Première valeur propre du laplacien, volume conforme et chirurgies

0.22 MB·French

by  Pierre Jammes

8 Première valeur propre du lapla
ien, volume
0
0
onforme et
hirurgies
2

n
Pierre Jammes
a
J

7
1 Résumé.(cid:22) On dé(cid:28)nit dans
et arti
le un nouvel invariant di(cid:27)erentiel des
VM(M) = infgVc(M,[g]) Vc(M,[g])
] variétés
ompa
tes par M , où [g] désigne le vo-
G lume
onforme de la variété pour la
lasse
onforme , et on montre que

et invariant est uniformément majoré. La prin
ipale motivation est qu'on en
D
déduit une majoration de l'inv2ariant de Friedlander et Nadirashvili dé(cid:28)ni par
h. infgsupg˜∈[g]λ1(M,g˜)Vol(M,g˜)n.
at La démonstration
onsisteMàétudier
ommentévoluel'invariantVM(M)quand
m on pratique des
hirugies sur .
Mots-
lefs : première valeur propre du lapla
ien, volume
onforme,
hirurgies.
[

1 VM(AMb)st=rain
ftg.V(cid:22)c(MW,e[gd])e(cid:28)ne a neVwc(Mdi,(cid:27)[egr]e)ntial invariant a
ompa
t maMnifold by
v , where is the
onformal volume of for the
[g]
8
onformal
lass , and prove that it is uniformly bounded above. The main mo-
3
tivation is that this bound provides a upper bound o2f the Friedlander-Nadirashvili
6 invariant de(cid:28)ned by infgsupg˜∈[g]λ1(M,g˜)Vol(M,g˜)n.
2 VM(M)
The proof relies on the study of the behaviour of when one performs
. M
1
surgeries on .
0
Keywords : (cid:28)rst eigenvalue of Lapla
ian,
onformal volume, surgeries.
8
0
MSC2000 : 58J50,35P15
:
v
i
X
1. Introdu
tion
r
a (Mn,g) n
Si est une variété riemannienne
ompa
te de dimension , on
λ (M,g) M
1
notera la première valeur propre du lapla
ien sur pour la mé-
g
trique . Dans [FN99℄, L. Friedlander et N. Nadirashvili ont dé(cid:28)ni un nouvel
invariant di(cid:27)érentiable des variétés
ompa
tes en posant
2
ν(M)= inf sup λ (M,g˜)Vol(M,g˜)n,
1
g (1.1)
g˜∈[g]
[g] = {h2g,h ∈ C∞,h > 0}
où désigne la
lasse
onforme de la mé-
g ν(M)
trique riemannienne . L'i2nvariant est bien dé(cid:28)ni
ar on sait que
supg˜∈[g]λ1(M,g˜)Vol(M,g˜)n < +∞
(voir [LY82℄, [ESI86℄ et [FN99℄).
1
ν(M)
L'invariant ν(S2) e=st 8trπès mνal(R
oPn2n)u=. E1n2πdimension 2, on peut déduire
de [LY82℄ que et en utilisant le fait que
es
deux surfa
es n'ont qu'une seule
lasse
onforme, et A. Girouard a montré
ν(T2) = ν(K2) = 8π K2
dans [Gi℄ que , où désigne la bouteille de Klein.
ν(Mn) ≥ ν(Sn) =
Mais en dimen2sion plus grande, on sait seulement que
nVol(Sn,gcan)n
(voir [FN99℄ et [CES03℄).
L'objet de
et arti
le est de montrer qu'à dimension (cid:28)xée, l'invariant
ν(M)
est uniformément majoré :
c(n) > 0
Théorème 1.2 Il existe une
onstante telle que pour toute variété
M n ν(M) < c

