PREALGE2 ALGEBRE line aire et biline aire

56 Pages·2014·2.4 MB·French

PREALGE2 ALGEBRE linéaire et bilinéaire - 17mm_Mise en page 1 31/07/2014 15:21 Page1
C
2e
ANNÉE
et ouvrage développe le programme d’algèbre de deuxième année MP-MP* Confor
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(cid:129) Le texdatepe,ps r riogcfoloaunrsedsuieexs e etpt prfééiddpèaalgreoa.gtioqiuree,s p esrcmieetn àti ftioquuse lses, édteu difaançtos nd eo sruigivirnea plaes, proCgaoura nnmofmuovere 2am0u1e4 ALGÈBREprogaura nmomuvee 2a0u14
à pas les démonstrations. Des figures, ainsi que des algorithmes implémentés
en Python, facilitent la compréhension et l'assimilation des notions abordées.
(cid:129) Des exercices, dont les corrigés sont très détaillés, permettent de vérifier
l’acquisition des points clés de chaque chapitre.
(cid:129) L'auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte
historique, des notices biographiques évoquent les faits marquants de la vie des E
mathématiciens cités.
R
(cid:129) Dans les parties « compléments », l'ouvrage aborde des théorèmes plus diffi-
B
ciles ou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement
des sujets classiques. È
G
L
L’ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l’agrégation.
A
+
+
S
L E + Conforme au nouveau programme 2014
COURS
De nombreux exercices corrigés
+
Texte abondamment illustré EXERCICES CORRIGÉS
pour faciliter la compréhension
+
Tout en couleur 2 e
CStharnisistolapsh ed eA nCtaonnnineis e.st professeur de mathématiques en classes préparatoires au lycée MP-MP* é d i t i o n CHRISTOPHE ANTONINI
proCgaoura nnmofmuovere 2am0u1e4 AMPN-MAPL*2YeASNNÉEE proCgaoura nnmofmuovere 2am0u1e4 AMPNSI / PACSIL1reAYNNÉSE EproaCguroxa mnnomfuoevsre am2u0x1e3 AMPSLI / PCGSI1ÈreANBNÉEREproaCguroxa mnnomfuoevsre am2u0x1e3 <Dans la
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epti 9 782804 181703 www.deboeck.com
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A v a n t-p rop os
Cet ouvrage traite d’algèbre générale, d’algèbre linéaire et bilinéaire, avec pour fil di-
recteur le nouveauprogramme des classes préparatoiresMP-MP* qu’il suit scrupuleuse-
ment. L’auteur s’est efforcé de rédiger un traité autonome, accompagné d’applications,
d’exemples et d’exercices entièrement corrigés.
Afin d’être adapté au public d’aujourd’hui, l’ouvrage a essayé de trancher avec le style
parfois austère utilisé dans ce type d’ouvrage,en essayant autant que faire se peut d’in-
troduireavecbeaucoupdesoinlesconcepts,etd’enproposerdenombreusesapplications.
Ce livre s’adresseégalementàtout étudiantde premier cycle,oupréparantdes concours
d’enseignement.Enoutre,leschapitressurlesquelsleprogrammemetl’accentcomptent
engénéraluneintroductionhistorique,ouétablissentlelienavecd’autresdomainesscien-
tifiques.Plus généralement,l’ensembledu livreestémaillé d’indications historiques:no-
tices biographiques, datation de certains théorèmes.
Cettepartbellefaiteàl’histoiredesmathématiquesestunespécificitédecettecollection.
Enfin, l’auteur a tenu à illustrer différents résultats à l’aide d’algorithmes implémentés
sous Python 3.
JecommencenaturellementparremercierFabriceChrétien,deséditions DeBoeck,pour
m’avoir proposé de participer à ce projet. Mes remerciements vont également à Olivier
Rodot,directeurde lacollectionetauteurdel’ouvraged’analysedesecondeannée,pour
son soutien,ses conseilset critiques aviséset sa grande disponibilité, et pour avoirété le
premier à me contacter.
