Probing the structure of protoplanetary disks: a comparative study of DM Tau, LkCa 15 and MWC 480

0.94 MB·English

by  Vincent Piétu

Astronomy&Astrophysicsmanuscriptno.ms6537 c ESO2008
(cid:13)
February5,2008
Probing the structure of protoplanetary disks: a comparative
study of DM Tau, LkCa 15 and MWC 480
7
0 VincentPie´tu1,2,AnneDutrey1 andSte´phaneGuilloteau1
0
2
1 UniversitBordeaux1;CNRS;OASU;UMR5804,BP89,2ruedel’Observatoire,F-33270Floirac,France
n
a 2 InstitutdeRadio-AstronomieMillime´trique,300ruedelaPiscine,DomaineUniversitaireF-38406SaintMartind’He`res,France
J

5 Received11-Oct-2006,Accepted08-Jan-2007
1
ABSTRACT
1
v Context.Thephysicalstructureofproto-planetarydisksisnotyetwellconstrainedbycurrentobservations. Millimeterinterferometryisan
5
essentialtooltoinvestigateyoungdisks.
2
Aims.We study from an observational perspective the vertical and radial temperature distribution in a few well-known disks. The surface
4
densitydistributionofCOandHCO+andthescale-heightarealsoinvestigated.
1
0 Methods.Wereport CO observations at sub-arcsecond resolution with the IRAM array of the disks surrounding MWC 480, LkCa 15 and
7 DMTau,andsimultaneousmeasurementsofHCO+ J=1 0.Toderivethediskproperties,wefittothedataastandarddiskmodelinwhich
→
0 allparametersarepowerlawsofthedistancetothestar.Possiblebiasesassociatedtothemethodaredetailedandexplained.Wecomparethe
/ propertiesoftheobserveddiskswithsimilarobjects.
h
Results.WefindevidenceforverticaltemperaturegradientinthedisksofMWC480andDMTau,asinABAur,butnotinLkCa15.Thedisks
p
temperatureincreasewithstellareffectivetemperature.ExceptforABAur,thebulkoftheCOgasisattemperaturessmallerthan17K,below
-
o thecondensationtemperatureongrains.WefindthescaleheightoftheCOdistributiontobelarger(by50%)thantheexpectedhydrostatic
r scale height. The total amount of CO and the isotopologue ratio depends globally on the star. The more UV luminous objects appears to
t
s havemoreCO,butthereisnosimpledependency.The[13CO]/[HCO+ ]ratiois 600,withsubstantialvariationsbetweensources,andwith
a radius.Thetemperaturebehaviourisconsistentwithexpectations,butpublishedc∼hemicalmodelshavedifficultyreproducingtheobservedCO
:
v quantities.ChangesintheslopeofthesurfacedensitydistributionofCO,comparedtothecontinuumemission,suggestofamorecomplex
i surfacedensitydistributionthanusuallyassumedinmodels.Verticalmixingseemsanimportantchemicalagent,aswellasphoto-dissociation
X
bytheambientUVradiationatthediskouteredge.
r
a
Key words.Stars:circumstellarmatter–planetarysystems:protoplanetary disks–individual:LkCa15,MWC480,DMTau–Radio-lines:
stars
1. Introduction Ae disks and TTauri disks are too few to allow conclusions
aboutthewholedisk.Inparticular,thereisnospecificstudyon
CO rotation line observations of low-mass and intermediate-
the influence of the spectral type on the disk properties. This
mass Pre-Main-Sequence (PMS) stars in Taurus-Auriga (
canbeachievedbycomparingthepropertiesofouterdisksim-
∼
140 pc, Kenyon et al., 1994) provide strong evidences
agedbymillimeterarrays.
that both TTauri and Herbig Ae stars are surrounded by
large (R 200 800 AU) Keplerian disks (GMAur: The first rotationallines of CO (J=1-0 and J=2-1) mostly
out
∼ −
Koerneretal.(1993),GGTau:Dutreyetal.(1994),MWC480: tracethecoldgaslocatedintheouterdisk(R > 30AU)since
Manningsetal. (1997)). Differences between TTauri and currentmillimeterarraysaresensitivitylimitedanddonotal-
HerbigAedisksareobservedintheveryinnerdisk,veryclose low the detection of the warmer gas in the inner disk. In the
to the star (Dullemondetal. 2001; Monnier&Millan-Gabet lastyears,severaldetailedstudiesofCOinterferometricmaps
2002). However, detailed comparisons, namely based on re- have providedthe first quantitativeconstrains on the physical
solved observationsinstead of SED analysis, between Herbig propertiesoftheouterdisks.Amongthem,themethoddevel-
oped by Dartoisetal. (2003) is so far the only way to esti-
mate the overall gas disk structure. Dartoisetal. (2003) de-
Sendoffprintrequeststo:V.Pie´tu,e-mail:[email protected]
1 BasedonobservationscarriedoutwiththeIRAMPlateaudeBure duced the vertical temperature gradient of the outer gas disk
Interferometer. IRAM is supported by INSU/CNRS (France), MPG of DMTau from a multi-transition, multi-isotope analysis of
(Germany)andIGN(Spain). CO J=1-0 andJ=2-1 maps.The dustdistributionand its tem-
2 Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars
perature can be traced by IR and optical observations and 12CO and in HCO+. High resolution 12CO data was obtained
SEDmodelling(D’Alessioetal.1999;Dullemond&Dominik bySimonetal.(2000)whousedittoderivethestellarmass.
