta pedida,
es: y  3 −1 x4− 3. 2º) Siendo un punto de esta recta: x, 3 −1 x4− 3 , se tienen las
siguientes distancias: AC  x−1, BC  3 −1 x−1. Por tanto, el cuadrado de la distancia entre los
puntos A y B, es: AB2  x−12  3 −1 x−1 2 −2x−1 3 −1 x−1cos−60º  9.
3 3 −1
3
DedondesetienequelaabscisadeBes:x  1 ,siendosuordenada:3 .
4− 3 4− 3
A5- En ejes rectangulares se da la recta a, de ecuación 2x4y−7  0. 1º) Hallar la ecuación de la recta c,
simétrica de la dada, respecto de la recta b, de ecuación x−y−6  0. 2º) Sea M el punto de intersección
PM −2
delastresrectas,yAelpuntodeinterseccióndeaconOX.HallarunpuntoPdeatalque  .
PA 3
Solución:
aa cc bb
BB
OO
AA
PP MM
QQ
1º) Ecuación de a: 2x4y−7  0. Ecuación de b: x−y−6  0. Coordenadas de su intersección
M 31 , −5 . Ecuación de c: y 5  m x− 31 . Como ma −mb  mb −mc , m  −1 ,
6 6 6 6 1m m 1m m a 2
a b b c
7
m  1, se tiene m  −2, con lo que la ecuación de c es: 4x2y−19  0. 2º) Siendo A ,0 , las
b c 2
31 2 7 −5 2
   0
6 3 2 9 6 3 −1 9 −1
coordenadasdePson:x   ;y   .Esdecir:P , .
2 2 2 2 2 2
1 1
3 3
A6- En ejes rectangulares se dan las rectas y2 −7xy4x2  0. Hallar la ecuación que da el conjunto de sus
bisectrices.
8
Solución: Sea y  x, una de las bisectrices, y sean m y m′ las pendientes de las rectas dadas. Se tiene:
−m  m′ − , es decir: mm′2 −2mm′ −1−mm′  0. Como mm′  7, mm‘ 4,
1m 1m′
y
  ,sustituyendosetiene:7x2 −7y2 6xy  0.
x
A7- En ejes rectangulares se considera el triángulo ABC, cuyos vértices son: A1,2, B4,−5, C6,−2. Se
pide: 1º) Ecuación de la bisectriz interior del ángulo A. 2º) Ecuación de la altura BH trazada desde el
vérticeBsobreAC.3º)Coordenadasdelospuntosdeestaalturaquedistan4unidadesdelvérticeB.
Solución: 1º) AB ≡ 7x3y−13  0, AC ≡ 4x5y−14  0. Ecuación de las bisectrices:
7x3y−13 4x5y−14
 . Las abscisas de los puntos de corte con OX, de AB, AC y de las
499  1625
bisectrices, son, respectivamente: 1.8, 3.5, −1.6, 2.5. Luego la bisectriz interior corresponde al signo
negativo de la raíz (abscisa 2.5), siendo su ecuación: 4 58 7 41 x 5 58 3 41 y−
16416 41 −20520 41
−14 58 −13 41  0.2º)BH ≡ 5x−4y−40  0.3º)x  ,y  .
41 41
A8- Dadas las rectas P ≡ AxByC  0, Q ≡ A′xB′yC′  0, hallar la relación que debe existir entre
yparaquelasrectasPQ  0,PQ  0,seanperpendiculares.
AA′ AA′
Solución: Pendiente de PQ  0, m  − ; pendiente de P′ Q′  0, m′  − ; la
BB′ BB′
condición de perpendicularidad es: mm′  −1. Luego: AA′AA′BB′BB′  0. Es
decir:A′2 B′2AA′ BB′A2 B2  0.
A9- La recta y  3x1 es la ecuación de un rayo incidente a, que se refleja al chocar con la recta b, cuya
ecuación es: 2x4y−5  0. Se pide: 1º) Ecuación del rayo reflejado c. 2º) Coordenadas del punto de
esterayoquedistedeldeintersecciónconlaprimerarecta,4unidades.
Solución:
YY aa cc
PP
bb
MM
XX
OO
PP’’
1 17
1º) Las coordenadas del punto de intersección son: M , . La ecuación del rayo reflejado c, es:
14 14
1 18 10 17 26 10
13x−9y10  0. 2º) El punto pedido es: P  ,  , si a se sitúa en el
14 25 14 25
semiplano superior definido por b (línea continua en la figura). Si se sitúa en el semiplano inferior (línea
1 18 10 17 26 10
detrazos),elpuntopedidoesP′ − , − .