ompa
te de dimension , on a .
La démonstration du théorème 1.2 s'appuie essentiellement sur des ar-
guments géométriques et topologiques,
e qui
ontraste ave
les résultats
d'A. Girouard qui utilisent surtout des te
hniques d'analyse. En e(cid:27)et, le
point de départ de la démonstration
onsiste à se ramener à un problème
sur le volume
onforme. Cet invariant
onforme des variétés
ompa
tes est
dé(cid:28)ni par
V (M,[g]) = inf sup Vol(γ ◦ϕ(M)),
c
ϕ:(M,N[g≥])1֒→SNγ∈GN (1.3)
ϕ (M,[g])
l'appli
ation par
ourant l'ensemble des immersions
onformes de
SN G N
N
dans , et désignant le groupe de Möbius de dimension ,
'est-à-dire
SN
le groupe des di(cid:27)éomorphismes
onformes de . La propriété du volume

onforme qui nous intéresse i
i est qu'il permet de majorer uniformément la
première valeur propre du lapla
ien sur une
lasse
onforme :
(M,g)
Théorème 1.4 Si est une variété riemannienne
ompa
te, alors
2 2
λ1(M,g)Vol(M,g)n ≤ nVc(M,[g])n.
n = 2
Ce théorème est démontré pour dans [LY82℄, et généralisé en toute
dimension par A. El Sou(cid:28) et S. Ilias dans [ESI86℄.
ν(M)≤
On peut dédui2re immédiatement du théorème 1.4 la majoration
n · infgVc(M,[g])n
. On est don
ramené à majorer l'invariant di(cid:27)érentiel
V (M) = inf V (M,[g])
M g c
, qu'on appellera volume de Möbius dans la suite
de
e texte. Cette dénomination
e justi(cid:28)e par le fait qu'on peut reformuler
la dé(cid:28)nition de
et invariant par
V (M) = inf sup Vol(γ◦ϕ(M)),
M
ϕ:MN֒→SNγ∈GN (1.5)
2
ϕ
la di(cid:27)éren
e ave
le volume
onforme étant que par
ourt l'ensemble de
M SN
toutes les immersions de dans sans restri
tion. La référen
e aux mé-
M
triques et au
lasses
onformes sur a don
disparu, seuls interviennent la
SN G
N
métrique
anoniquedelasphère etl'a
tiondugroupedeMöbius .No-
V (Mn,[g]) ≥ Vol(Sn,g )
c
tonsVaus(sMi qnu)e≥laVmoli(nSonr,agtion)
lassique
an implique
M
que
an .
On va don
montrer le
c(n) > 0
Théorème 1.6 Il existe une
onstante telle que pour toute variété
M n V (M) < c
M

ompa
te de dimension , on a .
L'idée de la démonstration
onsiste à étudier
omment varie le volume de
Möbius quand on pratique des
hirurgies sur la variété. Nous distinguerons
deux
as : dans la se
tion 2 nous traiterons le
as de la dimension 2 en
expliquant lesaspe
tsgéométriques dela démonstration, etdans lase
tion 3
nous verrons le
as des dimensions plus grandes, pour lequel les aspe
ts
topologiques demandent plus de travail.
Notonsqu'endimension2,letRh3éorème1.6peutsedéduiredestravauxsur
les immersionsΣde surfa
es dans R3. On Wdé(cid:28)(Σni)t=laRfonH
t2idonvnelleHde Willmore
d'une surfa
e immergée dans par Σ , où désigne la
Σ

