Praktische Funktionenlehre: Erster Band Elementare und elementare transzendente Funktionen (Unterstufe)

270 Pages·1943·11.832 MB·German

by  Dr.-Ing. habil. Friedrich Tölke VDI (auth.)

Praktische
Funktionenlehre
Von
Friedrich Tolke
Dr.-Ing. habil. VDI
o. Professor fur Technische Mechanik,
Hahere Festigkeitslehre und Wasserhauliche Stramungslehre
an der Technischen Hochschule Berlin
Erster Band
Elementare und elementare transzendente Funktionell
(Unterstufe)
Mit 62 Abbildungen und
31 durchgerechneten Beispielen
Berlin
Springer-Verlag
1943
ISBN-13: 978-3-642-98171-5 e-ISBN-13: 978-3-642-98982-7
DOl: 10.1007/978-3-642-98982-7
AIle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten
Copyright 1943 by Springer-Verlag OHG., Berlin
Vorwort.
Seitdem E. JAHNKE und insbesondere F. EMDE mit ihren einzigartigen durch Formeln, Kurven
und raumliche Schaubilder erganzten Tafelwerken die mathematisch hochE)ntwickelte Funk
tionentheorie weiten Kreisen von Ingenieuren und Physikern erschlossen haben" zeigt sich auf
zahlreichen Gebieten der Technik ein immer fuhlbarer werdendes Bedurfnis nach einer weit
ausholenden Darstellung der Praktischen Funktionenlehre.
Es ist in der heutigen Zeit nicht mehr tragbar, daB hochwertigste technische Krafte bei
der Inangriffnahme neuer Probleme immer wieder gezwungen sind, sich mit der Losung von
Integralen, Differential- und Integralgleichungen abzuqualen, die langst technisches Allgemein
gut sein konnten, oder infolge Mangel an Besserem zu ungeeigneten oder fehlerhaften Funktionen
tafeln greifen mussen, welche die Gefahr des volligen Leerlaufs der angestellten Berechnungen
in sich bergen.
In dieser Erkenntnis habe ich vor einiger Zeit den EntschluB gefaBt, ein den heutigen
technischen Bediirfnissen angepaBtes Lehr- und Nachschlagebuch der Praktischen Funktionen
lehre zu schaffen. Es sind zunachst die folgenden sechs Bande vorgesehen:
Band I. Elemtmtare und elementare transzendente Funktionen, Unterstufe.
Rand II. Elementare und elementare transzendente Funktionen, Oberstufe.
Band III. Theta-Funktionen.
Band IV. Elliptische Funktionen.
Band V. Hypergeometrische Funktionen und Kugelfunktionen.
Band VI. Zylinderfunktionen.
Meine Assistenten Dr.-Ing. WALTER ERNST, Dr.-Ing. HANS HAGEN und Dipl.-Ing. CHANG WEI
hatten die Freundlichkeit, das Manuskript des vorliegenden ersten Bandes zu lesen und samtliche
Formeln und Integrale unabhangig von mir nachzurechnen. In den Handen meines Oberingenieurs
Dr.-Ing. KURT HIRSCHFELD lag die Betreuung und Uberwachung der fur die Berechnung der
Funktionentafeln eingesetzten Kriifte. Mein verehrter Kollege, Herr Professor Dr.-Ing. E. BREN
NECKE, Direktor des Geodatischen Institutes der Technischen Hochschule Berlin, hatte die Freund
lichkeit, mir in Herrn Vermessungsinspektor KRAMM einen Mitarbeiter zur Verfugung zu stellen,
der, in seltenem MaBe zahlenmaBig begabt, die Zuverlassigkeit der Funktionentafeln weitgehend
sicherstellte. Ich kann jedenfalls versichern, daB alles Menschenmogliche getan wurde, urn der
Fachwelt ein moglichst verlal3liches Werk zu ubergeben.