14 25 14 25
A10- Calcular el ángulo V que forman las rectas: axbycosbx−aysincxdy  0,
cxdycos−dx−cysinaxby  0.
acosbsinc dsin−ccos−a
Solución: Las pendientes de estas rectas son: m  , m  .
1 asin−bcos−d 2 dcoscsinb
Haciendo: tan   t, sin  2t , cos  1−t2 , tan  2t , se tiene: tanV  m1 −m2 
2 1t2 1t2 1−t2 1m1m2
2t
  tan.Portanto,V  .
1−t2
A11- Dada la recta r ≡ 3x2y−5  0, se pide: 1º) Ecuaciones de las rectas que pasan por 2,−1 y forman
un ángulo de 45º con r. 2º) Ecuaciones de las rectas que forman con las anteriores un cuadrado de
diagonallarectar.3º)Longituddelladodelcuadrado.
9
3
m
2 −1
Solución: 1º) Siendo m la pendiente de las rectas pedidas, se tiene:  1, m  , m  5.
3m 1 5 2
1−
2
Las ecuaciones pedidas son: 5x−y−11  0, x5y3  0. 2º) Los puntos de intersección de estas dos
27 −8 31 −14
rectas con la recta dada, son: , y , . Las ecuaciones pedidas son: x5y1  0,
13 13 13 13
31 2 14 2 26
5x−y−13  0.3º)Elladomide 2−  −1  .
13 13 13
A12- En ejes rectangulares se proyecta un punto Pa,b en A sobre OX, y en B sobre OY. Se une A con B.
Por P se traza la perpendicular a AB. Demostrar que esta perpendicular pasa por un punto fijo cuando P
describeunarectaparalelaalabisectrizx−y  0.
Solución: El punto P recorre la recta y−b  x−a, siendo sus coordenadas a,b. La ecuación
x y a
de AB es:   1. La perpendicular por P es: y−b−  x−a−, de donde
a b b
ax−by−a2 b2
  . Se forma el sistema: ax−by−a2 b2  0, y−x2a−2b  0, cuya solución
y−x2a−2b
es:x  a−b,y  b−a,quesonlascoordenadasdelpuntofijo.
A13- Dado el haz de rectas x2 4xyy2 2x2 −2xy−y2  0, hallar: 1º) Valor de  para que las rectas
formenunángulodadoV.2º)ValormínimodeV.
Solución: 1º) Ordenando la ecuación del haz según las potencias de y, se obtiene la ecuación:
2− 2 12
2 −
y2  4−2 xy 12 x2  0.Dedonde:tanV  1− 1−  2 32 −53 .
1− 1− 12 2
1
1−
102tan2V2 25tan2V−11
Luego,   . 2º) Derivando tanV, respecto a , e igualando a cero, se
12−tan2V
16 11
tiene:  ,tanV  ,V  33º33′26′′3.
17 5
A14- En ejes oblicuos se dan los puntos Aa,0, B0,b. Se consideran dos puntos variables P y Q, P está
OA OB
sobreOX,yQsobreOY,deformaque   k.DemostrarquelarectaPQpasaporunpuntofijo
OP OQ
yhallarsuscoordenadas.
b x− k−ay ay−bx b
Solución: P,0, Q 0, , PQ ≡  . De donde,   . Luego, y  ,
k−a − b ky−b k
a a b
x  .Portanto,PQpasaporelpunto , .
k k k
A15- Se da el triángulo ABC: A0,h, Bb,0, C−b,0. Sea el punto P,. Se llaman A′, B′, C′ los
simétricos dePrespecto de los puntos medios deBC, AC, AB. DemostrarqueAA′, BB′, CC′ concurren en
unpuntoM,cuyascoordenadassehallaránenfuncióndelasdeP.DemostrarquelarectaPMpasaporun
puntofijocuandoPsemueveenelplano,hallandosuscoordenadas.
Solución: Los puntos simétricos de P, son: A′−,−, B′−b−,h−, C′b−,h−. Las
ecuaciones de las rectas son: AA′ ≡ hx−yh  0; BB′ ≡ h−x2by−bhb  0;
h − h
CC′ ≡ h−x−2bybh−b  0. Como h− 2b −bhb  0, las tres rectas
h− −2b bh−b
− h−
pasan por un punto cuyas coordenadas son: M , . La ecuación de la recta PM es:
2 2
h−3x3y−h  0. Para que pase por un punto independiente de ,, ha de cumplirse que sus
h
coeficientesseanulen,esdecir:x  0,3y−h  0.LuegoPMpasaporelpuntofijo 0, .
3
A16- Hallar las coordenadas de un punto tal que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos
x ,y ,x ,y ...x ,y ,seamínima.
1 1 2 2 n n
Solución: La suma  de los cuadrados de las distancias del punto x,y, a los puntos dados, es:
10