Table Of Content

Pretangent spaces with nonpositive and nonnegative Aleksandrov curvature V. Bilet and O. Dovgoshey Abstract.We find conditions under which the pretangent spaces to general metric spaces have the nonpositive Aleksandrov curvature or nonnegative 3 one. The infinitesimal structure of general metric cpaces with Busemann 1 0 convex pretangent spaces is also described. 2 n a 2010 MSC: 54E35. J 8 1 Key words: pretangent space, CAT(0)-space, Aleksandrov curvature, ] Busemann convexity, infinitesimal geometry of metric spaces. G M . h t a m [ Предкасательные пространства с неположительной 1 v 6 и неотрицательной по Александрову кривизной 5 4 4 В. В. Билет и А. А. Довгошей . 1 0 3 Аннотация. Мы находим условия, при которых предкасательные про- 1 : v странства к общим метрическим пространствам имеют неположитель- i X ную или неотрицательную кривизну по Александрову. Также описана r a инфинитезимальная структура общих метрических пространств с вы- пуклыми по Буземанну предкасательными пространствами. 2010 MSC: 54E35. Ключевые слова: предкасательное пространство, CAT(0)- пространство, кривизна по Александрову, выпуклость по Буземанну, инфинитезимальная геометрия метрических пространств. 1 1. Введение. Предкасательные и касательные пространства, используемые в насто- ящейработе,быливведеныв[8](см.также[9]).Напомнимнеобходимые определения. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Зафиксируем последовательность r˜ положительных вещественных чисел r , стремящихся к нулю. n Назовёмr˜нормирующей последовательностью.БудемобозначатьчерезX˜ множество всех последовательностей точек из X. Определение 1. Две последовательности x˜,y˜ ∈ X˜, x˜ = {xn}n∈N и y˜ = {yn}n∈N, взаимностабильны относительно нормирующей последовательности r˜ = {rn}n∈N, если существует конечный предел d(x ,y ) lim n n := d˜(x˜,y˜) = d˜(x˜,y˜). (1) n→∞ rn r˜ Cемейство F˜ ⊆ X˜ самостабильное, если любые две последовательности x˜,y˜∈ F˜ взаимностабильны, F˜ ⊆ X˜ − максимальное самостабильное, если F˜ самостабильное идляпроизвольнойz˜∈ X˜\F˜ существуетx˜ ∈ F˜ такая,чтоx˜иz˜невзаимностабильны. Из леммы Цорна легко следует, что для каждой нормирующей последовательности r˜ = {rn}n∈N существует максимальное самостабильное семейство X˜p,r˜ такое, что постоянная последовательность p˜= {p,p,...} ∈ X˜ . p,r˜ Рассмотрим функцию d˜: X˜ × X˜ → R, где d˜(x˜,y˜) = d˜(x˜,y˜) определена че- p,r˜ p,r˜ r˜ рез (1). Очевидно, d˜ симметрична и неотрицательна. Кроме того, из неравенства треугольника для d имеем d˜(x˜,y˜) ≤ d˜(x˜,z˜)+d˜(z˜,y˜) для всех x˜,y˜,z˜ из X˜ . Следова- p,r˜ тельно (X˜ ,d˜) − псевдометрическое пространство. p,r˜ Определим отношениеэквивалентности ∼наX˜ какx˜ ∼ y˜тогда итолькотогда, p,r˜ когда d˜(x˜,y˜) = 0. Обозначим через ΩX множество всех классов эквивалентности на r˜ p,r˜ X˜ , порождённых отношением ∼ . Для α,β ∈ ΩX положим ρ(α,β) = d˜(x˜,y˜), где p,r˜ p,r˜ x˜ ∈ α и y˜ ∈ β, тогда ρ − метрика на ΩX . Переход от псевдометрического простран- p,r˜ ства (X˜ ,d˜) к метрическому пространству (ΩX ,ρ) будем называть метрической p,r˜ p,r˜ идентификацией (X˜ ,d˜). p,r˜ Определение 2. Пространство (ΩX ,ρ) называется предкасательным к X в точке p,r˜ p относительно нормирующей последовательности r˜. Пусть {nk}k∈N − бесконечная, строго возрастающая последовательность нату- ральных чисел. Обозначим через r˜′ подпоследовательность {rn }k∈N нормирующей k последовательности r˜= {rn}n∈N и пусть x˜′ := {xn }k∈N для каждой x˜ = {xn}n∈N ∈ X˜. k 2 Ясно, что если x˜ и y˜ взаимностабильны относительно r˜, то x˜′ и y˜′ взаимостабиль- ны относительно r˜′ и d˜r˜(x˜,y˜) = d˜r˜′(x˜′,y˜′). Если X˜p,r˜ − максимальное