polynômes et algèbre linéaire

61 Pages·2011·0.49 MB·French

Philippe Lebacque
POLYN(cid:212)MES ET ALG¨BRE
LIN(cid:201)AIRE
Philippe Lebacque
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POLYN(cid:212)MES ET ALG¨BRE LIN(cid:201)AIRE
Philippe Lebacque

NOTATIONS 5
Notations
Dans toute la suite, on adoptera les notations suivantes :
K dØsigera le corps R, C ou Q.
K[X] l’ensemble des polyn(cid:244)mes (cid:224) coe(cid:30)cients dans K.
Si P ∈ K[X] et k ∈ N, Pk dØsigne le polyn(cid:244)me Pk = P ···P (P0 = 1).
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
k fois
Si aucune confusion n’est (cid:224) craindre, on notera la suite (an)n∈N par (an).

CHAPITRE 1
POLYN(cid:212)MES
Nous recommandons au lecteur de comparer les rØsultats arithmØtiques avec ceux
connus pour Z.
K = R,C,Q.
1.1. L’AlgŁbre K[X]
1.1.1. DØ(cid:28)nition formelle. (cid:22)
DØ(cid:28)nition 1.1. (cid:22) Un polyn(cid:244)me P (cid:224) coe(cid:30)cients dans K est la donnØe d’une suite
(ai)i∈N d’Ølements de K nulle (cid:224) partir d’un certain rang :
P = (ai)i∈N, ∀i ∈ N ai ∈ K et ∃n0,∀i ≥ n0 ai = 0.
On notera alors K[X] l’ensemble des polyn(cid:244)mes (cid:224) coe(cid:30)cients dans K. On dØsignera
par 0 le polyn(cid:244)me (0,...,0,...) et par 1 le polyn(cid:244)me (1,0,...,0,...).
Remarque: Si P = (ai)i∈N et Q = (bi)i∈N sont deux polyn(cid:244)mes, on a : P = Q si et
seulement si a = b pour tout i ∈ N.
i i
DØ(cid:28)nition 1.2. (cid:22) DegrØ d’un polyn(cid:244)me
Pour P = (an)n∈N ∈ K[X], on pose
(cid:40)
−∞ si P = 0
degP =
max{i ∈ N, a (cid:54)= 0} si P (cid:54)= 0.
i
Si P (cid:54)= 0, a s’appelle le coe(cid:30)cient dominant. P est dit unitaire si a = 1.
degP degP
a s’appelle le coe(cid:30)cient constant.
0
L’ensemble K[X] peut Œtre muni de deux lois internes + et ×. Si P = (ai)i∈N et
Q = (bi)i∈N sont deux polyn(cid:244)mes de K[X], alors on dØ(cid:28)nit l’addition par
P +Q = (a +b )
i i i∈N
8 CHAPITRE 1. POLYN(cid:212)MES
et la multiplication par :
(cid:32) (cid:33)
i i
(cid:88) (cid:88)
P ×Q = (ci)i∈N, avec ci = akbi−k = ai−kbi .
k=0 k=0
On vØri(cid:28)e (exercice) que la somme et le produit de deux polyn(cid:244)mes est bien un poly-
n(cid:244)me. Par abus, on notera PQ le polyn(cid:244)me P ×Q.
Proposition 1.3. (cid:22) i. deg(P + Q) ≤ max(degP,degQ), avec ØgalitØ si degP (cid:54)=
degQ.
ii. deg(P ×Q) = degP +degQ.
Proposition 1.4. (cid:22) (K[X],+,×) est un anneau commutatif intŁgre d’ØlØment neutre
0 pour + et 1 pour ×.
DØmonstration : (IdØes, (cid:224) complØter par le lecteur consciencieux) Comme (K,+) est
un groupe commutatif, on vØri(cid:28)e aisØment que (K[X],+) est un groupe commutatif,
c’est (cid:224) dire que : pour tous P = (a ),Q,R ∈ K[X],
n
(cid:21) + est associative : P +(Q+R) = (P +Q)+R,
(cid:21) 0 est ØlØment neutre P +0 = 0+P = P,
(cid:21) (existence d’un opposØ) si (−P) := (−a ), on a P +(−P) = (−P)+P = 0, et
n
(cid:21) + est commutative : P +Q = Q+P.
On vØri(cid:28)e en revenant aux dØ(cid:28)nitions que × satisfait, pour tous P = (a ),Q = (b ),R ∈
i i
K[X], (cid:224) :
(cid:21) × est associative : P ×(Q×R) = (P ×Q)×R,
(cid:21) 1 est ØlØment neutre : P ×1 = 1×P = P
(cid:21) × est commutative : P ×Q = Q×P,
(cid:21) P ×(Q+R) = P ×Q+P ×R.
(cid:21) (intØgritØ) Si PQ = 0 alors (P = 0 ou Q = 0). En e(cid:27)et, si P (cid:54)= 0 et Q (cid:54)= 0, PQ =
(c ,...,c ,0,...) avec c = a b (cid:54)= 0, donc P ×Q (cid:54)= 0.
0 degP+degQ degP+degQ degP degQ
(cid:3)
Remarque: Si PQ = PR et P (cid:54)= 0, alors Q = R. En e(cid:27)et, dans ce cas P(Q−R) = 0
et donc Q−R = 0.
Si λ ∈ K et P = (a ) ∈ K[X], on pose
n
λ·P = ( λa )
n
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
mult.
dansK
K[X] est alors Øgalement muni d’une loi de composition externe · dØ(cid:28)nie par :
K ×K[X] → K[X]
(λ,P) (cid:55)→ λ·P.
Proposition 1.5. (cid:22) (K[X],+,×,·) est une K-algŁbre.
1.1. L’ALG¨BRE K[X] 9
