Précis de mathématiques, tome 3 : Analyse et géométrie, Prépas MP SI - 1re année

375 Pages·12.957 MB·French

by  Daniel Guinin, Bernard Joppin

SOMMAIRE
CHAPITRE 1- Espaces vectoriels normés
1-Topologie desespaces vectoriels normés 7
11-Limite- Continuité - Dérivation 16
111-Complets - Compacts - Connexes 27
Exercices-types, Indications, Solutions 38
Exercices proposés 45
CHAPITRE 2 - Applications linéaires
sur les espaces vectoriels normés
1-Continuité desapplications linéaires 47
11-Espaces vectoriels dedimension finie 54
Exercices-types, Indications, Solutions 60
Exercices proposés 69
CHAPITRE 3 - Fonctions deplusieurs variables réelles
Calcul dilTérentiel
1-Applications partielles Dérivées partielles 73
el :.
11-Différentielle d'une application declasse 78
111-Différentiabilité 88
IV- Fonctions implicites 96
V- Difféomorphismes 99
VI- Inégalité des accroissements finis 103
VII- Formule deTaylor-Young, Extremums 105
Exercices-types, Indications, Solutions 111
Exercices proposés 121
CHAPITRE 4 - Séries numériques et vectorielles
1-Généralités 123
11-Séries àtermes réels positifs 132
111-Séries absolument convergentes 142
IV- Séries àtermes quelconques Semi-convergence 144
Exercices-types,Indications, Solutions 150
Exercices proposés 160
, CHAPITRE 5 - Suites et séries defonctions
y,
~ 1-L'espace vectoriel normé '!Ji, (A,F) 163
~
11-Convergence d'une suite oud'une série defonctions 164
.~~
, 111-Limite- Continuité Intégration - Dérivation 174
~
IV- Méthodes pratiques 181
Exercices-types, Indications, Solutions 191
1 Exercices proposés 205
Îj c
~ CHAPITRE 6 Intégrale corn.pl~ments
I-Intégration d~sfonctions continuès pa/morceàux ,. 207
'.'-<'." .. '-
Il::''Fôri'~tionsde laform.',e x ~ ..['acf~": :'..•;:. :::..; ,.. : , 216
1 111.-Intégrales impropres etsérieS':, ,".;,•.....•~•, ,..'., :'.'., 218
'x ..
~
~Ia
IV- Fonctions ~eïa forme. x .!(x,~;,dt ,..........•...... :.. : 222
1 Exercices"types, Indications, Solutions t. , : ';"" : 226
Exercices proposés ~'.:":',' :.....•. , .:., J,......•..••.•••••••• 233
,1-
1
,~~/ R,E,',7 ( 4"C;IaOTl:cCfu:~lio:innfs/tégdrealplusieurs variables réelles
1-Formes différentielles dedegré un . 235
II-Intégrale curviligne . 239
111-Compacts mesurables. Aire etvolume , . 242
IV- Intégrale d'une fonction sur uncompact mesurable de [Rn . 245
247
V- Intégrale double - Aire plane .
VI- Aire d'un morceau desurface . 255
VII- Intégrale triple - Calcul devolumes . 259
VIII- Masse, centre etmoment d'inertie , . 264
Exercices proposés . 272
IlPITRE 8 - Séries entières
1-Définition - Rayon deconvergence . 275
11-Convergence uniforme Continuité de lasomme . 281
111-Séries entières d'une variable réelle, Intégration - Dérivation . 284
IV- Développement ensérie entière . 287
V- Fonctions usuelles d'une variable complexe . 300
VI- Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice . Q~=>
Exercices-types, Indications, Solutions . 310
Exercices proposés . 321
IlPITRE 9 - Séries de Fourier
1-L'espace préhilbertien D . 323
11-Séries de Fourier , . 326
111-Développement ensérie de Fourier . 332
Exercices-types, Indications, Solutions . 336
Ji',' , 346
/"'X:~roposes ,i••••••••••••••••••••••••••
\PITRE 10-- Equations düJérentielles JL-
1-Equations linéaires . 347
// 11-Equations non linéaires - Théorème deCauchy-Lipschitz . 362
Exercices-types, Indications, Solutions : . 370
Exercices proposés . 381
EX " . 383
~l
1
-
t.
[ G. O. J:. IClltü,phonesi
.
1D.Ini'l>a~no. 11.1-
+
,. -
2srtl!~ ,11) __
,"..h . 1
_ ~I.-.'.-_- ......• - 1
Chapitre 1
Espaces vectoriels
norme~s
1- Topologie des espaces
vectoriels normés
~=[FgouiC;E est unKespace vectoriel.
