Praktische Mathematik

368 Pages·1982·0.71 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Stummel

Teubner Studienbücher
Mathematik
Ahlswede/Wegener: Suchprobleme
328 Seiten. DM 29,80
Ansorge: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben
298 Seiten. DM 29,80 (LAMM)
Sohl: Finite Modelle gewöhnlicher Randwertaufgaben
318 Seiten. DM 29,80 (LAMM)
Böhmer: Spline-Funktionen
Theorie und Anwendungen. 340 Seiten. DM 30,80
Bröcker: Analysis ln mehreren Variablen
einschließlich gewöhnlicher Differentialgleichungen und des Satzes von Stokes
VI, 361 Seiten. DM 29,80
Clegg: Variationsrechnung
138 Seiten. DM 18,80
Collatz: Differentialgleichungen
Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen
6. Aufl. 287 Seiten. DM 29,80 (LAMM)
Collatz/Krabs: Approximationstheorie
Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen. 208 Seiten. DM 28,-
Constantinescu: Distributionen und Ihre Anwendung ln der Physik
144 Seiten. DM 19,80
Fischer/Sacher: Einführung ln die Algebra
2. Aufl. 240 Seiten. DM 19,80
Flore!: Maß- und Integrationstheorie
Eine Einführung. 360 Seiten. DM 29,80
Grigorieff: Numerik gewöhnlicher Differentlaigleichungen
Band 1: Einschrittverfahren. 202 Seiten. DM 18,80
Band 2: Mehrschrittverfahren. 411 Seiten. DM 29,80
Hainzl: Mathematik für Naturwissenschaftler
3. Aufl. 376 Seiten. DM 29,80 (LAMM)
Hässig: Graphentheoretische Methoden des Operations Research
160 Seiten. DM 26,80 (LAMM)
Hilbert: Grundlagen der Geometrie
12. Aufl. VII, 271 Seiten. DM 25,80
Jeggle: Nichtlineare Funktionalanalysis
Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen. 255 Seiten. DM 26,80
Kali: Mathematische Methoden des Operations Research
Eine Einführung. 176 Seiten. DM 24,80 (LAMM)
Kochendörffer: Determinanten und Matrizen
IV, 148 Seiten. DM 17,80
Kohlas: Stochastische Methoden des Operations Research
192 Seiten. DM 24,80 (LAMM)
Fortsetzung auf der 3. Umschlagseite
Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Stummel
Geboren 1929 in Berlin. Studium der Mathematik
und Physik von 1950 bis 1955 an den Universitäten
Göttingen, Tübingen und Paris. Diplom 1954
und Promotion 1955 in Göttingen. Von 1956 bis 1961
Leiter der Rechengruppe im Institut für Neutronenphysik
und Reaktortechnik des Kernforschungszentrums Karlsruhe.
Habilitation 1961 an der Technischen Universität Berlin.
Von 1961 bis 1964 Privatdozent an der
Technischen Universität und wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Hahn-Meitner-Institut für Kernforschung in Berlin.
1964 Berufung also. Professor auf den Lehrstuhl
für Angewandte und Instrumentelle Mathematik
der Universität Frankfurt/M.
Dr. phil. nat. Karl Hainer
Geboren 1942 in Offenbach/M. 1962 bis 1966 Studium
der Mathematik an der Universität Frankfurt/M.
1966 Diplom. 1968 Promotion in Frankfurt/M.
Seit 1971 Akademischer Rat am Mathematischen Seminar
der Universität Frankfurt/M.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Stummel, Friedrich:
Praktische Mathematik I von F. Stummel u. K. Hainer.-
2., überarb. u. erw. Aufl. -
(Teubner Studienbücher: Mathematik)
ISBN 978-3-519-12040-7 ISBN 978-3-663-11121-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-11121-4
NE: Hainer, Kar!:
Das Werk ist urherrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte,
besonders der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksen
dung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der
Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei
Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten.