DØmonstration :(IdØe, laissØe au lecteur consciencieux)
La loi externe satisfait, pour tous λ,µ ∈ K, P,Q ∈ K[X], (cid:224) :
(cid:21) (distributivitØ) λ·(P +Q) = λ·P +λ·Q,
(cid:21) (λ+µ)·P = λ·P +µ·P,
(cid:21) λ·(µ·P) = (λµ)·P,
(cid:21) 1 ·P = P ((K[X],+,·) est alors un K-espace vectoriel),
K
(cid:21) λ·(P ×Q) = (λ·P)×Q = P ×(λ·Q) ((K[X],+,×,·) est alors une K-algŁbre).
(cid:3)
DØ(cid:28)nition 1.6. (cid:22) Un polyn(cid:244)me P tel que degP ≤ 0 est appelØ polyn(cid:244)me constant.
On note K [X] l’ensemble des polyn(cid:244)mes constants.
0
K [X] s’identi(cid:28)e (cid:224) K via le morphisme d’anneaux (de corps) :
0
φ : K → K [X]
0
a (cid:55)→ (a,0,...).
(φ(a+b) = φ(a)+φ(b),φ(ab) = φ(a)×φ(b),φ(1) = 1). Il permet de voir la loi externe
comme la multiplication : a·P = φ(a)×P. Du fait de cette identi(cid:28)cation, on notera
plus tard par abus λP = λ·P.
1.1.2. (cid:201)criture canonique. (cid:22) Posons X = (0,1,0,...) = (δn,1)n∈N. Ce polyn(cid:244)me
s’appelle l’indØterminØe. Pour tout i ∈ N, on voit que Xi = (δn,i)n∈N.
DØ(cid:28)nition-Proposition 1.7. (cid:22) i. Pour tout n ∈ N, dØ(cid:28)nissons
K [X] = {P ∈ K[X],degP ≤ n}
n
l’ensemble des polyn(cid:244)mes de degrØ ≤ n. Alors (X0,X1,...,Xn) forme une base de
l’espace vectoriel K [X]. En particulier, dimK [X] = n+1.
n n
ii. La famille (X0,X1,...,Xn,...) forme une base de l’espace vectoriel K[X].
(cid:3)
DØmonstration : claire, elle est aussi laissØe au lecteur.
Par la suite, on Øcrira toujours un polyn(cid:244)me P ∈ K[X] sous forme canonique,
n
(cid:88)
P = a Xn.
n
k=0
Sauf mention du contraire, dans le cas oø P n’est pas le polyn(cid:244)me nul, on supposera
que n = degP.
Remarque: On aurait Øgalement pu de(cid:28)nir une algŁbre de polyn(cid:244)mes de la fa(cid:231)on
suivante. Soit K une K-algŁbre. K est une algŁbre de polyn(cid:244)mes sur K s’il existe un
ØlØment X ∈ K tel que la famille (Xn)n∈N est une base de K vue comme K espace
vectoriel.
10 CHAPITRE 1. POLYN(cid:212)MES
1.1.3. Division dans K[X]. (cid:22)
DØ(cid:28)nition 1.8. (cid:22) Soient A,B ∈ K[X]. On dit que B divise A si et seulement si il
existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ. Si B (cid:54)= 0, alors Q est unique (par intØgritØ) et est
A
appelØ quotient de A par B. Il est notØ .
B
Remarque:
(cid:21) Tout polyn(cid:244)me divise 0 et 1 divise tout polyn(cid:244)me.
(cid:21) degA = degB +degQ. Donc si B (cid:54)= 0, degQ ≤ degA.
(cid:21) Si PB divise PA et si P (cid:54)= 0, alors B divise A.
Terminologie : Si B divise A, on dit que A est un multiple de B. L’ensemble des
multiples de B est BK[X] = {BQ, Q ∈ K[X]}. C’est un idØal de K[X] (sous-groupe
+ stabilitØ par ×).
DØ(cid:28)nition 1.9. (cid:22) On dit que deux polyn(cid:244)mes A et B sont associØs si il existe un
scalaire λ ∈ K∗ tel que B = λA.
C’est une relation d’Øquivalence. Tout polyn(cid:244)me non nul est associØ (cid:224) un unique
polyn(cid:244)me unitaire, appelØ le normalisØ.
Proposition 1.10. (cid:22) Si A divise B et B divise A alors A et B sont associØs.
DØmonstration : On a B = AP et A = BQ donc B = (PQ)B. Si B = 0, A = 0 et donc
A et B sont associØs. Si B (cid:54)= 0, PQ = 1 donc degP = degQ = 0. Ainsi A et B sont
(cid:3)
associØs.
Remarque: La relation de divisibilitØ dans K[X] est re(cid:29)exive, transitive et pseudo-
antisymØtrique (antisymØtrique (cid:224) association prŁs).
1.2. Division euclidienne, principalitØ et PGCD
1.2.1. Division euclidienne. (cid:22)
ThØorŁme 1.11. (cid:22) Soit B un polyn(cid:244)me de K[X] non nul. Pour tout A ∈ K[X], il
existe un unique couple (Q,R) de polyn(cid:244)mes tels que
(cid:40)
A = BQ+R
degR < degB
Q et R sont appelØs le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B.
Remarque:
(cid:21) En termes savants, on dit que K[X] est un anneau euclidien.
(cid:21) si degA < degB, Q = 0 et R = A.
(cid:21) si degA ≥ degB, degQ = degA − degB (car degB + degQ = degBQ =
deg(A−R) = degA)