Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC/SP Ana Paula Teles de Oliveira Um estudo ...

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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
PUC/SP

Ana Paula Teles de Oliveira

Um estudo sobre estrutura algébrica grupo: potencialidades e
limitações para generalização e formalização

Doutorado em Educação Matemática

São Paulo
2017
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
PUC/SP

Ana Paula Teles de Oliveira

Um estudo sobre estrutura algébrica grupo: potencialidades e
limitações para generalização e formalização

Tese apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título de
Doutor em Educação Matemática sob a
orientação da Profª. Drª. Ana Lúcia Manrique.

Doutorado em Educação Matemática

São Paulo
2017
Banca Examinadora
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Agradecimentos
A Deus que me conduziu até essa etapa da minha vida.
Aos meus pais Osório e Socorro pelo apoio em todos os aspectos da minha vida.
As minhas irmãs Luciana e Cristina que não negaram esforços para me ajudar
quando necessitei.
A professora doutora Ana Lúcia Manrique que, com sua paciência, compreensão
e dedicação, possibilitou o término dessa pesquisa.
Aos professores doutores, Saddo Ag Almouloud, Celina Aparecida Almeida
Pereira Abar, Váldina Gonçalves da Costa, Aparecido dos Santos, que fizeram parte da
banca de qualificação, cujas orientações foram oportunas para a conclusão desse
trabalho.
A professora doutora Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão pela
amizade e orientação que proporcionou o inicio dessa pesquisa.
As contribuições concedidas a nossa pesquisa pelo grupo de pesquisa “Professor
de Matemática: formação, profissão, saberes e trabalho docente”.
Aos colegas da PUC-SP que, gentilmente, participaram dessa pesquisa.
Aos professores da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia que, direta e
indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho.
À coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo
apoio concedido através da bolsa de estudo do tipo taxa, entre janeiro de 2013 e
dezembro de 2016.

Muito obrigada!
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RESUMO
Nesta pesquisa nosso objetivo consiste em elaborar e analisar um conjunto de atividades
para a constituição do conceito de estrutura algébrica grupo, direcionada pela questão:
Quais são as potencialidades e limitações de um conjunto de atividades pautadas em
exemplos e contraexemplos particulares de estrutura algébrica grupo para
generalização e formalização do referido conceito? Observamos que esse conceito é
organizado a partir de definições, axiomas, teorias, seguido de exemplos e
contraexemplos. Nossa proposta consiste em fazermos uma inversão, ou seja, a partir de
exemplos e contraexemplos estudarmos o conceito. Dessa forma, para iniciar os
trabalhos de pesquisa, elaboramos três atividades, reorganizadas em quatro durante a
pesquisa, que pautamos em exercícios numéricos e geométricos e fundamentamos
teoricamente nas situações didáticas de Brousseau. Empregamos a metodologia Design
Experiments, que nos permitiu aprimorar as atividades, e as desenvolvemos com cinco
indivíduos, subdivididas em duas equipes. Essa metodologia envolve duas faces: uma
prospectiva – que aborda um estudo das atividades propostas no sentido de fornecer
possíveis respostas e resoluções, e outra reflexiva – que apresenta uma análise das
respostas e resoluções obtidas com a finalidade de atingir o objetivo proposto
(constituição do conceito de estrutura algébrica grupo). Os sujeitos de pesquisa, que
compuseram as equipes, foram alunos matriculados no curso de pós-graduação em
Educação Matemática. Como resultado, apontamos como potencialidade o movimento
entre as fases das situações didáticas em conceitos necessários da estrutura algébrica
grupo, elemento neutro e propriedade associativa e, ainda, exemplos trabalhados como
reflexão, composição de transformações geométricas como uma operação, mesmo que
seja fechada em um determinado conjunto, e transformação identidade como elemento
neutro no conjunto das transformações geométricas. Em relação às limitações
observamos que as fases das situações didáticas não ocorreram em conceitos como
operação binária, fechada e a estrutura algébrica grupo. As atividades não são
autoexplicativas e precisam ser desenvolvidas por indivíduos com ideias básicas de
elemento inverso, elemento neutro, propriedades comutativa e associativa, composição
de funções e simetrias, bem como a utilização de linguagem algébrica.

