Praktische Baustatik: Teil 2 PDF
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Praktische Baustatik 2 Von Professor Dipl.-Ing. Walter Wagnert und Professor Dipl.-Ing. Gerhard Erlhof Fachhochschule Rheinland-Pfalz, Mainz Vnter Mitwirkung von Prof. Dipl.-Ing. Gerhard Rehwald Fachhochschule Frankfurt am Main 14., neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 464 Bildern und 29 Tafeln Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Fiir dieses Buch einsch1ăgige Normen sind entsprechend dem Entwicklungs stand ausgewertet worden, den sie bei AbschluB des Manuskripts erreicht hatten. MaBgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblătter des DIN Deut sches Institut fiir Normung e.V., die durch den Beuth-Verlag, Berlin und Koln, zu beziehen sind. - SinngemăB gilt das gleiche fiir alle sonstigen angezogenen amtlichen Richtlinien, Bestimmungen, Verordnungen usw. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Wagner, Walter: Praktische Baustatik : [ein Leitfaden der Baustatik fiir Studium und Praxis] / von Walter Wagner und Gerhard Erlhof. - Stuttgart : Teubner. Friihere Aufl. u. d. T.: Ramm, Hermann: Praktische Baustatik NE: Erlhof, Gerhard: Teil 2. - 14., neubearb. und erw. Aufl. - 1991 ISBN 978-3-519-45202-7 ISBN 978-3-663-07663-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-07663-6 Das Werk einsch1ieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuIăssig und strafbar. Das gilt besonders fiir Verviel faltigungen, Dbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © Springer Fachmedien Wiesbaden 1991 UrsprOnglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1991 Softcover reprint of the hardcover 14th edition 1991 Vorwort Entwurf und Berechnung von Tragwerken erfordem gut fundierte Kenntnisse von Span nungen und Formanderungen, die durch Belastungen und aufgezwungene Verformungen verursacht werden. Deshalb werden in diesem Band die verschiedenen Spannungsarten, ihre Wirkungen auf die Stabe1emente und ihr Zusammensetzen zu Haupt-und Vergleichs spannungen systematisch und ausfUhrlich behandelt. Dabei verlassen wir die Vorstellung yom starren Korper, fiihren Beziehungen zwischen Spannungen und Verzerrungen ein und berechnen aus den Verzerrungen der Stabelemente die VerschiebungsgroBen von einzelnen Staben und von Tragwerken, die aus Staben zusammengesetzt sind. Als Erweiterung gegeniiber der vorigen Auflage wird die Wolbkrafttorsion von Staben mit I-Querschnitt erlautert, die zugehorige Differentialgleichung und ihre Losung entwickelt und diese durch ein Zahlenbeispiel veranschaulicht. Fiir schlanke Stabe, die mittig oder ausmittig auf Druck beansprucht werden, kann die Sicherheit gegen das Erreichen der Stabilitatsgrenze maBgebend sein. Der vorliegende Band unterrichtet deswegen ausfiihrlich iiber Stabilitat und die damit zusammenhangenden Probleme; er erlautert, welche Einfliisse das Verhalten der Baustoffe auf die Stabilitat hat und wie unvermeidliche AusfUhrungsungenauigkeiten und Abweichungen von den der Berechnung zugrunde gelegten Baustoffeigenschaften durch die Stabilitatsvorschriften be riicksichtigt werden. Eine eingehende Darstellung findet auBerdem die Spannungstheorie II.Ordnung, bei der die Gleichgewichtsbedingungen am verformten System aufgestellt werden. Die in den ersten Abschnitten