ourbure moyenne de . D'une part, P. Li et S. T. Yau obtiennent dans
V (Σ) ≤ W(Σ)
c
[LY82℄ l'inégalité et d'autre part R. Kusner a montré dans
W(Σ) < 16π
[Ku89℄ que toute surfa
e admet une immersion telle que . Il en
c(2) < 16π
dé
ouleimmédiatement quedanslethéorème1.6,onpeut
hoisir .
V (Mn) = Vol(Sn,g )
M
On peut se demander si l'égalité
an
ara
térise la
sphère
anonique; rappelons que la même question a été posée au sujet du
volume
onforme par P. Li et S. T. Yau dans [LY82℄ et qu'elle est en
ore
ouverte a
tuellement.
Je remer
ie Bernd Ammann pour plusieurs dis
ussions instru
tives au-
tour de la théorie du
obordisme.
2. Dimension 2
γ
Nous allons d'abord reformuler la dé(cid:28)nition du volume de Möbius. Si
G r SN
N
est un élément quel
onque de et une isométrie de la sphère , alors
Vol(r◦γ◦ϕ(M)) = Vol(γ◦ϕ(M)) ϕ M SN
pour toute immersion de dans .
On peut don
é
rire
V (M) = inf sup Vol(γ◦ϕ(M)),
M
ϕ:M֒→SNγ∈G′N (2.1)
3
G′ G
N N
où est une sous-ensemble de (pas né
essairement un sous-groupe)
G r ◦ γ γ ∈ G′
N N
tel que tout élément de s'é
rive sous la forme ave
et
r ∈ SO(N)
.
G′
N
Il existe plusieurs
hoix possibles pour , mais l'un d'entre eux est
parti
ulièrement adapté àSNla démRoNns∪tra{t∞io}n qui suit. En projetant stéréo-
graphiquemϕen:tMla ֒s→phRèrNe ∪{∞su}r , on se ramène à
onsidérer des
immersion en
al
ulant les volumes pour la métrique
gSN = (1+k4xk2)2geucl où geucl désigne la métrique eu
lidienne
anonique. On
G′
N
pReNut alors
hoisir pour l'ensemble des homothéties et des translations de
(voir le théorème 3.5.1 de [Be83℄).
n = 2
Supposons maintenant que . On va montrer que pour une surfa
e
M M

ompa
te donnée, on peut
ontrler le volume de Möbius de la variété f
M
obtenue par adjon
tion d'une anse à en fon
tion du volume de Möbius de
M
. On pourra alors
on
lure par une ré
urren
e sur le genre de la surfa
e.
ε > 0 ϕ M
On
ommen
ReNpar (cid:28)xer un réel et
hoisir une immersion de
dans un espa
e telle que
sup Vol(γ◦ϕ(M))−ε≤ Vol(ϕ(M)) ≤ V (M)+ε,
M
γ∈G′N (2.2)
ϕ

'est-à-dire que est pro
he de réaliser à la fois la borne supérieure et la
ϕ
borne inférieure dans la dé(cid:28)nition (2.1). On va
onstruire une immersion e
M ϕ Vol(γ◦ϕ(M)) γ ∈ G′
de fà partir de et
her
her à
ontrler e f pour tout N.
M M
La variété f est obtenue à partir de par adjon
tion d'une anse. On
ϕ M ϕ(M)
obtient don
une immersion ede fen ajoutant une anse (cid:28)ne à (voir
(cid:28)gure 1). Dans la suite,
ette anse sera un tube
entré sur un ar
de
ourbe
δ > 0
(cid:28)xéeetderayon variable.Onpeutenoutre
hoisir
ette
ourbedesorte
ϕ(M) N
que l'anse ne
oupe jamais , quitte à
hoisir su(cid:30)samment grand.
γ ◦ϕ(M) γ ∈ G′
On doit
her
her à
ontrler le volume de e f pour tout N.
ϕ(M)
Pour
ela, un élément
ru
ial est le fait que si l'anse ou est projeté
∞ γ
près du point sous l'a
tion de , son volume devient négligeable pour la
gSN γ
métrique , même si le rapport d'homothétie de est grand : en e(cid:27)et,
R R2
une homothétie de rapport va multiplier l'aire eu
lidienne par , mais
dans la formule gSN = (1+k4xk2)2geucl la norme de x est de l'ordre de R pour
ϕ(M)
les parties de e f projeté près de l'in(cid:28)ni et don
leur aire devient petite
R
quand devient grand.
γ ∈ G′ R
N γ
Pour tout , on notera son rapport d'homothétie. Si on se
R > 0 δ > 0 δ < δ
0 0 0
donne une
onstante , on peut trouver tel que si alors
γ R ≤ R γ
γ 0
pour tout tel que le volume de l'anse transportée par reste
Vol(γ ◦ ϕ(M)) ≤ Vol(γ ◦ ϕ(M)) + ε
négligeable,
'est-à-dire que e f et don
4
(a)
(b)
Fig. 1 (cid:21)
Vol(γ ◦ϕ(M)) ≤ V (M)+3ε R
e f M d'après (2.1). Si 0 est su(cid:30)samment grand,
R > R γ
γ 0
l'argument pré
édent s'applique aussi pour quand l'homothétie
envoie l'anse près de l'in(cid:28)ni, auquel
as son volume est aussi négligeable.
R > R
γ 0
Il reste don
à traiter la situation où et qu'une partie de l'anse
ϕ(M)
reste pro
he de l'origine, qui se s
inde en deux
as : est envoyé près
γ
de l'in(cid:28)ni par (
'est-à-dire qu'on fait un zoom sur (a) dans la (cid:28)gure 1),
ou bien la la partie de l'anse pro
he de l'origine est aussi pro
he du point
ϕ(M)
d'atta
he à (zoom sur (b) dans la (cid:28)gure 1).
Vol(γ ◦ ϕ(M))
Dans le premier
as, on va
oCmparer e f axu2 +volxu2m=e d1'un
1 2

