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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC/SP Ana Paula Teles de Oliveira Um estudo ... PDF

128 Pages·2017·1.36 MB·Portuguese
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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC/SP Ana Paula Teles de Oliveira Um estudo sobre estrutura algébrica grupo: potencialidades e limitações para generalização e formalização Doutorado em Educação Matemática São Paulo 2017 Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC/SP Ana Paula Teles de Oliveira Um estudo sobre estrutura algébrica grupo: potencialidades e limitações para generalização e formalização Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutor em Educação Matemática sob a orientação da Profª. Drª. Ana Lúcia Manrique. Doutorado em Educação Matemática São Paulo 2017 Banca Examinadora _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ Agradecimentos A Deus que me conduziu até essa etapa da minha vida. Aos meus pais Osório e Socorro pelo apoio em todos os aspectos da minha vida. As minhas irmãs Luciana e Cristina que não negaram esforços para me ajudar quando necessitei. A professora doutora Ana Lúcia Manrique que, com sua paciência, compreensão e dedicação, possibilitou o término dessa pesquisa. Aos professores doutores, Saddo Ag Almouloud, Celina Aparecida Almeida Pereira Abar, Váldina Gonçalves da Costa, Aparecido dos Santos, que fizeram parte da banca de qualificação, cujas orientações foram oportunas para a conclusão desse trabalho. A professora doutora Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão pela amizade e orientação que proporcionou o inicio dessa pesquisa. As contribuições concedidas a nossa pesquisa pelo grupo de pesquisa “Professor de Matemática: formação, profissão, saberes e trabalho docente”. Aos colegas da PUC-SP que, gentilmente, participaram dessa pesquisa. Aos professores da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia que, direta e indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho. À coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio concedido através da bolsa de estudo do tipo taxa, entre janeiro de 2013 e dezembro de 2016. Muito obrigada! 5 RESUMO Nesta pesquisa nosso objetivo consiste em elaborar e analisar um conjunto de atividades para a constituição do conceito de estrutura algébrica grupo, direcionada pela questão: Quais são as potencialidades e limitações de um conjunto de atividades pautadas em exemplos e contraexemplos particulares de estrutura algébrica grupo para generalização e formalização do referido conceito? Observamos que esse conceito é organizado a partir de definições, axiomas, teorias, seguido de exemplos e contraexemplos. Nossa proposta consiste em fazermos uma inversão, ou seja, a partir de exemplos e contraexemplos estudarmos o conceito. Dessa forma, para iniciar os trabalhos de pesquisa, elaboramos três atividades, reorganizadas em quatro durante a pesquisa, que pautamos em exercícios numéricos e geométricos e fundamentamos teoricamente nas situações didáticas de Brousseau. Empregamos a metodologia Design Experiments, que nos permitiu aprimorar as atividades, e as desenvolvemos com cinco indivíduos, subdivididas em duas equipes. Essa metodologia envolve duas faces: uma prospectiva – que aborda um estudo das atividades propostas no sentido de fornecer possíveis respostas e resoluções, e outra reflexiva – que apresenta uma análise das respostas e resoluções obtidas com a finalidade de atingir o objetivo proposto (constituição do conceito de estrutura algébrica grupo). Os sujeitos de pesquisa, que compuseram as equipes, foram alunos matriculados no curso de pós-graduação em Educação Matemática. Como resultado, apontamos como potencialidade o movimento entre as fases das situações didáticas em conceitos necessários da estrutura algébrica grupo, elemento neutro e propriedade associativa e, ainda, exemplos trabalhados como reflexão, composição de transformações geométricas como uma operação, mesmo que seja fechada em um determinado conjunto, e transformação identidade como elemento neutro no conjunto das transformações geométricas. Em relação às limitações observamos que as fases das situações didáticas não ocorreram em conceitos como operação binária, fechada e a estrutura algébrica grupo. As atividades não são autoexplicativas e precisam ser desenvolvidas por indivíduos com ideias básicas de elemento inverso, elemento neutro, propriedades comutativa e associativa, composição de funções e simetrias, bem como a utilização de linguagem algébrica. Palavras-chave: Álgebra, Estrutura algébrica grupo, Ensino, Design Experiments. 