Es ist mir ein besonderes Be diirfnis , den genannten Herren meinen Dank fur ihre selbstlose
Mitarbeit auszusprechen. Ferner danke ich auch den studentischen Mitarbeitern, den Herren
E. W. LINDOW, E. IWANOFF, M. V. BODNARESCU und R. SCHULZ, sowie Herrn Dipl.-Ing. CHANG
WEI, Frau Dr. rer. nat. CHANG-Lu HSIU-CHEN und den Herren ECKHARD, FRANKE und NEUHAUS
fur das Lesen der Korrektur.
IV Vorwort.
Schlief3lich gooenke ich noch dankbar des Verstandnisses und Weitblickes, den ich beim
Springer-Verlag fand. Ohne diesen Weitblick ware es wohl kaum moglich gewesen, ein so
schwieriges Manuskript im gegenwartigen AugE'nblicke zu verlegen und den besten TraditionE'n
des Springer-Verlages gemaB auszustatten.
Charlottenburg, im September 1942.
F. TOLKE.
Inhalfsverzeichnis.
Seite
Erster A bschni t t.
Definierende Differential- und Integralgleicbungen, Fundamentaleigenschaftcn und gegenseitigc
Beziehungen der elementaren u.nd elementaren transzendenten Funktionen.
L/ 1. GAusssche Differentialgleichung und hypergeometrische Reihen 1 .. ·2
2. Die Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 .. ·6
a) Definierende Integralgleichung und Potenzreihenentwicklung 2 .. ·3
b) Differential· und Integralformeln . . . . . . . . . . . . . 3
c) Definierende Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . 3· .. 4
d) Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .. ·5
e) Exponentialfunktionen als Losungen von Differentialgleichungen hoherer Ordnung 5
f) Produkte von Exponentialfunktionen 6
g) Potenzen von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . G
3. Die Logarithmusfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 .. ·7
a) Logarithmusfunktion als Umkehrung des Exponentialfunktion. G
h) Differential· und Integralformeln, Potenzreihenentwicklung G
c) Definierende Differentialgleichung. . . . . 7
d) Logarithmus von Produkten und Potenzen . . . . . . . 7
4. Die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Darstellung dure'h Exponential. und Logarithmusfunktion 7
b) Differential· und Integralformeln . . . . . . . . . . . . 7
c) Potenzfunktionen als Losungen der gleichdimensionalen Differentialgleichung 8
vd) Potenzfunktionen und GAusssche Differentialgleichung 8 .. ·9
e) Produkte und Potenzen von Potenzfunktionen. . . . . . . . . . . . . . 9
;S. Die Kreisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 .. ·18
a) Definierende Differentialgleichung und Potenzreihenentwicklung der cosinus· und sinus-Funktion n
h) Differential- und Integralformeln ............... . 9 .. ·10
c) !\IolvREsche Formel ..... ' ................ . 10
.d) Additionstheoreme der cosinus- und sinus-Funktion . . . . . . . 10
e) Verschiedene Losungsformen der definierenden Differentialgleichung 10 .. ·11
f) Integralgleichungen der cosinus- und sinus-Funktion . . . . . . . II .. · 13
g) Zusammenhang mit der Differentialgleichung der harmonischen Schwingungen. Beispiel 2. 13 .. ·14
h) cosinus- und sinus-Funktion als Koordinaten des Einheitskreises. Funktionsverlauf im Reellen 15
i) tangens- und cotangens-Funktion. Definitionsgleichungen und Additionstheoreme 15
k) tangens- und cotangens-Funktion. Differential- und Integralformeln. . . . 15 .. ·16
I) Differential- und Integralgleichungen der tangens- und cotangens-Funktion . 16
m) Potenzreihenentwicklung der tangens- und cotangens-Funktion Hl .. ·17
n) Funktiollsverlauf del' tangens- und cotangens-Funktion im Reellen 17
0) Funktionalheziehungen zwischen den Kreisfunktionen. 17 .. ·18
n. Die Kreisfunktionen mit cler Phase ~ ..... 18· .. 21
a) Definitionsgleichungen und \Vechselheziehungen 18
b) Differential- und Integralformeln IS" ·19
c) Potenzreihenentwicklungen . 19
d) Funktionalhezichungen. . . . . 20 .. ·21
7. Die Hyperhelfunktionen . . . . . . 21 .. ·27
a) Definitionsgleichungen der [ojinu5' und Eiinus,Funktion. Potenzreihenentwicklungen . 21