Palavras-chave: Álgebra, Estrutura algébrica grupo, Ensino, Design Experiments.
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ABSTRACT

In this research our aim is to investigate and evaluate a collection of data that will help
understand the concept of the algebraic group, according to the question: What are the
strength and limitations of a group of activities mentioned in examples and
counterexamples in the algebraic structure group to generalize and formalize the
context referred? It is possible to observe that this concept is organized through the
following definitions: axiom and theories both containing examples and
counterexamples. Our proposal consists on doing the opposite, meaning through
examples and counterexamples it will be possible to study the concept involved. To
start the research, we elaborated three activities, reorganized in four subgroups, which
were elaborated in numeric and geometric exercises and fundamentals mentioned in
Brousseau theories. We implemented the method of Design Experiments which helped
us improve the activities, and thus evolve them with five individuals and subdivisions
with two teams. This methodology has two perspectives: a prospective – that addresses
a study of the activates proposed in the ways that will provide possible answers and
further reflections - presenting an analysis of the answers and reflections obtained with
the goal of meeting the proposed objective (the concepts of structure in the algebraic
group). The people that took part in this research are students enrolled on the post-
graduate of Mathematical Education. As a result, we point out as potentiality the
movement between the phases of didactic situations in necessary concepts of the group
algebraic structure identity element and associative property and also in relation to the
worked examples as the reflection, composition of geometric transformations as an
operation and when the same is closed in a given set and identity transformation as
identity element in the set of geometric transformations. As limitations we observe that
the phases of didactic situations did not occur in concepts such as binary and closed
operation and the group algebraic structure. The activates done are not self-explanatory
and thus needs to be clarified by individuals with the basic idea of element inverse,
identity element, commutative and associative properties, composition of functions and
symmetries in addition to the algebraic language.

Keywords: Algebra, Algebraic structure group, Teaching, Design Experiments
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SUMÁRIO
Introdução ......................................................................................................................... 9
A questão de pesquisa ................................................................................................. 12
1 A estrutura algébrica grupo: a apresentação em alguns livros de álgebra e a revisão
de literatura ..................................................................................................................... 14
1.1 Breve histórico da estrutura algébrica grupo ................................................... 14
1.2 Livros didáticos ................................................................................................ 20
1.2.1 Introdução à Álgebra ................................................................................ 20
1.2.2 Elementos de Álgebra ............................................................................... 28
1.2.3 Álgebra Moderna ...................................................................................... 33
1.2.4 Tópicos de Álgebra ................................................................................... 39
1.3 Revisão de literatura ........................................................................................ 45
1.3.1 Dificuldades de estudantes de licenciatura em matemática na compreensão
de grupo e/ou isomorfismo de grupos ..................................................................... 46
1.3.2 Conhecimentos mobilizados por estudantes do curso de matemática sobre
o conceito de grupo ................................................................................................. 51
1.3.3 O conceito de grupo: sua formação por alunos do curso de matemática . 55
2 Referenciais teórico e metodológico ....................................................................... 60
3 Sujeitos e instrumentos de coleta ............................................................................ 71
3.1 Os sujeitos da pesquisa .................................................................................... 71
3.2 As atividades .................................................................................................... 73
3.3 Outros instrumentos de coleta de dados .......................................................... 75
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4 As análises ............................................................................................................... 78
4.1 Atividade A ...................................................................................................... 78
4.1.1 O encontro da equipe composta por Carlos, Claudia e Caio .................... 82
4.2 Atividade A.1 ................................................................................................... 86
4.2.1 O encontro da equipe composta por Márcia e Maria ................................ 90
4.3 Atividade B ...................................................................................................... 93
4.3.1 O encontro da equipe composta por Claudia e Caio ................................ 98
4.4 Atividade B.1 ................................................................................................. 102
4.4.1 O encontro da equipe composta por Carlos, Márcia e Maria ................. 103
4.5 Atividade C .................................................................................................... 106
4.5.1 O encontro da equipe composta por Carlos, Claudia e Caio .................. 109
4.5.2 O encontro da equipe composta por Márcia e Maria .............................. 111
4.6 Atividade D .................................................................................................... 112
4.6.1 Encontro da equipe composta por Carlos, Claudia e Caio ..................... 113
4.6.2 Encontro da equipe composta por Márcia e Maria ................................. 115
Considerações finais ..................................................................................................... 119
Referências bibliográficas ............................................................................................ 125
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INTRODUÇÃO
Nesta seção reflito sobre as razões para realizar uma pesquisa nos campos da
álgebra e educação algébrica. Lembro-me de minha trajetória profissional iniciada no
Instituto de Matemática e Estatística – Universidade de São Paulo, ao cursar mestrado
na área de álgebra. As muitas horas diárias de dedicação desenvolveu em mim uma
paixão por esse assunto, que me foi apresentado de duas maneiras. Primeiro, nos
ensinos fundamental e médio, ao estudar equações em quantidades generalizadas, ou
seja, a generalização da aritmética. Segundo, na graduação, durante o estudo das
estruturas algébricas que enfocava as operações e exigia-se muita abstração. A abstração
é uma habilidade complexa e esse componente curricular foi oferecido em apenas um
semestre, não havendo, portanto, tempo hábil para que fosse desenvolvida
completamente. Entretanto, na pós-graduação, em que a pesquisa enfocou essa área, o
estudo pôde ser aprofundado, ampliando, assim, meu interesse pela álgebra.
Ao terminar o mestrado, efetivei-me como professora na Universidade Estadual
do Sudoeste da Bahia (UESB). Essa experiência ampliou minha paixão por ensinar,
além de revelar que a complexidade da abstração também era comum aos alunos
daquela região. Assim, desenvolvi duas paixões, a álgebra e o ensino dela, culminando
em uma pesquisa em educação algébrica.
Embora existam aspectos pessoais que julgamos interessantes nessa trajetória, a
escolha do tema também sofreu influência externas a essas experiências1. Fiorentini,
Miorim e Miguel (1993) afirmam que a atenção dos pesquisadores da Educação
Matemática em relação ao ensino da álgebra parece adormecida. Em 2013, duas décadas
após essa declaração, realizamos uma busca no banco de teses no portal Comissão de
Aperfeiçoamento de Pessoal do Nível Superior (CAPES) com as palavras-chaves
“ensino superior álgebra” e “álgebra licenciatura em matemática” e deparamo-nos com
apenas quinze pesquisas sobre o assunto entre os anos de 1998 e 2012. Em relação a
elas, no Quadro 1 é possível verificar o ano de publicação, os autores, os temas
trabalhados, o tipo de trabalho e as Instituições de Ensino envolvidas.