2004). HoweverPie´tuetal. (2006) recentlydemonstratedthat
SED analysis are limited by the dustopacity.Due to the high
MWC480: TheexistenceofadiskaroundthisA4HerbigAe
dustopacityintheopticalandintheIR,onlythedisksurface
star was first reported by Manningsetal. (1997). Using data
is properly characterized. Images in the mm domain, where
fromOVRO,theyperformamodellingofthegasdiskconsis-
the dust is essentially optically thin, revealed in the case of
tentwithKeplerianrotation.Morerecently,Simonetal.(2000)
MWC480adusttemperaturewhichissignificantlylowerthan
confirmed that the rotation was Keplerian and measured the
those inferredfrom SED analysis and from CO images. With
stellarmassfromtheCOpattern.
ALMA,themethoddescribedinthispaper,whichistodayonly
relevantto the outerdisk,will becomeapplicableto the inner
diskofyoungstars. ABAurigae: ABAur is considered as the proto-type of the
In this paper, we focus on the gas properties deduced Herbig Ae star (of spectral type A0) which is surrounded by
from CO data. The analysis of the millimeter continuum a large CO and dust disk. The reflection nebula, observed in
data, observed in the meantime, is presented separately theoptical,extendsfarawayfromthestar(Gradyetal.1999).
(Pie´tuetal. 2006)). Here, we generalize the method devel- Semenovetal.(2005)usedthe30-mtoobservethechemistry
opedbyDartoisetal.(2003)andweapplyittotwoKeplerian of the envelope. Pie´tuetal. (2005) has analyzed the disk us-
disks surrounding the TTauri star LkCa15 (spec.type K5, ing high angular resolution images of CO and isotopologues
Duvertetal.2000)andtheHerbigAestarMWC480(A4spec- fromtheIRAMarrayandfoundthat,surprisingly,therotation
traltype,Simonetal.2000).Byimprovingthemethod,wealso isnotKeplerian.Acentralholewasdetectedinthecontinuum
discuss the estimate of disk scale heights. Then, we compare imagesandinthemoreopticallythin13COandC18Olines.
theirpropertieswiththose surroundingHerbigAe andTTauri
diskssuchasABAur(Pie´tuetal.2005),HD34282(Pie´tuetal. 2.2.PdBIdata
2003),DMTau(Dartoisetal.2003).
For DMTau, LkCa15, and MWC480, the 12CO J=2-1 data
Afterpresentingthesampleofstarsandtheobservationsin
were observed in snapshot mode during winter 1997/1998in
Sect. 2, we describethe improvedanalysismethodin Sect. 3.
D,C2andB1configurations.Detailsaboutthedataqualityand
ResultsarepresentedinSect.4andtheirimplicationsdiscussed
reductionare givenin Simonetal. (2000) andinDutreyetal.
inSect.5.
(1998). The 12CO J=2-1 data were smoothed to 0.2 km.s 1
−
spectralresolution.TheHCO+ J=1 0 data were obtainedsi-
→
multaneously:a20MHz/512channelscorrelatorunitprovided
2. SampleofStarsandObservations
aspectralresolutionof0.13 km.s 1.The13COJ=1-0andJ=2-
−
2.1.SampleofStars 1observationsofDMTauaredescribedinDartoisetal.(2003).
We obtained complementary 13CO J=2-1 and J=1-0 (to-
Thestarswereselectedtosamplethewiderspectraltyperange gether with C18O J=1-0 observations) of MWC480 and
withonlyafewobjects.Table1givesthecoordinatesandspec- LkCa15. These observations were carried out in snapshot
tral type of the observed stars, as well as of HD34282 and mode(partlysharingtimewithABAur)inwinterperiodsbe-
GMAur which were observed in 12CO by Pie´tuetal. (2003) tween 2002 and 2004. Configurations D, C2 and B1 were
and Dutreyetal. (1998) respectively. Our stars have spectral used at 5 antennas. MWC480 has also shortly been observed
typerangingfromM1toA0.Allofthemhavedisksobserved in A configuration simultaneously with ABAur. Finally, data
atseveralwavelengthsandarelocatedinaholeorattheedge was obtained in the largest A+configuration for LkCa15 and
oftheirparentCOcloud. MWC480inJanuary2006(foradescriptionoftheseobserva-
tions, see Pie´tuetal. 2006). Both at 1.3mm and 2.7mm, the
tuning was double-side-band(DSB). The backend was a cor-
DMTau: DMTau is a bona fide T Tauri star.
relator with one bandof 20 MHz, 512 channels(spectralres-
Guilloteau&Dutrey (1994) first detected CO lines indi-
olution 0.11 km.s 1) centeredon the 13CO J=1-0, one on the
catingKeplerianrotationusingtheIRAM30metertelescope. −
C18OJ=1-0line,andathirdonecenteredonthe13COJ=2 1
Guilloteau&Dutrey(1998) have confirmedthose findingsby →
line(spectralresolution0.05 km.s 1),and2bandsof160MHz
resolving the emission of the 12CO J=1 0 emission using −
→ foreachofthe1.3mmand2.7mmcontinuum.Thephaseand
IRAM Plateau de Bure interferometer (PdBI) and derived
secondaryfluxcalibratorswere0415+379and0528+134.The
physical parameters of its protoplanetary disk and mass for
rms phase noise was 8 to 25 and 15 to 50 at 3.4 mm and
the central star. Dartoisetal. (2003) performed the first high ◦ ◦ ◦ ◦
1.3mm,respectively(upto70 onthe700mbaselines),which
resolution multi-transition, multi-isotope study of CO, and ◦
introducedpositionerrorsof 0.05 .Theestimatedseeingis
demonstrated the existence of a vertical temperature gradient ≤ ′′
about0.2 .
inthedisk. ′′
Flux density calibration is a critical step in such projects.