xyli=nd.r.e. =in(cid:28)xni =((cid:28)g0ure 2).RNNotonRs le
ylindre d'équation et
4 N 0
dans . Si est su(cid:30)samment grand par rapport à la
γ◦ϕ(M)

ourbure de l'anse, le volume de e f peut être appro
hé par
elui d'un
C

ylindre homothétique à ,
'est-à-dire que
Vol(γ ◦ϕ(M)) ≤ V (C)+ε,
e f M (2.3)
V (C) = sup Vol(γ′(C))
où M γ′∈G′N .
Fig. 2 (cid:21)
R
0
Dans le se
ond
as, on peut
hoisir su(cid:30)samment grand par rapport à
ϕ(M)
la
ourbure de l'anse et de , de sorte qu'on puisse appro
her le volume
γ ◦ ϕ(M)
de e f par
elui d'un plan privé d'un disque auquel on re
olle un
demi-
ylindre ((cid:28)gure 3). On sait que le volume de
e plan pour la métrique
5
S2
sphérique est majoré par le volume de la sphère (voir [LY82℄ ou [ESI86℄).
On a don
dans
e
as la majoration
Vol(γ ◦ϕ(M)) ≤ 4π+V (C)+ε.
e f M (2.4)
(
)
Fig. 3 (cid:21) Fig. 4 (cid:21)
ϕ
Dansle
aspré
édentetdansla(cid:28)gure3,ona
onsidéréquel'immersion e
R ≫
1
n'est pas lisse au niveau de la jon
tion de l'anse. Étant donné un réel
R ϕ
0
, on peut lisser e de sorte que les approximations faites pré
édemment
R ≤ R R
γ 1 1
restent valables tant que . On
hoisit su(cid:30)samment grand pour
R > R
γ 1
que si , la
ourbure du
ylindre devienne négligeable. La zone (
)
dans la (cid:28)gure 3 peut alors être représenté
omme sur la (cid:28)gure 4 par deux
γ◦ϕ(M)
demi-plans reliés par un quart de
ylindre. le volume de e f peut alors
être grossièrement majoré
elui de deux plans et d'un
ylindre,
'est-à-dire :
Vol(γ ◦ϕ(M)) ≤ 8π+V (C)+ε.
e f M (2.5)
γ
Finalement, quel que soit , on a
Vol(γ◦ϕ(M)) ≤ sup{V (M),8π +V (C)}+3ε,
e f M M (2.6)
ε> 0 c= 8π+V (C)
M
et
e pour tout . Si on pose , on a don
sup Vol(γ ◦ϕ(M)) ≤ sup{V (M),c}
γ∈G′N e f M (2.7)
V (M)≤ sup{V (M),c}
et par
onséquent M f M .
Comme toutes les surfa
es
ompa
tes peuvent s'obtenir par adjon
tion
d'anses à partir de la sphère et du plan proje
tif dont les volumes de Möbius
c
sont inférieurs à , on en déduit par une ré
urren
e sur le genre de la surfa
e
que
V (M) ≤ c
M
(2.8)
M
pour toute surfa
e
ompa
te .
6
3. Dimension supérieure ou égale à 3
La démonstration du théorème 1.6 dans le
as général se déroule de la
même manière qu'en dimension 2. L'idée est d'étudier
omment évolue de
volume de Möbius quand on pro
ède sur la variété à des
hirurgies,
e qui
généralise l'adjon
tion d'anse. On se référera aux livres [Ra02℄ (
hapitres 1,
2 et 6) et [Ko07℄ (
hapitre VI et VII) pour les aspe
ts topologiques de la
démonstration.
Sk ֒→ Mn M
Plus pré
isément, si est une sphère plongée dans dont
Sk
le (cid:28)bré normal est trivial, on peut trouver un voisinage tubulaire de
Sk ×Bn−k Sk
di(cid:27)éomorphe à . Une
hirurgie de le long de
onsiste alors à
M M Sk×

