Price of Anarchy

38 Pages·2006·0.56 MB·English

TThhee PPrriiccee ooff AAnnaarrcchhyy
SShhaann LLii
JJuussttiinn AAzzaaddiivvaarr
PPrriiccee ooff AAnnaarrcchhyy--tthhee IIddeeaa
MMoottiivvaattiioonn:: eeqquuiilliibbrriiaa ooff nnoonnccooooppeerraattiivvee
(cid:132)(cid:132)
ggaammeess ttyyppiiccaallllyy iinneeffffiicciieenntt
PPrriissoonneerr’’ss DDiilleemmmmaa
(cid:190)(cid:190)
CCoonnggeessttiioonn ooff tthhee hhiigghhwwaayy
(cid:190)(cid:190)
PPrriiccee ooff aannaarrcchhyy:: qquuaannttiiffyy iinneeffffiicciieennccyy
(cid:132)(cid:132)
ww..rr..tt ssoommee oobbjjeeccttiivvee ffuunnccttiioonn
EExxaammppllee:: BBrraaeessss’’ss PPaarraaddooxx
SSeettuupp:: ttrraaffffiicc ((ee..gg..,,mmaannyy ccaarrss oorr
(cid:132)(cid:132)
ppaacckkeettss)) ppiicckk ss--tt ppaatthhss ttoo mmiinniimmiizzee
ttrraavveell ttiimmee
TTrraavveell ttiimmee iinnccrreeaasseess wwiitthh ccoonnggeessttiioonn
(cid:132)(cid:132)
C(x) = x C(x) = 1
t
s
C(x) = 1 C(x) = x
EExxaammppllee:: BBrraaeessss’’ss PPaarraaddooxx
½ of traffic
C(x) = x C(x) = 1
t
s
C(x) = 1 C(x) = x
½ of traffic
AAtt ““eeqquuiilliibbrriiuumm””,, ttrraavveell ttiimmee == 33//22 ffoorr aallll
EExxaammppllee:: BBrraaeessss’’ss PPaarraaddooxx
IInniittiiaall NNeettwwoorrkk::
(cid:132)(cid:132)
x 1/2 1/2 1
t
s
1 1/2 1/2 x
TTrraavveell ttiimmee == 11..55
(cid:132)(cid:132)
EExxaammppllee:: BBrraaeessss’’ss PPaarraaddooxx
AAuuggmmeenntteedd NNeettwwoorrkk::
(cid:132)(cid:132)
x 1
t
s 0
1 x
TTrraavveell ttiimmee == 22
(cid:132)(cid:132)
AAllll ttrraaffffiicc wwoorrssee ooffff!!
(cid:132)(cid:132)
TThhee DDeeffiinniittiioonn
PPrriiccee ooff aannaarrcchhyy:: wwoorrsstt--ccaassee rraattiioo
(cid:132)(cid:132)
bbeettwweeeenn ““ssoocciiaall ccoosstt”” ooff eeqquuiilliibbrriiuumm
aanndd ooff ooppttiimmuumm
DDeeffiinniittiioonn::
(cid:132)(cid:132)
Price of
Obj fn value of a Nash equilibrium
Anarchy =
of a
Optimal obj fn value
game
------mmiinniimmiizzaattiioonn:: >>==11
------mmaaxxiimmiizzaattiioonn:: <<==11
PPiiggoouu’’ss EExxaammppllee
11 uunniitt ooff ttrraaffffiicc ttrraavveellss ffrroomm ss ttoo tt
(cid:132)(cid:132)
Cost depends on congestion
c(x) = x
s t
c(x) = 1
No congestion effects
NNoottee:: ttoopp eeddggee iiss aa ddoommiinnaanntt ssttrraatteeggyy
IInn eeqquuiilliibbrriiuumm:: aallll ttrraaffffiicc oonn ttoopp eeddggee
(cid:190)(cid:190)
AAllll ttrraaffffiicc iinnccuurrss ccoosstt 11
(cid:190)(cid:190)
DDuuee ttoo [[PPiiggoouu 11992200]]
(cid:190)(cid:190)
CCoouulldd wwee ddoo bbeetttteerr??
CCoonnssiiddeerr iinnsstteeaadd :: ttrraaffffiicc sspplliitt eeqquuaallllyy
Flow = 1/2
c(x) = x
s t
c(x) = 1
Flow = 1/2
CCoosstt ooff NNaasshh ffllooww == 11**11++00**11 == 11
(cid:153)(cid:153)
CCoosstt ooff ooppttiimmaall ffllooww == ½½**½½ ++ ½½**11 == 33//44
(cid:153)(cid:153)
PPrriiccee ooff aannaarrcchhyy == 44//33
(cid:153)(cid:153)
xd
NNoonnlliinneeaarr PPiiggoouu’’ss EExxaammppllee
BBaadd EExxaammppllee::
(cid:132)(cid:132)
x d (d large)
1 1-e
s t
1
0 e
EEqquuiilliibbrriiuumm hhaass ccoosstt 11,, mmiinn ccoosstt 00
(cid:132)(cid:132)
NNaasshh ffllooww ccaann ccoosstt aarrbbiittrraarriillyy mmoorree tthhaann tthhee
(cid:132)(cid:132)
ooppttiimmaall ((mmiinn--ccoosstt)) ffllooww
------eevveenn iiff ccoosstt ffuunnccttiioonnss aarree ppoollyynnoommiiaallss