Probabilistic Arithmetic

307 Pages·2005·1.67 MB·English

Probabilistic Arithmetic
by
Robert Charles Williamson(cid:0) B(cid:1)E(cid:1) (cid:2)Q(cid:1)I(cid:1)T(cid:1)(cid:3)(cid:0) M(cid:1)Eng(cid:1)Sc(cid:1) (cid:2)Qld(cid:3)
A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy(cid:0)
Department of Electrical Engineering(cid:0) University of Queensland(cid:0)
August(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4)
Statement of Originality
To the best of the candidate(cid:5)s knowledge and belief(cid:0) the material presented in this
thesis is original(cid:0) except as acknowledged in the text(cid:0) and the material has not been
submitted(cid:0) either in whole or in part(cid:0) for a degree at this or any other university(cid:4)
Robert Williamson(cid:4)
ii
Abstract
This thesis develops the idea of probabilistic arithmetic(cid:4) The aim is to replace
arithmetic operations on numbers with arithmetic operations on random variables(cid:4)
Speci(cid:6)cally(cid:0) we are interested in numerical methods of calculating convolutions of
probability distributions(cid:4) The long(cid:7)term goal is to be able to handle random prob(cid:7)
lems (cid:8)such as the determination of the distribution of the roots of random algebraic
equations(cid:9) using algorithms which have been developed for the deterministic case(cid:4)
To this end(cid:0) in this thesis we survey a number of previously proposed methods
for calculating convolutions and representing probability distributions and examine
their defects(cid:4) We develop some new results for some of these methods (cid:8)the Laguerre
transform and the histogram method(cid:9)(cid:0) but ultimately (cid:6)nd them unsuitable(cid:4) We
(cid:6)nd that the details on how the ordinary convolution equations are calculated are
secondary to the di(cid:10)culties arising due to dependencies(cid:4)
When random variables appear repeatedly in an expression it is not possible to
determine the distribution of the overall expression by pairwise application of the
convolutionrelations(cid:4) Wepropose amethodforpartiallyovercomingthisproblemin
the form of dependency bounds(cid:0) These are bounds on the distribution of a function
of randomvariableswhen onlythemarginaldistributionsof thevariables areknown(cid:4)
They are based on the Fr(cid:11)echet bounds for joint distribution functions(cid:4)
We develope(cid:10)cientnumericalmethods for calculating these dependencybounds
and show how theycan be extendedin a numberof ways(cid:4) Furthermorewe show how
they are related to the (cid:12)extension principle(cid:13) of fuzzy set theory which allows the
calculation of functions of fuzzy variables(cid:4) We thus provide a probabilistic interpre(cid:7)
tation of fuzzy variables(cid:4) We also study the limiting behaviour of the dependency
bounds(cid:4) This shows the usefulness of interval arithmetic in some situations(cid:4) The
limiting result also provides a general law of large numbers for fuzzy variables(cid:4) In(cid:7)
terrelationships with a number of other ideas are also discussed(cid:4)
A number of potentially fruitful areas for future research are identi(cid:6)ed and the
possible applications of probabilistic arithmetic(cid:0) which include management of nu(cid:7)
mericuncertaintyin arti(cid:6)cialintelligencesystemsand the study of random systems(cid:0)
are discussed(cid:4) Whilst the solution of random algebraic equations is still a long way
o(cid:14)(cid:0) the notion of dependency bounds developed in this thesis would appear to be of
independent interest(cid:4) The bounds are useful for determining robustness of indepen(cid:7)
dence assumptions(cid:15) one can determinethe range of possible results when nothing is
known about the joint dependence structure of a set of random variables(cid:4)
iii
Acknowledgements
I would like to acknowledge the help and support of the following people who con(cid:7)
tributed to this thesis in various ways(cid:4)
Most importantly I would like to publicly thank my wife Angharad(cid:0) who has
assisted megreatly in numerous ways over the years(cid:4) Without her help and support
this thesis would not have been possible(cid:4) I am deeply grateful for all the assistance
she has provided(cid:4)
I would also like to thank(cid:15)
My supervisor(cid:0) Professor Tom Downs(cid:0) for continued support(cid:0) assistance and
encouragement(cid:0) and for being a solver of administrative problems rather than a
generator of them(cid:16)
Former head of department Professor Mat Darveniza(cid:0) who helped me as a be(cid:7)
ginning graduate student and later assisted in my obtaining a CPRA scholarship in
order to pursue my PhD studies(cid:16)
The head of department(cid:0) Professor Tom Parnell(cid:0) for the use of departmental
facilities in the preparation of this thesis(cid:16)