dargebotenen Kenntnisse werden nicht nur in vielen Beispie len fUr die Bemessung von Querschnitten und Bauteilen benutzt, sondem auch zur Berech nung der fUr den Ingenieurbau wichtigen statisch unbestimmten Systeme des eingespannten Tragers und des Durchlauftragers. Das KraftgroBenverfahren, die Dreimomentenglei chung und das Cross-Verfahren werden in diesem Zusammenhang abgeleitet. Erstmals enthalt diese Auflage eine EinfUhrung in das verallgemeinerte VerschiebungsgroBenverfah ren, das auch als WeggroBenverfahren in Matrizendarstellung bezeichnet wird: Es werden Einzelsteifigkeitsmatrizen entwickelt und aufgestellt und anschlieBend zur Gesamtsteifig keitsmatrix eines geraden Tragers zusammengesetzt. Der den Ubertragungsmatrizen gewid mete Abschnitt wurde unverandert iibemommen. Eine Erweiterung des Inhalts stellt femer die EinfUhrung in die Grundlagen des Traglastver fahrens fiir Durchlauftrager dar; dagegen wurde die Berechnung unverschieblicher Rahmen mit Hilfe des Cross-Verfahrens nicht in die neue Auflage iibemommen. Zahlreiche Beispiele aus den Bereichen des konstruktiven Ingenieurbaus sollen das Ver standnis vertiefen und eine enge Verbindung zur praktischen Ingenieurarbeit herstellen. Denselben Zielen dienen Erlauterungen und haufige Anwendungen der amtlichen deut schen Bauvorschriften, insbesondere der neuen DIN 18800, DIN 1052 und DIN 1053. Ein Vergleich dieser 14. Auflage mit den vorhergehenden zeigt auch den standigen Wandel in der Sprache des Bauingenieurs, einen Wandel, der sich ergibt z. B. durch Erweiterung des Bestandes an Fachwortem im Gefolge neuer oder verfeinerter Rechen-und Nachweis verfahren sowie durch die EinfUhrung zeitgemaBer, treffender Fachworter als Ersatz fUr so1che, die veraltet oder unscharf sind. So wurden Tragheitsmomente zu Flachenmomenten 2. Grades, aus Balken auf zwei Stiitzen wurden Balken auf zwei Lagem, statt Auflagerkraf ten, -reaktionen und -widerstanden berechnen wir Lagerkrafte, die zusammen mit Lager- 4 Vorwort momenten oder Einspannmomenten StutzgraBen ergeben, die Biege-, Dehn- und Schub steifigkeiten von Querschnitten und Stiiben wurden eingefuhrt, neben Lastfiillen werden Verformungsfiille behandelt, wir stellen Einzel- und Gesamtsteifigkeitsmatrizen auf und beschiiftigen uns mit linearen und nichtlinearen statischen Beziehungen, Werkstoffgesetzen und geometrischen Beziehungen; schlieBlich veriindert der in DIN 18800 (Ii. 90) verwen dete Gebrauch der Warter Einwirkung, Widerstand, Beanspruchung, Beanspruchbarkeit und anderer die Sprache des Bauingenieurs. Nachdem durch den Tod von Walter Wagner im Jahre 1982 insbesondere die dem Stahlbau gewidmeten Abschnitte ihren Bearbeiter verloren hatten, konnte Gerhard Rehwald dafUr gewonnen werden, die inzwischen erschienenen Ausgaben der Stahlbau-und Holzbaunor men in die vorliegende Auflage der Praktischen Baustatik einzuarbeiten. Dazu muBten die Grundlagen der DIN 18800 (Ii. 90) erliiutert und eine groBe Zahl von Beispielen durch eine Berechnung nach den neuen Regeln ergiinzt werden. Die doppelte Berechnung nach alten Normen (Ausgaben 3.81 und fruher) und nach der neuen Norm (Ausgabe 11.90) halten wir fUr erforderlich: Zum einen ist das neue Sicherheitskonzept noch nicht in die Massiv- und Holzbaunormen eingearbeitet worden und deshalb noch ungewohnt, zum andern