Praktikum der Finanzmathematik: Methoden und Erkenntnisse zu Finanzierungsfragen von heute

219 Pages·1976·6.597 MB·German

by  Prof. Dr. John Rahmann (auth.)

Prof. Dr. John R 0 h m 0 n n
Praktikum
der Finanzmathematik
FOnfte, durchgesehene Aufloge
In der Wirtschaft sowohL aLs auch in
den offenUichen VerwaUungen faUen
mehr und mehr Aufgaben an, die nur
mit HHfe der Mathematik geLost
werden konnen. Insbesondere trifft
dies fur aUe Bereiche zu, die mit
Finanzierungsvorgiingen zu tun ha
ben. Hier ist das Anwendungsgebiet
der Finanzmathematik, eines der
wichtigsten Zweige der angewandten
Mathematik.
VieLe Praktiker in Unternehmen und
VerwaUungen gehen ungern an aUes
heran, was mit Mathematik zu tun
hat. DeshaLb hat Rahmann sein Buch
bewufit so konzipiert, dafi die Pra
xis im Vordergrund steht, und aUf
aUe theoretischen mathematischen
Untersuchungen und AbLeitungen
verzichtet. Er erLiiutert zuniichst die
rechnerischen Methoden und geht
dann ausfuhrHch auf die verschiede
nen Gebiete ein, in denen Finanz
mathematik angewandt wird. Dabei
behandeU er die Anwendung nicht
nur verbaL, sondern veranschauHcht
sie an hand zahLreicher instruktiver
BeispieLe aus der Praxis. Berechnung
der Rendite von AnLeihen und Ak
tien, Abschreibungen, steuerHche Be
wertungsfragen, Investitionsrech
nung, Abfindung ausscheidender Ge
seUschafter - das sind nur einige von
vieLen dargesteHten Bereichen. So
gar randstiindige ProbLeme, die aber
von aUgemeinem Interesse sind, wie
z. B. der ZerfaU radioaktiver ELe
mente, werden behandeU.
Betriebswirtschaftlicher Verlag
Dr. Th. Gabler, Wiesbaden
Rahmann
Praktikum der Finanzmathematik
Prof. Dr. John Rahmann
Praktikum
der Finanzmathematik
Methoden und Erkenntnisse
zu Finanzierungsfragen von heute
Fiinfte, durchgesehene Auflage
Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler . Wiesbaden
ISBN-13: 978-3-409-30191-6 e-ISBN-13: 978-3-322-89261-4
DOl: 10.1007/978-3-322-89261-4
Copyright by Dr. Th. Gabler-Verlag· Wiesbaden 1976
Inhalt
Vorwort ............................................................ 9
I. Zahlenfolgen und Zahlenreihen ................................... 11
Die arithmetische Folge / Die geometrische Folge erster Ordnung / Die
geometrische Reihe erster Ordnung
II. Das Ratenkreditgeschift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Faile aus der Praxis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
III. Die Zinseszinsrechnung .................................... . . . . .. 22
1. Allgemeines .•............................................... 22
2. Das Zinseszinsgesetz .......................................... 23
3. Vergleich der Endkapitalbetrage
bei einfachen Zinsen und Zinseszinsen ........................... 23
4. Wachstum der Sozialproduktes einer Volkswirtschaft
5. Ableitungen aus dem Zinseszinsgesetz ........................... 24
6. Die Zinssatze ................................................ 25
a) der dekursive ZinsfuLl ...................................... 25
b) der relative ZinsfuJ3 .............................•.......... 25
c) der konforme ZinsfuLl .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
d) Vorschlissige Verzinsung - ErsatzzinsfuJ3 ..................... 27
7. Die unterjahrliche Laufzeit der Verzinsung ...............•...... 30
8. Sparvertrage ................................................ 33
Ratensparvertrag / Der "Allgemeine Sparvertrag" / Wertpapier-Spar
vertrag/ 624,-DM -Gesetz/A nsparraten
9. Die stetige Verzinsung und das organische Wachstum .....•....... 34
10. Ubersicht liber in der Praxis gebrauchliche Formeln .............. 37
IV. Lineare und degressive Abschreibung .............................. 38
1. Die lineare Abschreibung ...................................... 39
2. Die degressive Abschreibung ................................... 40
a) die gleichf6rmige AfA vom Buchwert (geometrisch.degressive Ab-
schreibung) ................................................ 40
b) digitale (arithmetisch-degressive) Abschreibung ................ 44
c) die degressive Abschreibung in Staffelsatzen ................... 46
6 Inhalt8verzeichnis
d) die degressive Abschreibung nach Leistungseinheiten . . . . . . . . . . . . 47
3. Die arithmetisch-progressive Abschreibung ...................... 48
Vergleichsbeispiel fUr die einzelnen Abschreibungsarten . . . . . . . . . . . . 50
V. Die Rentenrechnung ............................................ 52