Thekinetictemperaturewhichisdeducedfromthemodelling
LkCa15: This is a CTT isolated from its parent cloud. is directly proportional to the measured flux density. This is
Duvertetal. (2000) and Qietal. (2003) observed the disk in evenmoreproblematicsincewecomparedataobtainedonsev-
Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars 3
Table1.Starproperties
Source RightAscension Declination Spect.Type EffectiveTemp.(K) StellarLum.(L ) COpaper
⊙
LkCa15 04:39:17.790 22:21:03.34 K5 4350 0.74 1,2
MWC480 04:58:46.264 29:50:36.86 A4 8460 11.5 1,2
DMTau 04:33:48.733 18:10:09.89 M1 3720 0.25 3
ABAur 04:55:45.843 30:33:04.21 A0/A1 10000 52.5 5
HD34282 05:16:00.491 -09:48:35.45 A1/A0 9440 29 4
GMAur 04:55:10.98 30:21:59.5 K7 4060 0.74 6
Col.2,3:J2000coordinatesdeducedfromthefitofthe1.3mmcontinuummapofthePdBI.Errorsbarsontheastrometryareoforder 0.05 .
′′
≤
Col.4,5,and6,thespectraltype,effectivetemperatureandthestellarluminosityarethosegiveninSimonetal.(2000)andPie´tuetal.(2003)
forHD34282andvandenAnckeretal.(1998)forABAur.Col.6,listofCOinterferometricpapersare:1=thispaper,2=Simonetal.(2000),
3=Dartoisetal.(2003),4=Pie´tuetal.(2003),5=Pie´tuetal.(2005),6=Dutreyetal.(1998).
eralyears. Hence, we took greatcare of the relativeflux cali- 3.1.SolvingtheRadiativeTransferEquation
bration by using not only MWC349 as a primary flux refer-
Tosolvetheradiativetransferequationcoupledtothestatisti-
ence,assumingafluxS(ν)=0.95(ν/87GHz)0.60(seetheIRAM
calequilibrium,wehavewrittenanewcode,offeringnonLTE
fluxreport14)butalsobyhavingalwaysourowninternalref-
capabilities. More details are given in Pavlyuchenkovetal.
erence in the observations. For this purpose we applied two
(2007).TheLTE part,whichis sufficientforlowenergylevel
methods:i)weusedMWC480asareferencebecauseitscon-
ofrotationalCO lines(J=1-0andJ=2-1),isstrictly similarto
tinuumemissionisreasonablycompactandbright,ii)wealso
thatofDutreyetal.(1994),andusesray-tracingtocomputethe
checkedthecoherencyofthefluxcalibrationonthespectralin-
images. TheHCO+ data wasalso analyzedin LTE mode(see
dexofDMTau,asdescribedinDartoisetal.(2003).Wecross-
Sect.3.2.3forthe interpretationof this assumption).We use a
checkedallmethodsandobtainedbythesewaysareliablerel-
scheme of nested grids with regular sampling to provide suf-
ativefluxcalibrationfromonefrequencytoanother.
ficient resolutionin the inner partsof the disk while avoiding
excessivecomputingtime.
2.3.DataReductionandResults
3.2.Descriptionofthephysicalparameters
We used the GILDAS1 software package (Pety 2005) to re-
ducethedataandasaframeworktoimplementourminimiza- For each spectral line, the relevant physical quantities which
tiontechnique.Figure1presentssomechannelmapsof12CO, controlthelineemissionareassumedtovaryaspowerlawas
13CO J=2 1 and 13CO J=1 0 for LkCa15 and MWC480. functionofradius(seeSect.3.2.1forthe interpretationofthis
→ →
Similar figures for DMTau can be found in Dartoisetal. term)and,exceptforthedensity,donotdependonheightabove
(2003), and for ABAur in Pie´tuetal. (2005). A velocity thediskplane.Theexponentistakenaspositiveifthequantity
smoothingto 0.6 km.s 1 (forMWC480)and0.4 km.s 1 (for decreaseswithradius:
− −
LkCa15)wasappliedtoproducetheimagesdisplayedinFig.1.
However,intheanalysisdonebyminimization,weusedspec- a(r)=a0(r/Ra)−ea
tral resolutions of 0.20km.s 1 (12CO and HCO+) and 0.21
− For eachmolecularline, the disk isthusdescribedbythe fol-
km.s 1(13CO),andnaturalweightingwasretained.
− lowingparameters:
The HCO+ imagesare presentedin Fig.2. The typicalan-
– X ,Y ,thestarposition,andV ,thesystemicvelocity.
gularresolutionoftheseimagesis3 4 .ForLkCa15,theline 0 0 disk
′′
− – PA,thepositionangleofthediskaxis,anditheinclination.
fluxiscompatiblewiththeresultquotedbyDuvertetal.(2000)
– V ,therotationvelocityatareferenceradiusR ,andvthe
andQietal.(2003),andforDMTauwiththesingle-dishmea- 0 v
exponentofthevelocitylaw.Withourconvention,v = 0.5
surementofDutreyetal.(1997).
correspondstoKeplerianrotation.Furthermore,thediskis
orientedsothattheV isalwayspositive.Accordingly,PA
0
variesbetween0and360 ,whileiisconstrainedbetween
◦
90 and90 (seefig.3).
3. ModeldescriptionandMethodofAnalysis − ◦ ◦
– T andq , thetemperaturevalueatareferenceradiusR
m m T
anditsexponent(seeSect.3.2.3).