sind beide Berechnungsformen bis zum Erscheinen einer europiiischen Norm (EN) erlaubt, worauf in DIN 18800 (11.90) ausdrucklich hingewiesen wird. Fur seine wertvollen Beitriige wie fUr die angenehme Zusammenarbeit danke ich Gerhard Rehwald herzlich. Dem Verlag B. G. Teubner gilt mein herzlicher Dank ebenfalls fUr angenehme Zusammen arbeit und auBerdem fUr die sorgfiiltige Herstellung und gute Ausstattung des Buches. Vorschliige aus dem Leserkreis fUr Verbesserungen der Praktischen Baustatik sind stets willkommen. Mainz, im Sommer 1991 G. Erlhof Inhalt Spannungen nnd Formiinderungen von Stabelementen 1.1 Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Allgemeines iiber Spannung und Festigkeit - 1.1.2 Spannungen als Folge verschiede ner Beanspruchungsarten - 1.1.3 Statische Festigkeiten - 1.1.4 Sicherheit, zuliissige Span nung, zuliissige Schnittgrii13e - 1.1.5 Anwendungen 1.2 Formiinderungen oder Verzerrungen von Stabelementen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 1.2.1 Allgemeines - 1.2.2 Liingeniinderungen infolge von Liingskriiften, Zerrei13versuch, Arbeitsvermiigen - 1.2.3 Hookesches Gesetz, Elastizitiitsmodul - 1.2.4 Formiinderungs gesetze im Stahlbetonbau (DIN 1045) -1.2.5 Liingeniinderungen durch Wiirmeschwankun- gen und Schwinden - 1.2.6 Querdehnungen - 1.2.7 Gleitwinkel infolge von Querkriiften, Schubmodul-1.2.8 Verkriimmung infolge ungleichmiiJ3iger Temperaturiinderung 2 Zug und Druck 2.1 Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Zugbeanspruchung . . . . . . . . . ................................ . 35 2.2.1 Allgemeines - 2.2.2 Anwendungen 2.3 Druckbeanspruchung ......................................... . 41 2.3.1 Allgemeines - 2.3.2 Anwendungen 3 Einfache Biegung 3.1 Normalspannungen infolge eines Biegemoments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56 3.2 Flachenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61 3.2.1 Allgemeines - 3.2.2 Fliichenmomente 2. Grades fUr Achsen, die keine Schwerachsen sind (Steinerscher Satz) - 3.2.3 Tragheitshalbmesser - 3.2.4 Flachenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente wichtiger Querschnittsformen 3.3 Nutzbare Querschnitte und zu1assige Biegespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 3.4 Beispiele fiir die Ermittlung von Flachenmomenten 2. Grades und Widerstandsmomenten 68 4 Elastische Formiinderungen bei einfacher Biegung 4.1 Allgemeines, Biegelinie, Kriimmung der Biegelinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75 4.2 Beziehung zwischen Kriimmung und Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 4.3 Differentialgleichung zwischen Durchbiegung und Moment. . . . . . . . . . . . . . . . .. 81 4.4 Analogie von Mohr .......................................... . 84 4.5 Einfacher Balken auf zwei Lagern mit EI = const ....................... . 86 4.6 Kragtrager mit EI = const ... 94 4.7 Balken auf zwei Lagern mit Kragarm, EI = const .................. . 97 4.7.1 Allgemeines - 4.7.2 Einzellast an der Kragarmspitze - 4.7.3 Gleichlast q auf dem Kragarm - 4.7.4 Gleichlast q zwischen den Lagern a und b - 4.7.5 Gleichlast q iiber den ganzen Trager 4.8 An beiden Enden drehbar gelagerter Trager mit Stiitzmomenten .............. . 