Praktische Lebensversicherungsmathematik: Mit zahlreichen Beispielen sowie Aufgaben plus Lösungen

466 Pages·2016·3.89 MB·German

by  Karl Michael Ortmann (auth.)

Karl Michael Ortmann
Praktische
Lebensversicherungs-
mathematik
Mit zahlreichen Beispielen
sowie Aufgaben plus Lösungen
2. Aufl age
Studienbücher Wirtschaftsmathematik
Herausgegebenvon
Prof.Dr.BerndLuderer,TechnischeUniversitätChemnitz
DieStudienbücherWirtschaftsmathematikbehandelnanschaulich,systematischund
fachlichfundiertThemenausderWirtschafts-,Finanz-undVersicherungsmathematik
entsprechenddemaktuellenStandderWissenschaft.
Die Bände der Reihe wenden sich sowohl an Studierende der Wirtschaftsmathema-
tik,derWirtschaftswissenschaften,derWirtschaftsinformatikunddesWirtschaftsinge-
nieurwesensanUniversitäten,FachhochschulenundBerufsakademienalsauchanLeh-
rendeundPraktikerindenBereichenWirtschaft,Finanz-undVersicherungswesen.
Karl Michael Ortmann
Praktische
Lebensversicherungs-
mathematik
Mit zahlreichen Beispielen
sowie Aufgaben plus Lösungen
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
KarlMichaelOrtmann
FachbereichII-Mathematik
BeuthHochschulefürTechnikBerlin
Berlin,Deutschland
ISBN978-3-658-10199-2 ISBN978-3-658-10200-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-10200-5
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Vorwort zur zweiten Auflage
Sechs Jahre sind seit der ersten Auflage vergangen.In der Zwischenzeit hat sich dieses
BuchzueinemStandardwerkderLebensversicherungsmathematikentwickelt.Umdieses
Lehrbuch noch besser zu machen, wurden mit der zweiten Auflage eine umfangreiche
Überarbeitung sowie zahlreiche Erweiterungen vorgenommen, die an dieser Stelle kurz
vorgestelltwerdensollen.
AnersterStellesinddiezahlreichenAufgabenmitLösungenzunennen,dieindieses
Lehrbuchaufgenommenwurden.EshandeltsichdabeigrößtenteilsumehemaligeKlau-
suraufgaben aus meinen Lehrveranstaltungen zur Versicherungsmathematik. Durch das
Bearbeiten der Aufgaben erhält der Leser die Möglichkeit, die Inhalte zu üben und den
Lernfortschrittzuüberprüfen.
Außerdem wurde das Kapitel zu den Rechnungsgrundlagen wesentlich erweitert:
DieGrundzügedesstochastischenModellsderLebensversicherungsmathematikwurden
ebensoaufgenommenwieausgewähltestatistischeMethoden:derKaplan-Meier-Schätzer
für die Überlebensfunktion einerseits und das Marginalsummenverfahrenfür Mehrfach-
klassifikationen in der Tarifierung andererseits. Darüber hinaus wurde der Abschnitt
zur Glaubwürdigkeitstheorie deutlich erweitert. Für die Beitragsberechnung wurde die
Zufallsabhängigkeit einschlägiger Versicherungsbarwerte anhand der Varianz des Erfül-
lungsbetragsanalysiert.ZuguterLetztwurdederAbschnittzurNachreservierungergänzt.
In diesem Zusammenhang wurde auch das Konzept der Duration auf die Lebensversi-
cherungsmathematik übertragen. Im Gegenzug für diese umfangreichen Erweiterungen
wurdedasKapitelzurFinanzmathematikaufeineZusammenfassunggekürzt.
Nicht zuletzt sind die Gesetzesnovellen für die versicherungsmathematische Praxis
bedeutsam, denn sie wirken sich auf die Berechnungen für Neugeschäft in der Lebens-
versicherungaus.VonbesondererBedeutungsindhierbeidieAbsenkungdesHöchstrech-
nungszinssatzesauf1,25%zum01.01.2015,dieindieserAuflageberücksichtigtist,sowie
diegeschlechtsneutraleTarifierunginderVersicherungswirtschaft,derenImplikationauf
dieSterbetafeldiskutiertwird.
V
VI VorwortzurzweitenAuflage
Mein Dank gebührt meinen Kollegen aus Wissenschaft und Praxis ebenso wie mei-
nen Studierenden und Lesern für Hinweise auf Fehler sowie Unklarheiten in der ersten
Auflage,dienunallesamtkorrigiertwurden.AlleverbliebenenundneuenUnzulänglich-
keitenliegeninmeinerVerantwortung.GernenehmeichHinweiseauf,damitdienächste
AuflagediesesLehrbuchsverbessertwerdenkann.
Berlin,imMai2015 KarlMichaelOrtmann
Vorwort
Das vorliegende Buch richtet sich insbesondere an Studierende der Wirtschaftsmathe-
matik an Fachhochschulen, Hochschulen, Universitäten und Berufsakademien sowie an
Absolventen ebensolcher Bildungseinrichtungen.Ihnen ist gemeinsam, dass sie sich für
