Portfolio–Selektion: Die (analytische) Geometrie des effizienten Randes

32 Pages·2009·0.25 MB·German

Portfolio–Selektion: Die (analytische) Geometrie des
effizienten Randes
JochenWilhelm∗ JohannesGarhammer†
Zusammenfassung
Derherko¨mmlicheEffizienzbegriffderTheoriederPortfolioSelektionwirderweitertund
imKontextvonnicht-linearenOptimierungsaufgabenausgewertet. NebenWertpapieranla-
genwirdauchdieMo¨glichkeitberu¨cksichtigt,MittelinderKassezuhalten.Statteinerisi-
kofreie Anlageform vorzusehen, werden vor dem Hintergrund des Konzeptes der stochas-
tischen linearen Unabha¨ngigkeit risikofreie Hedge–Portfolios und Arbitrage–Portfolios be-
ru¨cksichtigt.DiebekanntenSeparationsresultatewerdenindiesemKontextverallgemeinernd
neuhergeleitet.AufderBasisderSeparationsergebnissewerdendieanalytischeGeometrie
deseffizientenRandesunddieStrukturvoneffizientenGesamtpositionenausgeleuchtet.Eine
dualeBeziehungzwischeneineralserwartungswertproportionalenBewertungdesMarktes
undderExistenzriskantereffizienterGesamtpositonenergibtsichalsNebenresultat.DieRen-
ditevonHedge–Portfolioserweistsichalsnicht–negativ, das“LawofOnePriceistebenfalls
”
eineSchlussfolgerungausderEffizienz,dasvarianzminimalePortfolioistineffizient.
1 Einfu¨hrung und Problemstellung
Lehrbu¨cherderFinanzierungstheoriebehandelnalseinesderKernstu¨ckedesFachesdieKon-
struktion von (µ,σ)–effizienten Wertpapierportfolios, als Basiselement sowohl der Portfolio-
Selection-TheoriealsauchdesCapitalAssetPricingModells(CAPM).1 (µ,σ)–effizientsindbe-
kanntlichPortfolios,diebeieinemErwartungswertvonµeinegeringstmo¨glicheVarianzσ2und
beieinerVarianzvonσ2einenho¨chstmo¨glichenErwartungswertµaufweisen,wobeidannnoch
zupra¨zisierenbleibt,welcheunsichereGro¨ßedieGrundlagefu¨rdieBildungvonErwartungs-
wert und Varianz bildet. Fu¨r eine ga¨ngige Vorgehensweise mo¨gen hier stellvertretend etwa
∗Universita¨tPassau–Lehrstuhlfu¨rBetriebswirtschaftslehremitSchwerpunktFinanzierung
†Universita¨tPassau–Lehrstuhlfu¨rBetriebswirtschaftslehremitSchwerpunktFinanzierung
1BERNDRUDOLPH,demdieserBeitrag–eristinleichtgeku¨rzterForminderFestschriftzum65.Geburtstagdes
Jubilars(SCHA¨FERETAL.(2009),WILHELMUNDGARHAMMER(2009))vero¨ffentlichtworden–zugeeignetist,geho¨rtzu
derGenerationdererstenForscherundHochschullehrer,dieimdeutschsprachigenRaumdieSichtweiseaufgegriffen
undweiterentwickelthaben,diediePha¨nomenederfinanziellenSpha¨redesUnternehmens(GUTENBERG)konsequent
vordemHintergrundderFinanzma¨rktebetrachtetunddaherbetriebswirtschaftlicheFragestellungenmitErkenntnis-
senundMethodenderKapitalmarkttheoriezubearbeitenanleitet(schoninseinerHabilitationsschrifthatsichRudolph
mitFragenderoptimalenKapitalstrukturbeisegmentiertenKapitalma¨rktenbefasst).Dasistheuteselbstversta¨ndlicher
StandardinderwissenschaftlichenebensowieinderLehrbuchliteratur,soauchinRUDOLPH(2006).