In this section, we summarize the model properties and de-
scribe the improvements since the first version (Dutreyetal. – dV,thelocallinewidth,anditsexponentev.Theinterpre-
tationofdV isdiscussedinSect.3.2.6
1994).
– Σ ,themolecularsurfacedensityataradiusR anditsex-
m Σ
ponentp
m
1 Seehttp://www.iram.fr/IRAMFR/GILDAS formoreinforma- – Rout, the outer radius of the emission, and Rin, the inner
tionabouttheGILDASsoftwares. radius.
4 Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars
Fig.1.Channelmapsofthe12COand13CO lineemissiontowardsMWC480andLkCa15.Thesynthesizedbeamisindicatedin
eachpanel.Thecrossindicatesthedirectionofthemajorandminoraxisofeachdisk,asrespectivelyderivedfromtheanalysis
of the line data. The velocity of the channel is indicated in the upper left corner of each panel (LSR velocity in km.s 1). A
−
200m taper has beenapplied on the 13CO J=2 1 data of LkCa15 which where obtainedat higherangularresolution.Left:
→
MWC480Left:12COJ=2 1line,spatialresolution1.38 0.99 atPA 16 , contourspacing200mJy/beam,or3.4K, or3.6
′′ ◦
→ ×
σ.Middle:13COJ=2 1line,spatialresolution0.77 0.57atPA26 ,contourspacing50mJy/beam,or2.9K,or1.9σ.Right:
◦
→ ×
13COJ=1 0line,spatialresolution1.72 1.24 atPA37 ,contourspacing20mJy/beam,or0.9K,or1.8σ.Negativecontours
′′ ◦
→ ×
aredashed,andthezerocontourisomitted.Right:LkCa15Left:12COJ=2 1line,spatialresolution2.01 1.20 atPA12 ,
′′ ◦
→ ×
contourspacing150mJy/beam,or1.4K,or2.5σ.Middle:13COJ=2 1line,spatialresolution1.46 1.24atPA52 ,contour
◦
→ ×
spacing100mJy/beam,or1.4K,or1.6σ.Right:13COJ=1 0line,spatialresolution2.55 1.51 atPA47 ,contourspacing
′′ ◦
→ ×
30mJy/beam,or0.8K,or1.8σ.Negativecontoursaredashed,andthezerocontourisomitted.
– h , the scale height of the molecular distribution at a ra- It is important to realize that all these parameters can ac-
m
diusR ,anditsexponente :itisassumedthatthedensity tuallybeconstrainedforthelineswehaveobserved,underthe
h h
distributionisGaussian,with aboveassumptionofpowerlaws.Thiscomesfromtwospecific
Σ(r) propertiesofproto-planetarydisks:i)therapiddecreaseofthe
n(r,z)= exp (z/h(r))2 (1) surface density with radius, and ii) the known kinematic pat-
h(r)√π −
h i tern. Theonlyexceptionis the innerradius,R , forwhich an
in
(notethatwiththisdefinition,e <0inrealisticdisks)
h upperlimitoftypically20–30AUcanonlybeobtained.
thusgivingagrandtotalof17parameterstodescribetheemis- Theuseofpowerlawsisappropriateforthevelocity,pro-
sion. vided the disk self-gravity remains small. Power laws have
Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars 5
Fig.2. Channel maps of the HCO+ J=1 0 line emission towards DMTau, LkCa15 and MWC480. The cross indicates the
→
direction of the major and minor axis of each disk. The velocity of the channel is indicated in the upper left corner of each
panel(LSRvelocityinkm.s 1).Fordisplayingpurpose,thespectralresolutionis0.6 km.s 1forMWC480andLkCa15,and0.4
− −
km.s 1 forDMTau.All contourstepsare 20 mJy/beam( 2σ), negativecontoursare dashedandthe zero contourisomitted.
−
∼
Top:DMTau,spatialresolutionis4.3 3.3 atPA47 ,contourstep0.22K.Middle:LkCa15,spatialresolutionis4.6 3.4 at
′′ ◦ ′′
× ×
PA19 ,contourstep0.25K.Bottom:MWC480,spatialresolutionis3.5 2.5 atPA42 ,contourstep0.36K.
◦ ′′ ◦
×
been shown to be a good approximation for the kinetic tem- and a cylindricalrepresentation,where the functionsdepends
peraturedistribution(see,e.g.Chiang&Goldreich1997),and ontheprojecteddistanceonthedisk(r=ρ)andheightz
thus to the scale height prescription. For the surface density,
F = f(ρ,z) (3)
power laws are often justified for the mass distribution based
on the α prescription of the viscosity with a constant accre- withd2 = ρ2+z2.Itisobviousthattheexponentofthepower
tion rate: self-similar solutions to the disk evolution imply
lawswilldependslightlyonwhichdescriptionisselected.We
power laws with an exponentialedge (Hartmannetal. 1998).
haveevaluatedthedifferencesbetweenthetwodifferentrepre-
AlthoughMalbetetal.(2001)pointedoutsomelimitationsof
sentations(seeTab.2):asexpected,theresultsareverysimilar
thisassumptionfortheinnerparts(r<30AU)ofthedisk,the for 13CO,butthecylindricalrepresentationisa 8sigmabet-
approximation remains reasonable beyond 50 AU. However, terrepresentationfor 12COJ=2 1 (themosta∼ffectedtransi-
although this may be valid for H , chemical effects may lead →
2 tion because of its higher opacity). The most affected param-
to significant differences for any molecule. Given the limited
eters are Σ and h. However, with the exception of the scale
spatialdynamicrangeandsignalto noiseprovidedbycurrent
height,theeffectsremainsmallcomparedtotheuncertainties.
