Problemas de fisica del estado solido

37 Pages·2016·1.232 MB·Spanish

by  Francisco Dominguez-Adame

Problemas de
física del estado sólido
Francisco Domínguez-Adame
Problemas de F´ısica
del Estado So´lido
por Francisco Dom´ınguez-Adame
Curso 2016-2017
Universidad Complutense de Madrid

´
Indice general
1. Estructura cristalina y cohesio´n 1
2. Din´amica de las redes ato´micas 5
3. Electrones libres 9
4. Electrones en un potencial perio´dico 13
5. Campos externos 19
6. Semiconductores y nanoestructuras 23
7. Defectos y desorden 27
8. Feno´menos cooperativos 29
i

´
BOLETIN 1
Estructura cristalina y cohesio´n
Problema 1.1 ⊲ Compruebe que los u´nicos ejes de simetr´ıa de rotaci´on
compatibles con la simetr´ıa de traslaci´on son de orden 1, 2, 3, 4 y 6.
Problema 1.2 ⊲ Si los vectores a (j = 1,2,3) definen la celda primitiva
j
de una cierta red, determine la condici´on que deben satisfacer los vectores
a′ = S a (i = 1,2,3) para que tambi´en sean vectores primitivos de la
i ij j
misma red.
Problema 1.3 ⊲ Sabiendo que el Ne cristaliza en una estructura cu´bica
centradaenlascarasdepara´metroa,determinequ´etipoderedbidimensional
constituyen los ´atomos contenidos en los planos (100). Exprese el mo´dulo de
sus vectores primitivos en funcio´n de a. Dibuje la celda de Wigner-Seitz de
dicha red bidimensional.
Problema 1.4 ⊲ Demuestre que a) todo vector G de la red rec´ıpro-
hkl
ca es perpendicular al plano (hkl) y b) el mo´dulo de G es inversamente
hkl
proporcional a la distancia interplanar entre los planos paralelos a (hkl).
Problema 1.5 ⊲ El grafeno es una monocapa de ´atomos de carbono densa-
1
2 Bolet´ın 1
mente empaquetados. Los ´atomos de carbono se dis- A B
ponen en una estructura denominada panal de abeja
a
mediante enlaces covalentes. El ´angulo entre los en-
a
◦ 1
laces de un ´atomo es 120 . La distancia entre dos
´atomos vecinos es a = 1,42˚A. La red cristalina es
a
triangular y la base es doble, constituida por los ´ato-
2
mos denominados A y B en la figura. a) Obtenga los Y
vectores a y a que definen la red cristalina y que
1 2
X
se muestran en la figura. b) Determine la celda de
Wigner-Seitz de la red rec´ıproca.
Problema 1.6 ⊲ Obtenga la ma´xima fracci´on de la superficie de un cristal
bidimensional que pueden ocupar los ´atomos, suponiendo que se comportan
como esferas r´ıgidas, en una red cuadrada de base simple. Repita el ca´lculo
cuando existe una base doble con ´atomos en el origen y en el punto medio de
la diagonal.
Problema 1.7 ⊲ Calcule la ma´xima fracci´on del volumen total de un cristal
que pueden ocupar los ´atomos, considerados como esferas duras, en las tres
redes cu´bicas.
Problema 1.8 ⊲ Un electro´n libre con momento h¯k incide sobre una regi´on
del espacio en la que existe un potencial V(r). La solucio´n del problema de
dispersio´n requiere resolver la ecuaci´on de Sch¨odinger
h¯2
2 +V(r) ψ(r) = Eψ(r) .
− 2m ∇
h i
Compruebe que la solucio´n se puede expresar como
2m
ψ(r) = ψ0(r)+ d3r′ (r r′)V(r′)ψ(r′) ,
h¯2 G+ −
Z
donde ψ0(r) es la onda plana que est´a incidiendo sobre el potencial y la
funcio´n de Green retardada satisface la ecuaci´on
2 +k2 (r) = δ(r) .
+
∇ G
(cid:0) (cid:1)
Mediante la transformada de Fourier, obtenga tambi´en (r).
+
G
Estructura cristalina y cohesio´n 3
Problema 1.9 ⊲ Determine el factor ato´mico de difusio´n de rayos X del
´atomo de hidr´ogeno en su estado fundamental, sabiendo que la densidad
electro´nica para dicho estado es n(r) = (πa3 )−1exp( 2r/a ), siendo a el
B − B B
radio de Bohr.
Problema 1.10 ⊲ Determine el factor de estructura del diamante y discuta
las posibles extinciones.
Problema 1.11 ⊲ Un haz monocrom´aticos de rayos X incide sobre una
cadena lineal de N ´atomos separados por una distancia a. Demuestre que la
anchura de los ma´ximos de difraccio´n es inversamente proporcional a N.
Problema 1.12 ⊲ Se pretende calcular los estados electro´nicos del io´n H+
2