1
COPELANDETAL.(2007),INGERSOLL(1987)undauchTRAUTMANN(2007).Derdortgewa¨hlte
Zugangistzweistufig:
Auf der ersten Stufe werden Portfolios betrachtet, die nur aus riskanten Wertpapieren be-
stehen(Markowitz–Theorie:MARKOWITZ(1952),MARKOWITZ(1959)),wa¨hrenderstaufeiner
zweiten Stufe eine sichere Anlageform hinzutritt (mit dem Resultat der sogenannten TOBIN-
Separation: TOBIN (1957)). Auf der ersten Stufe wird nicht nur ausgeschlossen, dass fu¨r die
Mittelanlage auchrisikofreie Alternativenzur Verfu¨gung stehenko¨nnten, sonderndurch eine
scheinbartechnischalserforderlicherscheinendeAnnahme–ExistenzderInversenderKova-
rianzmatrix–auchverhindert,dassrisikofreiePositionenaufdemWegedesHedginggebildet
werden ko¨nnen: es existieren keine Hedge–Portfolios”. Wertpapiere werden durch ihre Ren-
”
dite charakterisiert, als Basis des Portfolio–Erfolges wird entsprechend die Portfolio–Rendite
verwendet, die Ermittlung der effizienten Portfolios stu¨tzt sich bei der Optimierung auf die
Multiplikatorenmethode nach LAGRANGE; auf diesem Wege ergeben sich notwendige Bedin-
gungenfu¨reffizientePortfolios.
DerindieserArbeitdarzustellendeAnsatzunterscheidetsichinmehrerleiHinsichtvondem
skizzierten Lehrbuchstandard. Auf die spezifische Rolle einer explizit gegebenen risikofreien
Anlageformwirdebensoverzichtet,wieaufdieVoraussetzungeinerinvertierbarenKovarianz-
matrix(insoweitwirdtendenzielldemAnsatzvonROLL(1977)gefolgt).Zudemaberwirdhier
nichtaufdieRenditen,sondernexplizitaufWertpapier–PayoffsundPreise(Zahlungsstromdar-
stellung)abgestellt(soauchschonRUDOLPH(1979)).Zusa¨tzlichwirdkeinBudgetvorgegeben,
vielmehr wird auch der investierte Betrag der Effizienzanforderung unterworfen. Schließlich
wirdberu¨cksichtigt,dassInvestorenauchMittelinderKassehaltenko¨nnen.
Diese Konstruktionsmerkmale fu¨hren auf einen neuartigen Effizienzbegriff (es wird von
(µ,σ,w )–Effizienz gesprochen werden) und machen eine Erweiterung des mathematischen
0
Ru¨stzeugszurProblemformulierungund–lo¨sungerforderlich(dasKonzeptvon stochastisch
”
linear (un–)abha¨ngigen” Payoffs findet Verwendung und die gewo¨hnliche Methode der LA-
GRANGE-Mulitplikatoren wird durch die KUHN–TUCKER–Theorie der nichtlinearen Optimie-
rungersetzt).IndiesemRahmenwirdderFragenachgegangen,wieeffizienteGesamtpositio-
nen und wie die sie konstituierenden Portfolios beschrieben werden ko¨nnen. Wie sich zeigen
wird,ko¨nnensiedurchein MaximumprinzipderEffizienz”charakterisiertundmitHilfeder
”
KUHN–TUCKER–Bedingungenkonkretisiertwerden.
Stochastische lineare Unabha¨ngigkeit ist das mathematische gegenstu¨ck zur Abwesenheit
von (echten) Hedge–Portfolios. Der aus der linearen Algebra bekannte Begriff einer Basis”
”
wird auf den hier vorliegenden Fall stochastischer Payoffs und stochastischer linearer Un-
abha¨ngigkeit derselben u¨bertragen, wodurch sich in natu¨rlicher Weise eine Aufteilungsmo¨g-
lichkeit der Wertpapiere in Basis– und Nichtbasiswertpapiere ergibt. Als damit in engem Zu-
sammenhangstehendwerdensichHedge–undArbitrage–Portfolioserweisen.