Définitions :
d.1 On appelle nonne sur E une application N : E --+[Fg+ vérifiant, pour tous
vecteurs x,y de E et tout scalaire À de ~ :
• N(x) =0 {=? x =0
•
N(À x) = IÀI N(x)
•
N(x + y) N(x) +'N(y)
oS;
Le couple (E,N) est un espace vectoriel nonné .
d.2 Distance associée a une norme
Soit (E,N)un espace vectoriel normé, l'application d définie par:
d : E2 --+[Fg+, (x,y) I-è> d(x, y) =N(x - y)
eSt appelée distance associée ala norme N.
Remarque
SiF est unsous-espace vectorieldeE, larestrictionàF delanormedeE est unenorme
surF. (F,N)est unespace vectorielnormé.
Onconsidère désormais unespace vectorielnormé (E,N).
d.3 il La boule ouverte de centre a E E et de rayon r E[Fg+ est:
B(a,r) == {x E E/N(a - x) < r}
ii/ La boule fermée de centre aE E et de rayon r E[Fg+, est:
BJ(a,r) ={x EIN(a - x) r}
E oS;
iii / La sphère de centre a E E et de rayon r E[Fg+ est:
S(a,r) ={x E E/N(a - x) = r}
Remarque
Les boules ou sphères de centre 0 et de rayon 1sont appelées boules unité,sphère
unité.
8
Précis d'Analyse Il
dA
On appelle voisinage d'un point a de E toute partie X de E contenant une
boule ouverte de centre a. L'ensemble des voisinages de a est noté 'V(a)
XE 'V(a) {==:?3 r> 0, B(a,r) eX
Remarque
Pourtoutréel r> 0,labouleB(a,r) est unvoisinage (jea.
d.5 Vôisinag~telatif
SiAest une partie de Eet aun point de A,l'intersection avec Ad'un voisinage
X de as'appelleYoisrn!;j.geÔ.éadans {l.L'ensemble des voisinages de adans
A est noté 'VA(a)
'VA(a) ={X nA/X E 'V(a)}
Ainsi YE'VA(a) {==:?3r>0, AnB(a,r)cY.
d.6
i/ On appelle toute partie X de E qui est voisinage de chacun de
ses points
X ouvert de E {==:?V X E X, X E 'V(x)
iil On appelle toute partie de E dont le complémentaire dans E est
un ouvert de E
X fermé de E {==:?E\X ouvert de E
d.?
i/ SiAest mie partie de E, on appelle toute partie Xde Avoisinage
de chacun de ses points dans A.
X ouvert de A {==:?V X E X, X E 'VA(X)
ii/ On appelle toute partie Y de A, dont 1e complémentaire dans A
est un ouvert de E.
• SoitX c A, X est unouvert de A si et seulement siilexiste Xl ouvert de E tel que
X=AnXl·
c
• Soit Y A, Y est unfermé de A si et seulement si ilexiste Yl fermé de E tel que
Y=AnYl·
d.S
On appelle intérieur d'une partie Ade Ela réunion de la famille des ouverts
de E inclus dans A. On note Al'intérieur de A.
1
o \
C'est leplusgrand ouvertde E inclusdans A. UnpointdeAest ditintérieuràA.
\
d.9 1
On appelle adhérence d'une partie A de E l'intersection de la famille des
1 fermés de E contenant A. On note Al'adhérence de A.
C'est lepluspetitfermé de E contenant A. UnpointdeAest ditadhérent àA.
d.10
On appelle frontière d'une partie A de E l'ensemble, noté Fr(A), formé <les
points de E adhérents àA et à son complémentaire dans E : /
Fr(A) =An E\A
Chapitre l Espaces vectoriels normés 9
d.11 Partie dense
On dit qu'une partie A de E est dense dans E si l'adhérence de A est E :A E.
==
c
On dit qu'une partie B de A est dense dans A si A B.
1
d.12 Point d'accumulation
On appelle point d'accumulation d'une partie A de E tout point x de E adhé
rent àA\{x}.