6 ABSTRACT In this research our aim is to investigate and evaluate a collection of data that will help understand the concept of the algebraic group, according to the question: What are the strength and limitations of a group of activities mentioned in examples and counterexamples in the algebraic structure group to generalize and formalize the context referred? It is possible to observe that this concept is organized through the following definitions: axiom and theories both containing examples and counterexamples. Our proposal consists on doing the opposite, meaning through examples and counterexamples it will be possible to study the concept involved. To start the research, we elaborated three activities, reorganized in four subgroups, which were elaborated in numeric and geometric exercises and fundamentals mentioned in Brousseau theories. We implemented the method of Design Experiments which helped us improve the activities, and thus evolve them with five individuals and subdivisions with two teams. This methodology has two perspectives: a prospective – that addresses a study of the activates proposed in the ways that will provide possible answers and further reflections - presenting an analysis of the answers and reflections obtained with the goal of meeting the proposed objective (the concepts of structure in the algebraic group). The people that took part in this research are students enrolled on the post- graduate of Mathematical Education. As a result, we point out as potentiality the movement between the phases of didactic situations in necessary concepts of the group algebraic structure identity element and associative property and also in relation to the worked examples as the reflection, composition of geometric transformations as an operation and when the same is closed in a given set and identity transformation as identity element in the set of geometric transformations. As limitations we observe that the phases of didactic situations did not occur in concepts such as binary and closed operation and the group algebraic structure. The activates done are not self-explanatory and thus needs to be clarified by individuals with the basic idea of element inverse, identity element, commutative and associative properties, composition of functions and symmetries in addition to the algebraic language. Keywords: Algebra, Algebraic structure group, Teaching, Design Experiments 7 SUMÁRIO Introdução ......................................................................................................................... 9 A questão de pesquisa ................................................................................................. 12 1 A estrutura algébrica grupo: a apresentação em alguns livros de álgebra e a revisão de literatura ..................................................................................................................... 14 1.1 Breve histórico da estrutura algébrica grupo ................................................... 14 1.2 Livros didáticos ................................................................................................ 20 1.2.1 Introdução à Álgebra ................................................................................ 20 1.2.2 Elementos de Álgebra ............................................................................... 28 1.2.3 Álgebra Moderna ...................................................................................... 33 1.2.4 Tópicos de Álgebra ................................................................................... 39 1.3 Revisão de literatura ........................................................................................ 45 1.3.1 Dificuldades de estudantes de licenciatura em matemática na compreensão de grupo e/ou isomorfismo de grupos ..................................................................... 46 1.3.2 Conhecimentos mobilizados por estudantes do curso de matemática sobre o conceito de grupo ................................................................................................. 51 1.3.3 O conceito de grupo: sua formação por alunos do curso de matemática . 55 2 Referenciais teórico e metodológico ....................................................................... 60 3 Sujeitos e instrumentos de coleta ............................................................................ 71 3.1 Os sujeitos da pesquisa .................................................................................... 71 3.2 As atividades .................................................................................................... 73 3.3 Outros instrumentos de coleta de dados .......................................................... 75 8 4 As análises ............................................................................................................... 78 4.1 Atividade A ...................................................................................................... 78 4.1.1 O encontro da equipe composta por Carlos, Claudia e Caio .................... 82 4.2 Atividade A.1 ................................................................................................... 86 4.2.1 O encontro da equipe composta por Márcia e Maria ................................ 90 4.3 Atividade B ...................................................................................................... 93 4.3.1 O encontro da equipe composta por Claudia e Caio ................................ 98 4.4 Atividade B.1 ................................................................................................. 102 4.4.1 O encontro da equipe composta por Carlos, Márcia e Maria ................. 103 4.5 Atividade C .................................................................................................... 106 4.5.1 O encontro da equipe composta por Carlos, Claudia e Caio .................. 109 4.5.2 O encontro da equipe composta por Márcia e Maria .............................. 111 4.6 Atividade D .................................................................................................... 112 4.6.1 Encontro da equipe composta por Carlos, Claudia e Caio ..................... 