Wesentliche Ergebnisse unserer U¨berlegungen betreffen die Zusammensetzung effizienter
Gesamtpositionen aus Basiswertpapieren, Hedge–Portfolios und Kassenhaltung: Die TOBIN-
Separation wird in diesem recht allgemeinen Kontext nachgewiesen; weiter wird ein Zusam-
menhang zwischen der Existenz effizienter (riskanter) Gesamtpositionen und dem sogenann-
ten LawofOnePrice”einerseitsundeinernicht–trivialenBewertungderWertpapieredurch
”
den Finanzmarkt andererseits nachgewiesen. Die Mo¨glichkeit, Mittel in der Kasse zu halten,
2
beschra¨nkt die Rendite von Hedge–Portfolios, so sie existieren, auf nicht–negative Werte und
machtdasvarianzminimalePortfoliostetszueinemineffizienten,dasanderPortfolio–Bildung
imU¨brigenimmernurinderFormeinerShort–Position,niemals long”,beteiligtist.
”
Der Beitrag ist wie folgt aufgebaut: Nach Darstellung der Modellbausteine werden in Ab-
schnitt2effizienteGesamtpositionen(bestehendausWertpapier-PortfoliosundKassenhaltungs-
positonen)alsLo¨sungeinesdrei-dimensionalenVektormaximumproblemscharakterisiert.Das
sogenannte MaximumprinzipderEffizienz”gestattetdieCharakterisierungdurchdreisimul-
”
tane KUHN–TUCKER Bedingungssysteme.AufdieserGrundlagewerdeneffizienteGesamtpo-
sitionen (mit und ohne die Existenz von Hedge–Portfolios) konstruiert und in Unterabschnitt
2.6 die Beziehung zwischen Struktur der Marktbewertung und der Existenz von effizienten
GesamtpositionenmitpositiverVarianzherausgearbeitet.InAbschnitt3wirddieZusammen-
setzungderineffizientenGesamtpositionenenthaltenenPortfoliosaufzweiSeparationsfonds
zuru¨ckgefu¨hrt,fu¨rderenExistenzinderGegenwartvonrisikolosenHedge–Portfolioszuna¨chst
einmalderNachweisgefu¨hrtwerdenmuss.InAbschnitt4schließtsichdieZusammenfu¨hrung
der Ergebnisse in die analytisch–geometrische Darstellung an, wobei zugleich nach der zu-
vor behandelten Strukturfrage die Volumenfrage in Hinsicht auf die aufzunehmenden Port-
folios beantwortet wird. Abschnitt 5 verdeutlicht die Zusammenha¨nge mit graphischer Un-
terstu¨tzung an zwei Beispielen, wovon insbesondere das zweite eine Bru¨cke zur Theorie der
Derivatebewertung schla¨gt. Eine thesenfo¨rmige Zusammenfassung in Abschnitt 6 beschließt
dieArbeit.
2 Effiziente Gesamtpositionen
2.1 Vorbereitung: Modellbausteine, Portfolios und Gesamtpositionen, Effi-
zienz
AmMarktsolleinebeliebigeAnzahl n von(beliebigteilbaren2)AnlageformenzurVerfu¨gung
stehen, die durch ihre Preise P (i = 1,...,n, zusammen gefasst zum Vektor P) im Betrach-
i
tungszeitpunkt und die auf sie entfallenden Ru¨ckstro¨me (Payoffs) am Periodenende – gleich
ob sie sicher sind oder nicht – charakterisiert werden ko¨nnen; daneben ist noch Kassenhal-
tung mo¨glich. Die Payoffs sind Zufallsvariablen Z (i = 1,...,n, zusammen gefasst zum Zu-
i
fallsvektor Z), deren erste und zweite (multivariate) Momente E(Z) (Erwartungswerte) und
COV(Z,Z)(Kovarianzmatrix,abgeku¨rztnotiertmitC)existieren.
Definition1. EinPortfolioisteinVektorx ∈ Rn,derPayoffdiesesPortfoliosistZT·x,seinPreis
PT·x.
Definition 2. Eine Gesamtposition ist ein Paar (x,yc) ∈ Rn×R+, bestehend aus einem Portfolio
xundeinerKassenpositiony .DerPayoffderGesamtpositionistZT·x+y ,ihrPreis(dasBudget)
c c
PT·x+y .
c
2Fragen,diemangelndeTeilbarkeitoderNichtmarktfa¨higkeitvonTeilpositionenimVermo¨gendesInvestorsbetref-
fen,werdenhierausgespart(vgl.etwaMAYERS(1972)BRITO(1977);RUDOLPH(1982)hatsichindiesemZusammen-
hangmitdemProblemeinespreisbeeinflussendenmonopolistischenInvestorsbefasst).