Bei gewerblichen Zwecken dienender VervieWiltigung ist an den Verlag gemäß
§ 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu
vereinbaren ist.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1982
Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner, Stuttgart 1982
Satz: Schmitt u. Köhler, Würzburg-Heidingsfeld
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Die praktische Mathematik beschäftigt sich mit Verfahren zur Lösung typischer
mathematischer Grundaufgaben, die in Anwendungsgebieten der Mathematik und in
der Praxis auftreten, sowie mit der mathematischen Analyse und Behandlung dieser
Verfahren. In naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungsgebieten handelt
es sich bei diesen Aufgaben zum Beispiel um die Berechnung spezieller Funktionen,
die näherungsweise Berechnung von Differentialquotienten und von Integralen dieser
Funktionen, um die Lösung algebraischer Gleichungen, von linearen und nichtline
aren algebraischen Gleichungssystemen, um die näherungsweise Lösung von
Differential- und Integralgleichungen und so weiter. Für die Praxis ist man dabei
vorwiegend an Methoden interessiert, die die näherungsweise, numerische Lösung der
Aufgaben gestatten.
In diesem Buch werden die üblichen Vorkenntnisse der Differential- und
Integralrechnung sowie der linearen Algebra aus dem ersten Jahr des Mathematikstu
diums vorausgesetzt. Die numerischen Übungsaufgaben sind so gestellt, daß sie im
Rahmen eines Mathematischen Praktikums auf programmierbaren digitalen Rechen
maschinen gelöst werden können. Ein Teil der Aufgaben läßt sich bereits auf
programmierbaren Taschenrechnern bearbeiten. Zahlreiche Taschenrechnerpro
gramme mit detaillierten Beschreibungen der numerischen Algorithmen sind in einem
Buch des zweiten Autors zu finden. Die problemorientierten Programmierungsspra
chen moderner Großrechenanlagen gestatten ohne weiteres das Rechnen im Bereich
der komplexen Zahlen. Eine Reihe von Aufgabenstellungen wie zum Beispiel die
Bestimmung von Nullstellen bei Polynomen oder von Eigenwerten bei Matrizen ist im
allgemeinen Fall nur im Körper der komplexen Zahlen vollständig lösbar. Soweit dies
ohne weiteres möglich ist, werden daher Methoden und Verfahren in diesem Buch für
den Körper K formuliert, wobei K den Körper R der reellen Zahlen beziehungsweise
den Körper C der komplexen Zahlen bezeichnet.
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen und Praktika entstanden, die der
erstgenannte VerfasserseitJahren regelmäßig an der Universität Frankfurt gehalten
hat, und aus einem Vorlesungsskriptum zum Mathematischen Praktikum, das von
beiden Verfassern gemeinsam ausgearbeitet worden war. Der Stoff der ersten fünf
Kapitel bildet im wesentlichen eine einsemestrige Einführung in die Praktische
Mathematik. Darüber hinaus bringt Kapitel VI eine Einführung in die Fehleranalyse
numerischer Algorithmen, die für das Verständnis der Grundbedingungen des
numerischen Rechnens von zentraler Bedeutung ist. Im Rahmen einer einsemestrigen
Vorlesung ist eine Beschränkung bei der Darstellung von Verfahren und Methoden
notwendig. Wir haben darauf verzichtet, eine größtmögliche Anzahl verschiedener
Verfahren, etwa gar nur in Form von "Rezepten", zu den einzelnen Aufgabenstellun
gen zu bringen. Vielmehr sollten grundlegende Begriffsbildungen und Eigenschaften
typischer Verfahren behandelt werden. Speziellere Fragen können dann auf dieser
Basis in weiterführenden Vorlesungen oder mit Hilfe der zu Beginnjedes Paragraphen
genannten umfassenderen Bücher und Standardwerke weiter verfolgt werden.