1. Begriff und Arten der Renten ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
2. Die Zeitrenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
Die Endwertermittlung von Zeitrenten .......................... 53
a) bei der nachschiissigen Rente ................................ 53
b) bei der vorschiis61igen Rente ................................. 54
Barwertermittlung von Zeitrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
a) bei der nachschiissigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
b) bei der vorschiissigen Rente ................................. 57
c) bei der aufgeschobenen nachschiissigen Rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
d) bei der aufgeschobenen vorschiissigen Rente ................... 59
e) Vergleich zwischen vorschiissigen und nachschiissigen Renten . . .. 59
f) die ewige Rente aIs Zeitrente mit unendlicher L8oufzeit. . . . . . . . .. 59
Ubersicht liber die einzelnen Rentenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
Unterjahrliche Zins- und Rententermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
a) Jahrliche Renten - unterjahrliche Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
b) Jahrliche Zinsen - unterjahrliche Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
nachschiissige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
vorschiissige Renten ........................................ 62
Sparkassenformel und Kapitalrente ............................. 64
Umwandlungen von Zahlungsvereinbarungen .................... 65
3. Die Leibrente ................................................ 67
4. Formellibersicht ............................................. 74
VI. Die Bewertung von Wertpapieren und Anteilen, Kapitalforderungen und
Schulden . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1. Bewertung von Wertp80pieren und Anteilen ...................... 75
a.) Da.s Stuttgarter Verfa.hren zur Bewertung nicht notierter Wert-
papiere ................................................... 75
Ermittlung des Vermogenswertes (V). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ermittlung des Ertr8ogshundertsa.tzes (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ermittlung des gemeinen Wertes ............................. 77
b) Investmentanteile und Anteile an Immobilienfonds. . . . . . . . . . . . . 78
2. Bewertung von Kapitalforderungen und Schulden ................ 79
VIT. Die Bewertung von Nutzungen und Lelstungen ...................... 80
1. Zeitlich beschrankte und immerwahrende Nutzungen und Leistungen 80
a) Zeitlich beschrankte Nutzungen und Leistungen (§ 13,1 BewG) .. 80
b) Immerwahrende Nutzungen und Leistungen (§ 13,2 BewG) ...... 81
2. Lebenslangliche Nutzungen und Leistungen ................ ...... 81
3. Ja.hreswert von Nutzungen und Leistungen ...................... 82
Inhaltaverzeichnis 7
VIII. Der Gesamtwert einer Unternehmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1. Der Firmenwert .............................................. 83
2. Der Ertragswert und der Firmenwert............................ 84
3. Die Berechnung des Ertragswertes einer Unternehmung ........... 84
a) die mathematische Berechnungsmethode ...................... 84
b) die kaufmannische Berechnungsmethode ...................... 85
4. Der korrigierte Ertragswert und Firmenwert .................... 87
5. Die Bewertung der Unternehmung ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IX. Die Auseinandersetzung ......................................... 90
X. Die Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
XI. Die Wertpapiere des Rentenmarktes ............................... 98
1. Das Darlehen ................................................ 98
2. Die Kreditsicherung .......................................... 98
3. Die Wertpapiere ............................................. 99
Darlehnsbrief - Schuldverschreibungen - unverzinsliche Schatz8on·
weisungen - Kommun8olschuldverschreibungen - Pfandbriefe -
Industrieschuldverschreibungen
4. Die Tilgungs. und Frist8onleihen ................................. 100
Auslosung - Riickkauf - Kiindigung - Tilgung
a) die Zinsschuld ............................................. 101
b) die R80tenschuld (Tilgungsanleihe) ............................ 105
c) die Annuitatenschuld (Tilgungsanleihe) ....................... 108
5. Spezielle Ausst8ottungskl8ouseln ................................. 112
Selbstschuldnerische Biirgschaft - Miindelsicherheit - Deckungs.
