Praktische Baustatik: Teil 3

385 Pages·1997·13.451 MB·German

by  Professor Dipl.-Ing. Gerhard Erlhof (auth.)

Praktische Baustatik
Teil 1
Von Prof. Dipl.-Ing. Cierhard Erlhof
ILJ .. neuhearheitete und er\\ eiterte Auflage. 3..+0 Seiten mit 506 Bildern und 2i') T~lfeln.
Kart. DM 6i').-
ISBN 3-5ILJ-0526()-1
A//s dCII/ Inlwlr: Entwieklung der Baustatik / Regeln. Normen. Vorschriften / Krüfte und
Lasten / ZusammenselIen und Zerlegen von Momenten / Gleichge\\icht. Kipp- und Gleit
sicherheit und Sch\\erpunktbestimmungen / Stabwerke I Fachwerke / Gemischte Systeme /
Einflußlinien
Teil 2
Von Prof. Dipl.-Ing. Walter Wagner .;. und Prof. Dipl.-Ing. Gerhard ErlhoL unter Mitwir
kung \'l1Il Prof. Dipl.-Ing. Gerhard Rehwald
1..+ .. neubearbeitete und erweiterte Auflage . ..+72 Seiten mit ..+6..+ Bildern und 2LJ Tafeln.
Kart. DM 76.--
ISBN 3-5ILJ-.f52()2-2
/\//.\ dCII/ In/llIlr: Spannungen und Formünderungen von Stabelementen / Zug und Druck /
Einfache Biegung / Elastische Formünderung bei einfacher Biegung / Abscheren. Schub bei
Biegung. 'I(lrsion / Hauptspannungen. Vergleichsspannungen / Doppelbiegung und schiefe
Biegung / Stabilitüt bei geraden Stähen / Ausmittiger Kraftangriff / Eingespannte Einfeld
träger / Durchlauftrüger / Einführung in die Fließgelenktheorie I. Ordnung / Reduktions
\erfahren. Berechnung mit Übertragungsmatrizen
Teil 3
Von Prof. Dipl.-Ing. Cierhard Erlhof. unter Mitwirkung \on Dr.-Ing. Hans Müggenburg
i') .. neubearhcitete und erweiterte Auflage. 3i')"+ Seiten mit 32..+ Bildern und 26 Tafeln.
Kart. DM 7i').-
ISBN 3-5ILJ-352()3-6
A//s dCII/ Inhalt: Elastische Formänderungen. Arhcitsgleichung / Zustandslinien elastischer
Formänderung / Die Sätze von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen / Ein
flußlinien für Formänderungen / Kinematische Untersuchungen. statische und geometri
sche Bestimmt- und Unbestimmtheit. Kraftgrößen- und Drehwinkeherfahren / Kraftgrii
ßenverfahren. einfach und mehrfach statisch unbestimmte Systeme / Weggröl.kmerfahren /
Berechnung \on Fachwerkträgern mit dem Verschiehungsgröf:\enverfahren in Matrizendar
stellung .' Das Verschiebungsgrößenverfahren in Matri7endarstellung für Stabwerke
Preisänderungen vorbehalten
Praktische Baustatik
Teil 3
Von Professor Dipl.-Ing. Gerhard Erlhof
Fachhochschule Mainz
unter Mitwirkung von
Dr.-Ing. Hans Müggenburg, Dinslaken
8., neubearbeitete und erweiterte Auflage
Mit 324 Bildern und 26 Tafeln
EI3
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1997
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Praktische Baustatik : [ein Leitfaden der Baustatik fur Studium
und Praxis 1/ von Gerhard Erlhof.
Teilw. verf. von Hermann Ramm und Walter Wagner. - Teilw. vcrf.
von Walter Wagner und Gerhard Erlhof
NF.: Wagner, Walter; Erlhof, Gerhard; Ramm, Hermann
Teil 3. Unter Mitw. von Hans Muggenburg. - 8., neubearb. und
erw. Aufl. - 1997
ISBN 978-3-519-35203-7 ISBN 978-3-663-11120-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-11120-7
Das Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rcchtc, besonders
die der Obersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung. der Wicder
gabe auf photomechanischem oder ăhnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung
in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes,
dem Verlag vorbehalten. *
Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfăltigung ist an den Verlag gemăB 54
UrhG eine Vergutung zu zah1en, deren Hbhe mit dem Verlag zu vereinbaren isI.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1997
Urspriing1ich erschienen bei B. G. Teubner Stuttgart 1997
Gesamtherstellung: Allgăuer Zeitungsverlag GmbH, Kempten
Einbandgestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart
Vorwort
Teil 3 der "Praktischen Baustatik" wendet sich an die Studenten des Bauingenieurwesens
der oberen Semester von Fachhochschulen und Technischen Hochschulen und Universitä
ten sowie an die in der Praxis tätigen Bauingenieure. Er vertieft und erweitert die im Teil
2 gebotenen Verfahren für die Behandlung statisch unbestimmter Tragwerke.