y para ello se supone que el electro´n se mueve en una dimensi´on bajo un
potencial de interaccio´n de la forma V(x) = λ[δ(x+a/2)+δ(x a/2)],
− −
siendo λ > 0 una constante. Determine el valor de λ para que se obtenga la
energ´ıa de un electro´n en el ´atomo de hidr´ogeno cuando a . Calcule la
→ ∞
energ´ıa de los estados electro´nicos del io´n en funcio´n de a.
Problema 1.13 ⊲ Considere una cadena lineal diat´omica constituida por
iones de carga +e y e, separados por una distancia R en equilibrio. Deter-
−
mine la constante de Madelung para esta cadena.
Problema 1.14 ⊲ Considere la cadena lineal del problema anterior cuando
adema´s se incluye una energ´ıa potencial repulsiva entre vecinos ma´s pro´ximos
de la forma A/Rn, donde A > 0 y n > 1. Calcule la separacio´n de equilibrio
R y el trabajo por unidad de longitud necesario para comprimir la cadena de
0
maneraquelaseparacio´nentrevecinospro´ximosseaR (1 δ),con0 < δ 1.
0
− ≪
Problema 1.15 ⊲ El mo´dulo de compresibilidad del NaCl es B = 2,4
×
1011din/cm2 y la distancia de equilibrio entre ´atomos de Na y Cl es r =
0
2,82˚A. Si el potencial de interaccio´n entre ´atomos es V = e2/r +β/rn,
ij ± ij ij
calcule β y n.
Problema 1.16 ⊲ La energ´ıa potencial de N ´atomos, interaccionando me-
diante el potencial de Lennard-Jones, es
σ 12 σ 6
U(R) = 2NU C C
0 12 6
R − R
h (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) i
4 Bolet´ın 1
siendo R la distancia entre vecinos pro´ximos. Las constantes C y C depen-
6 12
den de la estructura cristalina
sc bcc fcc
C 8,4 12,25 14,45
6
C 6,2 9,11 12,13
12
a) Obtenga la separacio´n de equilibrio para cada una de las estructuras, en
unidades del para´metro σ. b) ¿Cua´l de las tres estructuras cu´bicas es ma´s
estable cuando T = 0K?
Problema 1.17 ⊲ Los para´metros del potencial de Lennard-Jones se pue-
den obtener a partir de medidas en el estado gaseoso. En el caso del H se
2
ha encontrado que U = 50 10−16erg y σ = 2,96˚A. Calcule la energ´ıa de
0
×
cohesio´n en kJ por mol de H en la estructura fcc. Compare el valor obtenido
2
con el resultado experimental, que es 0,751kJ/mol.
Problema 1.18 ⊲ Se pretende analizar los efectos de polarizaci´on en ´atomo
deungasnobledebidoalapresenciadeunio´nsituadoaunadistanciaR.Para
ello supondremos que el nu´cleo del ´atomo tiene una masa M y se encuentra
en reposo. Su nube electro´nica de masa m M se supone concentrada en
≪
un punto a una distancia x del nu´cleo, con un momento p. El Hamiltoniano
del ´atomo se expresa como
p2 1
= + kx2 +
I
H 2m 2 H
donde es el Hamiltoniano debido a la interaccio´n entre el ´atomo y el
I
H
io´n. Determine a) , b) la fuerza entre el ´atomo y el io´n en funcio´n de su
I
H
separacio´n y c) el valor esperado del momento dipolar inducido.
´
BOLETIN 2
Din´amica de las redes ato´micas
Problema 2.1 ⊲ La ecuaci´on para los desplazamientos ato´micos respecto
a la posici´on de equilibrio de una cadena monoat´omica lineal es
¨
MUn = K(Un+1 +Un−1 2Un)
−
donde M es la masa de los ´atomos y K la constante de interaccio´n entre
ellos. Compruebe que U (t) = Acos(kan ωt) es solucio´n de las ecuaciones
n
−
de movimiento, siendo a la separacio´n de equilibrio. Represente gra´ficamente
f(x,t) = cos(kax ωt) cuando t = 0 para k = π/3a y k = π/3a+2π/a. Co-
−
mente qu´e sucede cuando x es entero y relacio´nelo con el hecho de que ambos
nu´meros de onda se diferencian en un nu´mero de onda de la red rec´ıproca.
Problema 2.2 ⊲ Considere una red diat´omica lineal compuesta por ´atomos
de masa M = 5,9 10−26kg y M = 3,8 10−26kg. Suponga que la constate
1 2
× ×
recuperadora en la aproximaci´on arm´onica es K = 5N/m. Calcule el valor de
las frecuencias permitidas en el l´ımite de la primera zona de Brillouin.
Problema 2.3 ⊲ Considere una cadena lineal de ´atomos en la aproximaci´on
arm´omica, con separacio´n de equili-
brio a. Sea u (t) el desplazamiento
n
respecto al equilibrio del ´atomo n-
simo, como indica la figura. Adema´s
de la interaccio´n arm´onica entre ve-
5