onstruireunenouvellevariété fenprivant de
evoisinagetubulaire
Bn−k Bk+1×Sn−k−1
et en re
ollant le long du bord ainsi
réé la variété ,
e
pro
édé pouvant s'e(cid:27)e
tuer demanièrelisse.Onappelle degré dela
hirurgie
k Sk
la dimension de la sphère . Par exemple, l'adjon
tion d'anse vue dans
0
la partie pré
édente est une
hirurgie de degré (voir le premier
hapitre de
[Ra02℄).
Sur le modèle du paragraphe pré
édent, on obtient le résultat suivant :
n ≥ 3 0 ≤ k ≤ n − 2
Proposition 3.1 Soit et . Il existe une
onstante
c(n,k) > 0 M k
telle que si fest une variété obtenue par
hirurgie de degré sur
M n V (M) ≤ sup{V (M),c}
une variété
ompa
te de dimension , alors M f M .
Nous ne détaillerons pas la démonstration
ar
'est la même qu'en dimen-
Sk ֒→ M
sion 2 : après avoir
hoisi une sphère à (cid:28)bré normal trivial et une
ϕ(M) ϕ˜(M)
immersion véri(cid:28)ant (2.2),on obtient uneimmersion f en enlevant
ϕ(M) ϕ(Sk) δ
à un voisinage tubulaire de de rayon et en re
ollant le long du
Bk+1×Sn−k−1(δ) C
Sbonr−dk−u1ne×aRnske+1 .Lerledu
ylindre estjouéparleproduit
. On voit que pour que le volume de l'anse tende vers zéro
δ → 0 Sn−k−1
quand , il est indispensable que la sphère soit de dimension
k = n−1
au moins 1. C'est la raison pour laquelle on a ex
lu le
as dans la
proposition 3.1.
Des arguments
lassiques de la théorie du
obordisme permettent main-
tenant de déterminer quelles variétés on peut obtenir à partir d'une variété
n− 2
donnée à l'aide de
hirurgies de degré au plus . Rappelons que deux
M M n
1 2
variétés
ompa
tes (pas né
essairement
onnexes) et de dimension
W n+1
sont
obordantes s'il existe une variété à bord de dimension dont le
M ⊔M
1 2
bord est l'union disjointe de et que la relation ainsi dé(cid:28)nie est une
relation d'équivalen
e sur l'ensemble des variétés
ompa
tes. Plus pré
isé-
ment, on appelle
obordisme non orienté
ette relation. Nous auront besoin
7
en outre d'une autre notion de
obordisme, appelée
obordisme orienté dé-
(cid:28)nie uniquement sur les variétés orientées : une orientation sur la variété
W M
1
à bord induit une orientation sur son bord, deux variétés orientées
M n
2
et de dimension sont alors
obordantes s'il existe une variété orientée
W M −M −M M
1 2
dont le bord est la réunion de et , désignant la variété
∂W
munie de son orientation opposée (on
onsidère sur l'orientation induite
W
par
elle de et la donnée d'une normale sortante). Rappelons aussi que
deux variétés orientées peuvent être
obordantes au sens du
obordisme non
orienté sans l'être au sens du
obordisme orienté. Dans la suite de
e texte,
les
obordismes entre variétés orientables seront toujours
onsidérés au sens
orienté.
Ladémonstrationduthéorème1.6vasepoursuivreentraitantdemanière
analogue, mais distin
te, les
as des variétés orientables et non orientables.
M M
1 2
Proposition 3.2 Soit et deux variétés
onnexes
ompa
tes de même
n ≥ 3 M M
1 2
dimension . Si et sont
obordantes et toutes deux orientables
M M
2 1
(resp. non orientables), alors peut être obtenue à partir de par une
n−2
suite (cid:28)nie de
hirurgies de degré au plus .
Démonstration : Rappelons d'abord quelques résultats
lassiques de la
théorie de Morse de de la théorie du
obordisme (sur
e sujet, on peut
Wn+1