(sub-)millimeterarrays,usingmoresophisticatedprescriptions
Accordingly, we have arbitrarily decided to represent all pa-
isnotyetjustified,andpowerlawsofferafirstorderapproxi-
rametersintermsofcylindricallaws,i.e.theradiusisr =ρin
mationoftheoverallmoleculardistribution.
themodeldescription.
3.2.1. SphericalvsCylindrical representation 3.2.2. ReferenceRadius
Unless p 0,thechoiceofthereferenceradiusR willaffect
Todescribethediskanditsparameters,wecanuseeithercylin- m ≃ Σ
the relative error bar on Σ , δΣ /Σ . Depending on the an-
dricalorsphericalcoordinates. m m m
gular resolutionandon the overallextentof the emission, for
Thedescriptiongivenintheprevioussub-sectionisunam- eachmolecularline,thereisadifferentoptimalradiusR which
Σ
biguousforthindisks(whereh(r) r),However,formolec- minimizesthisrelativeerror.Thesameistrueforallotherref-
≪
ulardiskswithouterradiusaslargeas800AU,thediskthick- erenceradiiforthepowerlaws.Thismakesdirectcomparison
nessisnolongersmall,andtheclassicaltheoryofhydrostatic at an arbitrary radius not straightforward. To circumvent this
scale height, which uses cylindricalcoordinates,is only valid problem,wehavedeterminedΣ ,δΣ asafunctionoftheref-
m m
inthesmallh/rlimit.Itmaythenbecomesignificanttodistin- erenceradiusforeachtransition,andselectedtheR givingthe
Σ
guishbetweenasphericalrepresentation,wherethefunctions best S/N ratio. Results are given Fig.4-6: note that the curves
depends on the distance to the star (r = d) and height above Σ (R ) should not be interpreted as independentestimates of
m Σ
diskplane,z the local surface density at differentradii: they explicitly rely
ontheassumptionofasinglepowerlawthroughoutthewhole
F = f(d,z) (2) disk.
6 Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars
North North Table2.CylindricalvsSphericaldescription
i > 0 i < 0
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)P(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)A (cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) Line 13CO(1-0) 13CO(2-1) 12CO(2-1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) Disc (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) Cylindrical
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) axis (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) PA(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) Rout(AU) 791±33 725±24 868±15
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Daxisics (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) vVTq00((Kkm).s−1) −20.91..11270±±.±5000..03.079 201..4012.870±±.±5000..0.0365 202..04496.20±±.±5000..00.261
(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) dV(km.s−1) 0.133 0.015 0.136 0.015 0.147 0.010
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) ± ± ±
e 0.28 0.08 0.04 0.07 0.08 0.04
v − ± − ± ±
Σ (cm 2) 26.9 1.71016 41.4 6.11016 37.4 9.11018
North North m − ± ± ±
p 3.3 0.3 3.7 0.4 4.5 0.5
i < 0 i > 0 hm(AU) 27.1± 4.4 27.8± 2.9 33.4± 2.3
m ± ± ±
e 1.07 0.20 1.09 0.10 0.99 0.04
h − ± − ± − ±
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)PA(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) χ2 513329.3 514557.2 136376.5
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Daxisics (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Spherical
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Disc PA(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) RVTq0o0u(tkm.s−1) −208.91.0.13644±±±±0030..043.079 201..750237.027±±±±0002..0.00465 202..8056980.87±±±±0010..002.251
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1) axis (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1) dvV(km.s−1) 0.1350.50.016 0.1370.50.015 0.1830.50.012
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) ± ± ±
e 0.26 0.08 0.05 0.06 0.17 0.05
v − ± − ± ±
Fig.3.Geometricalconvention:fourdiskconfigurationsyield- Σm(cm−2) 25.7±1.81016 35.1±5.31016 41.1±7.41017
ing the same aspect ratio when projected are presented. The pm 3.2±0.3 3.6±0.4 3.4±0.4
h (AU) 20.7 2.2 23.4 2.4 19.7 1.4
shaded area correspond to the part of the disk that is closer m ± ± ±
e 1.32 0.18 1.13 0.12 1.25 0.06
to us than the plane of the sky containing the disk axis. The h − ± − ± − ±
χ2 513329.5 514558.9 136451.5
curvedarrow representsthe sense of rotation (thisdefinesthe
disk axis). The projected velocities allow to disentangle be-
ResultsforDMTauwith“free”scale-heightand“free”line-width(see
tweenoneofthetwocolumns(forthetwocasespresentedon Sect.3.2.5and3.2.6formoredetails)inthecylindricalandspherical
the left, the red-shifted part would be the lower part, and the representations.Caution:thistableisheretoillustratethedependence
contraryforthetwocasesontheright).Itispossibletodeter- onthegeometryofasmanyparametersaspossible.Thebestparame-
minethesignoftheinclinationeitherwiththeasymmetryatthe terstobeappliedtoDMTaushouldbetakenfromTable3.
systemicvelocityifsufficientsignaltonoiseisavailable,orby
other means, e.g. scattered images in the opticaland near-IR.
3.2.3. Temperaturelaw
PAisclassicallydesignedtobepositiveEastfromNorth.