1
Untel point est caractérisé par le fait que, pour tout voisinage V de x, l'ensemble
A n V\{x}n'est pas videouA n Vest infini.
d.13 Point isolé
On appelle point isolé d'une partie A de E tout point a de A possédant un
voisinage V dont l'intersection avec A est le singleton {a} :
apoint isolé de A Ç=? 3 V E 'V(a),A n V == {a}
d.14 Partie bomée
1 Une partie A de E est dite bornée s'il existe une boule de E contenant A.
d.15 Diamètre
Soit A une partie non vide et bomée de E. On appelle diamètre de A le réel:
1 8(A) == sup{N(x - y)/(x, y) E A2}
d.16 Distance d'un point àune partie
On appelle distance d'un point x de E à une partie non vide A de E,le réel:
1 d(x,A) == inf{N(x - Y)/Y E A}
d.17 On appelle distance de deux parties nop vides A et B, le réel
1 d(A. B)== inf{NCx - y)/x E A, y E B}
d.18 Fonction bomée
Soit A un ensemble non vide et (E,N) un espace vectoriel normé.
Une fonctionj :A ---+ E est dite bomée si son imagej(A) est une partie bomée
de E:
Remarque
L'ensemble (A.E) des fonctionsbornées deA dans E est unsous-espace vectorielde
CZJ3
~, ilest normépar Ilj sup N(1(x)).
1100 == XEA
SiA =1\1 ils'agit de l'espace des suites bornées de E.
d.19 Normes équivalentes
On dit que deux normes NI et N2sur E sont équivalentes si les fonctions
NI t N2 d'fi . {} t "
N2 e NI e mes sur E \ OE son maJorees.
Remarque
Cette définitionpeut se traduire par l'existence de deux réels et strictement positifs
ex 13
telsque ex NI ""N2""13 NI·
10 Précisd'Analyse Il
Exemples - Travaux pratiques
1
de IR- Norme usuelle de iC
•
• Norme usuelle deIR : valeur absolue IR---;-IR+, x ~ Ixl
Les boules sont lesintervalles bornés.
• Norme usuelle deiC :lemodule iC---;-IR+, z~ Izl
Lesboules deiCsont lesdisques, lessphères deiCsont lescercles.
exemple 2
Nature des boules d'un espace vectoriel normé
•1
• Unebouleouverte estunouvert deE, elleestconvexe.
Pourtoutx,y deB(a, r) ett E [0,1], notons z=(1 - t)x +ty etmontrons quez E B(a, r).
N(z - a) =N[(l - t)(x - a)+t(y - a),l~ (1- t)N(x - a)+tN(y - a)< r
car N(x - a) < 1; N(y - a) < r , (1 - t)>0ett> O.
• Uneboulefermée estunfermé deE.
Notons C=E\ BJ(u,r) soncomplémentaire et,pourtout pointx de C,notons
R = N(x - a) - r> O.LabouleB(x, R)estincluse dans C; eneffet,pourchaque y deB(x, R)
minorons:
N(a - y) ~ N(a.-,x) - N(x - y) >N(a - x) - R = r
l'inégalité N(a - y) > r équivaut à y ~ BJ(a, r).
Ainsi, Cestvoisinage dechacun de sespoints, Cest unouvert deE.
• Unpoint estdonc unfermé deE.
,xn) E(Kn.
sur (Kn par les expressions suivantes:
1
j (t
sup Ixi!
N2(X) = L~l !Xd2) 2 1"'(""11
N2 est la (Kn attachée au produit scalaire:
1
~
"
il' VoirAlgèbre 2
1 • Ces normes sontdeux àdeux équivalentes (cequiest lecasdèsque l'espace estdedimension
finie), etlesinégalités suivantes donnent lescoefficients optimaux:
,1 .;n n
Noo ~ N2 ~ N1 ~ N2 ~ Noo
'1.
Chapitre 1 Espaces vectoriels normés 11
exemple 4
classiques sur l'espace vectoriel il<:[X] des polynômes
P=ao +alX +... +anXn, ondéfinit trois nOrInessur il<:[X] :
1
Ln
(t
Nl(P) = lail = sup lail
i=O N2(P) = ,=0 lad2) :2 O""i""n
est la norme préhilbertienne canonique de il<[:X])
•
• Ces normes sontcomparables enunsens: Noo N2 NI,
o<S o<S
pasdans l'autre sens: onmontre que lesfonctions NN002 et NN2Inesont pasmajorées en
leurappliquant lasuite depolynômes (Pn)nE N définie par Pn(X) =1+X +... +Xn.
~ N2 NI ~
NI(Pn)=n+l, N2(Pn)=yn+l, Noo(Pn)=l, Nx(Pn)=N2(Pn)=vn+1
Lesnormes NI, N2, Nx nesont paséquivalentes.