onsulter le
hapitre 2 de [Ra02℄ ou le
hapitre VII de [Ko07℄). Soit
M ⊔M M ⊔−M
1 2 1 2
une variété dont le bord est (ou dans le
as orienté). On
f : W → [0,1] f−1(0) = M
1
peut trouver une fon
tion de Morse telle que ,
f−1(1) = M x ,...,x 0 < f(x ) <
2 1 k 1
, dont les points
ritiques véri(cid:28)ent
... < f(x ) < 1 λ x
k i i
et telle que la suite des indi
es des points
ritiques
soit
roissante (voir [Ko07℄,
h. VII, se
tions 1 et 2). On sait alors que si
y ∈ [0,1] f−1(y)
, les
ourbes de niveau sont di(cid:27)éomorphes entre elles quand
y [y,y′]
varie entre deux valeurs
ritiques su

essives, et que si l'intervalle ne
x f−1(y) f−1(y′)
i

ontient qu'une seule valeur
ritique , on peut passer de à
λ −1 M M
i 1 2
par une
hirurgie de degré . On peut don
passer de à par une
suite (cid:28)nie de
hirurgies de degrés
roissants, et on veut montrer qu'on peut
n−1
se passer des
hirurgies de degré .
W
Si est orientée, la donnée d'un
hamp de ve
teur transverse aux
f

ourbes de niveau (par exemple le gradient de ) induit une orientation
M M
1 2
sur
es
ourbes deniveau. Si et sont orientées, on peut don
serame-
M M
1 2
ner au
as où on passe de à uniquement par des
hirurgies de degré
n−1 M M
1 2
. On a la même
on
lusion si et sont non orientables
ar une
variété non orientable reste non orientable après des
hirurgies de degré 0 à
n−2 n−1
. On va montrer que dans les deux
as,
es
hirurgies de degré
peuvent être rempla
ées par des
hirurgies de degré 1.
8
γ
2
γ
1
Fig. 5 (cid:21)
k
Remarquons d'abord que l'opération inverse d'une
hirurgie de degré
n−k−1 M
2
est une
hirurgie de degré . En partant de , on peut don
obtenir
M
1
enpratiquantdes
hirurgiesdedegré0,
'est-à-direenajoutantdesanses.
Ces
hirurgies peuvent a priori être de deux types, orientable (
omme
elle
S2 T2
qui permet de passer de à ) ou non orientable (
omme pour passer de
S2 K2 M M
1 2
à ,
e
as étant ex
lu si et sont orientables). Dans le premier