Dr Phil Diamond of the Department of Mathematics(cid:0) University of Queensland(cid:0)
for useful advice and discussions and for the loan of some papers(cid:16)
An anonymous referee of the International Journal of Approximate Reasoning(cid:0)
for a question which led to section (cid:17)(cid:4)(cid:18) of chapter (cid:19)(cid:16)
Professor Brian Anderson of the Australian National University(cid:0) whose simple
questionastowhetherIhad lookedatanylimitingresultswaspartofthemotivation
for chapter (cid:17)(cid:16)
Dr Helen McGillivray of the Department of Mathematics(cid:0) Universityof Queens(cid:7)
land(cid:0) for a discussion on con(cid:6)dence intervals and other matters and the loan of a
book(cid:16)
Dr Guy West of the Department of Economics(cid:0) University of Queensland(cid:0) for
discussions and the loan of some papers(cid:4)
The following people assisted me by sending comments on some questions and
reprints of their papers(cid:15) Professor Alice Agogino (cid:8)Universityof California at Berke(cid:7)
ley(cid:9)(cid:0)Dr PieroBonissone (cid:8)GeneralElectricResearchLabs(cid:0) New York(cid:9)(cid:0) Dr Joel Bren(cid:7)
ner (cid:8)Palo Alto(cid:9)(cid:0) Professors Didier Dubois and Henri Prade (cid:8)University of Toulouse
III(cid:9)(cid:0) Professor Ju(cid:20)rgen Garlo(cid:14) (cid:8)Institut fu(cid:20)r Angewandte Mathematik Universit(cid:20)at
iv
Freiburg(cid:9)(cid:0)Professor RobinGiles(cid:8)Queen(cid:5)sUniversity(cid:0)Ontario(cid:9)(cid:0)Professor V(cid:4)L(cid:4)Girko
(cid:8)Kiev University(cid:9)(cid:0)Dr Ellen Hisdal (cid:8)University of Oslo(cid:9)(cid:0) Professor M(cid:4) Sambandham
(cid:8)Atlanta University(cid:9)(cid:0) Dr Elie Sanchez (cid:8)Marseille(cid:9)(cid:0) Professor Berthold Schweizer
(cid:8)University of Massachusetts(cid:0) Amherst(cid:9)(cid:0) Professor Eugene Seneta (cid:8)University of
Sydney(cid:9)(cid:0)Professor Ross Shacter(cid:8)Stanford University(cid:9)(cid:0)DrOskar Sheynin(cid:8)Moscow(cid:9)(cid:0)
Professor Ushio Sumita (cid:8)University of Rochester(cid:9) and Professor Klaus Weise
(cid:8)Physikalisch(cid:7)Technische Bundesanstalt(cid:0) Braunschweig(cid:0) West Germany(cid:9)(cid:4)
I would also like to thank the indulgence of the Electrical Engineering librarian
Mrs Barbara Kormendy(cid:0) and the Mathematics Librarian Mrs Freida Kanowski(cid:4)
It is a pleasure to acknowledge a debt to Donald Knuth and Leslie Lamport
A
for the development of TEX and LTEX under which this thesis was prepared(cid:0) and
to James Alexander for his TIb bibliographic preprocessor(cid:4) These tools were most
useful(cid:4)
Financial support from a Commonwealth Postgraduate Research Award and a
grant from the Australian Research Grants Scheme is gratefully acknowledged(cid:4)
Finally(cid:0) I would like to acknowledge an intellectual debt to Karl Popper(cid:0) who(cid:0)
through his writings(cid:0) has taught me the importance of clarity of exposition and
honesty of thought(cid:4)
Publications
Most of the material in this thesis has been(cid:0) or will be(cid:0) published elsewhere(cid:4) The
following is a list of papers(cid:0) either published(cid:0) submitted(cid:0) or nearing submission(cid:0)
which report material on the topic of this thesis(cid:4) Some of these papers report
further material which is not included in this thesis(cid:4)
(cid:1)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamsonand Tom Downs(cid:0) (cid:12)Probabilistic Arithmeticand theDis(cid:7)
tribution of Functions of Random Variables(cid:0)(cid:13) Proceedings of the (cid:1)st IASTED
Symposiumon Signal Processing and its Applications(cid:0) Brisbane(cid:0) August (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:21)(cid:0)
(cid:1)(cid:1)(cid:18)(cid:22)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:21)(cid:4) (cid:8)Parts of chapter (cid:18)(cid:0) including further details and examples on
the histogram method(cid:9)(cid:4)
(cid:18)(cid:4) RobertC(cid:4)WilliamsonandTomDowns(cid:0)(cid:12)TheInverseandDeterminantofa(cid:18) (cid:18)
(cid:0)
UniformlyDistributed Random Matrix(cid:0)(cid:13) Statistics and Probability Letters(cid:0) (cid:0)(cid:1)
(cid:1)(cid:23)(cid:21)(cid:22)(cid:1)(cid:21)(cid:24)(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Chapter (cid:21)(cid:9)(cid:4)
(cid:19)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson and Tom Downs(cid:0) (cid:12)Probabilistic Arithmetic(cid:15) Numeri(cid:7)
cal Methods for Calculating Convolutions and Dependency Bounds(cid:0)(cid:13) accepted
for publication in the International Journal of Approximate Reasoning(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4)
(cid:8)Chapter (cid:19)(cid:9)(cid:4)
(cid:25)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson(cid:0) (cid:12)An Extreme Limit Theorem for Dependency Bounds