stockfahigkeit - Lombardfiihigkeit
XII.Die Kursberechnung von Anleihen ................................ 117
1. Begriff des Kurses ............................................ 117
2. Nominal· und Effektivverzinsung, Nettoverzinsung ............... 119
3. Kursberechnung von Zinsschulden ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
a) ohne Aufgeld (Agio) ........................................ 120
b) mit Aufgeld ............................................... 122
c) Kurszuschl80g fur Zinsschulden mit und ohne Aufgeld bei halb·
jahrlicher Zinsz80hlung ...................................... 123
4. Kursberechnung von R80tenschulden ............................ 126
a) Auflosung einer R80tenschuld in Zinsschulden .................. 127
b) Kursberechnung einer Ratenschuld mit Aufgeld ................ 129
c) Kursberechnung einer 8oufgeschobenen R80tenschuld ............ 131
d) Kursberechnung einer Ratenschuld mit h80lbjahrlicher Zinsza.hlung 132
e) R8otenschuldformeln ........................................ 134
5. Kursberechnung von Annuitatenschulden •...................... 134
a) mit und ohne Aufgeld ...................................... 134
b) einer 8oufgeschobenen Annuitatenschuld ....................... 136
6. Mittlere L80ufzeit und mittlerer Tilgungstermin . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
a) Mittlere L80ufzeit einer Annuitatenschuld mit h80lbjiihrlicher Zins.
zahlung .................................................. 137
b) Mittlere Laufzeit einer R80tenschuld .......................... 141
c) Der mittlere Tilgungstermin ................................ 143
7. Leitaatze und Formeliibersicht ...........•..................... 143
8 Inhaltsverzeiohnis
XIII. Renditen von Anlelhen und Aktien ................................ 145
1. Begriff der Rendite ........•.................................. 145
Gesamtrendite - Stiiokrendite
2. Die Rendite von Zinssohulden ................................. 148
a) die mathematisohe Bereohnungsmethode ...................... 148
Naherungsverfahren ........................................ 148
Praktisohes Beispiel der Renditenbereohnung einer Zinssohuld .,. 149
b) die Faustregeln der Praxis - das Bankenverfahren . . . . . . . . . . . .. 150
0) Vergleiohsbeispiele aus der Praxis ............................ 152
3. Die Rendite von Ratensohulden ................................ 155
a) die Hoohstrendite .......................................... 155
b) die Zwisohenrendite ........................................ 156
0) die Mindestrendite ......................................... 156
d) die Gesamtrendite p' der Anleihe ............................ 157
e) vollstandige Renditenbereohnung der 5,5%-Bundespost-Anleihe 158
f) Praktisohe Beispiele der Renditenbereohnung von Ratensohulden. 164
4. Die Rendite von Annuitaten-Anleihen .......................... 168
a) Bereohnung der Gesamtrendite .............................. 168
b) die Stiiokrendite bei Annuitatenschulden .................... " 170
Leitsatze fUr die Renditenberechnung ........................ 172
5. SonderfiUle der Renditenbereohnung
bei Anleihen mit uneinheitlicher Tilgung ........................ 172
6. Rendite von Aktien .......................................... 176
XIV. Tilgungspliine ................................................. 178
1. Tilgungsplan einer Zinsschuld ................................. 178
2. Tilgungsplan einer Ratenschuld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179
3. Tilgungsplan einer Annuitatenschuld ........................... 180
a) ohne Aufgeld, ohne Stiickelung ............................. 181
b) bei einer Stiickelung von 1000 DM .......................... 181
c) mit Aufgeld und Stiickelung ................................ 182
d) mit ungleicher Stiickelung .................................. 184
e) Tilgungshypotheken ........................................ 189
f) Tilgungsdauer von Bauspardarlehen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192
g) Finanzierung eines Wohnhauses (Eigenheims) und Amortisation
der Darlehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193
XV. Leasing-Vermietung 195
XVI. Das Logarithmieren ............................................ 199
XVlI.Tabellen .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 201
I: die Logarithmen (vierstellig) ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
II: Aufzinsungsfaktor ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203
III: Abzinsungsfaktor .......................................... 204
IV: Barwert der nachschiissigen Rente 1,-DM ................... 206
V: Quadratwurzeln ........................................... 208
VI: Allgem. Deutsche Sterbetafeln: 1924/26,3% ; 1949/51,3% ••••••• 210
Abkiirzungen und Symbole ........................................... 213
Sachworterverzeichnis ................................................ 215
Vorwort
In zunehmendem Umfang wachsen der Wirtschaft Bereiche zu, die wertmaJ3ig er
faLlt werden mussen. Der Staat, die Lander, Gemeinden und Unternehmungen
stehen vor Planungsaufgaben, fur deren Bearbeitung finanzmathematische
Er kenn tnisse erforderlich sind.