Der erste Abschnitt des vorliegenden Teils ist den Formänderungen und ihrer Berechnung
mit Hilfe der Arbeitsgleichung gewidmet: Die Prinzipien der virtuellen Kraft- und Ver
schiebungsgrößen werden abgeleitet und durch viele Beispiele erläutert.
Die folgenden drei Abschnitte befassen sich mit der Berechnung von Biegelinien, den
Sätzen von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen (Sätze von Betti und Max
well) sowie mit der Ermittlung von Einflußlinien für Formänderungen.
Abschnitt 5 wurde überarbeitet und erweitert. Er beginnt mit Brauchbarkeitsuntersuchun
gen, kinematischen Betrachtungen sowie der Ermittlung von Polplänen und F' -Figuren; es
folgen Verfahren für die Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit von Stab
und Fachwerken, und abschließend werden in allgemeiner Form die Rechenschritte von
Kraftgrößen- und Drehwinkelverfahren einander gegenübergestellt. Dies soll der Veran
schaulichung und dem besseren Verständnis beider Verfahren dienen und ist möglich, weil
beim Kraftgrößenverfahren (KGV) mit Einheitsbelastungszuständen, beim Drehwinkel
verfahren (DV) mit Einheitsverdrehungszuständen gearbeitet wird.
In den umfangreichen Abschnitten 6 und 7 wird das Kraftgrößenverfahren für die Ermitt
lung der Stütz- und Schnittgrößen einfach und mehrfach statisch unbestimmter Systeme
abgeleitet. Eine große Anzahl von vollständig durchgerechneten Zahlenbeispielen dient
der Erläuterung. Dabei wird großer Wert auf die bildliche Darstellung der Ausgangszu
stände und des Endergebnisses gelegt. Behandelt werden Durchlaufträger, statisch unbe
stimmte Rahmen und Bogen, Langerscher Balken und Kehlbalkendach; außer Belastungen
werden die Verformungsfälle gleichmäßige und ungleichmäßige Temperaturänderung an
gesetzt. Im Rahmen des Kraftgrößenverfahrens erfolgt auch die Berechnung von Einfluß
linien, und abschließend wird der Reduktionssatz erläutert. Eine Neuerung gegenüber der
7. Auflage ist das Arbeiten mit Matrizen und Spaltenvektoren, und zwar sowohl in der
Darstellung von Formeln als auch in den z. T. umfangreichen Zahlenrechnungen. Bei die
sen werden zur Verbesserung der Übersichtlichkeit auch zweidimensionale Felder verwen
det.
Völlig neu gefaßt wurde Abschnitt 8, der die Ermittlung von Stütz- und Schnittgrößen mit
Hilfe des Drehwinkelverfahrens (DV) behandelt. Wie bereits erwähnt, erfolgt die Darstel
lung in dieser Auflage auf der Grundlage von Einheitsverdrehungszuständen; ferner wird
eine bezogene Biegestabsteifigkeit eingeführt. Auch beim Drehwinkelverfahren werden
Matrizen und Spaltenvektoren verwendet; die vollständig durchgerechneten Beispiele be
handeln verschiebliche und unverschiebliche Rahmen, die durch Lasten und Temperatur
änderungen beansprucht werden. Ausgangszustände und Endergebnisse werden ausführ
lich durch Zeichnungen veranschaulicht. Den Schluß von Abschnitt 8 nimmt eine Erweite
rung des Drehwinkelverfahrens ein, die die Berechnung nach Theorie 11. Ordnung erlaubt;
ein Beispiel dient der Erläuterung.
Als Abschnitt 9 "Berechnung von Fachwerkträgern mit dem Verschiebungsgrößenverfah
ren in Matrizendarstellung" erscheint der im wesentlichen unveränderte Abschnitt 10 der
7. Auflage; auf das in der vorigen Auflage an dieser Stelle behandelte Momentenaus
gleichsverfahren nach Kani wird im Hinblick auf den gegenwärtigen Stand der Rechenhilfs-
4 Vorwort
mittel des Bauingenieurs verzichtet. Der Einführung programmgesteuerter Rechenanlagen
in die Praxis des Bauingenieurs trägt der neue Abschnitt 10 Rechnung, in dem das Ver
schiebungsgrößenverfahren in Matrizendarstellung (VVM) für Stabwerke erläutert wird.