Je remercie très vivement Guillaume Euvrard et Guillaume Goron pour leur relecture.
J’ai une pensée pour l’ensemble de mes collègues de travail pour leur soutien amical.
Enfin, je remercie tout particulièrement mes collègues Nicolas Basbois et Pierre Abbru-
giati, auteurs de l’ouvrage d’algèbre de première année, pour toute l’aide qu’ils m’ont
apportée.
Christophe Antonini.
Ta ble d es m a tières
1 Structures algébriques usuelles 7
1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4 Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.5 Le groupe Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1.6 Ordre d’un groupe, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.7 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2.3 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.4 L’anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.5 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.4 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.4.1 Polynômes dans une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.4.2 Idéal annulateur et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.5 Exercices corrigés du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 TABLE DES MATIÈRES
2 Compléments d’algèbre linéaire 93
2.1 Sur les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.1 Rappels et compléments sur les combinaisons linéaires . . . . . . . 93
2.1.2 Familles libres, familles génératrices et bases . . . . . . . . . . . . 96
2.1.3 Le cas des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.4 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2 Sommes, sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3 Trace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.4.1 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.4.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.4.3 Définition et formule du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.4.4 Propriétés «calculatoires» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.5 Cas particuliers et exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.4.6 Méthode algorithmique de calcul du déterminant . . . . . . . . . . 144
2.5 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.6 Orientation des espaces réels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.7 Polynômes de matrices carrées et d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . 156
2.7.1 Définitions et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.7.2 Puissances et polynômes des matrices diagonales . . . . . . . . . . 164
2.7.3 Idéal des polynômes annulateurs et polynôme minimal . . . . . . . 165
2.7.4 Lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.8 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.8.1 Matrices à diagonale strictement dominante . . . . . . . . . . . . . 172
2.8.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.9 Exercices corrigés du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Réduction 213
3.1 Stabilité, endomorphismes induits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.1.2 Signification en terme de stabilité d’une matrice triangulaire . . . 220
3.1.3 Cas d’endomorphismes commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.2 Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
TABLE DES MATIÈRES 5
3.2.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.2.3 Quelques liens avec la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.2.4 Cas de la dimension finie : le polynôme caractéristique . . . . . . . 234
3.3 Matrices et endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.3.1 Définition et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3.3.2 Diagonalisation et ordre des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . 246
3.3.3 Diagonalisation et polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . 253
3.3.4 Diagonalisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3.4 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.5 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.6 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.7 Applications de la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.7.1 Systèmes différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.7.2 Équations différentielles scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3.7.3 Équations différentielles scalaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 290
3.7.4 Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.7.5 Calculs de polynômes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.8 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3.8.1 Localisation des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3.8.2 Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford . . . . 306
3.8.3 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
3.9 Exercices corrigés du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4 Espaces préhilbertiens 339
4.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.1.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
4.2.2 Inégalité de Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.2.3 Convexité stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
4.3 Calculs de produits scalaires et de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
4.3.1 Développements et polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
4.3.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
6 TABLE DES MATIÈRES
4.4 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
4.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
4.4.2 Projections orthogonales et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . 382
4.4.3 Orthonormalisationde Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.5 Sous-espaces orthogonaux,sommes directes orthogonales . . . . . . . . . . 396
4.6 Représentation des formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.7 Endomorphismes orthogonaux,matrices orthogonales. . . . . . . . . . . . 399
4.7.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
4.7.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
4.7.3 Vision matricielle des changements de base orthonormée . . . . . . 409
4.7.4 Vision matricielle des endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . 410
4.7.5 Étude de O(2) et de SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.7.6 Isométries vectorielles du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
4.8 Produit mixte, produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
4.8.1 Produit mixte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
4.8.2 Produit vectoriel (dimension 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
4.8.3 Isométries vectorielles d’un espace euclidien de dimension 3 . . . . 436
4.9 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
4.10 Réduction des endomorphismes et matrices symétriques . . . . . . . . . . 450
4.11 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
4.11.1 Théorème de Riesz-Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
4.11.2 Produit scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
4.11.3 Endomorphismes hermitiens et matrices hermitiennes . . . . . . . 483
4.12 Exercices corrigés du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
CHAPITRE 1
S tru ctu res a lgéb riqu es
u su elles
Les ensembles de nombres avec lesquels nous travaillons usuellement en mathématiques
sontapparusprogressivement,d’abordaveclesentiers(strictement)positifspourdénom-
brerlesobjets,mesurerlesrécoltes,commercer,...Sontensuitevenueslesfractionspour
établir desliens de proportionnalitéetdes nombresirrationnelstels que √2quiapparaît
géométriquement comme longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Plus tard sont
apparus d’autres réels comme π ou e et relativement plus récemment au xvie siècle les
nombres complexes ont vu le jour.