3
Wirsindnunfu¨rdieDefinitionderEffizienzvonGesamtpositionengeru¨stet:
Definition 3. Eine Gesamtposition (x¯,y¯ ), bestehend aus dem Portfolio x¯ und der Kassenposition
c
y¯ ≥ 0, heißt (µ,σ,w )–effizient (im Folgenden gewo¨hnlich effizient” ohne Zusatz), wenn die fol-
c 0 ”
gendeBedingungerfu¨lltist:
Fu¨rallex ∈Rn undy ∈R+ folgtausdemUngleichungssystem
   
E(ZT)x¯+y¯ E(ZT)x+y
c
   
 −x¯TCx¯  ≤  −xTCx 
   
−PTx¯−y¯ −PTx−y
c
dasGleichungssystem
   
E(ZT)x¯+y¯ E(ZT)x+y
c
   
 −x¯TCx¯  =  −xTCx 
   
−PTx¯−y¯ −PTx−y
c
Diese Definiton fordert, dass die betreffende Position effizient im Sinne eines Vektormaxi-
mumproblemsist,dasalsZielsetzungendieErwartungswertmaximierung,Varianzminmierung
undBudgetminimierungaufweist.DerklassischeBegriffder(µ,σ)–Effizienzbetrachtetnurdie
beidenerstenZielsetzungen:dieErwartungswertmaximierungunddieVarianzminmierung.
WirkommennunzueinemerstenResultat:
Proposition1. DieGesamtposition(x¯,y¯ )istgenaudanneffizient,wennesw ,w ,s ∈Rgibtmit
c 1 0
1. w1 =E(ZT)x¯+y¯c =max(cid:8)E(ZT)x+y| (x,y) ∈Rn×R+,xTCx ≤ s,PTx+y ≤ w0(cid:9)
(cid:110) (cid:111)
2. w0 = PTx¯+y¯c =min PTx+y| (x,y) ∈Rn×R+,xTCx ≤ s,E(Z)T·x+y ≥ w1
(cid:110) (cid:111)
3. s = x¯TCx¯ =min xTCx| (x,y) ∈Rn×R+,E(Z)T·x+y ≥ w1,PT·x+y ≤ w0
KorollarzuProposition1: Sei(x¯,y¯ )eineeffizienteGesamtpositionmitw ,w ,s ∈RwieinPropo-
c 1 0
sition1.DannsinddiefolgendenMengennichtleer
(cid:110) (cid:111)
(x,y) ∈Rn×R+|E(ZT)x+y = w1,xTCx ≤ s,PTx+y ≤ w0
(cid:110) (cid:111)
(x,y) ∈Rn×R+|PTx+y = w0,xTCx ≤ s,E(Z)T·x+y ≥ w1
(cid:110) (cid:111)
(x,y) ∈Rn×R+|xTCx = s,E(Z)T·x+y ≥ w1,PT·x+y ≤ w0
Beweis:DerBeweisergibtsichunmittelbarausdemMaximumprinzipderEffizienz(vglA.1).
q.e.d.
DieBedingungen1bis3derProposition1konstituierenjeweilseinnichtlinearesOptimie-
rungsproblem;diezugeho¨rigenKuhn-Tucker-Bedingungen(vgl.A.2)notierenwirwiefolgt:
4
Erwartungswertmaximierung DieBedingungenfu¨rdasProblem1lauten
E(Z)T−µ PT−µ x¯TC =0
0 2
1−µ ≤0
0
y¯ ·(1−µ ) =0 (E →max)
c 0
y¯ ,µ ,µ ≥0
c 0 2
w −µ w −µ s =0
1 0 0 2
Budgetminimerung DieBedingungenfu¨rdasProblem2lauten
PT−ν E(Z)T+ν x¯TC =0
1 2
−1+ν ≤0
1
y¯ ·(1−ν ) =0 (P →min)
c 1
y¯ ,ν ,ν ≥0
c 1 2
w −ν w +ν s =0
0 1 1 2
Varianzminimierung DieBedingungenfu¨rdasProblem3lauten
x¯TC+λ PT−λ E(Z)T =0
0 1
−λ +λ ≤0
0 1
y¯ ·(λ −λ ) =0 (V →min)
c 1 0
y¯ ,λ ,λ ≥0
c 0 1
s+λ w −λ w =0
0 0 1 1
ImFolgendenwerdenwirdieseOptimierungsproblemeundihreBedingungensystematisch
auswerten.