diepraktischeAnwendungder Mathematik in der Lebensversicherunginteressieren und
gegebenenfallseineberuflicheTätigkeitinderVersicherunganstreben.MitdiesemBuch
möchten wir außerdem einen Beitrag zur Ausbildung zum Aktuar gemäß den Anforde-
rungenderDeutschenAktuarvereinigung(DAV)liefern.
Wir geben in diesem Buch einen Einblick in diejenigen Themen, die für die Praxis
der Lebensversicherung besonders relevantsind. Der Nutzen für den Leser liegt in dem
ErwerbvonKenntnissenundFähigkeiten,dieinderLebensversicherungvonpraktischer
Bedeutungsind. Da der Praxisbezug im Vordergrundsteht, wurden zahlreicheBeispiele
undAbbildungenaufgenommen.DurchsiesolldasVerständnisderbehandeltenMaterie
erleichtertwerden.MitHilfederimAnhangbefindlichenSterbetafelnkönnendieRech-
nungenlückenlosnachvollzogenwerden.
DasBuchistderartgestaltet,dassessicheinerseitsfürdassystematischeErlernendes
Stoffeseignet,andererseitsimNachhineinalsNachschlagewerkdienenkann.Zudiesem
ZwecksindKernbegriffefettgedrucktunderleichternsodasAufspürenrelevanterPassa-
gen.
Wir beginnen im ersten Kapitel mit einer Einführung in die Versicherung. Die ma-
thematischenGrundlagenderelementarenFinanzmathematikwerdenimzweitenKapitel
dargestellt.DasfolgendedritteKapitelüberdiebiometrischenRechnungsgrundlagenbe-
handeltdieHerleitungundAnwendungvonSterbetafeln.ImKerndesBuchesstehendie
KenntnisseundMethodenzurBestimmungderPrämieninderLebensversicherung,dieim
viertenKapitelvermitteltwerden.EinweitererSchwerpunktsinddieDeckungsrückstel-
lungen,dieimfünftenKapitelbehandeltwerden.DieGrundprinzipienderÜberschussbe-
teiligungwerdenimsechstenKapiteldargestellt.DenAbschlussbildetdassiebteKapitel
überdieLebensrückversicherung.
Da die Lebensversicherungsmathematik ein weites Feld ist, können wir zwangsläu-
fig keine vollständige Darstellung geben. Weiterführende Inhalte werden im Sinne von
ErgänzungeninjedemKapitelkurzundknappskizziert.Dazuverweisenwiraufdieent-
sprechendeLiteratur.
VII
VIII Vorwort
KollegenanderBeuthHochschule,StudierendeverschiedenerJahrgänge,Freundeund
Bekannte aus der Versicherungswirtschaft haben zum Gelingen dieses Buches beigetra-
gen.IhnengebührtmeinherzlicherDank.Eswäredurchausangemessen,siealleandieser
Stelle zuerwähnen.Dochwürdeichdadurchvonmeiner eigenenVerantwortungfürdie
RichtigkeitderMathematikundderdargestelltenStandpunkteablenken.
Besonderer Dank gilt dem Herausgeber der Studienbücher Wirtschaftsmathematik,
Prof.Dr.BerndLuderer,fürseineHinweise,AnregungenundsehrguteZusammenarbeit.
Schließlich bin ich dem Vieweg+Teubner Verlag für die praktische Umsetzung dieses
BucheszuDankverpflichtet.
Berlin,imJuli2009 KarlMichaelOrtmann
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 WesenderVersicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Versicherungssparten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 FormenderLebensversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Geschäftsverbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 BedeutungderLebensversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ElementareFinanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 FormelnderFinanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 BiometrischeRechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 ModellierungdesGesamtschadens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 IndividuellesModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Approximationsmethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 KollektivesModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 KlassischeGlaubwürdigkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 VolleGlaubwürdigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 PartielleGlaubwürdigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 StochastischesModellderSterblichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Ereigniszeitenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Sterbeintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.3 AktuarielleNotationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.4 Lebenserwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IX