4 Vorwort
Es wird jetzt noch ein kurzer Überblick über Darstellung und Inhalt des Buches
gegeben sowie auf einige Ergebnisse hingewiesen, die aus anderen Vorlesungsskripten
und Arbeiten des ersten Verfassers stammen. Kapitell soll zunächst mit Begriffsbil
dungen und Methoden bekannt machen, die zur Berechnung von Funktionen und
ihrer Nullstellen dienen und für die Benutzung entsprechender Handbücher
erforderlich sind. Kapitel II beschäftigt sich mit Interpolation und näherungsweiser
Differentiation und Integration. Neben den klassischen Quadraturformeln, die mit
Hilfe der Hermiteschen Interpolationsformel hergeleitet werden, bringen wir die
Romberg-Integration und die allgemeinen Gaußsehen Quadraturformeln. Gegen
stand der Kapitel III und IV sind Methoden zur Lösung linearer und nichtlinearer
algebraischer Gleichungssysteme sowie zur Lösung von Eigenwertaufgaben bei
Matrizen. Paragraph 5 behandelt daher grundlegende Begriffsbildungen für den
endlichdimensionalen Zahlenraum, nämlich Normen für Vektoren und Matrizen,
Skalarprodukte, sowie die wichtigsten Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvek
toren von Matrizen. Die numerischen Methoden zur Lösung linearer Gleichungssy
steme gliedern sich hier in Eliminationsverfahren, Orthogonalisierungsverfahren und
iterative Verfahren. Zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme durch das Jacobi
und Gauß-Seidel-Verfahren beschäftigt sich Paragraph 9 mit der Methode der
sukzessiven Approximation für kontrahierende Abbildungen und monotone Abbil
dungen sowie mit den Newtonsehen Verfahren. Bei der Lösung von Eigenwertaufga
ben beschränken wir uns auf den symmetrischen Fall und die Potenzmethode, das
klassischeJ acobische Verfahren, das Verfahren von Krylow mit Lanczos-Orthogona
lisierung zur Gewinnung einer Tridiagonalmatrix und einer Sturmsehen Kette zur
Berechnung der Eigenwerte, sowie auf Einschließungssätze und a-posteriori
Fehlerabschätzungen für Eigenwerte und Eigenvektoren. Aus dem umfangreichen
Gebiet der numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen sind in
Kapitel V die Einschritt-und Mehrschrittverfahren zur numerischen Integration von
Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ausgewählt worden.
Dabei werden nicht nur die Näherungsgleichungen dieser Verfahren hergeleitet,
sondern auch Konvergenz und Stabilität der Verfahren bewiesen.
In Kapitel VI wird das Verhalten numerischer Algorithmen unter dem Einfluß von
Rundungsfehlern einer Gleitpunktarithmetik und Störungen der Eingangsdaten
untersucht. Paragraph 13 bringt eine kurze Einführung in eine Vorwärtsfehleranaly
se, die mit Hilfe der Linearisierungsmethode optimale Schranken für die möglichen
Resultatfehler liefert. Darüber hinaus gestattet diese Methode auch, die Stabilität von
Algorithmen im Sinne der Wilkinsonschen Rückwärtsanalyse zu untersuchen. In§ 14
wird die Fehleranalyse auf die Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen,
von Produkten und Summen, auf das Horner-Schema, die Lösung bidiagonaler
Gleichungssysteme, den Kettenbruchalgorithmus und das Gaußsehe Eliminations
verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme angewandt. Wesentliche Hilfsmit
tel zur Herleitung von Stabilitätssätzen für das Gaußsehe Eliminationsverfahren bei
speziellen Gleichungssystemen, deren Koeffizientenmatrizen positiv definit, diagonal
dominant oder M-Matrizen sind, findet man in Abschnitt 6.2.
Vorwort 5
Von fundamentaler Bedeutung für Näherungsverfahren sind zugehörige Fehlerab
schätzungen. Besonders interessieren dabei sogenannte a-posteriori-Fehlerabschät
zungen, durch die man aus der berechneten Näherungslösung mit dem Defekt bei der
Einsetzprobe die Abweichung der Näherung von der gesuchten Lösung abschätzen
kann. Für die Lösung von nichtlinearen algebraischen Gleichungssystemen wird eine
solche, vom speziellen Verfahren unabhängige Fehlerabschätzung in Abschnitt9.2
hergeleitet. Eine entsprechende Fehlerabschätzung wird für denFall einer Veränderli
chen bereits in Abschnitt 2.2 gezeigt, womit sich übrigens sehr einfach die Konvergenz
der Regula falsi auch im Komplexen beweisen läßt. Ganz analog kann man a
posteriori-Fehlerabschätzungen für Eigenwertaufgaben bei Matrizen angeben. Für
Eigenwertnäherungen hat man die bekannten Vergleichs- und Einschließungssätze.