2.2 EffizienterisikoloseGesamtpositionen?
Risikolose Gesamtpositionen sind in den Bedingungssystemen (E-max), (P-min) und (V-min)
durch s = 0 gekennzeichnet. Insbesondere muss fu¨r das effiziente Portfolio in einer solchen
Gesamtposition x¯TCx¯ = 0 gelten; da C als Kovarianzmatrix positiv semidefinit ist, muss also
Cx¯ =0gelten.DieBedingungssystemelautendaher
E(Z)T−µ PT =0
0
1−µ ≤0
0
y¯ ·(1−µ ) =0 (E →max−r )
c 0 f
y¯ ,µ ≥0
c 0
w −µ w =0
1 0 0
5
PT−ν E(Z)T =0
1
−1+ν ≤0
1
y¯ ·(1−ν ) =0 (P →min−r )
c 1 f
y¯ ,ν ≥0
c 1
w −ν w =0
0 1 1
und
λ PT−λ E(Z)T =0
0 1
−λ +λ ≤0
0 1
y¯ ·(λ −λ ) =0 (V →min−r )
c 1 0 f
y¯ ,λ ,λ ≥0
c 0 1
λ w −λ w =0
0 0 1 1
DieseBedingungenlassensichwiefolgtineinemSatzzusammenfassen:
Proposition 2. Effiziente risikolose Gesamtpositionen exisitieren nur dann, wenn der Preis- und der
Erwartungswertvektorlinearabha¨ngigsind,d.h.wenneineRelationα·E(Z)−β·P = 0gegebenist.
IstineinersolchenGesamtpositionderKassenbestandpositiv,sogiltα = β.IstderKassenbestandgleich
null,sokannman0≤ α ≤ βwa¨hlen.
Definition 4. Wenn die Vektoren E(Z) und P linear abha¨ngig sind, sagen wir, der Markt bewerte
erwartungswertproportional.DieseDefinitionbeziehenwirauchaufTeilmengenderWertpapiere.
Definition5. Beigegebenemλ ∈R+sprechenwirvonE(Z)−λPalsvomVektorderRisikopra¨mien
bezu¨glichderRenditeλ−1.
Der Markt bewertet erwartungswertproportional, wenn es eine Rendite λ−1 gibt, fu¨r die
alleRisikopra¨miengleichnullsind.
Korollar:EffizienterisikoloseGesamtpositionengibtesnur,wennderMarkterwartungswertproportio-
nalbewertet.
Beweis:Fu¨rβ (cid:54)=0giltP = α ·E(Z),fu¨rα (cid:54)=0giltE(Z) = β ·P. q.e.d.
β α
2.3 EffizienteGesamtpositionen,wennkeineHedge–Portfoliosexistieren
Definition 6. Ein von null verschiedenes Portfolio, dessen Varianz gleich null ist, heißt ein Hedge–
Portfolio.
GibtesunterdenherrschendenMarktbedingungenkeineHedge–Portfolios,danngilt x (cid:54)=
0 =⇒ xTCx (cid:54)= 0, aber auch x (cid:54)= 0 =⇒ xTC (cid:54)= 0. Gibt es keine Hedge-Portfolios, kann eine
risikolose Gesamtposition folglich nur aus der Kassenhaltung bestehen. Wir ko¨nnen nun das
folgende Strukturergebnis fu¨r Portfolios in effizienten Gesamtpositionen mit Kassenhaltungs-
beteiligungmitteilen:
6
Proposition3. ExistierenkeineHedge-Portfolios,danngiltfu¨rdasPortfolio x¯ ineinereffizientenGe-
samtposition(x¯,y¯ )mit(aktiver)Kassenhaltung(y¯ >0)
c c
µ x¯ =C−1{E(Z)−P}, µ ≥0
2 2
Beweis: Man betrachte (E-max-r ) und (P-min-r ). Ist y¯ > 0, muss µ = ν = 1 sein. Die
f f c 0 1
Bedingungenfu¨rdieProbleme(E-max-r )und(P-min-r )implizierenjeweilsdieBehauptung.
f f
q.e.d.