102 4.8.1 Stiitzmoment nur an einem Ende - 4.8.2 Stiitzmomente an beiden Enden - 4.8.3 Zwei Stiitzmomente sowie beliebige Belastung im Feld 4.9 Berechnung der Biegelinie mit Hilfe der w-Zahlen ......... . 106 4.10 Berechnung der Formiinderungen mit Hilfe der W-Gewichte ................ . 107 4.10.1 Allgemeines, verzerrte Momentenflache - 4.10.2 Berechnung der W-Gewichte- 4.10.3 Rechnerische Ermittlung der Formanderungen mit Hilfe der W-Gewichte - 4.10.4 Zeichnerische Ermittlung der Durchbiegung mit Hilfe der W-Gewichte - 4.10.5 Geometrische Bedeutung der W-Gewichte, Schlu13bemerkung 6 Inhalt 5 Abscheren, Schub bei Biegung, Torsion 5.1 Abscheren ................................................. 119 5.2 Schubspannungen bei Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122 5.2.1 Schubkriifte und Schubspannungen bei beliebigem Querschnitt - 5.2.2 Schubspan nungen in wichtigen Querschnitten - 5.2.3 G1eichheit der Schubspannungen aufhorizonta- len und vertikalen Schnitten - 5.2.4 Zuliissige Spannungen - 5.2.5 Verformungen infolge von Biegeschubspannungen - 5.2.6 Anwendungen 5.3 Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137 5.3.1 Einleitung und Aufgabenstellung - 5.3.2 Wahl des [-Profils, Fliichenmoment I, Stiitz- und Schnittgro/3en - 5.3.3 Schubspannungen und Schubkriifte - 5.3.4 Lage der resultierenden Schubkraft, Schubmittelpunkt 5.4 Torsion gerader Stiibe ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 5.4.1 Allgemeines - 5.4.2 Wolbfreie und nichtwolbfreie Querschnitte - 5.4.3 S1.-Venantsche Torsion und Wolbkrafttorsion - 5.4.4 Berechnung der Spannungen und Verformun- gen bei reiner Torsion - 5.4.5 Anwendungen - 5.4.6 Wolbkrafttorsion von Stiiben mit I-Querschnitt 6 Hauptspannungen, Vergleicbsspannungen 6.1 Spannungen auf schriigen Schnitten bei Biegung mit Querkraft 165 6.2 Berechnung und Konstruktion der Hauptspannungen infolge von (Jx und 'xz ••...••• 168 6.3 Der einachsige Spannungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 173 6.4 Der allgemeine ebene Spannungszustand .............................. 175 6.5 Weitere Sonderfalle des ebenen Spannungszustandes, riium1icher Spannungszustand, Spannungstensor ............................................. 178 6.5.1 Normalspannungen (Jx und (Jz vorhanden, Schubspannung 'xz = 0 - 6.5.2 Normal spannungen (Jx und (Jz gleich groB, Schubspannung 'xz = 0 - 6.5.3 Normalspannungen von gleichem Betrag, aber mit verschiedenen Vorzeichen «(Jx = - (Jz), Schubspannung 'xz = 0 - 6.5.4 Riiumlicher Spannungszustand, Spannungstensor 6.6 Spannungstrajektorien beim Spannungszustand mit (Jx und 'xz = '''' Spannungsellipse . 180 6.7 Praktische Bedeutung von Hauptspannungen und Spannungstrajektorien .......... 182 6.8 Vergleichsspannungen .......................................... 183 6.9 Anwendungen ............................................... 185 7 Doppelbiegung und schiefe Biegung 7.1 Doppelbiegung fUr symmetrische Querschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189 7.1.1 F ormeln fUr die Spannungs-und Querschnittsberechnung - 7.1.2 Anwendungen 7.2 Zentrifugal-oder Deviationsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194 7.2.1 l...-Profil unter Spannungen (J = My· Ylly - 7.2.2 Erweiterung auf den beliebigen Querschnitt -7.2.3 Zentrifugalmomente wichtiger Querschnittsformen, Steinerscher Satz fUr Zentrifugalmomente 7.3 Hauptachsen und Hauptfliichenmomente. Mohrscher Triigheitskreis ............. 