TheinterpretationofT (andasaconsequenceofΣ )depends
m m
on the specific model of radiative transfer being used. In this
paper, we are dealing with CO isotopologues,for which LTE
isgoodapproximation:T isthenthekinetictemperature.For
m
transitionswhichmaynotbethermalized,twodifferentradia-
tive transfer models may be used. We can apply an LTE ap-
Thesameargumentscanbeappliedtoallotherpowerlaws, proximation:sincewearefittingbrightnessdistributions,Tmis
inparticulartothescaleheightandthetemperature.However, inthiscasetheexcitationtemperatureTex,andthesurfaceden-
for the latter, the exponentis usually small (q = 0.2 0.5), sityΣmiscomputedassumingthesametemperaturecontrolsall
− −
so the choice of the reference radius is less critical. Figure 4 levelpopulation,i.e. the partitionfunction.We can also solve
showsthevariationoftheparameters(hereΣ ,T andh)and formolecularline excitationusing a non-LTEstatistical equi-
m m
of the signal to noise ratio as a function of the reference ra- librium code: Tm is then the kinetic temperature, and Σm the
diusforDMTau.Thisisareanalysisofthedatapublishedby totalmoleculesurfacedensity,withinthelimitationsofthera-
Dartoisetal.(2003).Thismethodgivesconsistentresultswith diativetransfercodeaccuracy.Inthispaper,onlytheLTEmode
previouswork,butallowsamoreprecisedeterminationofthe wasused.
parameters(especiallythesurfacedensityasstatedabove),by
determining in which region they are constrained. Fig.4 indi-
3.2.4. SurfaceDensity
catesthatthetemperatureisdeterminedaround100–200AU,
whilethesurfacedensitiesareconstrainedinthe300–500AU Thesurfacedensityisexpectedtofalloffrapidlywithdistance
region. Somewhat smaller values apply to the other sources, from the star (p(H ) 1 2), and in particular much more
2
≃ −
LkCa15andMWC480(seeFig.5-6). rapidlythanthetemperature(q 0.5).Rememberingthat,be-
≃
Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars 7
causeofthepartitionfunction,thelineopacityofa J = 1 0 200AU),andtheexponente evenmoredifficulttoconstrain.
h
−
transition scales as Σ /T2 at high enough temperatures (for However,millimeterinterferometry,beinganheterodynetech-
m
constantline width),thisindicatesthat,in general,thecentral nique,allowsphasereferencingbetweenvelocitychannels,and
part of the disk is much more optically thick than the outer theprecisioninrelativepositionsisequaltothespatialresolu-
regions. For the detectable lines, the temperature can be de- tiondividedbytheSignaltoNoise(asourbandpassaccuracy,
rived from the emission from this optically thick core, while abouta degree, is not the limiting factor),i.e. 10 AU. This
∼
thesurfacedensityΣ isderivedfromtheopticallythinregion. super-resolutionapproximatelymatchestheexpecteddisplace-
m
Thisremainsvalidprovidedthesametemperaturelawapplies mentsduetoKeplerianrotation,
to the two regions. For the weakest lines, the optically thick
δv
coremaybetoosmall,andthetemperatureexponentremains δr=2r 10AUatr=100AU (4)
v ≃
essentiallyunconstrained:thisshouldbereflectedtobytheer-
ror bars on the temperature. In such cases, however, the line forδv=0.15km.s 1.NotethatinEq.4,thevaluetobeusedfor
−
emissionscalesasΣm/T (forJ=1-0line). δv is approximatelythe largestof the localline widthandthe
If the molecule is very abundant, such as CO, the local spectralresolution.Asaresult,thescale heighthasameasur-
line core may be optically thick almost throughout the disk. ableeffectontheimages,eventhoughtheflaringparameteris
However,thelocallinewingsremainopticallythin:if theve- difficulttoconstrain.
locityresolutionishighenough,thisinformationcanbeusedto Actually, because of the effect of the scale height on the
constrain the opacity, and hence the surface density, although diskimages,ifasimplehydrostaticequilibriumisassumedin-
lessaccurately.Toillustratethispoint,letusconsiderthecase steadofhandlingthescaleheightseparately,itwillresultina
ofafaceondisk.Theapparentwidthofthelineprofileisthen biasinthetemperaturelawsinceoneisthenintroducingacou-
controlledonlybytheinternalvelocitydispersion(turbulent+ plingbetweentheverticaldistributionofthemoleculesandthe
thermal)andbythe line opacity.Inthe outerparts, theline is temperaturewhichisverticallyisothermalinourmodel.
opticallythinandof Gaussianshape,while in the innerparts, Finally,notethatbecausethederivationofthescaleheight
thelineisbroadenedbythelargeopacity,andtheprofiletends depends on the differing inclinations of the optically thick
towardsasquareshape,withwidthproportionalto √ln(τ).The parts,thereisalsoacouplingbetweenthesurfacedensityand
evolutionofthe line profilesasfunctionofradiusindicatesat thescaleheightderivation.Thiscouplingisspeciallystrongfor
which radius τ = 1, and thus constrains the molecular sur- disksclosetoedge-on.
face density. Note thatif the spectralresolutionis insufficient
to properly sample the line width, this is no longer possible.