Korollar: Strukturell bestimmen die Risikopra¨mien bezu¨glich der Kassenrendite (d.h. bezu¨glich einer
Renditevonnull)dasPortfolioineinereffizientenGesamtposition.
EinentsprechendesErgebniskennzeichnetdenFallohne(aktive)Kassenhaltung:
Proposition4. ExistierenkeineHedge-Portfolios,danngiltfu¨rdasPortfolio x¯ ineinereffizientenGe-
samtposition(x¯,y¯ )ohneKassenhaltung(y¯ =0)
c c
x¯ = λ C−1E(Z)−λ C−1P
1 0
mitλ ,λ ≥0, λ ≤ λ , λ +λ (cid:54)=0.
1 0 1 0 1 0
Beweis:DasfolgtdirektausdenKuhn-Tucker-BedingungendesProblems(V-min). q.e.d.
Korollar:IstunterdenVoraussetzungenderProposition4λ >0,sowerdendiePortfoliosineinereffi-
1
zientenGesamtpositionstrukturelldurchdieRisikopra¨mienbezu¨glichderRenditeλ /λ −1bestimmt.
0 1
2.4 Hedge–Portfolios,wenneffizienteGesamtpositionenexistieren
Wenn der Markt effiziente Gesamtpositionen bereit stellt, gibt es fu¨r Hedge–Portfolios Ein-
schra¨nkungen.WiruntersucheneineeffizienteGesamtposition(x¯,y¯ )undeinbeliebigesHedge–
c
Portfolio ξ. Die Bedingungen (E-max), (P-min) und (V-min) fu¨hren durch Multiplikation mit
demHedge–PortfoliozufolgendenGleichungen
E(Z)Tξ−µ PTξ = 0
0
PTξ−ν E(Z)Tξ = 0
1
λ PTξ−λ E(Z)Tξ = 0
0 1
Darausfolgernwir:
Proposition5. IneinemMarkt,indemeffizienteGesamtpositionenexistieren,giltfu¨rHedge–Portfolios:
1. IstderPreisdesHedge–Portfoliosgleichnull,soistsein(erwarteter)Payoffgleichnull.
2. Istder(erwartete)PayoffdesHedge–Portfoliosgleichnull,soistseinPreisgleichnull.
3. Hedge–PortfoliosmiteinemvonnullverschiedenenPreisbzw.(erwarteten)Payoffhabendieselbe
Rendite
E(Z)Tv 1 λ
r = −1= µ −1= −1= 0 −1≥0.
f PTv 0 ν λ
1 1
7
Bemerkung. Proposition5lieferteineVariantedes LawofIndifference”(JEVONS(1888),S.87u.S.
”
90),heutemeistunterderBezeichnung LawofOnePrice”verwendet.
”
Bemerkung. DieVariantenvonHedge–Portfolios,fu¨rdiedieVoraussetzungvon2inderProposition
5zutrifft,heißen Arbitrageportfolios”(MERTON(1973)).Zweilinearunabha¨ngigeHedge–Portfolios
”
lassensichstetszueinemArbitrageportfoliokombinieren.
2.5 EffizienteGesamtpositionen,wennHedge–Portfoliosexistieren
SchließlichbetrachtenwireineeffizienteGesamtposition(x¯,y¯ )(dieeinepositiveVarianzauf-
c
weist),wennzugleichHedge–PortfolioszurVerfu¨gungstehen.Hierko¨nnenwirfeststellen:
Proposition6. ExstierenHedge–Portfoliosundist(x¯,y¯ )eineeffizienteGesamtpositionmitpositiver
c
Varianz,soist
(cid:110) (cid:16) (cid:17) (cid:111)
Cx¯ = λ E(Z)− 1+r P
1 f
Beweis:WendetmandieBedingungendesProblems(V-min)aufeinHedge-Portfolioξ anund
multipliziert mit diesem durch, ergibt sich λ0PTξ = λ1E(Z)Tξ. Daraus folgt der Rest, wenn
manbedenkt,dassλ undλ nichtbeidegleichnullseinko¨nnen,weildieeffizienteGesamtpo-
0 1
sitionsonstrisikofreiwa¨re. q.e.d.