as, on peut détruire l'anse à l'aide du lemme d'élimination de Smale (voir
[Ko07℄,
h. VI, théorème 7.4) en pratiquant une
hirurgie le long d'un
er
le
γ
1
traversant l'anse
omme sur la (cid:28)gure 5. Cela su(cid:30)t pour
on
lure dans
M M M M
1 2 1 2
le
as où et sont orientables. Dans le
as où et ne sont pas
γ
1
orientables, le la
et n'est pas né
essairement orientable (
'est-à-dire que
son (cid:28)bré normal n'est pas for
ément trivial et par
onséquent son voisinage
S1×Bn−1
tubulaire n'est pas un produit ) et ne permet don
pas for
ément
M
2
de
hirurgie. Mais
omme est non orientable, on peut trouver un se
ond
γ M
2 1
la
etnonorientable dans qui estindépendant del'anse,l'undesla
ets
γ γ +γ
1 1 2
et est alors orientable et permet une
hirurgie qui supprime l'anse.
Ondéduitaisémentdesproposition3.1et3.2quelevolumedeMöbiusest
uniformément majoré sur une
lasse de
obordisme orienté et sur l'ensemble
des variétés non orientables d'une
lasse de
obordisme non orienté.
Il resteà montrer qu'à dimension (cid:28)xée, onpeut trouver danslesdeux
as
un majorant indépendant de la
lasse de
obordisme. Le
as non orientable
est le plussimple : R.Thom aentièrement déterminé dans [Th54℄ l'ensemble
des
lasses de
obordisme non orienté (théorème IV.12). En parti
ulier, il
n'y en a qu'un nombre (cid:28)ni à dimension (cid:28)xée.
Ω
n
Dans le
as orientable, on utilisera le fait que l'ensemble des
lasses
n
de
obordisme de dimension peut être muni d'une stru
ture de groupe
M +M = M #M
1 2 1 2
abélien en posant , l'élément neutre étant la
lasse de
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la sphère. R. Thom a aussi montré dans [Th54℄ que
e groupe est de type
(cid:28)ni (théorème IV.15), il su(cid:30)t don
de majorer le volume de Möbius d'une
somme de variétés.
c(n) > 0 M M
1 2
Proposition 3.3 Il existe une
onstante telle que si et sont
n ≥ 3 V (M #M ) ≤
M 1 2
deux variétés
ompa
tes de même dimension alors
sup(V (M ),V (M ),c)
M 1 M 2
.
ϕ i = 1,2 M
i i
Démonstration :RONn se donne deux immersions , de danNs
une même espa
e muni de la métrique sphérique, pour un entier
su(cid:30)samment grand, telles que
sup Vol(γ ◦ϕ (M ))−ε≤ Vol(ϕ (M )) ≤ V (M )+ε.
i i i i M i
γ∈G′N (3.4)
t ~v
~v
On se donnϕe:pMar a⊔illMeurs→unReNtranslationϕ de=veϕ
teurϕ, et=ont d◦é(cid:28)ϕnit une
immersion 1 2 en posant |M1 1 et |M2 ~v 2.
~v ϕ
Si est su(cid:30)samment grand, le volume de |M2 est négligeable et on a
Vol(ϕ(M)) ≤ Vol(ϕ (M )) + ε γ ∈ G′
1 1 N
. Si on se donne un élément on a
Vol(γ ◦ ϕ(M )) ≤ Vol(ϕ (M )) + ε γ ◦ ϕ(M )
1 1 1 2
, et tant que reste près de
l'in(cid:28)ni, son volume est négligeable.
γ ◦ϕ(M )
2
Si se rappro
he de l'origine, deux situations peuvent se pro-
γ ◦ ϕ(M )
1
duire. La première est que est envoyé près de l'in(cid:28)ni, et on a
alors
Vol(γ◦ϕ(M ⊔M )) ≤ Vol(γ ◦ϕ(M ))+ε ≤ V (M )+3ε.
1 2 2 M 2
(3.5)
γ ◦ϕ(M ) γ ◦ϕ(M )
1 2
La se
onde possibilité est que et soient tous les deux
γ
pro
hes de l'origine, mais alors le rapport d'homothétie de est petit et le
volume des deux immersions est négligeable.
Vol(γ ◦ ϕ(M ⊔ M )) ≤
1 2
Dans tous les
as, on a bien la majoration
sup(V (M ),V (M ))+3ε M ⊔M M #M
M 1 M 2 1 2 1 2
. Comme on peut passer de à
M #M
1 2
par une
hirurgie de degré 0, le volume de Möbius de est bien ma-
joré.
À partir d'une majoration du volume de Möbius sur des représentants
des générateurs du groupe de
obordisme orienté, on obtient don

ette ma-
joration sur des représentants de toutes les
lasses de
obordisme.
Référen
es
[Be83℄ A. Beardon (cid:21) The geometry of dis
rete groups, Springer Verlag, 1983.
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