of Normalised Sums of Random Variables(cid:0)(cid:13) accepted for publication in Infor(cid:1)
mation Sciences(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Chapter (cid:17)(cid:9)(cid:4)
(cid:17)(cid:4) RobertC(cid:4)Williamson(cid:0)(cid:12)TheLawofLargeNumbersforFuzzyVariablesundera
GeneralTriangularNormExtensionPrinciple(cid:0)(cid:13)underrevisionforresubmission
to Fuzzy Sets and Systems(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Chapter (cid:23)(cid:9)(cid:4)
(cid:23)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson(cid:0) (cid:12)Interval Arithmetic and Probabilistic Arithmetic(cid:0)(cid:13)
to appear in the proceedings of SCAN(cid:7)(cid:3)(cid:2) IMACS(cid:7)GAMM(cid:7)GI International
Symposium on Computer Arithmeticand Self(cid:7)Validating Numerical Methods(cid:0)
Basel(cid:0) October (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)A summaryof chapters (cid:19) and (cid:17)(cid:0) and a discussion of the
relationship between probabilistic arithmetic and interval arithmetic(cid:9)(cid:4)
(cid:21)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson and Tom Downs(cid:0) (cid:12)Probabilistic Arithmetic(cid:15) Relation(cid:7)
ships with Other Ideas(cid:0)(cid:13) to be submitted to the International Journal of Ap(cid:1)
proximate Reasoning(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Chapter (cid:25)(cid:9)(cid:4)
vi
(cid:3)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson and Tom Downs(cid:0) (cid:12)Numerical Methods for Calculating
Convolutions of Probability Distributions(cid:0)(cid:13) to be submitted to Mathematics
and Computers in Simulation(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Chapter (cid:18)(cid:9)(cid:4)
(cid:2)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson(cid:0) (cid:12)The Quotient of Two Normal Random Variables(cid:15) An
HistoricalStudy(cid:0)(cid:13)inpreparation(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Tracesthehistoryofasimpleproblem
related to probabilistic arithmetic(cid:9)(cid:4)
(cid:1)(cid:24)(cid:4) Robert C(cid:4) Williamson(cid:0)(cid:12)The DiscreteT(cid:7)conjugate Transform(cid:0)(cid:13) in preparation(cid:4)
To be submitted to Information Sciences(cid:0) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:4) (cid:8)Extends the T(cid:7)conjugate
transform (cid:26) see section (cid:23)(cid:4)(cid:25) and chapter (cid:17)(cid:9)(cid:4)
Contents
(cid:2) Probabilistic Arithmetic (cid:3) The Very Idea (cid:2)
(cid:1)(cid:4)(cid:1) Motivation (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)
(cid:1)(cid:4)(cid:18) Outline of Results (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19)
(cid:1)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:1) Di(cid:14)erent Methods for Calculating Convolutions and the La(cid:7)
guerre Transform Method (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19)
(cid:1)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:18) The Dependency Bounds and Numerical Methods of Calcu(cid:7)
lating Them (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19)
(cid:1)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:19) Precursors(cid:0)MultipleDiscoveries(cid:0)andRelationshipswithFuzzy
Sets (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)
(cid:1)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:25) The Inverse and Determinant of a Random Matrix (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)
(cid:1)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:17) A Limiting Result for Dependency Bounds (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)
(cid:1)(cid:4)(cid:19) Thesis Structure(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)
(cid:1)(cid:4)(cid:25) Notational Conventions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)
(cid:4) Numerical Methods for Calculating Convolutions of Probability
Distributions (cid:0)
(cid:18)(cid:4)(cid:1) Introduction(cid:0) Aim and Analytical Methods (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)
(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:1) History(cid:0) Motivation and Outline (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)
(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:18) Exact Analytical Results (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)
(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:19) Specialised Formulae for Convolutions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)
(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:25) Integral Transforms (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:18)
(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:17) The H(cid:7)function Method (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:25)
(cid:18)(cid:4)(cid:18) Miscellaneous Numerical Methods for Calculating Convolutions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:17)