Die Probleme einer langfristigen Finanzierung, insbesondere die Moglichkeiten und
Grenzen einer Fremdfinanzierung in Form von Darlehen, Anleihen, Schuld
verschreibungen, Obligationen und Pfandbriefen stehen mit im Brennpunkt der
gegenwartigen Diskussion. Sowohl fUr den Kreditnehmer wie fUr den Geldgeber
gewinnt die Ausstattung des Wertpapieres unter besonderer Berucksichtigung des
ZinsgefUges auf dem Markte fUr langfristige Kapitalanlagen hohe Bedeutung. Die
Rendite als Wertmesser bestimmt entscheidend die Unterbringungsmoglichkeit
und Marktgangigkeit des Papiers.
Die Gewinnermittlung, gesteuert von den verschiedenen Abschreibungsmoglich
keiten, ist ebenso ein Standardproblem wie das Ratenkreditgeschaft mit den
Risiken und Kosten des Konsumentenkredits.
Die Abfindung ausscheidender Gesellschafter aus Personengesellschaften, die Be
wertung von Unternehmungen einschlieLllich des Firmenwertes sind alltagliche
Fragen im Rahmen betriebswirtschaftlicher Bewertungen.
Die Zinseszinsrechnung wird nicht nur im Rahmen der traditionellen Geschafte
der Bank- und Sparkasseninstitute behandelt, sondern es werden auch jene Be
reiche einbezogen, die heutzutage die Offentlichkeit ganz besonders interessieren:
das Pramiensparen, der Ratensparvertrag, der Allgemeine Sparvertrag, wie auch
die Finanzierungsvorgange und Tilgungsmodalitaten bei der Erstellung von Eigen
heimen. Eine besondere Darstellung finden ihrer wirtschaftlichen Bedeutung ent
sprechend die Investitions-Rechnung und das "financial leasing". Ein Exkurs in
die Bereiche der Naturwissenschaften - das organische Wachsturn, die Holzver
zuckerung, der Zerfall radioaktiver Elemente sowie die Verseifung der Fette -
rundet die Gesamtdarstellung abo
Die Rentenrechnung bezieht auch die Leibrente und damit Grundbetrachtungen
zur Wahrscheinlichkeitslehre, Ausftihrungen uber die mathematische und statis
tische Lebenserwartung und das Gesetz der groJ3en Zahlen mit der Blickrichtung
auf die Praxis ein.
GefUhrt von dem Motto "Aus der Praxis fUr die Praxis" stellt die vorliegende
Schrift diese Bereiche in den Mittelpunkt der Erorterung. Mathematische Be
trachtungen werden nur dort durchgefUhrt, wo die Durchleuchtung, Deutung und
Erkenntnis des Sachverhaltes es erfordern. Theoretische mathematische Unter
suchungen sind bewuJ3t nicht angestellt, urn das Buch auf praxisgerechte Ver
wendung auszurichten. Die Rechenoperationen sind durch die beigefUgten Tabellen
auf ein MindestmaJ3 herabgesetzt.
10 Vorwort
Das Buch wendet sich an den praktisch tatigen Kaufmann, der till die Planung in
seiner Untemehmung mitverantwortlich ist, an die Kaufmannschaft der Banken,
Spark888en und Kreditanstalten, die ala Helfer die Wirtschaft berat und finan
ziert.
Studierende der Wirtschaftswissenschaften konnen sich mit den Grundgedanken
betriebswirtschaftlicher Probleme vertraut machen und ihr Riistzeug fiir eineprak
tische Tatigkeit vervollstandigen.
Der Verfasser