199 7.3.1 Hauptachsen und Hauptfliichenmomente - 7.3.2 Mohrscher Triigheitskreis 7.4 Triigheitsellipse .............................................. 202 7.5 Anwendungen ............................................... 202 7.6 Schiefe Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204 7.7 Anwendungen ............................................... 206 8 Stabilitiit bei geraden Stiiben 8.1 Wesen der Stabilitiit und der Stabilitiitsprob1eme ......................... 213 8.1.1 Einfiihrung - 8.1.2 Beispiel eines Stabilitiitsproblems 8.2 Knicken gerader, elastischer Stiibe .................................. 218 8.2.1 Eulersche Knickgleichung - 8.2.2 Knickliinge - 8.2.3 Schlankheitsgrad und Schlank- heit Inhalt 7 8.3 EinfluB des Baustoffverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230 8.3.1 Allgemeine Grundlagen, Stahl-8.3.2 Das w-Verfahren - 8.3.3 Vorgehen bei nicht homogenem Baustoff 8.4 Stabilitatsnachweis und Querschnittsbemessung einteiliger Druckstabe. . . . . . . . . . . . 240 804.1 Einteilige Druckstabe aus Stahl - 804.2 Einteilige Druckstabe aus Holz - 804.3 Anwendungen 8.5 Knickung bei diinnwandigen, offenen ProfIlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249 8.5.1 Begriffe: Biegedrillknickung, Biegeknickung, Drillknickung - 8.5.2 Verschiedene Querschnitte - 8.5.3 Anwendungen 8.6 Spannungsnachweis und Querschnittsbemessung fiir mehrteilige Druckstiibe. . . . . . . . 257 8.6.1 Mehrteilige Druckstiibe aus Stahl - 8.6.2 Mehrteilige Druckstabe aus Holz - 8.6.3 Anwendungen 8.7 Kippsicherheit von Tragem mit I-Querschnitt ........................... 269 8.7.1 Allgemeines - 8.7.2 Anwendungen 8.8 Ausbeulen von Stegblechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 282 9 Ausmittiger Kraftangriff 9.1 Biegung und Zug nach Theorie 1.0rdnung ............................. 283 9.1.1 Allgemeines zur Theorie I. Ordnung - 9.1.2 Spannungsformeln - 9.1.3 Anwendungen 9.2 Einfiihrung in die Theorie II.Ordnung ................................ 288 9.2.1 Allgemeines -9.2.2 Biegung und Zug - 9.2.3 Biegung und Druck - 9.204 Einfeldbalken mit Querbelastung und Langskraft - 9.2.5 Sinusfiirmige Querbelastung und Langskraft 9.3 Biegung und Druck, ausmittiger Druck ............................... 298 9.3.1 Spannungs-und Stabilitiitsnachweise - 9.3.2 Lineare und nichtlineare Beziehungen in der Baustatik und ihre Anwendungen - 9.3.3 Anwendungen 904 Querschnittskem ............................................. 309 904.1 Begriffund Bedeutung - 9.4.2 Anwendungen 9.5 Spannungsverteilung bei klaffender Fuge ............................. , 314 9.5.1 Vorbemerkung - 9.5.2 Rechteckquerschnitt - 9.5.3 Querschnitte, die mindestens einfachsymmetrisch sind 9.6 Stiitzlinie .................................................. 320 9.6.1 Die Stiitzlinie bei Dreigelenkbogen, Zweigelenkbogen und eingespanntem Bogen - 9.6.2 Die Stiitzlinie in DIN 1053 und 1075, Stiitzlinienverfahren - 9.6.3 Anwendung der Stiitzlinie 9.7 Spannungen im biegefesten Querschnitt bei beliebigem Angriffspunkt der Kraft. ..... 326 9.7.1 Einfach- und doppeltsymmetrische Querschnitte - 9.7.2 Querschnitte mit lyz ~ 0- 9.7.3 Anwendungen 10 Eingespannte Einfeldtriiger 10.1 Einspanngrade ............................................. 