Dieses Verfahren der Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Systeme ist zwar
für die Handrechnung nicht geeignet; da es aber von programmierbaren Rechneren ange
wendet wird, sollte es der Bauingenieur von Grund auf kennen. Die hier dargestellte Form
des VVM knüpft an den Abschnitt 10.4 des zweiten Teils dieses Werkes an, in dem Trag
werke aus Stäben behandelt werden, die eine gemeinsame x-Achse haben.
Die vorliegende Auflage haben der Unterzeichnende und Dr.-Ing. Hans Müggenburg bear
beitet, der diesen Teil bereits von der ersten Auflage an mitgestaltet hat. Auch zu dieser
Auflage hat Dr.-Ing. Müggenburg wertvolle Anregungen und Ergänzungen heigetragen;
dafür wie für die angenehme Zusammenarbeit danke ich ihm herzlich. Mein Dank gilt auch
dem Verlag B. G. Teubner für die verständnisvolle Zusammenarbeit wie für die sorgfältige
Herstellung und gute Ausstattung des Buches.
Mainz, im November 1996 G. Erlhof
Inhalt
1 Elastische Formänderungen, Arbeitsgleichung
1.1 Einwirkungen und Auswirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
1.2.1 Übersicht - 1.2.2 Gleichungen der Statik, Gleichgewichtsbedin
gungen - 1.2.3 Werkstoffgesetze - 1.2.4 Beziehungen zwischen inneren
und äußeren Weggrößen oder geometrische Beziehungen - 1.2.5 Beispiel
für die Anwendung der Grundgleichungen
1.3 Arbeitsgleichung am elastischen Tragwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
1.3.1 Mechanische Arbeit, äußere und innere Arbeit - 1.3.2 Äußere
Arbeit auf eigenen und fremdverursachten Verschiebungsgrößen - 1.3.3
Formänderungsarbeit oder innere Arbeit - 1.3.4 Virtuelle Arbeit, Prinzip
der virtuellen Arbeiten - 1.3.5 Prinzip der virtuellen Kraftgrößen (PvK)
1.4 Auswertung der Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
1.4.1 Formale Integration - 1.4.2 Integrationstafel fM M dx - 1.4.3
Deutung des Ausdrucks fM M dx als Volumen
1.5 Verschiebungsgrößen, Grundaufgaben und zugehörige Einheitsbelastun-
gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1.5.1 Übersicht - 1.5.2 Erste Grundaufgabe: Verschiebung eines Punktes
- 1.5.3 Zweite Grundaufgabe: Verdrehung eines Querschnitts - 1.5.4
Dritte Grundaufgabe: Gegenseitige Verschiebung zweier Punkte - 1.5.5
Vierte Grundaufgabe: Gegenseitige Verdrehung zweier Querschnitte -
1.5.6 Fünfte Grundaufgabe: Verdrehung eines Fachwerkstabes oder einer
Stabsehne - 1.5.7 Sechste Grundaufgabe: Gegenseitige Verdrehung
zweier Fachwerkstäbe oder Stabsehnen
1.6 Formänderungen infolge gegebener Lagerverschiebungen und -verdrehun-
gen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
1.7 Veränderliches Flächenmoment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
1.7.1 Abschnittweise konstantes Flächenmoment 1- 1.7.2 Stetig verän
derliches Flächenmoment I
1.8 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
1.9 Prinzip der virtuellen Verschiebungsgrößen (PvV) an statisch bestimmten
Tragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
1.9.1 Allgemeines - 1.9.2 Gang der Berechnung - 1.9.3 Anwendung
- 1.9.4 Verwendung von virtuellen Einheitsverschiebungsgrößen
2 Zustandslinien elastischer Formänderung
2.1 Punktweise Ermittlung der Biegelinie ................ . 59
2.1.1 Biegelinie des Stabwerks - 2.1.2 Biegelinie des Fachwerks
2.2 Berechnung der Biegelinie mit Hilfe von w-Zahlen . 62
2.3 Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe der W-Gewichte ........ . 66
3 Die Sätze von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen
3.1 Satz von Betti .. 67
3.2 Satz von Maxwell ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Inhalt
4 Einflußlinien für Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Kinematische Untersuchungen, statische und geometrische Bestimmt