Avec ces ensembles (même si ces termes n’étaient pas nécessairement employés)sont ve-
nues des opérations (que l’on appelle lois) : addition, multiplication, ...
L’étude des structuresalgébriquesapour butde formalisercesconceptsàtraversles no-
tionsdegroupes1,d’anneaux2,decorpsetd’algèbresnotamment,danslebutdedégager
des résultats généraux.
1. À la suite de Lagrange, Évariste Galois a utilisé au xixe siècle des permutations de racines de
polynômes,maisn’apasformaliséladéfinitiondesgroupes.
La première définition générale d’un groupe a été écrite (pour un cardinal fini) par Arthur Cayley en
1854,cf.Onthetheoryofgroups,asdependingonthesymbolicequationθn=1,PhilosophicalMagazine
and Journal of Science 7 (1854), pp. 40-47. Dans cet articlese trouvent notamment des tables de l.c.i.
pourdesgroupesà4età6éléments.
Lelecteurestinvitéàseréféreràlanoticebiographiqued’ArthurCayleypage223.
2. Anneaux et corps ont été progressivement introduits notamment par Leopold Kronecker (1823-
1891), spécialiste de la théorie des nombres, Richard Dedekind (1831-1916) et Ernst Kummer (1810-
1893), tousdeuxspécialisésenarithmétique, ainsiqueDavidHilbert(1862-1943), etplusgénéralement
toute l’écoledesmathématiciens allemandsdelasecondemoitiéduxixe siècleetdelapremièremoitié
duxxe siècle.
8 Chapitre 1. Structures algébriques usuelles
Commençonscechapitreparunedéfinitiongénéralequiserviraauxdifférentesstructures.
Définition 1
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur E toute ap-
plication : E2 E
∗ −→
(x,y) x y
7−→ ∗
1.1 Groupes
1.1.1 Généralités
Définition 2
On dit que (G, ) est un groupe si G est un ensemble non vide et si est une loi de
∗ ∗
composition interne sur G, vérifiant les trois propriétés suivantes :
1. La loi est associative, c’est-à-dire :
∗
(x,y,z) G3, (x y) z =x (y z).
∀ ∈ ∗ ∗ ∗ ∗
On notera alors x y z cette quantité commune.
∗ ∗
2. La loi possède un élément neutre, c’est-à-dire :
∗
e G : x G, e x=x e=x.
∃ ∈ ∀ ∈ ∗ ∗
3. Tout élément de G possède un inverse3 pour , c’est-à-dire :
∗
x E, x E : x x =x x=e.
′ ′ ′
∀ ∈ ∃ ∈ ∗ ∗
Proposition 1
Soit (G, ) un groupe. Alors
∗
1. Il existe un unique élément neutre;
2. Pour tout x dans G, il existe un unique élément x G tel que x x =x x=e.
′ ′ ′
∈ ∗ ∗
3. Onpourraégalementparlerd’élémentsymétrique.