h) Differential- und Integralformeln der [ojinus, und Eiinus,J<'unktion .. ... 21
c) Differential- und Integralgleichungen der [ojinu5' und Eiinus,Funktion. . . . . . . 21 .. ·22
d) Additionstheoreme der [ojinus' und Eiinus,Funktion . . . . . . . . . . . . . . .. . . 22
e) [ojinus, und Eiinus,Funktion als Koordinaten der Einheitshyperbel. Funktionsverlauf im ReelJen 22
f) Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 .. ·24
g) Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
h) l:angens, und [otangens,Funktion. Definitionsgleichungen und Additionstheoreme. 25
i) l:angens, und [otangcns,Funktion. Differential- und Integralbeziehungcn 26
k) Potenzreihenentwicklung der l:angcns, und [otangens,Funktion 26
I) Funktionsverlauf der:tangens, und [otangens,Funktion . . . . . . . . 26
VI Inhaltsverzeichnis.
m) Beziehungen zwischen Hyperbel- und Exponentialfunktionen 26
n) Periodenverhalten der Exponential- und Hyperbelfunktionen 26···27
0) Beziehungen zwischen Hyperbel- und Krei8funktionen 27
p) Funktionalbeziehungen der Hyperbelfunktionen 27
8. Die arcus-Funktionen und Area-Funktionen . . . . 28···36
a) Definitionsgleichungen und Verlauf im Reellen. 28···29
b) Differential- und Integralformeln. . . . . . . 29···30
c) Zusammenhange der Area-Funktionen mit der Logarithmusfunktion 30
d) Darstellung einiger Logarithmusintegrale . . . . . . . 31
e) Funktionalbeziehungen der arcus- und Area-Funktionen 31
f) Additionstheoreme der arcus- und Area-Funktionen . . 32···33
V g) Arc sinus- und Illr 6inus~Funktion als hypergeometrische Reihen 33···34
h) Potenzreihendarstellungen von arc sinus- und Illr 6inus~Funktion 34
i) Komplexe Transformationen zwischen arc sinus- und Illr 6inus~Funktion . 34
k) Illr ~angens~ und arc tangens-Funktion als hypergeometrische Reihen . . 34···35
1) Potenzreihendarstellungen von arc tangens- und Illr ~angens~Funktion . . 35
m) Komplexe Transformationen zwischen arc tangens- und Illr ~angens~Funktion. . . . . . . . . 35
n) Reihenentwicklungen undkomplexeTransformationen fur arc cotangens-und Illr(£otangens Funktion 35···36
9. Die hyperbolische Amplitudenfunktion und ihre Umkehrung. . . . . . . 36···37
a) Definition der hyperbolischen Amplitudenfunktion . . . . . . . . . 36
b) Reelle Wechselbeziehungen zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen . 36
c) Umkehrung der hyperbolischen Amplitudenfunktion ....... . 36···37
d) Potenzreihenentwicklung von Amplitudenfunktion und Umkehrfunktion 37
10. Trigonometrisch-exponentielle und hyperbolisch-exponentielle Produktfunktionen 37···43
a) Definierende simultane Differential- und Integralgleichungen 37···38
b) Differential- und Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38···39
c) Funktionsverlauf im Reellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3\)···40
d) Definierende Differentialgleichungen zweiter Ordnung. . . . . . . . . . . 41·· ·42
e) Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 42···43
11. Trigonometrisch-hyperbolische Produktfunktionen. . . . . . . . . 43···56
a) Definierende simultane Differentialgleichungen zweiter Ordnung 43···45
b) Funktionsverlauf im Reellen. . . . . . . . . . . . . . . . 45···46
c) Differential- und Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . 46'·'47
d) Definierende Differentialgleichung vierter Ordnung . . . . . . 47···49
e) Trigonometrisch-hyperbolische und trigonometrisch-exponentielle Produktfunktionen vom Argu-
ment ~. 49···50
12
f) Beispiel 5 50···53
g) Beispiel 6 53···55
h) Beispiel 7 55···56
12. Transformation der Differentialgleichungen von 11 56···61
a) Simultane Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rein trigonometrischen Lasungen 56···57
d2 d2
b) Allgemeine Lasung der simultanen Differentialgleichungen dz~ ± au ± b'v = 0, dz~ ± av ± bu = 0 57···59
c) Allgemeine Lasung der Differentialgleichung ~4Z~ ± 2.a :2ZU; + (a2 - Z2)W = 0 ...