Darüber hinaus werden in Abschnitt 10.4 für den symmetrischen Fall auch
Eigenvektornäherungen durch die Norm des Defekts bei der Einsetzprobe abge
schätzt, was zugleich eine interessante Fehlerabschätzung des Rayleigh-Quotienten
als Eigenwertnäherung durch das Quadrat der Defektnorm ergibt. An mehreren
Stellen des Buches werden orthogonale Polynome benötigt. Abschnitt 7.4 bringt
daher eine einfache, rein algebraische Theorie orthogonaler Polynome mit Aussagen
über Nullstellen, Rekursionsformeln und spezielle Darstellungen, die auf die
klassischen orthogonalen Polynome mit den Gaußsehen Quadraturformeln ebenso
wie auf die orthogonalen Lanczos-Polynome einer Matrix und das Minimalpolynom
eines Vektors anwendbar sind. Abschnitt 8.3 zeigt die Konvergenz des Gauß-Seidel
Verfahrens oder allgemeiner der zugehörigen Relaxationsverfahren für positiv
definite Matrizen nach Definition einer geeigneten, dem Problem angepaßten Norm
mit Hilfe der Methode der kontrahierenden Abbildungen. Die Ein-und Mehrschritt
verfahren für Anfangswertaufgaben bringen eine wichtige und typische Anwendung
der fundamentalen Begriffsbildungen Konsistenz, Konvergenz und Stabilität, wobei
die Äquivalenz von Konsistenz und Konvergenz für Lipschitz-stetige Verfahren
bewiesen wird.
Für die zweite Auflage wurde das Buch um die Fehleranalyse numerischer
Algorithmen in Kapitel VI erweitert und in diesem Zusammenhang § 6 über das
Gaußsehe Eliminationsverfahren neu verfaßt Weiter wurden die Literaturhinweise
aufneuesten Stand gebracht und der gesamte Text sorgfältig durchgesehen. Unserem
Kollegen, Herrn Prof. Dr. K. H. Müller danken wir an dieser Stelle herzlich für
wertvolle Hinweise. Besonderer Dank gebührt dem Teubner-Verlag für die
ausgezeichnete Zusammenarbeit und die gute Ausstattung des Studienbuchs.
Frankfurt am Main, im Sommer 1981 F. Stummel, K. Hainer
Inhalt
I Berechnung von Funktionen und Nullstellen. 11
1. Berechnung von Funktionen . 11
1.1. Polynome .................... . 12
1.2. Unendliche Reihen ................ . 14
1.2.1. Fehlerabschätzung zum Leibnizschen Kriterium 14
1.2.2. Fehlerabschätzung zum Quotientenkriterium. 16
1.3. Asymptotische Entwicklungen . 17
1.4. Kettenbruchentwicklungen. . 20
1.5. Beste Approximationen ... 21
1.6. Numerische Übungsaufgaben 26
2. Berechnung von Nullstellen .... 29
2.1. Intervallschachtelungsverfahren 30
2.2. Methode der sukzessiven Approximation 32
2.2.1. Bestimmung von Fixpunkten ... 32
2.2.2. Bestimmung von Nullstellen 36
2.3. Das Newtonsehe Verfahren 38
2.4. Regula falsi . . . . . . . . . . 41
2.5. Quadratische Interpolation .. 44
2.6. Numerische Übungsaufgaben 46
II Interpolation, Extrapolation, numerische Differentiation
und numerische Integration. . . . . . . . . . . . . 48
3. Interpolation, Extrapolation und numerische Differentiation. 49
3 .1. Interpolationspolynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Lagrange-Darstellung .............. . 49
3.1.2. Dividierte Differenzen und Newtonsehe Darstellung . 51
3 .2. Interpolation von Funktionen . 54
3.2.1. Die Hermitesche Formel 55
3.2.2. Restglieder ....... . 58
3.2.3. Äquidistante Stützstellen 59
3.3. Numerische Differentiation ... 61
3.3.1. Elementare Differenzenquotienten . 62
3.3.2. Differenzenquotienten beliebiger Ordnung und Genauigkeit. 63
3.4. Numerische Übungsaufgaben .... 66
4. Numerische Integration . . . . . . . . . . 70
4.1. Interpolatorische Quadraturformeln. 70
4.1.1. Quadraturformeln und Restglieder. 70
4.1.2. Spezielle Quadraturformeln. . . . . 73
4.2. Summierte Quadraturformeln . . . . . . . 78
4.2.1. Spezielle summierte Quadraturformeln und Restglieder 79
4.2.2. Extrapolationsverfahren und Romberg-Integration. 82
4.3. Gaußsehe Quadraturformeln. 84
4.4. Numerische Übungsaufgaben ............... . 88