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:1) Normal Approximations and other Parameterised Distributions (cid:1)(cid:17)
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:18) Methods Based on Moments (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:23)
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:19) Non(cid:7)Linear Transformations (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:2)
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:25) Direct Sampling of the Densities for Sum and Di(cid:14)erence Con(cid:7)
volutions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:2)
viii
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:17) The Skinner(cid:27)Ackroyd Method (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18)(cid:24)
(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:23) Spline Based Methods (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18)(cid:18)
(cid:18)(cid:4)(cid:19) Laguerre Transforms and Other Orthonormal Transforms (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18)(cid:19)
(cid:18)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:1) The Laguerre Transform Method (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18)(cid:25)
(cid:18)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:18) Distributions of Products and Quotients using the Laguerre
and Mellin Transforms (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18)(cid:23)
(cid:18)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:19) Distribution of Products and Quotients Calculated with the
Laguerre Transform Directly (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:18)(cid:21)
(cid:18)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:25) Distributions of Products and Quotients using the Laguerre
Transform and Logarithmic(cid:27)Exponential Transformation of
Variables (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19)(cid:24)
(cid:18)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:17) Other Types of Laguerre Transforms and Related Results (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:19)(cid:2)
(cid:18)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:23) Conclusions on the Laguerre Transform Method (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)(cid:1)
(cid:18)(cid:4)(cid:25) The Histogram and Related Methods (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)(cid:18)
(cid:18)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:1) The Histogram Representation (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)(cid:18)
(cid:18)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:18) Combining Histograms to Calculate Convolutions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:25)(cid:25)
(cid:18)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:19) Kaplan(cid:5)s Method of Discrete Probability Distributions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)(cid:24)
(cid:18)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:25) Moore(cid:5)s Histogram Method (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:4)(cid:17) Interval Arithmetic and Error Analysis (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)(cid:17)
(cid:18)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:1) The Standard Interval Arithmetic (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)(cid:23)
(cid:18)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:18) Triplex Arithmeticand Dempster(cid:5)s Quantile Arithmetic(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)(cid:21)
(cid:18)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:19) IntervalArithmeticand Con(cid:6)dence Intervalsfromthe Metrol(cid:7)
ogist(cid:5)s Point of View (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:17)(cid:2)
(cid:18)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:25) Permutation(cid:7)Perturbation and Related Methods (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:18)
(cid:5) Numerical Methods for Calculating Dependency Bounds and Con(cid:6)
volutions (cid:7)(cid:5)
(cid:19)(cid:4)(cid:1) Introduction (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:25)
(cid:19)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:1) The Problem (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:17)
(cid:19)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:18) The Idea of Probabilistic Arithmeticand the Need for Depen(cid:7)
dency Bounds (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:17)
(cid:19)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:19) Methods of Handling the Errors in Probabilistic Arithmetic (cid:0) (cid:23)(cid:21)
(cid:19)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:25) Outline of the Rest of This Chapter (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:3)