• Enassociant àPsafonction polynôme, ondéfinit de nouvelles normes sur IK [X] par
lesexpressions suivantes:
sup IP(t)1 sup IP(z)1
tE[O,l] Izl=1
exemple 5
classiques sur l'espace C([O, 1],il<:)des fonctions continues àvaleurs dans
cet espace, on définit trois normes par:
III rI Iii Ilex:= sup Lf(t)1
Iii =Jo Lf(t)1dt , tE[O,l]
est la norme préhilbertienne, attachée au produit scalaire sur C([ü,1],IK) :
(fg)1---'7 Vlg) = 11](t)g(t)dt
•
• Ces normes sontcomparables dans unsens:
Iii III o<S Iii 112o<S Iii 1100 (égalité pourlesfonctions constantes)
i iijii~ li&I:~
mais pas dans l'autre sens: on montre que lesfonctions et nesont
1---'7
pasmajorées enconsidérant unesuite defonctions Vn)nd'J définie par in(t) =tn.
1 1
Lecalcul donne Ilin III = n+1 Ilin = v2n~1 Ilin Ilex:= 1
112
etlessuites nl---'7 Ilin 112--~- n+ 1 Ilin lico =v2n +1 nesontpasmajorées.
Ilin III - v2n +1 et n Ilin 112
1---'7
f. -------------
12 Précis d'Analyse Il
E est unespace vectorielnormé.
p.1
Pour tout x et y de E : !N(x)- N(y)1 ~ N(x - y)
1
p.2
il La réunion d'une famille quelconque de voisinages d'un même point x de E
est un voisinage de x.
ii1L'intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x.
~ Toute partie quicontient unvoisinage d'un pointx de E est aussi un voisinage de x
(conséquence de ladéfinitiondevoisinage). Leil en découle.
Prenons deuxvoisinages U et V d'un même pointx de E- Ilexiste alorsdeux réels exet
°
[3> telsque:
B(x, ex)c U et B(x, (3) c V
Supposons queex~[3, alors B(x, ex)c B(x, (3) et B(x, ex)c U (î V,
ce quifaitde U (î V unvoisinage dex, même si[3~ex biensûr.
D
p.3
Soit A une partie de E.
1 A est un ouvert de E si et seulement si: Vx E A,::3r EIR:,B(x, r) cA
pA CaraGt~I'isationdel'adh~reAêê d'une partie A non vide de E.
Pour tout point x de E, les trois propriétés suivantes sont équivalentes:
il x est adhérent àA: x E A,
0,
ii1Toute boule de centre x rencontre A :Vr> 0,A (î B(x, r);t
iii 1Tout voisinage de x rencontre A :VV E OV(x),A (î V;t 0.
~ il =? iil Supposons aucontraire,qu'ilexiste unebouleB(x, r)inclusedans E\A, alors
A est inclusdans leferméF =E\ B(x, r), ce quidonne x E A.
iil =? iiii Toutvoisinage Vde x contientune bouleB(x, r), doncA (î V:) A (î B(x, r)
etA (î V n'est pas vide.
iiii =? il parcontraposition. Six E A, ilexiste unfermé F contenant A etpas x. Alors
E\ F est unvoisinage ouvertde x quine rencontre pas A.
D
p.5 Ouverts etfermes
1 il E et 0sont, àla fois, ouverts et fermés de E.
iil • La réunion d'une famill~ quelconque d'ouverts de E est un ouvert de E.
• L'intersection d'une famille quelconque de fermés de E est un fermé
deE.
iii 1 • L'intersection de deux parties ouvertes de E est un ouvert de E.
• La réunion de deux parties fermées de E est un fermé de E.
p.6 Intérieuretadhérênce Soit A et B deux parties de E.
il Si A cB alors Ao.cB0 et Ac B.
o
iil • Si Ac B et A ouvert, alors Ac B
• Si Ac B et B fermé, alors Ac B.
Chapitre 1 Espaces vectoriels normés 13
p.? Produit d1espaces vectoriels normes
1
Soit (E,N) et (El, NI) deux espaces vectoriels normés.
On définit trois normes classiques sur l'espace produit E x Fi :
1
Il(x,Xl) 111 =N(x) +NI(XI) , Il(x,Xl) 112= (N2(x) +d2(x») 2:
Il(x.x) lico = sup (N(x), NI(X»)
Ces trois normes sont deux à deux équivalentes.