3.2.6. LineWidth
Currentcorrelatorsarenotinstrumentallylimitedbutsmooth-
ingcanbenecessarywhenthesensitivityisthelimitingfactor. Linebroadeningresultsfromacombinationofthermalandtur-
If the disk is not seen face on, the systematic velocity gradi- bulentvelocities.
entgetsuperimposedtothislocallinebroadening,butdoesnot
2kT
changethefundamentalrelationshipbetweentheapparent(lo- ∆V = +v2 (5)
r m turb
cal)linewidthandtheopacity.Inanycase,sincetheeffectgoes
as √ln(τ), measuringthe surfacedensityby sucha methodis However, an accurate representation of the thermal broaden-
expectedtoberatherunprecise,andwillresultinlargererrors. ing requires a correct fitting of the gas temperature. This can
Furthermore, it should be noted that this opacity broadening become problematic when dealing with lines which are sub-
effectresultsinaslightcouplingofthelinewidthparameters, thermally excited. Accordingly, our code offers two different
dV ande ,tothesurfacedensity. parameterizationsofthelinewidth.Thefirstoneis
v
2kT
∆V = +dV2 i.e. dV =v (6)
3.2.5. ScaleHeight r m turb
whichcorresponds,fore =0(v =cte),totheparametriza-
Theexistenceofaknownkinematicpatternalsoallowstocon- v turb
tionusedinourpreviouspapers.Thesecondoneis
strainthescaleheightparametersh ande .Unlessthediskis
0 h
seen face on, for an optically thin line, the velocity range in- ∆V =dV =dVm(r/RdV)−ev (7)
tersectedalongalineofsightwilldependonthediskinclina-
tion and flaring, resulting in a coupling between scale height i.e., we do not separate the thermalcomponentfromthe total
and line width. For an optically thick line, the difference in linewidth.Thisofferstheadvantageofprovidingvalueswhich
inclinations between the front and back regions of the disk arenotbiasedwhenthekinetictemperatureisdifficulttocon-
canalsobemeasured.Thespatialdistributionoftheemission strain (ascan happenforlineswhich are notat LTE).We use
as a function of projected velocity (or function of the veloc- thisnewdescriptioninthispaper.
ity channels) along the line of sight will depend on the scale Note that all line widths we quote are half-width at
height of the disk (this is illustrated for the opacity by Fig.3 1/e. This allows direct comparison with the thermal velocity,
from Dartoisetal. (2003)). At first glance, the expectedscale √2kT/m,butoneshouldmultiplyby2√ln(2)=1.66toconvert
heights, of order 50 AU at 300 AU from the star, would ap- toFWHM.Asdescribedbefore,thelinewidthisalsocoupled
peartoosmallcomparedtotheresolutionof0.7 1.5 (100to tothescaleheight.
′′
−
8 Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars
DM Tau
Fig.4. From left to right 12CO J=2 1, 13CO J=2 1, 13CO J=1 0 and HCO+ J=1 0 in DMTau. Top: TemperatureT
m
→ → → →
(blackcurve,leftaxis)andsignaltonoiseonthetemperatureT /δT (greycurve,rightaxis)asafunctionofreferenceradius
m m
R .MiddleSurfacedensityΣ (leftaxis)andsignaltonoiseonthesurfacedensityΣ /δΣ (rightaxis)asafunctionofreference
T m m m
radiusR . BottomScale heighth(leftaxis)andsignaltonoiseonthescaleheighth/δh(rightaxis)asa functionofreference
Σ
radiusR .
h
3.3.MinimizationTechnique do not include calibration errors (in phase and in amplitude).
Amplitude calibration errors will directly affect the absolute
Using the disk parametrization described above, we have im-
values of the temperature or the surface density (as a scaling
provedseveral aspects of the method originally developedby
factor,butnotthe exponent)while phaseerrorscanintroduce
Dartoisetal.(2003). a seeingeffect.Thelatter effectisverysmallforlineanalysis
becausemoleculardisksarelargeenoughbutitstartstobesig-
nificantfordustdisks.Ourcarefulcalibrationprocedurebrings
3.3.1. MinimizationMethodandErrorBars
the amplitude effect to below 10 %. All other parameters are
The comparison between model and data and the χ2 mini- essentiallyunaffectedbycalibrationerrors.
mizationis alwaysperformedinside the UV plane,using nat-
ural weighting (Guilloteau&Dutrey 1998). We have imple-
3.3.2. Continuum Handling
mentedamodifiedLevenberg-Marquardtminimizationscheme
to search for the minimum, and we use the Hessian to derive Thespeedimprovementallowedustotreatmoreproperlythe
theerrorbars.Thisschemeismuchfasterthanthegridsearch continuum emission. Even though the continuum brightness
technique used previously, and less prone to local minima. It is small comparedto the line brightness, continuumemission
allowstofitsimultaneouslymoreparameters,andthusprovide cannotbeignoredwhentryingtoretrieveparametersfromthe
a better estimates of the errors because the coupling between line emission because it appearssystematically in all spectral
parametersistakenintoaccount. channels.
However,thecurrentfitmethoddoesnothandleasymmet- Asimultaneousfitofthecontinuumemissionwithitsown
ricerrorbarswhichhappeninskeweddistributions:thislimi- physical parameters will properly take into account these bi-
tationshouldnotbeignoredwhenconsideringtheerrorsonΣ, ases. We performedthis by addingto the spectral UV table a
T orR .Thequotederrorbarsincludethermalnoiseonly,but channeldedicatedtothecontinuumemission.Theglobalχ2 is
out
Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars 9
LkCa15
Fig.5. Fromlefttoright12CO,13CO andHCO+ J=1 0 inLkCa15.Top:TemperatureT (blackcurve,leftaxis)andsignal
m
→
tonoiseonthetemperatureT /δT (greycurve,rightaxis)asafunctionofreferenceradiusR .MiddleSurfacedensityΣ (left
m m T m
axis)andsignaltonoiseonthesurfacedensityΣ /δΣ (rightaxis)asafunctionofreferenceradiusR .BottomScaleheighth
m m Σ
(leftaxis)andsignaltonoiseonthescaleheighth/δh(rightaxis)asafunctionofreferenceradiusR .ForHCO+ thetemperature
h
andsurfacedensitywereadjustedseparately:thecurvesshouldbeusedasanindicatoroftheregionoverwhichthesevaluesare
actuallyconstrained,butnotasaquantitativemeasureintermsofS/N,asthecouplingbetweentemperatureandsurfacedensity
isignored.
givenbythesumχ2 =χ2 +χ2 whereχ2 andχ2 aretheχ2 for edge, in practice less than 10 – 15 % for the disks we con-
C L C L
thecontinuumandforthelineminimization,respectively.The sidered.Accordingly,theerrormadebysubtractingthewhole
continuum emission is fitted using the following parameters: continuumemissionineverychannelisquitesmall.