d) Beispiel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59···61
13. Durch Potenzfunktionen abgewandelte trigonometrisch-exponentieJle Produktfunktionen 61···64
14. Trigonometrisch-hyperbolische Algebra. . . 64···68
a) Additions- und Produktformeln 64···65
b) Funktionen des doppelten Arguments. 65···66
c) Funktionen des dreifachen Arguments 66
d) Funktionen des n-fachen Arguments 66···67
e) Funktionen des hal ben Arguments . 68
Zweiter Abschnitt.
Durch elementare und elementare transzendente Funktionen allsdriickbare Integrale.
j-(a + bz)I.-1
1. Integrale der Klasse ·-+- -~+l dz 69···73
. (c dZ)/·
a) Algebraische Integrale 69
b) Trigonometrische Integrale 70···72
c) Hyperbolische Integr3;le 72'··73
2. Integrale der Klasse ((a+bz)!.(c+dz)"dz. 73···99
a) Algebraische Integrale . . . . . . . . 73···81
Inhaltsverzeichnis. VII
b) Trigonometrische Integrale 82 .. · 91
c) Hyperbolische Integrale 91 .. ·99
" dz
3. Integrale der Klasse /. + m + d )" 100· .. 110
. (a bz) (c z
a) Algebraischc Integrale 100 .. ·102
b) Trigonometrische Integrale 102 .. ·106
c) Hyperbolische Integrale 106 .. , 110
+ + ... + +
4. InteO'rale der Klasse /'A~m~+-n-zm-+~n+~ - -A-"-,+~,,-_1. Z-+"-,+ -.,,.-'1. - +- -- +-- A-1~z- ---A-o dz no .. · 125
o .I {n::z:'" Bm- 1 zm-l Bl Z Bo
..
~:=l;z~?~~~_' ~~_A~l~ A;o lzci~~~--'Z-+-b 125 .. ·142
fi. Integrale der Klasse :
a) Algebraische Integrale 125···130
b) Trigonometrische Integrale 130·· ·136
c) Hyperbolische Integrale 136· "142
f
6. Integrale der Klasse zn T(z)dz 142· .. 156
a) Exponentialintegrale . . . 142 .. ·143
b) Trigonometrische Integrale 143· .. 144
c) Hyperbolische Integrale ]44" ·146
d) Logarithmische Integrale I-Hi'" 150
e) Area-Integrale . 150 .. ·152
f) Arcus-Integrale 152 .. ·154
7. Sonderintegrale . . . 155 .. ·156
Dritter Abschnitt.
Funktionentafeln der elementaren Transzendenten.
