Praktische Mathematik I

192 Pages·2003·0.834 MB·German

by  Volker Mehrmann

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Vorlesungsskript
Praktische Mathematik I
Volker Mehrmann
MA 468, Tel [phone]
email: [email protected]
Fakult¨at II fu¨r Mathematik und
Naturwissenschaften
Institut fu¨r Mathematik
Technische Universit¨at Berlin
2
Literaturverzeichnis
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3
4 LITERATURVERZEICHNIS
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Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung 7
2 Anfangswertaufgaben Teil I 13
2.1 Das Polygonzugverfahren von Euler . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Allgemeine Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Absch¨atzung des globalen Fehlers . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Fehleranalyse 25
3.1 Rechnerarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Rundungsfehler (Reduktionsfehler) . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Fehleranalyse bei Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Interpolation 43
4.1 Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Das Verfahren von Neville und Aitken . . . . . . . . . 46
4.2.2 Interpolation nach Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Trigonometrische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Spline Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Numerische Integration 75
5.1 Newton–Cotes Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5
6 INHALTSVERZEICHNIS
6 Verfahren h¨oherer Ordnung 87
6.1 Einfache Verfahren h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Implizite Runge-Kutta Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Schrittweitensteuerung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 L¨osung von linearen Gleichungssystemen. 103
7.1 Normen und andere Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 L¨osung von Dreieckssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 LR–Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Fehleranalyse der Gauß-Elimination . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Partielle Pivotisierung (Spaltenpivotisierung) . . . . . . . . . . 120
7.6 Vollst¨andige Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.7 Absch¨atzung der Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.8 Iterative Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.9 Der Cholesky–Algorithmus, Bandmatrizen . . . . . . . . . . . 128
7.10 Bandsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.11 Householder-Orthogonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.12 Die QR–Zerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.13 Gram–Schmidt Orthogonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.14 Ausgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.15 Iterative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.15.1 Splitting–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.15.2 Das Konjugierte Gradienten Verfahren . . . . . . . . . 146
8 L¨osung nichtlinearer Gleichungssysteme 151
8.1 Fixpunktverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.2 Das Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.1 Das modifizierte Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . 165
8.2.2 Praktische Realisierung des modifizierten Newton–
Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9 Eigenwertprobleme 169
9.1 Der QR–Algorithmus fu¨r unsymmetrische Matrizen . . . . . . 174
9.2 Die Singul¨arwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.2.1 Die Berechnung der Singul¨arwertzerlegung . . . . . . . 183
9.3 Bisektionsverfahren fu¨r symmetrische tridiagonale Matrizen . . 191
Kapitel 1
Einfu¨hrung
Was ist u¨berhaupt: Numerische Mathematik?
Um eine grobe Vorstellung von diesem Teilgebiet der Mathematik zu erhal-
ten, stellen wir uns vor, wir wollen ein Flugzeug konstruieren und zu diesem
Zweck erst mal verstehen, wie die Str¨omung um einen Tragfl¨ache funktio-
niert.
Wie gehen wir vor?
7
8 KAPITEL 1. EINFU¨HRUNG
Vorgehen Beispiel
Anwendungsproblem Str¨omung um eine Tragfl¨ache
Modellbildung
? ?
Mathematisches Problem Navier–Stokes Gleichungen
? ?
Mathematische Existenz
Analyse Eindeutigkeit
? ? ? ?
6 Konstruktion von Verfahren Finite Differenzen, Finite Elemente
? ? ? ?
Implementation Analyse des Programm Fehleranalyse
Numerik Verfahrens Konvergenz
? ?
Ergebnis N¨aherungsl¨osung
?
? ? ? ?
Interpretation und Konstruktion einer Trag߬ache
Anwendung der Ergebnisse (Experiment)
9
Beispiel 1 Freier Fall
Wir betrachten den aus der Physik bekannten freien Fall. Ein Stein wird
aus dem Turm von Pisa (H¨ohe 44.12 m) fallen gelassen. Wann schl¨agt er
auf?
Modellbildung:
Als Vereinfachung vernachl¨assigen wir die Reibung und nehmen an, dass
der Stein eine Punktmasse darstellt.
Hier machen wir einen kleinen Modell(ierungs)fehler.
Mathematisch wird die Fallbewegung als eine Funktion des zuru¨ckgelegten
Weges zur Zeit t beschrieben. Sei h(t) die H¨ohe zum Zeitpunkt t, dann ist
die Geschwindigkeit des Steines gegeben durch die erste Ableitung von h nach
der Zeit:
dh
v(t) = = h0(t).
dt
Die Beschleunigung a des Steines ist definiert als die Ableitung der Ge-
schwindigkeit v nach der Zeit, also gilt:
a(t) = v0(t)
dv
=
dt
d2h
= .
dt2
m
Fu¨r die Erdbeschleunigung g nehmen wir den konstanten Wert 9.81 .
s2
Dies ist ein N¨aherungswert, wir machen Fehler in den Daten, und
wir vereinfachen, denn eigentlich h¨angt g von der H¨ohe ab.
Damit wissen wir, dass fu¨r a(t) gilt:
a(t) = −g
Die Geschwindigkeit des Steines zur Zeit t l¨aßt sich nun durch Integration
bestimmen:
Z
v(t) = a(t)dt
= −gt+c .
1
10 KAPITEL 1. EINFU¨HRUNG
Analog dazu wird nun durch eine weitere Integration h(t) bestimmt:
Z
h(t) = v(t)dt
Z
= (−gt+c )dt
1
g
= − t2 +c t+c .
1 2
2
Wir erhalten also als allgemeine L¨osung unseres Problems, dass der Stein
nach
q
c ± c2 +4c g
1 1 22
t =
2g
2
p
c ± c2 +2c g
= 1 1 2
g
Sekunden aufschl¨agt.
Um dies explizit zu machen, brauchen wir die Integrationskonstanten c ,c .
1 2
Den Wert von c k¨onnen wir sofort berechnen, da bekannt ist, dass sich der
1
Stein zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand der Ruhe befindet. Es muß nur noch
m
v(0) = 0 gel¨ost werden:
s
m
v(0) = −g ·0+c = 0
1
s
⇒ c = 0.
1
Die Konstante c wird analog ermittelt (h(0) = 44.12 m):
2
g
h(0) = − ·0+c ·0+c = 44.12 m
1 2
2
⇒ c = 44.12 m.
2
Wir k¨onnen nun diese Werte und g einsetzen und erhalten als L¨osung die
Fallzeit: √
44.12∗19.62
t = ± .
9.81
Nun mu¨ssen wir den Rechner bemu¨hen, um einen Zahlenwert zu bestim-
men, und wir erhalten die numerische L¨osung ( auf 3 Stellen genau):
t = 3.00 s.