332 10.2 Einseitig starr eingespannter Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 335 10.2.1 Allgemeines - 10.2.2 Vollbelastung mit Gleichlast, Volleinspannmoment M~b als statisch unbestimmte GroBe Xl - 10.2.3 Vollbelastung mit Gleichiast, Lagerkraft B als statisch unbestimmte GroBe Xl - 10.204 Mittige Einzellast, Xl = M~b - 10.2.5 Last moment Mb am Lager b, Xl = M~b - 10.2.6 Lotrechte Verschiebung des Lagers b, Xl = M~b - 10.2.7 Ungleiche Erwarmung des Tragers iiber seine Hohe d 10.3 Beiderseits starr eingespannter Trager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 345 10.3.1 Allgemeines - 10.3.2 Belastung durch ausmittige Einzellast - 10.3.3 Vollbelastung durch Gleichlast - 10.304 U ngleiche Erwarmung iiber die Tragerhohe d - 10.3.5 Lotrechte Verschiebung des Lagers b lOA Berechnung des Einfeldtragers mit Steifigkeitsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 351 1004.1 Die Steifigkeitsmatrix des Einzelstabes - 1004.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix des geraden Tragers - 1004.3 Anwendungsbeispie1 8 Inhalt 11 Durcblauftriiger 11.1 Allgemeines, Obersicht 365 11.2 Dreimomentengleichung von Clapeyron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 365 11.2.1 A1lgemeines, Ableitung - 11.2.2 Berechnung der Vorzahlen bjk, Umformung des Lastgliedes bjO - 11.2.3 Sonderfalle der Dreimomentengleichung - 11.2.4 Belastungs glieder fUr einige Sonderfalle - 11.2.5 Beispiele 11.3 Momentenausgleichsverfahren von Cross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 377 11.3.1 A1lgemeines - 11.3.2 Erliiuterung des Verfahrens - 11.3.3 Beriicksichtigung eines Kragarmes - 11.3.4 Beriicksichtigung von Symmetrie und Antimetrie beim Cross Verfahren 11.4 Ungiinstigste Laststellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 392 11.4.1 Allgemeines - 11.4.2 EinfluB einer Einzellast - 11.4.3 Extremwerte der Feld-und Stiitzmomente - 11.4.4 Extremwerte der Lager-und Querkriifte 11.5 Tabellen fUr die Berechnung von Durchlauftriigem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 396 11.5.1 A1lgemeines - 11.5.2 Tabellen fUr die Berechnung von Durchlauftriigern mit 2 bis 5 gleichen Fe1dern - 11.5.3 Winklersche Zahlen 11.6 Symmetrische Durchlauftriiger, Belastungsumordnung ................... 397 11.6.1 Allgemeines - 11.6.2 Durchlauftriiger mit ungerader Felderzahl-11.6.3 Durch lauftriiger mit gerader Felderzahl 11.7 Durchbiegungen ........................................... 400 11.8 EinfluBlinien von Durchlauftriigem ............................... 401 11.8.1 Allgemeines - 11.8.2 EinfluBlinien der Stiitzmomente, Ableitung - 11.8.3 Ein fluBlinien der Stiitzmomente, Zahlenbeispiel - 11.8.4 EinfluBiinien der Lagerkriifte, Querkriifte und Feldmomente - 11.8.5 EinfluBlinien von Feldmomenten, Querkriiften und Lagerkriiften als Biegelinien - 11.8.6 Kontrollen 11.9 Vereinfachte Bemessung von Durchlauftriigem nach DIN 18801 ............. 418 11.10 Anwendungen ............................................. 418 12 Einfiihrung in die FJieBge1enktheorie I. Ordnnng 12.1 Erliiuterung der Grundgedanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431 12.2 Elastische und plastische Biegung eines Querschnitts, plastisches Moment, Beziehung zwischen Kriimmung und Moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 432 12.