Polycopié des année précedentes - Mécanique Matériaux Structure

333 Pages·2012·5.94 MB·French

by  Georges Cailletaud

MINES ParisTech
1èreannée
MÉCANIQUE
DES
MATÉRIAUX
SOLIDES
Notes de cours
G.CAILLETAUD
ResponsablesdePCetdeprojets
S.CANTOURNET,L.CORTE,J.L.DEQUIEDT
S.FOREST,A.GAUBERT,S.JOANNES,M.MAZIERE
H.PROUDHON,D.RYCKELYNCK,M.TIJANI
Mars2012
ii
Table des matières
I COURS xi
1 Introduction 1
1.1 Généralitéssurlespropriétésdesmatériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Domainesd’utilisationdesmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Lestypesdemodèlesdematériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Lesessaismécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Différentstypesd’essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Moyensdemesure,ordresdegrandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Miseenœuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Rhéologie 11
2.1 Lesdifférentstypesde«déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Lessourcesde«déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Dilatationthermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Lesbriquesdebaseducomportementnonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Plasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Modèleélastique–parfaitementplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 ModèledePrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Écrituregénéraledeséquationsdel’élastoplasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . 15
2.4 Viscoélasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Unexempledemodèlerhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Étuded’unmodèlecomposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Viscoplasticitéuniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Unexempledemodèlerhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Quelquesmodèlesclassiquesenviscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Influencedelatempérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Critères 23
3.1 Lesoutilsdisponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Critèresnefaisantpasintervenirlapressionhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 CritèredevonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 CritèredeTresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 ComparaisondescritèresdeTrescaetvonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Critèresfaisantintervenirlapressionhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 CritèredeDrucker–Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2 LecritèredeMohr–Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.3 CritèredeRankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.4 Critères«fermés» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Critèresanisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
iv TABLEDESMATIÈRES
4 Plasticitéetviscoplasticité3D 33
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Décompositiondeladéformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Loisd’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Formulationdesloisdecomportementviscoplastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Écrituregénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Delaviscoplasticitéàlaplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Formulationdesloisdecomportementplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 Principedutravailmaximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2 InterprétationgéométriqueduprincipedeHill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Directionsd’écoulementassociéesauxcritèrescourants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.1 CritèredevonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.2 CritèredeTresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.3 CritèredeDrucker–Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Comportementparfaitementplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Viscoplasticité/plasticiténonassociée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Variablesd’écrouissage 43
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Matériauxstandardsgénéralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Unebrèveprésentationduformalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Expressiondequelquesloisparticulièresenplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 LoidePrandtl–Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.2 LoideHencky–Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 LoidePrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Écoulementàvitessededéformationtotaleimposée . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Viscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Elémentsdethéoriedespoutresplanes 51
6.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Modélisationgéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 PrincipedeSaint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3 Modélisationdesactionsmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 SolutiondeSaint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 Approcheparleprincipedestravauxvirtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.1 Rappel:leprincipedestravauxvirtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.2 CinématiquedelapoutredeTimoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.3 Traitementdeséquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.4 Caractérisationdel’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.5 Loisdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Poutresandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.1 Evaluationdeseffortsintérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.2 Formegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
TABLEDESMATIÈRES v
6.5 Flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5.1 Formegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5.2 Poutresimplementsupportée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.5.3 Autresconditionsauxlimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Matériauxcomposites,stratifiés 69
7.1 Généralitéssurlesmatériauxcomposites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Rappel:milieuxélastiquesanisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.1 NotationdeVoigtpourlesrelationsdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.2 Respectdessymétriesmatérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3 Compositesunidirectionnelsàfibreslongues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.1 Loidemélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.2 Constantesélastiquesdansunrepèrequelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3.3 Théoriedesstratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.4 Définitiond’uneplaquestratifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Lescomposantsélémentairesdesmatériauxcomposites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4.1 Renforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4.2 Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4.3 Tissusetmats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4.4 Critèrederupturedesstratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4.5 Quelquesmodèlesd’ingénieursde«fonctionnement»ducomposite . . . . . . . 79