und Unbestimmtheit, Kraftgrößen- und Drehwinkelverfahren
5.1 Übersicht, Brauchbarkeitsuntersuchungen ...... . 75
5.2 Einführung in die Kinematik starrer Körper. . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
5.2.1 Grundbegriffe - 5.2.2 Anwendungen - 5.2.3 Die F'-Figur oder
kinematische Verschiebungsfigur - 5.2.4 Anwendungen
5.3 Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit eines Tragwerks 85
5.3.1 Übersicht - 5.3.2 Stabwerke - 5.3.3 Anwendungen - 5.3.4
Fachwerke
5.4 Kraftgrößenverfahren und Drehwinkelverfahren . . . . . . . . .. 89
5.4.1 Übersicht über die Berechnungsverfahren - 5.4.2 Gegenüberstel-
lung KGV-DV
6 Kraftgrößenverfahren
6.1 Allgemeines .. 100
6.2 Zweifeldträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.1 Belastung durch Gleichlast 6.2.2 Verformungsfälle
6.2.3 Temperaturänderung beim Zweifeldträger
6.3 Zweigelenkrahmen ................................ 109
6.3.1 Allgemeines - 6.3.2 Beispiel 1 - 6.3.3 Beispiel 2: Zweigelenk
rahmen mit Zugband - 6.3.4 Beispiel 3: Zweigelenkrahmen mit geknick-
tem Riegel
6.4 Versteifter Stabbogen oder Langerseher Balken ..... 130
6.5 Zwei durch einen Stab verbundene eingespannte Stützen 138
6.6 Kehlbalkendach . 139
6.7 Zweigelenkbogen ...................... . 144
7 Kraftgrößenverfahren, mehrfach statisch unbestimmte Systeme
7.1 Allgemeines ............................ 157
7.2 Gleichungen für ein zweifach statisch unbestimmtes System 157
7.3 Gleichungen für ein mehrfach statisch unbestimmtes System 161
7.3.1 Allgemeines - 7.3.2 Aufstellen der Elastizitätsgleichungen - 7.3.3
Dreimomentengleichungen
7.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163
7.4.1 Beispiel 1: Zweifach statisch unbestimmter Rahmen - 7.4.2 Bei-
spiel 2: Symmetrischer eingespannter Rahmen mit lotrechten Stielen und
waagerechtem Riegel - 7.4.3 Beispiel 3: Symmetrischer eingespannter
Rahmen mit geneigten Stielen - 7.4.4 Beispiel 4: Geschlossener Rahmen
- 7.4.5 BeispielS: Stockwerkrahmen mit zwei Geschossen und zwei an den
unteren Enden gelenkig gelagerten Stielen - 7.4.6 Beispiel 6: Einge
spannter Bogen
7.5 Einflußlinien.................................... 210
7.5.1 Allgemeines, Überblick - 7.5.2 Ableitung des Verfahrens - 7.5.3
Anwendungen
Inhalt 7
7.6 Reduktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.6.1 Ableitung - 7.6.2 Anwendungen
8 Weggrößenverfahren
8.1 Einführung, Übersicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
8.2 Grundlagen..................................... 234
8.2.1 Bezeichnungen, Maßeinheiten - 8.2.2 Vorzeichenfestsetzungen -
8.2.3 Berechnung der Stabendmomente der Einheitsverdrehungszustände
- 8.2.4 Maßeinheiten - 8.2.5 Ergänzende Bemerkungen zu den Ein
heitsverdrehungen
8.3 Tragwerke mit unverschieblichen Knoten 242
8.3.1 Übersicht - 8.3.2 Anwendungen
8.4 Tragwerke mit verschieblichen Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
8.4.1 Allgemeines, Grad der Verschieblichkeit - 8.4.2 Kinematisch oder
geometrisch bestimmtes Hauptsystem, Stab-Einheitsverdrehungszustände,
Verschiebungsgleichungen - 8.4.3 Anwendungen
8.5 Berücksichtigung von Temperaturänderungen . . . . . . . . . . 298
8.5.1 Allgemeines 8.5.2 Stabendmomente des Zustands 0
8.5.3 Anwendungen
8.6 Berechnung nach der Theorie 11. Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314
8.6.1 Allgemeines - 8.6.2 Erläuterungen zur Berechnung nach Theorie
11. Ordnung - 8.6.3 Die Berechnung nach Theorie 11. Ordnung als Ver
fahren der schrittweisen Näherung - 8.6.4 Anwendungsbeispiel
9 Berechnung von Fachwerken mit dem Verschiebungsgrößenverfahren
in Matrizendarstellung
9.1 Allgemeines ................................. 327
