Praxis der Konformen Abbildung PDF
Preview Praxis der Konformen Abbildung
DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH . E. HOPF H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS· F. K. SCHMIDT K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN BAND 100 PRAXIS DER KONFORMEN ABBILDUNG VON W. VON KOPPENFELS l' UND F. STALLMANN SPRINGER-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG 1959 PRAXIS DER KONFORMEN ABBILDUNG VON DR. WERNER VON KOPPENFELSf BIS 1945 O. PROFESSOR AN DER DEUTSCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN BRUNN (MAHREN) UND DR. FRIEDEMANN STALLMANN DOZENT AN DER UNIVERSITAT GIESSEN MIT 251 ABBILDUNGEN S PRI N G E R -VE RLAG BERLIN· GOTTINGEN· HEIDELBERG 1959 Werner von Koppenfels geb. 1904, gest. 1945 in russ. Gefangenschaft in Astrachan ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN © BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN • GOTTINGEN • HEIDELBERG 1959 ISBN·13: 978·3·642-94750-6 e-ISBN-13: 978-3-642-94749-0 001: 1011007/978-3-642-94749-0 BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN MEINEM SOHN GEORG VON KOPPENFELS GEWIDMET Vorwort Die Entstehungsgeschichte dieses Buches reicht bis in den zweiten Weltkrieg zurtick. Damals plante ein Kreis von Funktionentheoretikern, dem u. a. v. KOPPENFELS, KRAMES, ULLRICH und WEGNER angehorten, ein umfassendes Sammelwerk tiber die konforme Abbildung aufzustellen, und als ein erstes Teilergebnis konnte v. KOPPENFELS gegen Kriegsende ein Manuskript tiber die "Systematik der Polygonabbildungen" ab schlieBen. Die Wirren der Nachkriegszeit und vor allem der allzufrtihe, tragische Tod von v. KOPPENFELS unterbrachen die Arbeiten fUr lange Zeit. 1m Jahre 1953 tibernahmen dann E. ULLRICH und ich durch Vertrag mit dem Springer-Verlag die Aufgabe, das v. Koppenfelssche Manu skript zusammen mit eigenen Beitragen zu einem Buch tiber die Praxis der konformen Abbildung auszugestalten. Durch den Tod von E. ULLRICH im Jahre 1957 ging diese Aufgabe an mich alleine tiber und das Ergebnis ist das vorliegende Buch. Nach dem ursprtinglichen Plan sollte ein reines Nachschlagewerk geschaffen werden, etwa in der Art von Kamkes Buch tiber Differential gleichungen. Demgegentiber hat schon das v. Koppenfelssche Manuskript und spater auch der eigene Beitrag einen mehr lehrbuchartigen Charakter angenommen. Dies liegt wohl hauptsachlich daran, daB das Gebiet der konformen Abbildung (und insbesondere das der "Praxis" der konformen Abbildung) stofflich viel enger begrenzt ist als das der Differential gleichungen, so daB es hier vie! mehr auf die vertiefte Einsicht in die Zusammenhange ankommt als auf die Kenntnis einer groBen Zahl von Satzen und Methoden. Das Buch enthalt daher auch nur we nige Literaturangaben. Mein Ziel war, den Leser vom Studium def Spezialliteratur moglichst unabhangig zu machen, so daB nur solche Arbeiten zitiert wurden, die tiber den Rahmen des Buches wesent lich hinausgehen. An mathematischen Vorkenntnissen wird beim Leser ungefahr das vorausgesetzt, was als mathematische Grundvorlesung an Universitaten und technischen Hochschulen ftir Physiker und 1ngenieure gebracht wird. DemgemaB wurde die Darstellung der allgemeinen Theorie in Teil A §§ 1,2,4,9 und 10 ziemlich knapp gehalten; es ist gedacht, daB diese Ausftihrungen hauptsachlich zur Wiederauffrischung und Ver tiefung des bereits Bekannten dienen sollen. In §§ 11-15 wird die Polygonabbildung behandelt. Da es sich hier urn ein Hauptarbeitsgebiet des Verfassers handelt, ist dieser Teil vielleicht allzu breit geraten. 