Korollar:UnterdenVoraussetzungenvonProposition6werdendiePortfoliosineinereffizientenGe-
samtpositionstrukturelldurchdieRisikopra¨mienbezu¨glichderrisikofreienRendite(RenditederHedge–
Portfolios)bestimmt.
2.6 EffizienzundErwartungswertproportionalita¨tderPreise
Unabha¨ngigdavon,obHedge–Portfoliosexistierenodernicht,hatdieExistenzvoneffizienten
GesamtpositionenmitpositiverVarianzeineImplikationfu¨rdieBewertungderPayoffsdurch
denMarkt.EineeffizienteGesamtpositionmitpositiverVarianzerfordertnach(V-min)λ w −
1 1
λ w = s >0,alsoλ w > λ w ,wobeiλ ≥ λ ≥0,λ +λ >0gilt.
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1
Proposition7. Sei(x¯,y¯ )eineeffizienteGesamtpositionmitpositiverVarianz.Dannsindλ >0und
c 1
λ2 >0,esseidennPundE(Z)sindproportional,d.h.derMarktbewerteterwartungswertproportional.
Beweis:Esgiltx¯TC+λ0PT−λ1E(Z)T = 0.AusderTatsache,dassdasPortfolioeinepositive
Varianz aufweist, folgt C·x¯ (cid:54)= 0; daher kann man die Bedingungen von Problem (V-min) mit
denenvonProblem(E-max)und(P-min)derartkombinieren,dass
E(Z)(1−µ λ ) = P (µ −µ λ )
2 1 0 2 0
E(Z)(ν −ν λ ) = P (1−ν λ )
1 2 1 2 0
resultiert; sind P und E(Z) linear unabha¨ngig, folgt daher insbesondere 1−µ λ = 0 und
2 1
1−ν λ =0;daherkannwederλ =0nochλ =0gelten. q.e.d.
2 0 0 1
8
Zusammenfassung. WennderMarktnichterwartungswertporportionalbewertet,isteinineinereffi-
zientenGesamtpositionenthaltenesPortfoliomitpositiverVarianzstetsLo¨sungderGleichung
Cx = λ E(Z)−λ P
1 0
mitstriktpositivenFaktorenλ undλ undλ ≤ λ ,.WirbezeichnenalsSeparationsfondsLo¨sungen
0 1 1 0
der Gleichungen Cz = P bzw. Cz = E(P ). Die in einer effizientenGesamtposition enthaltenen
0 0 1 1
PortfoliosmitpositiverVarianz,positivemErwartungswertundpositivemBudgetlassensichauchals
Linearkombinationx¯ = λ z −λ z derSeparationsfondsschreiben,fallssieexistieren.
1 1 0 0
Wegen der Vorzeichen von λ ,λ ist dabei jedes in einer effizienten Gesamtposition ent-
1 0
haltene Portfolio durch den Kauf des Fonds z (im Umfang von λ ) und den (Leer-)Verkauf
1 1
desFondsz (imUmfangvonλ )gekennzeichnet,insbesonderewirdderFondsz alssolcher
0 0 0
niegekauft.AufExistenzundBedeutungdieserFondskommenwirimna¨chstenAbschnittzu
sprechen.
3 DieStrukturderineffizientenGesamtpositionengehaltenen
Portfolios: Separationsfonds
3.1 MarktohneHedge-Portfolios
Es ist unmittelbar ersichtlich, dass Separationsfonds existieren, wenn keine Hedge-Portfolios
existieren, dann lassen sie sich na¨mlich durch Matrixinversion wie folgt bestimmen (in dem
FallstimmenCundC∗ u¨berein)
z = C−1P
0
z = C−1E(Z)
1
3.2 MarktmitHedge-Portfolios
Betrachten wir nun den Fall, in dem Hedge-Portfolios konstruiert werden ko¨nnen. In diesem
Fall sind die Payoffs Z der Wertpapiere stochastisch linear abha¨ngig. Zum Versta¨ndnis die
folgendeDefinition(RICHTER(1966)):
(cid:8) (cid:9)
Definition7. EineendlicheMengevonZufallsvariablen X ,...,X heißtstochastischlinearun-
1 p
p
(cid:80)
abha¨ngig,wenndaraus,dass α X (fast)sichereinesichereGro¨ßeist,folgt,dassalleα (i =1,...,p)
i i i
i=1
gleichnullsind.SonstheißtdieMengestochastischlinearabha¨ngig.