7.4.6 Ordresdegrandeurdesmodulesetcontraintesàrupture . . . . . . . . . . . . . 80
8 Plaques 83
8.1 PlaquedeReissner–Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.2 Travailvirtueldeseffortsintérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.3 Travailvirtueldeseffortsextérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.4 Equilibreetconditionsauxlimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.5 Loidecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2 PlaquedeKirchhoff–Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2.1 Cinématiqueetéquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2.2 Loisdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9 Introductionàlamécaniquedesmatériauxhétérogènes 95
9.1 Moyennesdevolume,moyennesdesurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2 Volumeélémentairereprésentatif,propriétéseffectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.3 Propriétésélastiqueseffectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4 Potentielélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5 Théorèmedel’énergiepotentielle:bornesupérieuredeVoigt . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6 Thèorèmedel’énergiecomplémentaire:borneinférieuredeReuss . . . . . . . . . . . . 103
9.7 Applicationàl’élasticitéisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10 ÉlémentsdeMécaniquedelarupture 107
10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2 Tauxderestitutiond’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.2.2 Casd’unechargeponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.2.3 QuelquesvaleurscritiquesdeG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.3 Facteurd’intensitédecontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.3.1 SolutiondeMuskhelishvili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
vi TABLEDESMATIÈRES
10.3.2 SolutionasymptotiquedeWestergaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.3.3 Différentsmodesdesollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.3.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.4 Analysedel’étatdecontraintetridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.5 Propagationdefissureenfatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.5.1 Amorçage–propagationdanslesmatériauxmétalliques . . . . . . . . . . . . . . 114
10.5.2 LoideParis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
II APPLICATIONS 119
11 Prolongementsducours 121
11.1 Contraintesthermomécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2 Rhéologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.5 Poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 Plaquesstratifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.7 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.8 Mécaniquedelarupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12 Exercice 131
12.1 Etudedecontraintesthermiquesdansunbarrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.2 Flexiond’unepoutredesectionrectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.3 Critèresdeplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.3.1 ComparaisondescritèresdevonMisesetTresca . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.3.2 Plasticitécristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.3.3 Plastificationd’untubemince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.3.4 CritèredeTresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.4 Comportementparfaitementplastiqueentraction–cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 142
12.5 Enveloppesphériquesoumiseàunepressionintérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.6 Tunneldansdusablesec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.7 Cavitésphériquedansunmassifinfiniélastoviscoplastique . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.8 Chargementnonproportionnelenplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.9 Flexionsurappuisimple:poutrehomogèneetpoutresandwich . . . . . . . . . . . . . 162
12.9.1 Poutrehomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.9.2 Poutresandwichsurdeuxappuissimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.10Evaluationdelachargedeflambementd’unepoutredroite . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.11Etuded’unetuyauterieenverreépoxysouspressioninterne . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.11.1Etudedelaloidecomportementdupli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.11.2Etuded’unetuyauterieenstratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.12 Compositesàfibreslongues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.12.1Réservoirsouspression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.12.2Coefficientdedilationd’uncompositeàfibreslongues . . . . . . . . . . . . . . 173
12.12.3Assemblagecollé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.13Etudedelaflexiond’unbilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.14Propriétésélastiqueseffectivesdescomposites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.14.1Propriétésélastiqueseffectivesd’unpolycristaldecuivre . . . . . . . . . . . . . 182
12.14.2Propriétésélastiquesd’uncompositeàmatricemétallique . . . . . . . . . . . . 186
12.15Réservoirsouspression–Fuiteavantrupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
TABLEDESMATIÈRES vii
13 Annales 195
13.1 23juin1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.1.1 Ecoulementviscoplastiqueendéformationsplanes . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.1.2 Cylindreentorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.2 12juin1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.2.1 Etudedelalocalisationdansuneplaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.2.2 Descriptionduphénomèned’endommagementenfluage . . . . . . . . . . . . . 204
13.3 15juin1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.3.1 Plasticitébiaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.3.2 Estimationdelazoneplastiqueenpointedefissure . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.4 19juin2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.4.1 Zoneplastiqueeteffetderetardenpropagationdefissure. . . . . . . . . . . . . 215
13.4.2 Contraintesdéveloppéeslorsdel’oxydation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.5 24juin2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.5.1 Fissurationd’unrail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.5.2 Contraintesthermiquesenplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.5.3 Etuded’uneplaquecomposite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13.6 26mai2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.6.1 Tractionsurunefibreentouréed’uncylindredematrice . . . . . . . . . . . . . 231
13.6.2 CritèresdeTrescaetvonMises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.7 14juin2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.7.1 Flexiondepoutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.7.2 Problème:Cylindreentorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