(cid:19)(cid:4)(cid:18) De(cid:6)nitions and Other Preliminaries (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:3)
(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:1) Distribution Functions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:3)
(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:18) Binary Operations (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:2)
(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:19) Quasi(cid:7)Inverses (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:23)(cid:2)
(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:25) Triangular(cid:7)norms (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)(cid:24)
(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:17) Copulas and Joint Distribution Functions(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)(cid:24)
(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:23) The Triangle Functions (cid:1) and (cid:2) and (cid:3)(cid:7)convolutions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)(cid:1)
(cid:19)(cid:4)(cid:19) Dependency Bounds and their Properties (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)(cid:18)
(cid:19)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:1) The Dependency Bounds (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)(cid:18)
(cid:19)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:18) Pointwise Best(cid:7)Possible Nature of the Bounds (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:21)(cid:25)
(cid:19)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:19) Examples (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:24)
(cid:19)(cid:4)(cid:19)(cid:4)(cid:25) Exclusive Use of Lower and Upper Bounds (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:21)
(cid:19)(cid:4)(cid:25) Numerical Representation (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:21)
(cid:19)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:1) Duality (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:3)(cid:3)
(cid:19)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:18) NumericalRepresentation and the Calculation of ldb(cid:0) and udb(cid:0) (cid:2)(cid:18)
(cid:19)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:19) Numerical Calculation of (cid:3)(cid:7)Convolutions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:23)
(cid:19)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:25) Calculation of Moments and other Functionals (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:2)(cid:2)
(cid:19)(cid:4)(cid:25)(cid:4)(cid:17) Examples (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:24)(cid:24)
(cid:19)(cid:4)(cid:17) Incorporating and Updating Dependency Information (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:24)(cid:21)
(cid:19)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:1) General Idea (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:24)(cid:21)
(cid:19)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:18) Interpretation of Dependencies Implied by CXY (cid:28) W (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:24)(cid:21)
(cid:1)
(cid:19)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:19) Use of CXY (cid:28) W in Probabilistic Arithmetic Calculations (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:1)
(cid:19)(cid:4)(cid:17)(cid:4)(cid:25) Measures of Dependence (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:18)
(cid:19)(cid:4)(cid:23) Use of Mixtures for Nonmonotonic Operations (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:19)
(cid:19)(cid:4)(cid:23)(cid:4)(cid:1) Introduction and General Approach (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:19)
(cid:19)(cid:4)(cid:23)(cid:4)(cid:18) ComplicationsArisingfromthe useof Lowerand UpperProb(cid:7)
ability Distributions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:25)
(cid:19)(cid:4)(cid:23)(cid:4)(cid:19) Di(cid:10)culties Introduced by Using the Numerical Approximations(cid:1)(cid:1)(cid:23)
(cid:19)(cid:4)(cid:23)(cid:4)(cid:25) NumericalAlgorithmsfor SplittingDistributions into Positive
and Negative Parts and Recombining Them (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:3)
(cid:19)(cid:4)(cid:23)(cid:4)(cid:17) Conclusions on the use of Mixtures for Nonmonotonic Opera(cid:7)
tions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:18)(cid:17)
(cid:19)(cid:4)(cid:21) Conclusions (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:18)(cid:17)
(cid:8) Relationships with Other Ideas (cid:2)(cid:4)(cid:9)
(cid:25)(cid:4)(cid:1) Introduction (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:18)(cid:3)
(cid:25)(cid:4)(cid:18) George Boole(cid:5)s Results on Fr(cid:11)echet Bounds and Some Recent Exten(cid:7)
sions and Applications (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1)(cid:18)(cid:2)