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 435 12.3.1 Lage der FlieBgelenke, Momentenfliiche - 12.3.2 Stiitz-und SchnittgroBen, Be messung 13 Das Reduktionsverfahren oder die Berechnnng mit Vbertragungsmatrizen 13.1 Die "Obertragungsmatrix eines Stababschnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 438 13.2 Berechnung des Einfeldtriigers mit mehreren Abschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 13.3 Das Berechnen von Durchlauftriigem auf starren Lagern mit Obertragungsmatrizen . 452 13.4 Durchlauftriiger auf starren Lagem, Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 13.4.1 "Obertragungsmatrizen - 13.4.2 Der Anfangsvektor Vo - 13.4.3 Berechnung von V21 = A2Al Vo - 13.4.4 Berechnung von V2r - 13.4.5 Berechnung von V4 = A4A3V2r - 13.4.6 Berechnung der vier Unbekannten im Vektor V4 - 13.4.7 Berechnung noch fehlen der ZustandsgroBen, Zusammenstellung aller ZustandsgroBen - 13.4.8 Kontrollen 13.5 Durchlauftriiger auf elastisch nachgiebigen Lagern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 13.6 Durchlauftriiger auf elastisch nachgiebigen Lagern, Zahlenbeispiel. . . . . . . . . . . . . 463 13.6.1 Anfangsvektor - 13.6.2 Abschnittsmatrizen - 13.6.3 Punktmatrix fUr das mittlere elastische Lager - 13.6.4 Matrizenmultiplikation - 13.6.5 Aufstellung und Auflosung des Gleichungssystems - 13.6.6 Berechnung der noch fehlenden ZustandsgroBen - 13.6.7 Darstellung der ZustandsgroBen - 13.6.8 Kontrollen Literaturverzeichnis ................................................ 468 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 469 1 Spannungen und Formanderungen von Stabelementen 1.1 Spannungen 1.1.1 Allgemeines iiber Spannung und Festigkeit In Teil I dieses Werkes wurden die beim Balken auftretenden BeanspruchungsgroBen Langskraft N, Querkraft Q, Biegemoment M und Torsionsmoment MT behande1t. Dabei wurde deutlich, daB in jedem be1iebigen Querschnitt die inneren Krafte und Mo mente (SchnittgroBen) den auBeren KraftgroBen das Gleichgewichthalten. 1m folgenden wollen wir die Wirkung der Schni ttgroBen auf die Querschni ttsfla che betrachten. Zu diesem Zweck den ken wir uns die gesamte Querschnittsflache in Flacheneinheiten (1 cm2 oder I mm2) aufgeteilt. Auf jede dieser Flacheneinheiten wirken K riifte, auch dann, wenn der betrachtete Querschnitt ausschlieBlich durch ein M omen t beansprucht wird. Die Krafte je Flacheneinheit bezeichnen wir als Spannungen. Einheiten der Spannung sind kNjcm2, MNjm2 oder Njmm2• Wie die Krafte selbst sind auch die auf die Flacheneinheiten bezogenen Krafte Vektoren; wir haben es also im folgenden mit Spannungsvektorenp zu tun, die wie die Kraftvektoren durch die drei Bestimmungsstiicke Betrag, Richtung und Angriffspunkt festgelegt werden. AuBerdem bedarf es der Definition der Flache, auf die der Spannungsvektor einwirkt. In der Regel verteilt sich die Spannung nieht gleiehmiiBig liber die Fliieheneinheit. Viertelt man beispielsweise die Flaeheneinheit, so ergeben sieh i.allg. fUr die Spannungsvektoren PI bis P4 (1.1) untersehiedliehe GroBen. Das riihrt dazu, die Spannung als den Grenzwert des Quotienten Kraft/Fliiehe mit gegen Null gehender Fliiehe zu definieren: (1.1) 1. I Aufteilung des Spannungsvektors p 1.2 Fliiehe mit gIeiehbleibender (konstanter) Spannung 1m Sonderfall einer gleichbleibenden Spannung spielt es keine Rolle, aus welcher Flache der Betrag des Vektors p errechnet wird: Wirkt auf 1 mm2 die Kraft 120 N (1.2), so errechnen wir den Betrag der Spannung zu p = 120 Nj1 mm2 = 120 Njmm2; aus einer Teilflache 0,5 . 