1. Grundtafel der elementaren transzendenten Funktionen 157 .. ·158
2. Tafel der Exponential- und Kreisfunktionen. . . . . . . . . . 158
3. Tafel der Funktionen Ei(x), Ei(~x), 6i(x), [i(x). Si(x), Ci(x) 159
4. Beispiele zur Anwendung der Tafeln 159· .. 1(}7
5. Zahlenwerte der Tafel 1 . , , . . . . . . . . . 168 .. ·207
6. Zahlenwerte der Ta.fel 2 . . . . . . . . . . . . 208 .. ·247
7. Zahlenwerte der Tafel 3 . . . . . . . . . . . . 248· .. 257
8. Hilfstafeln der Exponential- und Kreisfunktionen . 258 .. ·259
9. Tafeln ganzer oder gebrochener Vielfacher von 7r bzw. 1 259 .. ·260
7r
10. Tafeln haufig vorkommender Fakultaten . 260
11. Tafeln der Binomialkoeffizienten . 260
12. Haufig vorkommende Zahlenwerte. . . . 261
Erster Abschnitt.
Definierende Differential- und lntegralgleichungen,
Fundanlentaleigenschaften und gegenseitige Beziehungen del'
elementaren und elementaren transzendenten Funktionen.
1. fL\Usssclle Differentialgleichung und hypergeometriscbe Reihen
1,
In den folgenden Betrachtungen wird des ofteren auf die GAusssche Differentialgleichung und
ihre Losungen durch hypergeometrische Reihen bezug genommen, weshalb hieriiber das Not
wendigste vorangestellt sei.
Die Differentialgleichung
+
d2w ;'--J~+L+l)z ~w _ ex} _W = 0 (1)<\
dz2 z(I- z) dz z(l-z)
zwischen den reeHen, imaginaren oder komplexen Veranderlichen w und z unter EinschluB von
drei willkiirlichen Parametern IX, fl, r heiBt GAusssche oder hypergeometrische Differentialgleichung.
Sie liU3t sich, wenn 1 - z an Stelle von z als unabhangige Veranderliche eingefiihrt wird, auch in
cler Alternativform
d2w ,(ex -I-,1-;' -I- 1) - ('\ + ,1-L 1)(1 - z) dU'
d(I--z)2 -;-- z(I-.2) d(l-z)
schreiben. Ein erstes Partikularintegralliefert die durch die hypergeometrische Potenzreihe dar
gestellte Funktion
+ + ...
F(, '1 ) = 1-!- exi~ z [ex~-tI21~0"-+ I)J Z2 -1-
x",y,z 'y I! [1'(y+I)] 2! '
+ [~(ex + 1) (ex +~~ .Jex +2l'--:: ~)]L~Gi_ t I) (J + 2) ... (,1 + n - 1)] z~ +... (2)"
[)' (;' + + +
1) (;' 2) ... (;, n - I)] n!'
wie dnrch Einsetzen von (2)" in (1)& be wiesen werden soIl. Flir w = Fund nach Multiplikation
yon (1)<\ mit - z(I ______ z) lautet die zu beweisende Identitatsgleichung bei leichter Umordnung
ex ,1
F - -.' ,- dF --'- ex +-- '-'1 .. _l'_ 1 '" d-F- - Z ..d 2 F -L -Z-2 -d_2. F - 0
ex,1 dz' ex,1 - dz ex,1 dz2 I iX,1 dz2 - •
Da (2)" innerhalb -ihres Konvergenzbereiches gleichmaBig konvergent ist, konnen die Ableitungen
yon F nach z durch gliedweise Differentiation gebildet werden. Aus (2)<\ folgt daher
F (:X 1" .,) _ 1+ rxJ;: I "~~(iX + I)(ex +2)_.·· (e+x + n -+1 )lf,1(,1+_+1) (';-=+-~).·. (,1_+ n - I)J zn
'I ,/', - - y - T ~ i I' (i' 1) (;' 2) ... (i' n - 1) n! '
-t,
_,' d!, = _ I _ (ex +J2 (,1 + 1) z _ [(IX + 1) (IX -I- 2) .., " (ex ~)[G1±~,) (,1_+ 2) ... (,1 + n)] z", ,
:"\11dz ,+1 2 (, T I)C ,2)· .. (, -n) n.
i\ +-,1 _1- 1 ., dF _ IX + 11 + 1., ,
0;.11 ":'dz- ,~ "'1-
V,(IX+,1+1)[(ex+ 1)(~-I-_2) ... ("+n-l)1[(,1+1)(,i+2)".(,1+n-l)1 zn
+4-'
i'(;'+I)(i'+2)"'(y+n-I) (n-I)!'