9.2 Steifigkeitsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.2.l Die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes - 9.2.2 Die
Gesamtsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkes
9.3 Beispiele ................................... 332
9.3.1 Beispiel 1: Zweibock mit Zugband - 9.3.2 Beispiel 2: Ständerfach-
werk mit fallenden Diagonalen - 9.3.3 Beispiel 3: Innerlich statisch unbe
stimmtes Fachwerk
10 Das Verschiebungsgrößenverfahren in Matrizendarstellung für Stabwerke
10.1 Allgemeines, Bezeichnungen ......................... 347
10.1.1 Übersicht - 10.1.2 Tragwerksmodell - 10.1.3 Koordinations
systeme - 10.1.4 Bezeichnung der Schnittgrößen an den Stabenden -
10.1.5 Verschiebungsgrößen von Knoten und Stabenden
10.2 Die Einzelsteifigkeitsmatrix k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.2.1 Die Einzelsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten (k
j)
10.2.2 Transformation der Einzelsteifigkeitsmatrix k, Überblick
10.2.3 Die Transformationsmatrix T - 10.2.4 Die Transformationsma-
trix Tl - 10.2.5 Erläuterung und Durchführung der Matrizenmultipli
kationen
8 Inhalt
10.3 Knotengleichgewichtsbedingungen und Gesamtsteifigkeitsmatrix K 356
10.4 Reduktion der Gesamtsteifigkeitsmatrix . 359
10.5 Verschiebungs-, Schnitt- und Stützgrößen 360
10.6 Berücksichtigung von Stablasten ..... 361
10.7 Anwendungen................ 362
10.7.1 Beispiel 1: Eingespannter Rahmen - 10.7.2 Beispiel 2: Zwei
gelenkrahmen - 10.7.3 Beispiel 3: Variante von Beispiel I
literatur . .... 381
Sachverzeichnis 382
Für dieses Buch einschlägige Normen sind entsprechend dem Entwicklungsstand
ausgewertet worden, den sie bei Abschluß des Manuskriptes erreicht hatten. Maßge
bend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Insti
tut für Normung e. v., die durch den Beuth-Verlag, Berlin und Köln, zu beziehen
sind. - Sinngemäß gilt das gleiche für alle sonstigen angezogenen amtlichen Richt
linien, Bestimmungen, Verordnungen usw.
1 Elastische Formänderungen, Arbeitsgleichung
1.1 Einwirkungen und Auswirkungen
F
a,,~ ~F b
In den Teilen 1 und 2 dieses Werkes haben 1/2 1/2
wir die Auswirkungen von Belastungen
Kr aftgrönenzusta nd :
oder vorgegebenen Verformungen auf
ein Tragwerk dargelegt. Dabei haben wir F/2
/2 + t
Belastungen auch als Lastgrößen und Q
ein wi rkende oder äußere Kraftgrößen
bezeichnet; vorgegebene Verformun FI J
4" ------+~
gen, bei denen es sich um vorgegebene
Lagerverschiebungen oder -verdre
Ve rformungszustand:
hungen sowie gleichmäßige oder un
gleichmäßige Temperaturänderun <Po
gen handeln kann, nennen wir auch einge " . I
prägte Weggrößen. x ",Ix)
1.1 Krartgrößen-und Verrormungszustand
Tafel L2a Zustandsgrößen
Zust andsgrößen Einwirkungen Auswirkungen
Einprägungen äußere Auswirkung innere Auswirkung
Längskräflc N
Lager-
Kraft- Kräfte LaSlen G. F, P SgrIÜößIZe-n, kräfte C; Sgcröhßneitnt-, Q uer k" ra·· f te Q
größen äußere innere Biegemomente
Lastmomentc M Kraft- Kraft- M, MI}. M), M,
Lager-
Momente größen größen
momente M; Torsions-
momente MT
vorgegebene Lager-
verschiebungen Verschiebungen
Verschiebungen
Verkürzungen in- //(x). v(x). w(x)
Verschie- folge Vorspannung
bungs-
größen vorgegebene Ver- Verdrehungen
drehung am iengc-
der Stabachse, ()
Verdrehungen spannten Stabende
Neigungen der tp x
Verdrehung infolge
Biegelinie
Vorspannung
Weg-
größen Ach endeh- gleichmäßige Achsendehnung t
nungen t Temperatur- infolge N
änderung To
Deh-
nungen Verkram- ungleichmäßige Verkrümmung I<
mungen I< Temperaturänderung infolge MI}. MY' M ..
Verzer- (Tu - Tu) = fl.T
rungen Schubver- Gleilung )I
zerrungen y infolge Q
Glei-
tungen Verdrillun- Verdrillung ~.
gen ()' infolge MT, Mx