1 A partir desse ponto, o texto será apresentado na primeira pessoa do plural, uma vez que não relata mais
apenas minha experiência pessoal que influenciou na escolha do tema da pesquisa.
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Quadro 1: Pesquisas encontradas com as palavras-chaves “ensino superior álgebra” e “álgebra
licenciatura em matemática”
Ano Autor Título Tipo Instituição
2012 Elias, Henrique Dificuldades de estudantes de licenciatura Dissertação UEL
Rizek em matemática na compreensão de grupo
e/ou isomorfismo de grupos
2011 Franco, Hernando Os diversos conflitos observados em alunos Dissertação UFJF
José Rocha de licenciatura num curso de álgebra:
Identificação e análise
2010 Oliveira, Sérgio de Uma exploração didática das equações Dissertação PUC/MG
Assis diofantinas lineares de duas e três incógnitas
com estudantes de cursos de Licenciatura em
Matemática
2009 Bussmann, Conhecimentos Mobilizados por estudantes Dissertação UEL
Christian James de do Curso de Matemática sobre o conceito de
Castro grupo
2009 Campos, A noção de congruência algébrica no curso Tese UFP
Elisangela de de matemática: uma análise das respostas dos
estudantes
2009 Mondini, Fabiane Modos de conceber a Álgebra em curso de Dissertação UNESP/Rio
Formação de professores de Matemática Claro
2007 Fernandes, José As Interações Subjetivas e a afetividade em Dissertação ULBRA
Nicodemus situações de Ensino e Aprendizagem: Um
Ferreira estudo de Caso em Álgebra
2007 Figueiredo, Saberes e concepções de educação algébrica Tese PUC/SP
Auriluci de em um curso de Licenciatura em Matemática
Carvalho
2007 Resende, Marilene Re-significando a disciplina teoria dos Tese PUC/SP
Ribeiro números na formação do professor de
matemática na licenciatura
2005 Albuquerque, O conceito de grupo: sua formação por Tese UFC
Izabel Maria alunos do curso de matemática
Barbosa
2005 Kluth, Verilda Estruturas de Álgebra: Investigação Tese UNESP/ Rio
Speridião fenomenológica sobre a construção do seu Claro
conhecimento
2005 Pereira, Marcelo Um estudo sobre equações: identificando Dissertação PUC/SP
Dias conhecimentos de alunos de um curso de
formação de professores de Matemática
2004 Lima, Isolda Giani MECAM: Metodologia e recursos Tese UFRGS
de Lima tecnológicos para a melhoria das condições
de aprendizagem de matemática
2003 Melo, Gilberto A formação inicial e a iniciação científica: Tese UNICAMP
Francisco Alves de investigar e produzir saberes docentes no
ensino de álgebra elementar
1998 Paulovich, Conceitos algébricos iniciais: um estudo Tese UNESP/Rio
Leonardo sobre sua formação nos anos de escolaridade Claro
Fonte: Banco de teses da CAPES (2013)
Organizado pela autora da tese
A partir dessa tabela, constatamos que as pesquisas em Álgebra nos cursos de
Matemática são recentes, uma vez que a primeira de que se tem registro foi realizada em
1998, ou seja, dezenove anos atrás. E somente após cinco anos, em 2003, é possível
encontrar um segundo estudo sobre o tema.