_ z d2P __ (ex + 1)(r1+ 1) z _ +~-: [(0: + 1)(0: + 2)··· (IX + nlWt+_1) (,1 +_2) ... (,1 +-n)] ,:" ,
",1 dz2 - i' ()' + 1) y (;' + 1) (i' + 2) ... (i' + n) (n - 1)!
+ Z2 d2 F _ ~ [(ex + 1) (IX + 2) .. jext n - 1)] [(,1 + 1) (,'1 *2)· .. (,1 + n_-]13 .z"
,,1dz2 - ~ ;'(i'+1)(;'+2) .. ·(;'+n-I) (n-2)!'
1 Der mathematisch weniger geiibte Leser kann Ziffer 1 zunachst iiberspringen.
Tlilk~. }'unktionenlehrc. 1. Band.
2 Definiprende Differential- und Integralgleichungen_
und damit
i'(;' +- 1)
+ +
--L +~".- (a_-tl1 (a. -t2)~ ~;.,((;a' n - 1) (/1 IlJl2 2).-._ -(,~t.!" --:1)
I -+- 1)(;' -+- 2) --. (;' -+-n)
+- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +-
[iX i1 (y n) - (iX n)(;1 n) y (iX /1 1) (r n) n - (iX n) (~ 1/) n (r '11,) (11 - 1) 11] ::; .
Die Ausmultiplikation auf der rechten Seite zeigt, daB die beiden eckigen Klammern identisch
verschwinden. Somit folgt
wie zu beweisen war.
+-
Durch Vertauschen von y mit iX f3 - y -;- 1 und z mit 1 - z ergibt sich entsprechend
F (iX,;1, iX +-f3 - y +- 1, 1 - z) = 1 +-;=r--;Ta-l=f -y--t=-ll--fzj- + [a+-;-[1a=(a-i++l-)l])[ ,Ff-(t,=1-I+f-1""): ]; ' _~ 2)] (.l--2z! )2 --... T ,
+ +- . ..
[a (a~tJ) (a + 2L_ __ j-",,_:+-_n,-=-.lmp(~'±1)(,~+_2)~J(p'±n.-:-:-.})] (1-:::- z)1l (2)h
. [(a + f3 -I' + 1) (a + ,f -;' + 2)··· (a + ,f -;' + n)] n!
als ein Partikularintegral von (I)l!.
Da die Differentialgleichungen (I)a und (I)b identisch sind, liegen in (2)" und (2)1. ZWCl
voneinander unabhangige Partikularintegrale vor, und man erhalt
+-
d2w i' - (~_t_L+_l)..: ~UJ _ ~t1_ _ W = 0
dz2 z(l-z) dz z(l-z) ,
W = ci F(iX,j3,y,Z) + c2F(iX, {1,iX +- /3- y + 1,1-z). (3)
Die Brauchbarkeit der Lasung ist an den Konvergenzbereich der hypergeometrischen Reihen (2)"
und (2)b gebunden. Dieser umfaBt den im Innern des Einheitskreises um z = 0 gelegenen Teil
der komplexen Zahlenebene. Unter gewissen Bedingungen konvergieren die Reihen auch noch
auf dem Einheitskreise selbst, worauf einzugehen sich hier aber eriibrigt.
2. Die Exponentialfunktionen.
a) Definierende Integralgleichung und Potenzreihenentwicklullg.