113 4.6.2 Encontro da equipe composta por Márcia e Maria ................................. 115 Considerações finais ..................................................................................................... 119 Referências bibliográficas ............................................................................................ 125 9 INTRODUÇÃO Nesta seção reflito sobre as razões para realizar uma pesquisa nos campos da álgebra e educação algébrica. Lembro-me de minha trajetória profissional iniciada no Instituto de Matemática e Estatística – Universidade de São Paulo, ao cursar mestrado na área de álgebra. As muitas horas diárias de dedicação desenvolveu em mim uma paixão por esse assunto, que me foi apresentado de duas maneiras. Primeiro, nos ensinos fundamental e médio, ao estudar equações em quantidades generalizadas, ou seja, a generalização da aritmética. Segundo, na graduação, durante o estudo das estruturas algébricas que enfocava as operações e exigia-se muita abstração. A abstração é uma habilidade complexa e esse componente curricular foi oferecido em apenas um semestre, não havendo, portanto, tempo hábil para que fosse desenvolvida completamente. Entretanto, na pós-graduação, em que a pesquisa enfocou essa área, o estudo pôde ser aprofundado, ampliando, assim, meu interesse pela álgebra. Ao terminar o mestrado, efetivei-me como professora na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB). Essa experiência ampliou minha paixão por ensinar, além de revelar que a complexidade da abstração também era comum aos alunos daquela região. Assim, desenvolvi duas paixões, a álgebra e o ensino dela, culminando em uma pesquisa em educação algébrica. Embora existam aspectos pessoais que julgamos interessantes nessa trajetória, a escolha do tema também sofreu influência externas a essas experiências1. Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) afirmam que a atenção dos pesquisadores da Educação Matemática em relação ao ensino da álgebra parece adormecida. Em 2013, duas décadas após essa declaração, realizamos uma busca no banco de teses no portal Comissão de Aperfeiçoamento de Pessoal do Nível Superior (CAPES) com as palavras-chaves “ensino superior álgebra” e “álgebra licenciatura em matemática” e deparamo-nos com apenas quinze pesquisas sobre o assunto entre os anos de 1998 e 2012. Em relação a elas, no Quadro 1 é possível verificar o ano de publicação, os autores, os temas trabalhados, o tipo de trabalho e as Instituições de Ensino envolvidas. 1 A partir desse ponto, o texto será apresentado na primeira pessoa do plural, uma vez que não relata mais apenas minha experiência pessoal que influenciou na escolha do tema da pesquisa. 10 Quadro 1: Pesquisas encontradas com as palavras-chaves “ensino superior álgebra” e “álgebra licenciatura em matemática” Ano Autor Título Tipo Instituição 2012 Elias, Henrique Dificuldades de estudantes de licenciatura Dissertação UEL Rizek em matemática na compreensão de grupo e/ou isomorfismo de grupos 2011 Franco, Hernando Os diversos conflitos observados em alunos Dissertação UFJF José Rocha de licenciatura num curso de álgebra: Identificação e análise 2010 Oliveira, Sérgio de Uma exploração didática das equações Dissertação PUC/MG Assis diofantinas lineares de duas e três incógnitas com estudantes de cursos de Licenciatura em Matemática 2009 Bussmann, Conhecimentos Mobilizados por estudantes Dissertação UEL Christian James de do Curso de Matemática sobre o conceito de Castro grupo 2009 Campos, A noção de congruência algébrica no curso Tese UFP Elisangela de de matemática: uma análise das respostas dos estudantes 2009 Mondini, Fabiane Modos de conceber a Álgebra em curso de Dissertação UNESP/Rio Formação de professores de Matemática Claro 2007 Fernandes, José As Interações Subjetivas e a afetividade em Dissertação ULBRA Nicodemus situações de Ensino e Aprendizagem: Um Ferreira estudo de Caso em Álgebra 2007 Figueiredo, Saberes e concepções de educação algébrica Tese PUC/SP Auriluci de em um curso de Licenciatura em Matemática Carvalho 2007 Resende, Marilene Re-significando a disciplina teoria dos Tese PUC/SP Ribeiro números na formação do professor de matemática na licenciatura 2005 Albuquerque, O conceito de grupo: sua formação por Tese UFC Izabel Maria alunos do curso de matemática Barbosa 2005 Kluth, Verilda Estruturas de Álgebra: Investigação Tese UNESP/ Rio Speridião fenomenológica sobre a construção do seu Claro conhecimento 2005 Pereira, Marcelo Um estudo sobre equações: identificando Dissertação PUC/SP Dias conhecimentos de alunos de um curso de formação de professores de Matemática 2004 Lima, Isolda Giani MECAM: Metodologia e recursos Tese UFRGS de Lima tecnológicos para a melhoria das condições de aprendizagem de matemática 2003 Melo, Gilberto A formação inicial e a iniciação científica: Tese UNICAMP Francisco Alves de investigar e produzir saberes docentes no ensino de álgebra elementar 1998 Paulovich, Conceitos algébricos iniciais: um estudo Tese UNESP/Rio Leonardo sobre sua formação nos anos de escolaridade Claro Fonte: Banco de teses da CAPES (2013) Organizado pela autora da tese A partir dessa tabela, constatamos que as pesquisas em Álgebra nos cursos de Matemática são recentes, uma vez que a primeira de que se tem registro foi realizada em 1998, ou seja, dezenove anos atrás. E somente após cinco anos, em 2003, é possível encontrar um segundo estudo sobre o tema.

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