8 Inhalt
111 Numerische Methoden der linearen Algebra. 91
5. Der normierte Zahlenraum 92
5.1. Normen . . . . . 92
5.2. Matrizennormen. . . . 96
5.3. Skalarprodukte . . . . 99
5.4. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen. 102
5.4.1. Allgemeine Matrizen . . . . . . . . . . 102
5.4.2. Symmetrische Matrizen und Abbildungen. 105
6. Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme . 110
6.1. Das Gaußsehe Eliminationsverfahren . . . . . . . . 111
6.1.1. Vorwärtselimination und Rückwärtseinsetzen. . . 111
6.1.2. Dreieckszerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.3. Simultane Lösung linearer Gleichungssysteme, lnvertierung von Matrizen 117
6.1.4. Fehlerabschätzung und Nachiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2. Spezielle Klassen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.1. Positiv definite Koeffizientenmatrizen, LDL*-Zerlegung, Cholesky-Ver-
fahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.2. Diagonaldominante Koeffizientenmatrizen, M-Matrizen . 122
6.2.3. Bandmatrizen . . . . . . . . . . 127
6.2.4. Tridiagonale Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 128
6.3. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7. Orthogonalisierungsverfahren und überbestimmte Gleichungssysteme 133
7.1. Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . 133
7.2. Überbestimmte Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . 137
7.3. Ausgleichsparabeln und diskrete harmonische Analyse . . 140
7.3.1. Formulierung und Lösung der allgemeinen Aufgabe 140
7.3.2. Ausgleichsparabeln . . . . . . 141
7.3.3. Diskrete harmonische Analyse . . 142
7.4. Orthogonale Polynome. . . . . . . . . . 144
7.4.1. Definition orthogonaler Polynome 144
7.4.2. Symmetrische orthogonale Polynome . 146
7.4.3. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.5. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . . . 151
8. Iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 155
8.1. Das Verfahren von Jacobi oder Gesamtschrittverfahren. 155
8.1.1. Definition des Verfahrens. . . . . . . 155
8.1.2. Konvergenz und Fehlerabschätzungen . . . . . . 156
8.1.3. Spezielle Konvergenzkriterien. . . . . . . . . . . 158
8.2. Das Verfahren von Gauß-Seidel oder Einzelschrittverfahren 159
8.2.1. Definition des Verfahrens. . . . . . . . . . . . 159
8.2.2. Starkes und schwaches Zeilensummenkriterium. . . . 160
8.3. Gleichungssysteme mit positiv definiten Matrizen . . . . . . 164
8.3.1. Das Verfahren von Jacobi oder Gesamtschrittverfahren 164
8.3.2. Das Verfahren von Gauß-Seidel oder Einzelschrittverfahren . 166
8.4. Iterative Methoden zur Invertierung von Matrizen . . . . 169
8.4.1. Die Neumannsehe Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.4.2. Iterationsverfahren zur Invertierung von Matrizen . . . . . 171
8.4.3. Das Newtonsehe Verfahren zur Invertierung von Matrizen. 172
8.5. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Inhalt 9
IV Nichtlineare Gleichungssysteme und Eigenwertaufgaben bei Matrizen 176
9. Iterative Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme. 177
9.1. Methode der sukzessiven Approximation 177
9.1.1. Definition des Verfahrens. . . . . . . . . . . . . . 178
9.1.2. Kontrahierende Abbildungen . . . . . . . . . . . . 179
9.1.3. Das Verfahren von Gauß-Seidel oder Einzelschrittverfahren . 183
9.2. Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme. 185
9.2.1. Allgemeine Abbildungen 185
9.2.2. Monotone Abbildungen. 189
9.3. Newtonsehe Verfahren. . . . . 192
9.3.1. Definition der Verfahren 192
9.3.2. Konvergenz der Newtonsehen Verfahren. 194
9.4. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . . . . . 197