R ,R ,theinnerandouterradiiofthedustdistribution,Σ
Cint Cout d Weverifiedthatthissimplifiedmethodgives,asexpected,
and p ,thesurfacedensitypowerlaw,andT andq ,thedust
d d d the same results as the robust one. We used it, as it is sig-
temperaturepowerlaw.Notethattherepresentationofthecon-
nificantly faster. This better handling of the continuum al-
tinuumneedsonlybeadequatewithinthenoiseprovidedbythe
lowed us to improveon the mass determinationof MWC480
spectral(total)linewidth,about10to20MHz,ratherthanfor
(Simonetal.2000),wherethecontinuumisrelativelystrong.
thewholereceiverbandwidth(600MHz).Asimplifiedmodel
isthusoftenacceptable,asshownbelow.
Wealsocomparedthisrobustmethodwithasimplified(and 3.3.3. Multi-Linefitting
faster)oneinwhichwesubtract,insidetheUV plane,thecon-
tinuumemissionfromthelineemissionbeforefitting.Thissub- Thecodehasalsobeenadaptedtoallowminimizationofmore
traction is not perfect: for the optically thick regions (which than one data set at a time. This has been used to simultane-
alwaysoccupysome fractionof the line emission) continuum ously fit the 13CO J=1 0 and J=2 1 transitions. For multi-
→ →
shouldnotbesubtracted.However,unlessthediskisseenface linefitting,thetemperatureis derivedfromthelineratio.The
on, because of the Keplerian shear, at each velocity, the line temperatureis determinedin the disk regionwhere bothlines
emitting/absorbingregiononlyoccupiesasmallfractionofthe are optically thin. In this case, the fit is much more accurate
disk area. This fraction is at most of order of the ratio of the than from a single line observation if there is no significant
local line width to the projected rotation velocity at the disk verticaltemperaturegradient.When a temperaturegradientis
10 Pie´tuetal.,:VerticalstructureofprotoplanetarydiskssurroundingHAeandTTauristars
MWC 480
Fig.6. Fromlefttoright12CO J=2 1,13COJ=2 1,13CO J=1 0 andHCO+ J=1 0inMWC480.Top:TemperatureT
m
→ → → →
(blackcurve,leftaxis)andsignaltonoiseonthetemperatureT /δT (greycurve,rightaxis)asafunctionofreferenceradius
m m
R .MiddleSurfacedensityΣ (leftaxis)andsignaltonoiseonthesurfacedensityΣ /δΣ (rightaxis)asafunctionofreference
T m m m
radiusR . BottomScale heighth(leftaxis)andsignaltonoiseonthescaleheighth/δh(rightaxis)asa functionofreference
Σ
radiusR .AsforLkCa15,temperatureandsurfacedensityareadjustedseparatelyforHCO+.
h
present,thederivedtemperaturewillreflectan“average”tem- should reflect the absolute astrometric accuracy of the IRAM
peratureweightedbythethermalnoise. interferometer.DifferentvaluesforT fromseveraltransitions
m
forthesamemolecule,oritsisotopologues,mayrevealvertical
4. Results temperaturegradients,or,in case ofnon-LTEexcitation,den-
sitygradients,sincesuchtransitionsprobedifferentregionsof
4.1.InterpretationofthePowerLawmodel the disk. The valuesof T fromdifferentmoleculesmay also
m
provideconstraintsonthedensity,becauseofthedifferentcrit-
Theparametricmodelwouldperfectlydescribethelineemis-
icaldensities.And,moredirectly,thevaluesofΣ , p ,R and
sion from a molecule in LTE in a vertically isothermal disk m m in
R willreflectthe chemicalcompositionofthe diskasfunc-
whichisinhydrostaticequilibrium,withpowerlawfortheki- out
tionofradius.
netic temperatureandsurfacedensity,andconstantmolecular
abundance.In such a case, e = q/2 if the local line width is
v
thermal, and h = q/2 1 v and h = ( 2kT /m)/V (us-
0 0 0 4.2.Geometricandkinematicparameters
− −
ing the same reference radius R = R =pR , m being the
h T v
mean molecular weight). If such a disk was chemically ho- Figure 7 shows the geometric and kinematic parameters PA,
mogeneous, all molecular lines would yield the same results i and rotation velocity V derived from the observed transi-
100
forthe17parameters(aftercorrectionofΣ forthemolecule tionsinDMTau,LkCa15andMWC480.Thegreyarearepre-
m
abundance).Differencesbetweentheparametersderivedfrom sent the 1 σ range of the mean value computed from the CO
severaltransitionswillreflectdeparturesfromsuchanidealsit- lines. As expected, the derived value are in very good agree-
uation. ment altogether. In particular, the distribution of the derived
Forexample,thegeometricparametersPAandishouldall valuesand the error barsare consistentwith a statistical scat-
beidentical,asshouldbethekinematicparametersV ,V ,v tering,meaningthat:i)theobservedlinescomefromthesame
disk 0
(and we should have v = 0.50 for Keplerian rotation). X ,Y disk,ii)theerrorbarshavethegoodmagnitude,andiii)there
0 0