~ Aucune difficulté hormis l'inégalité triangulaire delanorme Il.112'
Enutilisant lesinégalités triangulaires deN etdeNI :
N(x +y) ~ N(x) +N(y) et NI(x + y) ~ NI(x) +NI(y)
etl'inégalité triangulaire de([R2,N2) :
v(a + b)2+(al + b/)2 ~ va2 +al2 + vb2 + b/2
onobtient:
VN2(x +y) +NI2(XI + yI) ~ VN2(;;)+ N/2(XI) + y'N2(y) +N/2(yl)
L'équivalence deces normes tient auxinégalités suivantes:
Il(x,Xl) lico ~ Il(x,Xl) 112~ Il(x,Xl) 111 ~ v'211 (x,Xl) 112~ 211(x,Xl) lico
D
Remarques
1) On définit de façon analogue (par récurrence) des normes équivalentes sur un produit
deplusieurs espaces vectoriels normés, enparticulier surEn.
2) Désormais, tout produit d'espaces vectoriels normés sera munidel'une deces normes.
p.8 Parties bornées. d'un espace vectoriel normé (E,N)
Soit A et B deux parties non vides de E.
c
i/ Si A Bet B bornée alors A est bornée et /)(A) ~ /)(B)
ii / Si A et B sont bornées alors A u B et A +B sont bornées
iii / Si A est bornée alors il est bornée et /)(A) =/)CA)
~ il Six ety E A alors N(x - y) ~ /)(B) , Ac B( x,/)(E») et /)(A) ~ /)(B)
ii1Soit(a,x) E A2 et (b, y) E B2. L'inégalitétriangulaire donne:
N(x - y) ~ N(x - a) +N(a - b) +N(b - y) ~ /)(A) +N(a - b)+ /)(B)
N(x +y - a - b) ~ N(x - a) +N(y - b) ~ 0(A)+ /)(B)
u
C·eqUipermetdeconc1ure { //))((AA+BB))~~/)/)(A()A)++/)d((B)A, B)+ /)(B)
iii1Soitx ety deux points deA.
Alors, pourtout r> 0, ilexiste a E An B(x,r) et b E An B(y,r)
L'inégalitétriangulaire fonctionne comme eniil :
N(x - y) ~ N(x - a) +N(a - b) +N(b - y) ~ r+ /)(A) + r
Cequi montre queA estbornée avec /)CA) ~ /) (A) +2r, pourtout r> 0,
donc /)CA) ~ /) (A).
c
.L'inclusion A Aetildonne l'égalité /)(A)=/)CA)
D
14 Précis d'Analyse Il
• SoitE unespace vectoriel muni dedeux normes Nl etN2 telles que Nl ~ N2. Notons Bi(a, r)
labouleouverte decentre aetderayon rdéfinie parlanorme Ni pour i =1ou2.
Cesboules vérifient B2(a, r) c Bl(a, r). (Nl(a,x) ~ N2(a,x) <r).
Si U est unouvert de(E,Nl), alors Uestaussi unouvert de(E,N2).
Eneffet,x étant unpointde U ilexiste unréel r> 0telque Bl(x,r)c U,
lesinclusions B2(X,r) c Bl(X, r)c U prouvent que U est unvoisinage dex dans l'espace
(E, N2).
Supposons queces deux normes soient équivalentes: ilexistea> 0et[3>0telsque:
a Nl ~ N2 ~ [3Nl·
Alors, lesespaces vectoriels normés (E,Nl) etCE, N2)ont lesmêmes ouverts.
Danscesconditions, lesnotions delimite etdecontinuité coïncident surcesdeux espaces.
• Ilsuffit devérifier qu'un point x delasphère S(a, r) estadhérent àlabouleouverte B(a, r).
Notons y = a+ 1.1(x - a) l'image dex parl'homothétie decentre a etde rapport fLE ]0,1[.
Calculons lesdeux normes:
IIy - aIl =1.1Ilx - aII=1.1r et Ily - x Il= II(1- fL)(a - x) Il = (1- fL)r
ra
Pourtout aE ]0, r[ avec 1- <1.1<1,ona 1.1r< r et(1- fL)r<a
etdonc y E B(a, r) (î B(x, a).
exemple 8
sous-espaçe \fectoriel
cedeE;'~spa.ce vectoriel norrné.
~er~~e$qn~.(ihérence Fest un sous-espa.ce\téctbriel de E.
En déguire ql.l'"Unhyp~rplanest soit fermé soit dense dans E.
• 1) Ils'agit devérifier que, pourtous x ety deJi'etÀEIK,alorsx +y E Ji' etÀx E F.
Lacaractérisation de points adhérents àF indique, pourtout r> 0, l'existence de points a
et bdeF tels que Ilx - aIl < r et Ily - aIl < r.
Alors lesmajorations:
II(x +y) - (a +b) II ~ IIx - aIl+Ily - bII< 2r
II Àx- À aIl = IÀI·II x - aIl ~ IÀIr
suffisent àprouver quex +yet À x sont adhérents àF.