Es sei nach einer Funktion w(z) gefragt, die der linearen Integralgleichung
d,
z
W (z) - Wo - ((j) W (') = 0
o
geniigt. w sei dabei ein willkiirlicher Parameter, wahrend wO' wie aus der Integralgleichung
unmittelbar hervorgeht, den Wert von W fUr z = 0 darstellt. Nun sei w(z) nach FROBENIUS
in der Form der unbestimmten Potenzreihe
w(z) =Wo +-wiz +W2Z2 -;-'" -;-wnzn-i
angesetzt, mit deren Hilfe das Integral gemaB
z z
fww(S) d, = wf (u'o +-Wi' + W2S2 + ... + wn'n + ... ) d~
o 0
= W [WOZ +- W-2I Z-2 +-W32 Z-3 TI ... + Wnn +zn-+1 1 + ...] .
ausgewertet werden kann. Dann tritt an die Stelle der Integralgleichung nach entsprechender
Zusammenfassung die Identitatsgleichung
w:
(WI - wwo) Z + (Wi - ~;.!) Z2 + (U'3 - ~3W..2) Z3 +- '" + (Wn - n=-,) z" +- ... 0,
Die Exponentialfunktionen. 3
die nur durch Nullsetzen samtlicher Klammern befriedigt werden kann. Hieraus folgt fUr die
un bestimmten Koeffizienten
oder nach Auflosung des Gleichungssystems
Damit lassen sich Ausgangsgleichung und Ergebnis in folgender Weise zusammenfassen
[1
l + + + ... +
w(z) -Wo - w rw(~)d~ = 0, w (z) = w +wz (WZ)2 (WZ)3 (IJ}~)" -L •.. 1 (4)"
o I! 2! 3! n!"
6
In entsprechender Weise ergibt sich durch Vertauschen von w mit -w
w(z) - Wo + w (Z w(~)d~ = 0, w(z) = Wo r1 -wiTz +-2(w1Z) 2 - (3WZ!)3 + ... + (- 1)" (nwz!)" + ...1.
o
Die in den eckigen Klammern von (4) enthaltenen Funktionen werden gemaB
+ + + ...
e+OJZ = 1 wz (WZ)2 --+-- «(I)~3 = ~ (wz)"
I! 2!' 3! ~' n! '
+ + ... ) (" < 00) ( 5)
e- = 1 _ wz (WZ)2 _ (WZ)3 = +~' (_ l)n (wz)n
WZ
I! 2! 3! n! '
als Exponentialfunktionen bezeichnet. Da die Potenzreihen fur jeden z-Wert konvergieren, werden
die Exponentialfunktionen durch (5) fur den gesamten Bereich der komplexen Zahlenebene
definiert. Fur reelle z-Werte und w = 1 ist ihr VerIauf aus
Abb. 1 ersichtlich.
Die Einfuhrung von (5) in (4) liefert
I
Z
w(z) -wo - w Iw(~)d~ = 0, w(z) = woe+wz ,
o
(6)
+ Z
1o(z) - 100 w r w(~)d~ = 0, w(z) = Woe-OJz./
o
Die Integralgleichungen (6) lassen sich auch in der allge -3 -2 -1 0 1 Z J z
meineren Form Abb. 1.
Z
1o(z) - 10 (zo) - UJ (w(J;) d~ = 0, w(z) = w(zo) eW(z-'o),
z,
(7)
+ fZ
w(z) - w(zo) (0 w(O ds = 0, w(z) = w(zo} e-W (;-z,) ,
20
schreiben, wie man durch Einsetzen der Losungen in Verbindung mit (5) unmittelbar bestatigt.
b) Differential- und Integl'alformeill.
Aus (5) folgen die Differential- und Integralformeln
' 1
/eWl dz = er'Iz
. OJ' (8)
de-wz ' 1
----- = - we- ViZ . /e-OJz dz = - IJJ e-"'z .
dz
c) Definierende Differentialgleichungen.
Fur 10 = Cewz bzw. 10 = Ce-wz ergeben sich aus (8) die Differentialgleichungen
1
dw_ww=O w=Cewz,
dz '
(9)
~: +ww=o, w=Ce-W' , 1
1*