1m VIII Vorwort Hinblick auf das v. Koppenfelssche Manuskript schien es mir jedoch auch objektiv gerechtfertigt, diese Dinge in den Mittelpunkt zu rlicken. Nicht fehlen durfte eine Darstellung der wichtigsten Naherungs verfahren der konformen Abbildung. Leider fehlen dem Verfasser auf diesem Gebiet ausreichende praktische Erfahrungen, so daB er sich eine eigene kritische Stellungnahme versagen muBte. Aus dem gleichen Grunde fehlen auch Zahlenbeispiele, die ja sinnvoll nur aus praktisch vorkommenden Anwendungen hervorgehen kannen. Uberhaupt sind spezielle Anwendungen der konformen Abbildung fast ganz beiseite gelassen. Wer sich hier naher orientieren machte, mage zu dem aus gezeichneten Buch von BETZ greifen. Das zu Beginn erwahnte v. Koppenfelssche Manuskript ist in Teil B §§ 1-5 abgedruckt. Umgearbeitet wurde nur das einleitende Kapitel, das, wesentlich erweitert, in A §§ 13 und 14 erscheint. Der Abschnitt B 6.1 entMlt ebenfalls v. Koppenfelssches Gedankengut. Die Aufnahme dieses Abschnitts in sein Manuskript wurde nur durch die Zeitumstande verhindert, ich konnte mich jedoch auf die Veroffentlichung in Crelles Journal Bd. 181 stlitzen. Die folgenden Abschnitte von Teil B sind eigene Zusatze. Was sachlich noch zu diesem Katalog zu sagen ist, findet sich in der besonderen Einleitung zum Teil B, die in enger Anlehnung an die ursprlingliche v. Koppenfelssche Einleitung abgefaBt wurde. Ich kann dieses Vorwort nicht abschlieBen, ohne meines verehrten Lehrers, Professor Dr. EGON ULLRICH zu gedenken. Es ist tief bedauerlich, daB seine Absicht, aktivan diesem Buch mitzuarbeiten, infolge Arbeitsliberlastung immer wieder auf geschoben und durch seinen platzlichen Tod dann ganz zunichte gemacht wurde. Auch so sind dem Buch noch zahlreiche seiner An regungen zugute gekommen, ganz abgesehen davon, daB die Wieder aufnahme der Arbeit an dem Buch wesentlich seiner Initiative zu ver danken ist. GroBen Dank schulde ich weiterhin Herrn Professor Dr. LUDWIG BIEBERBACH fUr seine zahlreichen wertvollen Bemerkungen bei den Korrekturen. Tatkraftig unterstlitzt bei der Herstellung der Abbildungen und des Sachverzeichnisses und beim Lesen der Korrekturen hat mich Herr Dr. GUNTER BACH. Die Bogenkorrekturen mitgelesen haben auBer dem Fraulein FRIEDEL ULLRICH und die Herren Dr. KURT ENDL, EUGEN GAUSS und Professor Dr. HANS WITTICH. Ihnen allen gilt mein herzlicher Dank! Vorwort IX Als besondere Ehre empfinde ich es, daB Herr Professor Dr. F. K. SCHMIDT das Buch in die gelbe Sammlung des Springer-Verlags auf genommen hat, so daB es die vorbildliche Ausstattung der Bucher dieser Reihe erhalten konnte. DaB es hierin noch die JubiHiumsnummer 100 bekam, ist eine unverdiente Belohnung meiner Siiumigkeit, die mich die gesetzten Termine mehrfach uberschreiten lieB. GieBen, im Marz 1959 F. STALLMANN Inhaltsverzeichnis A. Theorie der konformen Abbildung . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen und Funktionen in geometrischer Deutung § 1. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . 1.1. Komplexe Zahlen und ebene Geometrie . 1.2. Vektoren . . . . 3 1.3. Drehstreckungen . 4 § 2. Komplexe Funktionen 7 2.1. Grundbegriffe . . 7 2.2. Vektorfelder. . . 11 2.3. Das Newtonsche Potential. 17 2.4. Abbildungen. . . . . . . 19 § 3. Beispiele zur Lasung physikalisch-technischer Probleme mit Hilfe der konformen Abbildung. . . . . . . . . 22 3.1. Elektrische Stramungsfelder. . . . 22 3.2. Hydrodynamische Stramungsfelder. 26 3.3. Der Hodograph . 29 3.4. Torsionsprobleme 33 § 4. Konforme Abbildung gekriimmter FIachen 35 4.1. Allgemeine trberlegungen 35 4.2. Kugelabbildungen 38 4.3. Torusabbildungen . . . 42 Konforme Abbildung durch spezielle Funktionen 44 § 5. Der Logarithmus 44 5.1. Die Riemannsche Flache 44 5.2. Spezielle Figuren 46 § 6. Die allgemeine Potenz 48 6.1. Allgemeine trberlegungen 48 6.2. w = Z2 50 6.3. W = Z-l 53 6.4. W = Z-2 59 § 7. Die linearen Funktionen 59 7.1. Ganz lineare Funktionen 59 7.2. Gebrochen lineare Funktionen . 61 7.3. Abbildung eines Kreises auf einen anderen 65 7.4. Kugeldrehungen . . . . . . . . . . . 70 7.5. Abbildung zweier Kreise auf zwei andere . 71 Inhaltsverzeichnis XI § 8. Die trigonometrischen Funktionen 77 8.1. w = cos z. +. ). 77 (t + 8.2. w = -} 79 8.3. w = tg z . . . 