13.8 6juin2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.8.1 Problèmemécaniqued’unfilpesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.8.2 Allongementmécaniqueetthermiqued’unfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.8.3 Allongementdetransformationdephased’unfil . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.8.4 Conséquencesmécaniquesdestransformationsdephase . . . . . . . . . . . . . 246
13.9 9juin2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.9.1 Homogénéisationenélasticitélinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.9.2 Viscoplasticitécristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.104juin2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.10.1Etudedemodèlesdefatigueàgrandnombredecycles . . . . . . . . . . . . . . 253
13.10.2Poutresoumiseàsonproprepoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.10.3Etudedel’écrouissagelatent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
13.119juin2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
13.11.1Optimisationduchemindedéformationpourleplanaged’unetôle . . . . . . . . 262
13.11.2Etatlimiteenviscoplasticitéconfinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.11.3Optimisationd’unepoutreentraction/compressionetenflexion3points . . . . 268
13.1225mai2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
13.12.1A.Etuded’uncylindreélastoplastiqueencisaillement . . . . . . . . . . . . . . 272
13.12.2B.Poutreviscoélastiqueenflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.12.3C.Comportementéquivalentd’untreillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.137juin2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.13.1A.Etuded’uneplaquetrouéeenpressioninterneetenchargementbiaxial . . . . 283
13.13.2B.Etudedediversmodèlesrhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
13.13.3C.Etuded’unepoutresurappuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.1430mai2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.14.1A.Etudeducomportementd’unecouchemince . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.14.2B.Etudedesvibrationsd’unepoutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
viii TABLEDESMATIÈRES
13.14.3Propagationd’unefissuredefatiguedansundisquemincenonaléséenrotation . 298
III ANNEXES 303
14 Mini-formulaired’élasticitélinéaire 305
14.1 Cinématiqueetstatiqueenpetitesdéformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.1.1 Déplacementdéformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.1.2 Significationgéométriquedestermesdutenseurdedéformation . . . . . . . . . 305
14.1.3 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.1.4 Significationphysiquedestermesdutenseurdecontrainte . . . . . . . . . . . . 306
14.2 Effortsinternes/externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.2.1 Travaildeseffortsintérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.2.2 Travaildeseffortsextérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.3 Potentielélastique,élasticitélinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.3.1 Potentielélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.3.2 Elasticitélinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.3.3 Elasticitéisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
14.3.4 Relationsentrelescoefficientsd’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
14.4 Etatsdecontrainteparticuliers,solutionsparticulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
14.4.1 Tractionsimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
14.4.2 Cisaillementsimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.4.3 Flexioncirculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.4.4 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.4.5 Torsion,sectioncirculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.4.6 Coordonnéescylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.4.7 Cylindresouspression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.4.8 Coordonnéessphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.4.9 Sphèresouspression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15 Notations 313
15.1 Glossairedesnotationslespluscourantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
15.2 Quelquestenseursparticuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Préambule
La mécanique des matériaux solides représente, au sein de la mécanique, une branche aux
ramificationsmultiples,dontlesmodèlessontmisàl’épreuvedansdescontextesparfoisinattendus,pour
expliquer des phénomènes naturels, ou encore concevoir des ouvrages, des véhicules, des composants.
Elle est omniprésente, à toutes les échelles, elle s’applique sur des matériaux aussi différents que le
magmaterrestre,lebéton,lesalliagesmétalliques,lescompositesàfibreoulesmonocristauxdesilicium.
Il serait donc vain de tenter d’être exhaustif dans le cadre d’une vingtaine de séances. Le but de ce
coursestplutôtdedonneruncertainnombred’éclairagessurledomaineetlesméthodesutilisées,touten
offrantdespointsd’entréeenvued’étudesplusapprofondies.Lefaitdesuivreuntelaxededécouverte
faitcourirlerisqued’êtreparfoistroplapidaire.Onchercheradonc,dansletempsimparti,àtrouverun
justeéquilibredansl’exposé.Onespèreainsimontrerquelamécaniquedesmatériauxestuncarrefour,
oùsecroisentmathématiciensetingénieurs,industrielsetuniversitaires,théoriciensetexpérimentateurs.
Ilfautégalementtrouverunéquilibreentrel’élémentdevolumeetlastructure.Cettediscussion,qui
renvoieaucoursdeMécaniquedesMilieuxContinus,amèneàconsidérerdansunpremiertempsleslois
de comportement qui régissent les relations entre les contraintes et les déformations, puis à envisager
leur insertion dans une théorie portant sur l’équilibre d’un domaine. Le plan du cours découle donc de
ceschoix.
Une première partie permet d’aller au-delà de la théorie de l’élasticité déjà acquise, en considérant
de nouveaux phénomènes physiques conduisant à la dilatation ou la déformation du matériau. On
mentionneraainsilesdilatationsthermiquesoudechangementdephase(séance1),puislesdéformations
plastiques ou vicoplastiques. C’est une présentation progressive qui est adoptée pour celles-ci :
on considérera successivement les modèles sous chargement uniaxial (séance 2), puis les critères
multiaxiaux (séance 3), avant de combiner les deux dans l’écriture du formalisme sous chargement
tridimensionnel(séances4et5).Lecourslui-mêmepeutêtreprolongéparlesexercicescorrigésquisont
disponibles et par les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives.
Cetentrainementestnécessaireàunebonneassimilationducours.Unprolongementnaturel,quisortdu
cadre du cours, serait une étude systématique des structures inélastiques, qui se soucie de l’existence et
del’unicitédessolutions.
Afinderesteràunniveaudecomplexitéraisonnable,onrevientenélasticitélinéairepourlesséances
7 à 10. Il est parfois difficile de distinguer le niveau de l’élément de volume et celui de la structure.
D’ailleurs,unetendanceactuelledelarechercheconsisteàétudierlesmatériauxcommedesstructures,
en caractérisant leurs propriétés macroscopiques par l’analyse mécanique de leurs microstructures.
C’est dans cet esprit qu’on entreprend le traitement des poutres et des plaques, en mettant en avant
des cas simples, mais qui permettent de présenter un cadre général, et de faire comprendre les idées
directrices. On laisse au lecteur concerné le soin de prendre connaissance de deux autres domaines en
pleindéveloppement,celuidesméthodesd’homogénéisation(chapitre9)etceluidelamécaniquedela
rupture(chapitre10).
ix
x