0,5 = 0,25 mm2 ergibt sich genau derselbe Wert: POl5 = 30 NjO,25 mm2 = 120 Njmm2 = p, und aus einer Teilflache 0,1 . 0,1= 0,01 mm2 find~n wir eben falls PO,Ol = 1,2 NjO,OI mm2 = 120 Njmm2 = p. Der Spannungsvektor p, def mit den Koordinatenachsen x, y, z i.allg. beliebige Win kel einschlieBt, hat im Bauwesen keine Bedeutung; gearbeitet wird hier nur mit seinen 10 l.l Spannungen drei zu den genannten Achsen paralleien Komponenten Px, Py, pz (1.3): Die Komponente Px steht senkrecht auf der Schnittfliiche, sie hat die Richtung der Norm ai e n der Schnitt fliiche, der Koordinatenachse x, und wird darum Nor m a I spa n nun g (J x genannt; die beiden Komponenten Py und pz wirken parallel oder tan ge n t i a I zur Schnittflache und erhalten die Bezeichnung Ta n g e n t i a 1- oder S c hub spa n nun g Txy und Txz. Fur ihre eindeutige Kennzeichnung werden zwei FuBzeiger benotigt: Der erste erkliirt die Lage der Schnittfliiche durch Angabe der Normalen zur Schnittfliiche, in unserem Faile also der Koordinatenachse x, der zweite gibt die Rich tung in d er Sc h nit t fliiche an durch Mitteilung der parallel en Koordinatenachse (1.4). ~. x y positive Schnitt .~Qche x 1.3 Der Spannungsvektor p und 104 Normalspannung 1.5 Rechtssystem seine Komponenten und Schubspan (Ix 'x> nungen 'xy und Die Verwendung eines rechtwinkligen riiumlichen Koordinatensystems mit X-, y- und z-Achse ist allgemein iiblich. Es erweist sich dabei als zweckmiiBig, eine Koordinatenachse mit der Achse des betrach teten Triigers zusammenfallen zu lassen. Liegt der Trager waagerecht, was wir im folgen den stets voraussetzen wollen, so steht die zweite Achse in der horizontalen Ebene senkrecht auf der Tragerachse, wah rend die dritte Achse vertikal gerichtet ist. Die Zuordnung der Buchstaben x, y und z zu den Achsen ist in DIN 1080 genormt: Die Tragerachse ist die x-Achse, die zweite horizon tale Achse die y-Achse und die vertikale Achse die z-Achse. In Ansichten von Tragern weist in der Regel die positive x-Achse nach rechts, die positive y-Achse auf den Betrachter hin und die positive z-Achse nach unten (1.3, lA, 1.5); die Koordinatenachsen bilden dann ein Rechtssystem. Blickt man in einem solchen System vom Ursprung aus in Richtung der positiven z-Achse, so ge1angt man rechts herum auf kurzem Wege von der positiven x-Achse zur positiven y-Achse (1.5). Jeder Baustoffkann Spannungen nur bis zu einer bestimmten Hochstgrenze ertragen; beim Uberschreiten dieser Hochstgrenze tritt der Bruch ein. Die Spannung im Augenblick des Bruchs wird Bruch spann ung, Bruchfes tigkei t oder kurz F es tigkei t genannt und mit f3 bezeichnet, und zwar sowohl bei Normal- wie bei Schubspannungen. Spannungen treten nicht nur im einzelnen Bauelement selbst auf, sondern konnen auch in Beruhrungsfliichen zwischen verschiedenen Bauelementen sowie zwischen Baukorpern und Baugrund wirken. 1.1.2 Spannungen als Foige verschiedener Beanspruchungsarten Bauteile konnen auf verschiedene Weise beansprucht werden. Danach werden folgende Spannungen unterschieden:
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