Practical Ways to Accelerate Delaunay Triangulations

183 Pages·2017·8.58 MB·English

by  Pedro De Castro

Practical Ways to Accelerate Delaunay Triangulations
Pedro M. M. de Castro
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Pedro M. M. de Castro. Practical Ways to Accelerate Delaunay Triangulations. Software Engineering
[cs.SE]. Université Nice Sophia Antipolis, 2010. English. ￿NNT: ￿. ￿tel-00531765￿
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Submitted on 3 Nov 2010
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UNIVERSITÉ DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS
ÉCOLE DOCTORALE STIC
Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication
THÈSE
pour obtenir le titre de
Docteur en Sciences
de l’Université de Nice-Sophia Antipolis
Mention: Informatique
Présentée par
Pedro Machado Manhães de Castro
Méthodes pour Accélérer
les Triangulations de Delaunay
Thèse préparée dans le projet GEOMETRICA, INRIA Sophia-Antipolis
Dirigée par
Olivier Devillers, Directeur de Recherche, INRIA Sophia-Antipolis
Soutenue publiquement le 25 Octobre 2010 devant le jury composé de :
Président : Bruno LÉVY, Directeur de Recherche, INRIA Loria
Rapporteurs : Günter ROTE, Professeur, Freie Universität Berlin
Franz AURENHAMMER, Professeur, Technische Universitaet Graz
Examinateurs : Dominique ATTALI, Chargée de Recherche, CNRS
Raphaëlle CHAINE, Maître de Conférences, LIRIS
Olivier DEVILLERS, Directeur de Recherche, INRIA Sophia-Antipolis

MACHADO MANHÃES DE CASTRO Pedro
MÉTHODES POUR ACCÉLÉRER
LES TRIANGULATIONS DE DELAUNAY

Résumé: Méthodes pour Accélérer les
Triangulations de Delaunay
Cette thèse propose de nouvelles méthodes pour accélérer certaines des plus importantes opéra-
tions dans une triangulation de Delaunay, conciliant efficacité et bonne complexité théorique.
Nous proposons deux approches pour calculer la triangulation de Delaunay de points sur
(ou proches) d’une sphère. La première approche calcule la triangulation de Delaunay de points
exactementsurlasphèreparconstruction. Ladeuxièmeapprochecalculedirectementl’enveloppe
convexedel’ensembled’entrée,etdonnequelquesgarantiessurlasortie. Lesdeuxapprochessont
basées sur la triangulation régulière sur la sphère. La deuxième approche améliore les solutions
de l’état de l’art.
L’operation de mise à jour d’une triangulation de Delaunay, quand les sommets bougent, est
critique dans plusieurs domaines d’applications. Quand tous les sommets bougent, reconstruire
toute la triangulation est étonnamment une bonne solution en pratique. Toutefois, lorsque les
pointssedéplacenttrespeu, ousiseulementunefractiondessommetsbougent, lareconstruction
n’est plus la meilleure option. Nous proposons un système de filtrage basé sur le concept de
tolérance d’un sommet. Nous avons mené plusieurs expériences pour évaluer le comportement
del’algorithmesurdesensemblesdedonnéesvariés. Lesexpériencesontmontréquel’algorithme
est particulièrement pertinent pour les régimes convergents tels que les itérations de Lloyd. En
dimension deux, l’algorithme présenté est un ordre de grandeur plus rapide que la reconstruction
pour les itérations de Lloyd. En dimension trois, l’algorithme présenté a des performances
équivalentes à la reconstruction quand tous les sommets bougent, cependant il est entièrement
dynamique et améliore les solutions dynamiques précédentes. Ce résultat permet d’aller plus
loin dans le nombre d’itérations de façon à produire des maillages de qualité supérieure.
Lalocalisationdepointsdansunesubdivisiondel’espaceestunclassiquedelagéométriealgo-
rithmique; nousréexaminonsceproblèmedanslecas des triangulationsde Rd pourexploiter une
éventuelle cohérence entre les requêtes. Nous analysons, implementons, et évaluons une strategie
delocalisationdepointadaptableauxdistributionsdesrequêtes, baséesurJump&Walk, appel-
léeKeep,Jump,&Walk. Pourdespaquetsderequêtes,l’idéeprincipaleestd’utiliserlesrequêtes
précédentes pour améliorer le traitement de la requête courante. Maintenant à propos de la com-
plexité d’une requête dans une triangulation de Delaunay, nous montrons que la hiérarchie de
Delaunay peut être utilisée pour localiser un point q à partir d’une requête précédente p avec une
complexitérandomiséeO(log♯(pq))pourvuquelatriangulationvérifiecertaineshypothèses(♯(s)
désigne le nombre de simplex traversés par le segment s). Finalement, nous combinons la bonne
adaptabilité à la distribution des requêtes du Keep, Jump, & Walk, et la bonne complexité de la
hiérarchie de Delaunay, en une nouvelle stratégie de localisation de points appellée Keep, Jump,
& Climb. Selon nos connaissances, Keep, Jump, & Climb est le premier algorithme adaptable
aux distributions des requêtes qui marche en pratique et en théorie pour les triangulations de
Delaunay—dans nos expérimentations, Keep, Jump, & Climb est plus rapide que la hiérarchie
de Delaunay indépendamment de la cohérence spatiale des requêtes, et significativement plus
rapide quand la cohérence spatiale est forte.