DawirindiesemBeitrag(unausgesprochen)stetsdavonausgehen,dassfu¨rallerelevanten
Zufallsvariablen die ersten beiden Momente existieren, ko¨nnen wir die stochastische lineare
Unabha¨ngigkeitauchdurcheineEigenschaftderKovarianzmatrixcharakterisieren:
9
(cid:8) (cid:9)
Proposition 8. Eine endliche Menge von Zufallsvariablen X ,...,X ,deren erste und zweite Mo-
1 p
menteexistieren,istgenaudannstochastischlinearunabha¨ngig,wenndieKovarianzmatrix
   
X X
1 1
 .   . 
CX :=COV .. , .. 
   
X X
p p
nichtsingula¨rist.
Beweis:Zuna¨chstmachtmansichklar,dassdiestochastischelineareUnabha¨ngigkeitunterder
VoraussetzungderPropositiona¨quivalentmitderImplikation (α ∈ Rp,α (cid:54)= 0 =⇒ var(cid:0)αTX(cid:1)
>0)ist.Nungiltvar(cid:0)αTX(cid:1)= αTC α.
X
Seinunzuna¨chstdieKovarianzmatrixsingula¨r:DannexistiertnachDefinitioneinα ∈Rp,α (cid:54)=0
mitC α =0,dannistabererstrechtαTC α =0.
X X
p
Sei umgekehrt αTC α = 0 fu¨r ein α ∈ Rp,α (cid:54)= 0. Dann ist (cid:80)α X (fast) sicher und folglich
X i i
i=1
(cid:18) p (cid:19)
cov (cid:80)α X,X =0fu¨rallej =1,...,p.ZusammengefasstergibtsichαTC =0.
i i j X
i=1
BeideAnnahmenfu¨hrendaherzueinemWiderspruch,womitderBeweisgefu¨hrtist. q.e.d.
(cid:8) (cid:9)
Es ist einfach einzusehen, dass die stochastische lineare Unabha¨ngigkeit von X ,...,X
1 p
(cid:8) (cid:0) (cid:1)(cid:9)
mitder(gewo¨hnlichen)linearenUnabha¨ngigkeitvon X −E(X ),...,X −E X a¨quiva-
1 1 p p
lent ist. Daher ko¨nnen wir ohne eine ins Einzelne gehende Erla¨uterung von einer stochasti-
(cid:8) (cid:9) (cid:8) (cid:9)
schenlinearenBasisvon X ,...,X sprechen,diedieMenge X ,...,X aufspannt”.Wir
1 p 1 p ”
wa¨hleneinesolchestochastischlineareBasisderWertpapier–Payoffsaus,fassensieindemVek-
torZ∗zusammen(vondenzugeho¨rigenWertpapierensprechenalsden Basiswertpapieren”),
”
wa¨hrendwirdieu¨brigenWertpapier–PayoffsindemVektorZ¯ zusammenstellen( Nicht-Basis-
”
wertpapiere”).Wirnehmeno.B.d.A.diefolgendeAnordnungvor:
 
Z¯
Z = .
Z∗
 
P¯
Entsprechendverfahrenwirmitdenu¨brigenGro¨ßen(z.B.P =  ; C∗ = COV(Z∗,Z∗);
P∗
 
COV(Z¯,Z¯) COV(Z¯,Z∗)
C =  ). Es gibt bei einmal gewa¨hlter Basis eine eindeutig be-
COV(Z∗,Z¯) C∗
stimmtMatrix A¯,diedenZusammenhang
Z¯ −E(Z¯) = A¯ (Z∗−E(Z∗))
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