самостабильное относительно r˜ семейство, тогда, по лемме Цорна, существует максимальное само- стабильное относительно r˜′ семейство X˜p,r˜′ такое, что {x˜′ : x˜ ∈ X˜p,r˜} ⊆ X˜p,r˜′. Обозначим через inr˜′ отображение из X˜p,r˜ в X˜p,r˜′ с inr˜′(x˜) = x˜′ для всех x˜ ∈ X˜p,r˜. После метрической идентификации отображение inr˜′ переходит в изометрическое вложение em′ : ΩX → ΩX , для которого диаграмма p,r˜ p,r˜′ in X˜p,r˜ −−−−r˜−′→ X˜p,r˜′ π π′ (2)       em′ ΩyX −−−−−→ ΩyX p,r˜ p,r˜′ коммутативна. Здесь π,π′ отображения проектирования на соответствующие фак- торпространства, π(x˜) := {y˜∈ X˜p,r˜ : d˜r˜(x˜,y˜) = 0} и π′(x˜) := {y˜∈ X˜p,r˜′ : d˜r˜′(x˜,y˜) = 0}. Предкасательное пространство ΩX является касательным, если em′ : ΩX → p,r˜ p,r˜ ΩXp,r˜′ биективно для каждого X˜p,r˜′. 2. Постановка задачи. В настоящей работе исследуются условия на метрическое пространство X, при которых предкасательные пространства ΩX имеют неотрица- p,r˜ тельную по Александрову кривизну и условия, при которых кривизна по Алексан- дровупространствΩX неположительна,т.е.ΩX являютсяCAT(0)-пространствами. p,r˜ p,r˜ Хорошо известные определения неотрицательности (неположительности) кривизны по Александрову даются для геодезических пространств с использованием так на- зываемых треугольников сравнения (comparison triangles) см., например, в [6, гл. 4] и являются достаточно громоздкими. Поэтому прямое использование этих опреде- лений при исследовании предкасательных пространств к общим метрическим про- странствампредставляетсязатруднительным.Положениеизменилосьпослетого,как Берг и Николаев дали следующую характеристику CAT(0)-пространств. Теорема 1. [2] Пусть (X,d) − геодезическое пространство. X является CAT(0)- пространством тогда и только тогда, когда неравенство четырехугольника d2(w,y)+d2(x,z) ≤ d2(w,x)+d2(x,y)+d2(y,z)+d2(z,w) (3) выполнено для любых точек w,x,y,z ∈ X. Простое доказательство этой теоремы было найдено в [13]. После появления [2], ЛебедеваиПетрунин[11]получилианалогичнуюхарактеристикупространствснеот- рицательной по Александрову кривизной. 3 Теорема 2. [11] Пусть (X,d) − полное геодезическое пространство. X является пространством неотрицательной по Александрову кривизны тогда и только тогда, когда неравенство 1 (d2(x,y)+d2(y,z)+d2(z,x)) ≤ d2(w,x)+d2(w,y)+d2(w,z) (4) 3 выполнено для любых точек w,x,y,z ∈ X. Таким образом, для описания структуры метрических пространств (X,d), пред- касательные к которым принадлежат классу CAT(0) или имеют неотрицательную по Александрову кривизну, достаточно найти: (i) инфинитезимальные аналоги неравенств (3) и (4); (ii) условия геодезичности ΩX ; p,r˜ (iii) условия полноты ΩX . p,r˜ Пункт (i) можно реализовать достаточно просто, если использовать так называ- емый “принцип переноса”, доказанный в [4]. Принцип переноса и его применение. Пусть (X,d) – метрическое пространство. Для каждого n ∈ N обозначим че- рез Xn множество всех n-наборов x = (x ,...,x ) таких, что x ∈ X, i = 1,...,n. 1 n i Обозначим через M пространство вещественных (n × n)-матриц t с топологи- n ей поточечной сходимости. Пусть M – фиксированный класс непустых метрических пространств и пусть F – фиксированное семейство непрерывных однородных функ- ций f : M → R,n = n(f) степени однородности s = s(f) > 0. n Будем говорить, что M определяется семейством F, если следующие два условия эквивалентны для всякого метрического пространства (X,d) : • (X,d) ∈ M; • неравенство f(m(x ,...,x )) ≥ 0 выполнено для каждой f ∈ F и всех 1 n d(x ,x ) d(x ,x ) ... d(x ,x )  1 1 1 2 1 n  d(x ,x ) d(x ,x ) ... d(x ,x ) m(x1,x2,...,xn) =  2... 1 2... 2 ... 