10. Eigenwertaufgaben bei Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.1. Die Potenzmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.1.1. Symmetrische Abbildungen mit nichtnegativen Eigenwerten 201
10.1.2. Symmetrische Abbildungen . . . . . . . . . 204
10.1.3. Inverse Iteration und Spektralverschiebung. 210
10.2. Jacobische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.2.1. Elementare orthogonale Transformationen . 213
10.2.2. Das klassische Jacobische Verfahren . . . . 215
10 .2.3. Zyklische und andere J acobische Verfahren. 217
10.3. Das Verfahren der iterierten Vektoren von Krylow. 218
10.3.1. Minimalpolynom eines Vektors. . . . . . . 219
10.3.2. Symmetrische Jacobi-Matrix und Sturmsehe Kette . 222
10.4. Einschließungssätze und Fehlerabschätzungen für symmetrische Eigenwertauf-
gaben . . . . . . . . . . . . . 228
10.5. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
V Numerische Integration von Anfangswertaufgaben
gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . 239
11. Einschrittverfahren ftir Anfangswertaufgaben 240
11.1. Definition des Verfahrens . . . . 241
11.2. Konsistenz. . . . . . . . . . . . . . . 244
11.2.1. Konsistenzbedingungen . . . . 245
11.2.2. Konsistenz der Euler-Cauchy-Verfahren 247
11.2.3. Das Runge-Kutta-Verfahren ..... 249
11.2.4. Die Methode der Taylor-Entwicklung 254
11.3. Konvergenz .............. . 256
11.3.1. Der aUgemeine Konvergenzsatz. 256
11.3.2. Konvergenz spezieUer Verfahren 259
11.4. Stabilität. . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11.4.1. AUgemeiner Stabilitätssatz . . . 262
11.4.2. Diskretisierungs- und Rundungsfehler 264
11.5. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . . . . 266
10 Inhalt
12. Mehrschrittverfahren ftir Anfangswertaufgaben 270
12.1. Definition des Verfahrens . . . . 270
12.2. Konsistenz. . . . . . . . . . . . 273
12.2.1. Konsistenzbedingungen . 273
12.2.2. Verfahren von Adams. . 274
12.2.3. Verfahren von Nyström und Milne. 281
12.2.4. Verfahren von Störmer und Cowell für spezielle Differentialgleichungen
zweiter Ordnung . . . . . . . . 284
12.3. Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 288
12.3.1. Der allgemeine Konvergenzsatz. 288
12.3.2. Konvergenz spezieller Verfahren 292
12.4. Numerische Übungsaufgaben . . . . . . 295
VI Fehleranalyse numerischer Algorithmen . 298
13. Grundlagen der Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . 299
13.1. Auswertungsalgorithmen in Gleitpunktarithmetik. 299
13.1.1. Zahldarstellungen und Rundungsfunktionen 300
13.1.2. Gleitpunktarithmetik . . 302
13.1.3. Auswertungsalgorithmen 303
13.2. Fehlerfortpflanzung . . . . . . . 305
13.2.1. Fehlerbeziehungen . . . 306
13.2.2. Lineare Fehlergleichungen und Konditionszahlen. 311
13.2.3. Restgliedabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . 314
13.3. Daten- und Rundungskonditionszahlen, Rückwärtsstabilitätskonstanten . 317
14. Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.1. Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen, von Produkten und
Summen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
14.1.1. Wurzeln quadratischer Gleichungen . 322
14.1.2. Rekursive Berechnung von Produkten 326
14.1.3. Rekursive Berechnung von Summen . 328
14.2. Der elementare Einschrittalgorithmus. . . . . 331
14.2.1. Definition des Algorithmus und lineare Fehlergleichungen . 331
14.2.2 Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . 333
14.2.3. Lösung bidiagonaler Gleichungssysteme 335
14.2.4. Auswertung von Kettenbrüchen. 336
14.3. Gaußsches Eliminationsverfahren . . . . . . . 338
14.3.1. Datenstörungen. . . . . . . . . . . . 338
14.3.2. Lösung gestaffelter Gleichungssysteme 341
14.3.3. Gaußsches Eliminationsverfahren unter Rundungsfehlerstörungen . 344
14.3.4. Residuenabschätzungen und Stabilitätsbedingungen 348
Literatur . . . . 355
Sachverzeichnis 360