MACHADO MANHÃES DE CASTRO Pedro
PRACTICAL WAYS TO ACCELERATE
DELAUNAY TRIANGULATIONS

Abstract: Practical Ways to Accelerate
Delaunay Triangulations
This thesis proposes several new practical ways to speed-up some of the most important opera-
tions in a Delaunay triangulation.
We propose two approaches to compute a Delaunay triangulation for points on or close to
a sphere. The first approach computes the Delaunay triangulation of points placed exactly on
the sphere. The second approach directly computes the convex hull of the input set, and gives
some guarantees on the output. Both approaches are based on the regular triangulation on the
sphere. The second approach outperforms previous solutions.
Updating a Delaunay triangulation when its vertices move is a bottleneck in several domains
of application. Rebuilding the whole triangulation from scratch is surprisingly a viable option
compared to relocating the vertices. However, when all points move with a small magnitude, or
when only a fraction of the vertices moves, rebuilding is no longer the best option. We propose a
filtering scheme based upon the concept of vertex tolerances. We conducted several experiments
to showcase the behavior of the algorithm for a variety of data sets. The experiments showed
that the algorithm is particularly relevant for convergent schemes such as the Lloyd iterations.
In two dimensions, the algorithm presented performs up to an order of magnitude faster than
rebuilding for Lloyd iterations. In three dimensions, although rebuilding the whole triangulation
at each time stamp when all vertices move can be as fast as our algorithm, our solution is fully
dynamicandoutperformspreviousdynamicsolutions. Thisresultmakesitpossibletogofurther
on the number of iterations so as to produce higher quality meshes.
Point location in spatial subdivision is one of the most studied problems in computational
geometry. In the case of triangulations of Rd, we revisit the problem to exploit a possible
coherencebetweenthequerypoints. Weanalyze,implement,andevaluateadistribution-sensitive
point location algorithm based on the classical Jump & Walk, called Keep, Jump, & Walk.
For a batch of query points, the main idea is to use previous queries to improve the retrieval
of the current one. Regarding point location in a Delaunay triangulation, we show how the
Delaunay hierarchy can be used to answer, under some hypotheses, a query q with a O(log♯(pq))
randomized expected complexity, where p is a previously located query and ♯(s) indicates the
number of simplices crossed by the line segment s. We combine the good distribution-sensitive
behavior of Keep, Jump, & Walk, and the good complexity of the Delaunay hierarchy, into a
novel point location algorithm called Keep, Jump, & Climb. To the best of our knowledge,
Keep, Jump, & Climb is the first practical distribution-sensitive algorithm that works both in
theory and in practice for Delaunay triangulations—in our experiments, it is faster than the
Delaunay hierarchy regardless of the spatial coherence of queries, and significantly faster when
queries have reasonable spatial coherence.