2... n ,(x1,x2,...,xn) ∈ Xn.      d(x ,x ) d(x ,x ) ... d(x ,x )   n 1 n 2 n n  Пусть (X,d,p) – метрическое пространство c отмеченной точкой p. Полагаем δ (x ,...,x ) := max d(x ,p) (5) p 1 n i 1≤i≤n 4 для (x ,...,x ) ∈ Xn. Для f ∈ M определим функцию f∗ : Xn → R правилом 1 n f m(x1,x2,...,xn) , если (x ,x ,...,x ) 6= (p,p,...,p) f∗(x ,x ,...,x ) :=  (cid:16)δp(x1,x2,...,xn)(cid:17) 1 2 n 1 2 n  0, если (x ,x ,...,x ) = (p,p,...,p). 1 2 n   Лемма 1. [4] Пусть (X,d,p) – метрическое пространство с отмеченной точкой p и пусть M – семейство метрических пространств, определяемое некоторым се- мейством F. Следующие два утверждения эквивалентны: (i) Каждое предкасательное пространство ΩX принадлежит M; p,r˜ (ii) Неравенство liminf f∗(x ,x ,...,x ) ≥ 0 1 2 n x1,x2,...,xn→p выполняется для всякой f ∈ F. Положим d2(w,x)+d2(x,y)+d2(y,z)+d2(z,w)−(d2(w,y)+d2(x,z)) A (w,x,y,z) := , (6) 1 (δ (w,x,y,z))2 p d2(w,x)+d2(w,y)+d2(w,z)− 1(d2(x,y)+d2(y,z)+d2(z,x)) A (w,x,y,z) := 3 (7) 2 (δ (w,x,y,z))2 p при (w,x,y,z) 6= (p,p,p,p) и A (p,p,p,p) = A (p,p,p,p) = 0. 1 2 Следующая лемма следует непосредственно из леммы 1 при f∗ = A и f∗ = A . 1 2 Лемма 2. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Неравенство ρ2(α,β)+ρ2(γ,η) ≤ ρ2(α,γ)+ρ2(α,η)+ρ2(β,γ)+ρ2(β,η) выполнено для любого предкасательного пространства ΩX и любых α,β,γ,η ∈ ΩX p,r˜ p,r˜ тогда и только тогда, когда liminf A (w,x,y,z) ≥ 0. 1 w,x,y,z→p Неравенство 1 (ρ2(α,β)+ρ2(β,γ)+ρ2(γ,α)) ≤ ρ2(α,η)+ρ2(β,η)+ρ2(γ,η) 3 выполнено для любого предкасательного пространства ΩX и любых α,β,γ,η ∈ ΩX p,r˜ p,r˜ тогда и только тогда, когда liminf A (w,x,y,z) ≥ 0. 2 w,x,y,z→p 5 Геодезичность предкасательных пространств. Условия геодезичности предкасательных пространств к общему метрическому пространству исследовались в работе [3]. Для удобства читателя приведем необходимые для дальнейшего резуль- таты этой работы. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Напомним, чтоточкаm ∈ X называетсясрединной точкой дляx,y ∈ X,еслиd(m,x) = d(m,y) = = 1d(x,y). 2 Определение 3. Будем говорить, что пространство X является срединно вы- пуклым в точке p, если для любых двух последовательностей x˜ = {xn}n∈N и y˜ = {yn}n∈N ∈ X˜, сходящихся к p, найдется последовательность z˜ = {zn}n∈N ∈ X˜, z˜= z˜(x˜,y˜) такая, что 1 1 d(x ,z ) = d(x ,y )+o(δ (x ,y )) и d(y ,z ) = d(x ,y )+o(δ (x ,y )), (8) n n n n p n n n n n n p n n 2 2 где δ (x,y) определена формулой (5), а формулы (8) означают, что p d(x ,z )− 1d(x ,y ) d(y ,z )− 1d(x ,y ) lim (cid:12) n n 2 n n (cid:12) = lim (cid:12) n n 2 n n (cid:12) = 0. (9) n→∞ (cid:12) δp(xn,yn) (cid:12) n→∞ (cid:12) δp(xn,yn) (cid:12) Последовательность z˜в определении 3 будем называть инфинитезимальной сре- динной точкой для x˜ и y˜. Замечание 1. При d(x ,p) = d(y ,p) = 0 формула (9) не определена, но ее легко n n доопределить, считая, что выражения под знаком пределов равны нулю при x = n = y = z = p и +∞ при x = y = p,z 6= p. Таким образом, если x˜ = y˜ = p˜, n n n n n где p˜ = (p,p,p,...) − стационарная последовательность, а z˜= {zn}n∈N − инфини- тезимальная срединная точка для x˜ и y˜, то z = p для всех достаточно больших n n. Лемма 3. [3] Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если X является срединно выпуклым в точке p, то любое сепарабельное каса- тельное пространство ΩX является геодезическим. p,r˜ Лемма 4. [3] Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если все предкасательные пространства ΩX являются геодезическими, то X − p,r˜ срединно выпукло в точке p. Полнота предкасательных пространств. На сегодняшний день нет ни од- ного примера метрического пространства X с предкасательным пространством, не 6 являющимсяполным,однакополнотапроизвольногопредкасательногопространства остается не доказанной. В случае касательных ΩX справедлива следующая p,r˜ Лемма 5. [8] Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Тогда любое касательное пространство ΩX является полным. p,r˜ 3. Инфинитезимальные версии теорем Берга-Николаева и Лебедевой- Петрунина Теорема 3. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если X является срединно выпуклым в точке p и liminf A (w,x,y,z) ≥ 0, (10) 1 w,x,y,z→p где функция A (w,x,y,z) определена формулой (6), то любое сепарабельное каса- 1 тельное пространство ΩX является CAT(0)-пространством. p,r˜ Доказательство. Пусть X − срединно выпукло в точке p и имеет место (10). Рас- смотрим произвольное сепарабельное касательное пространство ΩX с метрикой ρ. p,r˜ По лемме 3 пространство ΩX является геодезическим, а по лемме 2 неравенство p,r˜ ρ2(α,β)+ρ2(γ,η) ≤ ρ2(α,γ)+ρ2(α,η)+ρ2(β,γ)+ρ2(β,η) (11) имеет место для любых α,β,γ,η ∈ ΩX . Следовательно, по теореме 1, ΩX является p,r˜ p,r˜ CAT(0)-пространством. Теорема 4. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если все предкасательные пространства ΩX являются CAT(0)-пространствами, p,r˜ то X − срединно выпукло в точке p и имеет место соотношение (10). Доказательство. ПустьвсепредкасательныепространстваявляютсяCAT(0)-прост- ранствами. По определению, любое CAT(0)-пространство является геодезическим. Следовательно, все ΩX являются геодезическими. По лемме 4, X − срединно вы- p,r˜ пукло в точке p. По теореме 1 из принадлежности ΩX ∈ CAT(0) следует неравен- p,r˜ ство (11) для любых α,β,γ,η ∈ ΩX . Значит (11) имеет место для всех ΩX и всех p,r˜ p,r˜ α,β,γ,η ∈ ΩX . Последнее, по лемме 2, равносильно выполнению (10). p,r˜ Теорема 5. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если X является срединно выпуклым в точке p и liminf A (w,x,y,z) ≥ 0, (12) 2 w,x,y,z→p 7 где функция A (w,x,y,z) определена формулой (7), то любое сепарабельное каса- 2 тельное пространство ΩX является пространством неотрицательной по Алек- p,r˜ сандрову кривизны. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3. Заметим только, что вместо теоермы 1 (Берга-Николаева) для произвольных геодезических пространств нужно использовать теорему 2 (Лебедевой-Петрунина), в которой пред- полагается полнота рассматриваемого геодезического пространства. Использование теоремы 2 возможно, так как лемма 5 гарантирует полноту касательных ΩX . p,r˜ Следующая теорема полностью аналогична теореме 4. Теорема 6. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если все предкасательные пространства ΩX являются полными геодезическими p,r˜ пространствами неотрицательной по Александрову кривизны, то X − срединно выпукло в точке p и имеет место соотношение (12). Из теорем 3 - 6 получаем следующее Следствие 1. Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Предположим, что любое предкасательное пространство ΩX является сепара- p,r˜ бельным и касательным. В этом случае: (i) X − срединно выпукло в точке p и выполнено (10) тогда и только тогда, когда все ΩX − геодезические пространства неположительной по Александрову p,r˜ кривизны. (ii) X − срединно выпукло в точке p и выполнено (12) тогда и только тогда, когда все ΩX − геодезические пространства неотрицательной по Александрову кри- p,r˜ визны. 