81 Einige grundlegende Satze aus der Potentialtheorie und Funktionentheorie 84 § 9. Der Mittelwertsatz . . . 84 9.1. Der Mittelwertsatz . 84 9.2. Randwertaufgaben . 88 9.3. Reihenentwicklungen . 92 9.4. Analytische Fortsetzung 95 9.5. Das Schwarzsche Lemma 98 § 10. Abbildungssatze . . . . . . 99 10.1. Der Riemannsche Abbildungssatz 99 10.2. Mehrfach zusammenhangende Gebiete 100 10.3. Randwertaufgaben bei zweifach zusammenhangenden Gebieten 104 Theorie und Praxis der Polygonabbildungen. 109 § 11. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip 109 11.1. Automorphismen . . . . . . 109 11.2. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip 112 § 12. Abbildung von Kreisbogenpolygonen . . 114 12.1. Die Schwarzsche Differentialgleichung 114 12.2. Die Integration der Differentialgleichung 121 12.3. Das Parameterproblem . . . . . . . . 126 12.4. Die asymptotische Integration. . . . . 129 12.5. Bemerkungen zur numerischen Integration 138 § 13. Abbildung von Geradenpolygonen. . . . 141 13.1. Das Schwarz-Christoffelsche Integral 141 13.2. Das Parameterproblem . . . . . . 145 13.3. AuBengebiete . . . . . . . . . . 149 13.4. Polygone mit inneren Windungspunkten 151 13.5. Bemerkungen zur numerischen Behandlung des Schwarz- Christoffelschen Integrals 154 14. Polygone in Isothermennetzen 162 14.1. Polygone in Kreisnetzen 162 14.2. Polygone in Kegelschnittnetzen 166 § 15. Zweifach zusammenhangende Polygone 171 15.1. Die Schwarzsche Differentialgleichung bei zweifach zusammen- hangenden Polygonen. . . . . . . . . . ......... 171 15.2. Das Schwarz-Christoffelsche Integral bei zweifach zusammen- hangenden Polygonen. 175 15.3. Spezialialle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 XII Inhal tsverzeichnis Naherungsverfahren der konformen Abbildung 180 § 16. Die eigentlichen Naherungsverfahren 181 16.1. Das Schmiegungsverfahren 181 16.2. Extremalverfahren. . 184 16.3. Graphische Verfahren ... 187 ~ 17. Die Integralgleichungsverfahren 188 17.1. Das Verfahren von THEODORSEN und GARRICK. 188 17.2. Die Integralgleichung von GERSCHGORIN und LICHTENSTEIN . 191 17.3. Das alternierende Verfahren von SCHWARZ . . . . . . .. 196 17.4. Das Verfahren von NEUMANN flir Durchschnitte Yon Gebieten 198 B. Katalog der konformen Abbildung . 202 § 1 Zweiecke . . . . . . . . . . 203 1.1. Getrennte Ecken. Allgemeine Abbildung 203 1.2. Sonderfalle . . . . . . 205 1.3. Zusammenfallende Ecken 206 § 2. Geraden-Dreiecke . . . . . 207 2.1. Einteilige Geraden-Dreiecke . 207 2.2. Zweiteilige Geraden-Dreiecke 213 § 3. Kreisbogen-Dreiecke . . . . . . 216 3.1. Lasungen in geschlossener Form 217 3.2. Analytische Fortsetzung der hypergeometrischen Reihe 223 3.3. Darstellung der Abbildungsfunktion im allgemeinen Fall 228 3.4. Kreisbogendreieck mit zwei gestreckten Winkeln, das den unendlich fernen Punkt enthalt. . 232 § 4. Einteilige Geraden-Vierecke. . . . . . 234 4.1. Lasung des Parameterproblems. . . 234 4.2. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . 241 4.3. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Elementare Funktionen . . . . . . 253 § 5. Zweiteilige Geraden-Vierecke 258 5.1. Lasung des Parameterproblems 258 5.2. Auswertung der Abbildungsfunktion in EinzelHillen: Elementare Funktionen ...................... 266 5.3. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 5.4. Auswertung der Abbildungsfunktion in Einzelfallen: Polygone mit Schlitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 § 6. Andere Polygone, deren Abbildungsfunktion vollstandig angegeben werden kann . . . . . . . . . 299 6.1. Kreisbogenvierecke in Kreisnetzen . . . . . . 299 6.2. Sternpolygone. . . . . . . . . . . . . . . 311 § 7. Polygone, die von Kegelschnittbagen berandet sind 315 7.1. A.uJ3eres und Inneres von Ellipse, Hyperbel und Parabel. 315 7.2. Kege\schnittschlitze . . . . . . . . . . . . . . . . 324
The list of books you might like