4. Характеризация CAT(0) предкасательных пространств через неравен- ство Птолемея и выпуклость по Буземанну. Практически одновременно с ра- ботой [2] была опубликована статья T. Foertsch, A. Lytchak, V. Schroeder [10], в ко- торой CAT(0)-пространства были охарактеризованы как птолемеевы геодезические пространства выпуклые по Буземанну. Напомним, что метрическое пространство (X,d) называется птолемеевым, если следующее неравенство Птолемея d(x,y)d(u,v) ≤ d(x,u)d(y,v)+d(x,v)d(y,u) (13) имеет место для всех x,y,u,v ∈ X. 8 Определение 4. [12, с. 187] Геодезическое пространство (X,d) называется вы- пуклым по Буземанну (пространством Буземанна), если для любых двух аффинно параметризованных геодезических γ : [a,b] → X и γ′ : [a′,b′] → X отображение Dγ,γ′ : [a,b]×[a′,b′] → R, определенное как Dγ,γ′(t,t′) = d(γ(t),γ(t′)) является выпуклым. Мы не даем полное описание всех терминов, входящих в определение 4, отсылая читателя к монографии [12]. Теорема 7. [10] Метрическое пространство X является СAT(0)-пространством тогда и только тогда, когда X птолемеево и выпукло по Буземанну. Целью настоящего раздела является построение инфинитезимального аналога теоремы 7. Замечание 2. В работе [10] геодезическое пространство (X,d) называется выпук- лым по Буземанну, если для любых двух аффинно параметризованных геодезических β : [a,b] → X и γ : [a,b] → X отображение t 7→ d(β(t),γ(t)) является выпуклым. Используя утверждение 8.12 из [12], легко показать, что такое определение экви- валентно определению 4. Птолемеевость предкасательных. Условие птолемеевости предкасательных пространств было найдено в [5]. Его легко получить, используя неравенство Пто- лемея (13) и приведенный выше принцип переноса. Аналогично функциям A и A 1 2 зададим для пространства (X,d,p) функцию A как 3 d(x,w)d(y,z)+d(x,z)d(y,w)−d(x,y)d(w,z) A (w,x,y,z) = (14) 3 (δ (w,x,y,z))2 p при (w,x,y,z) 6= (p,p,p,p) и A (p,p,p,p) = 0. 3 Лемма 6. [5]Пусть (X,d,p) − метрическое пространство с отмеченной точкой p. Любое предкасательное пространство ΩX является птолемеевым тогда и только p,r˜ тогда, когда liminf A (w,x,y,z) ≥ 0. (15) 3 w,x,y,z→p 9 Выпуклость предкасательных пространств по Буземанну. Вопрос о вы- пуклости по Буземанну предкасательных пространств к общим метрическим про- странствам ранее не исследовался и, видимо, не может быть получен как простое следствие принципа переноса. Для того, чтобы определить “инфинитезимальную вы- пуклость по Буземанну” мы будем использовать характеризацию выпуклости по Бу- земанну в терминах срединных точек. Напомним, что если γ : [a,b] → X есть геодезическая, x = γ(a),y = γ(b), то образ отрезка [a,b] при отображении γ называется геодезическим сегментом и обознача- ется [x,y]. Таким образом, геодезические сегменты в X это в точности подмножества X, изометричные отрезкам прямой. Лемма 7. Пусть (X,d) − метрическое пространство, a,b,c ∈ X и [a,b],[b,c] − геодезические сегменты, лежащие в X. Если имеет место равенство d(a,b)+d(b,c) = d(a,c), (16) то множество [a,b]∪[b,c] − геодезический сегмент в X. В частности, если d(a,b) = = d(b,c) = 1d(a,c), то точка b принадлежит геодезическому сегменту [a,b]∪[b,c] 2 и является срединной для точек a и c. Мы не будем приводить формальное доказательство этой леммы. Напомним только,что(сточностьюдопараметризации)геодезическая вметрическомпростран- стве есть кривая, длина которой совпадает с расстоянием между её концами. Лемма 8. Пусть (X,d) − геодезическое пространство. Следующие утверждения эквивалентны. (i) X выпукло по Буземанну; (ii) Для любых трех точек x0,x1,y ∈ X выполнено неравенство 1 d(mx,y) ≤ (d(x0,y)+d(x1,y)), (17) 2 где mx − срединная точка для x0,x1. Доказательство. Какизвестно, X являетсявыпуклым поБуземанну тогдаитолько тогда, когда для любой точки y ∈ X и любого геодезического сегмента [x0,x1], ле- жащего в X, выполнено (17) (см. утверждение 8.12 из [12]). Следовательно (ii) ⇒ (i) доказано. Для проверки (i) ⇒ (ii) допустим, что X − выпукло по Буземанну, x0,x1,m ,y ∈ X и m − срединная точка для x0,x1. Если x0 = x1, то x0 = m = x1 x x x 10