Poincare algebra realized in Hamiltonian formalism of the Relativistic Theory of Gravitation

0.1 MB·English

by  V. O. Soloviev

Алгебра Пуанкаре в гамильтоновом
формализме релятивистской теории
0
1 гравитации
0
2

n
a В.О. Соловьев, М.В. Чичикина
J

3 13 января 2010 г.
1

]
c
q
Аннотация
-
r
g Показано, что соответствующим образом выбирая входящие в
[
гамильтонианрелятивистскойтеориигравитации(РТГ)произволь-

1 ные функции, можно получить генераторы группы Пуанкаре. Их
v
скобки Дирака реализуют алгебру группы, в согласии с тем, что в
9
9 РТГ имеются 10 интегралов движения.
0
2
.
1 1 Введение
0
0
1 Релятивистская теория гравитации [1] (РТГ), как почти все теории по-
:
v ля, может быть представлена в общековариантном виде. Пространство-
Xi время Минковского является в ней нединамической структурой, и РТГ
r инвариантна относительно группы Пуанкаре. В этой работе мы проде-
a
монстрируем особенности канонической реализации группы Пуанкаре в
РТГ, близко следуя подходу Дирака [2], а также Редже и Тейтельбой-
ма [3]. Мы начинаем с вычисления скобки Пуассона (которая в данном
случае заменяется скобкой Дирака) двух гамильтонианов вида
H(N,Ni) = N +Ni d3x, (1)
i
H H
Z (cid:16) (cid:17)
различающихся входящими в них произвольными функциями простран-
ственных координат N(x), Ni(x). Согласно Дираку (см. также работу
1
Тейтельбойма [4]), для общековариантных теорий поля должны выпол-
няться соотношения вида
H(α,αi),H(β,βj) = H(λ,λk), (2)
{ }
где
λ = αiβ βiα ,
,i ,i
−
λk = γkℓ(αβ βα )+αℓβk βℓαk. (3)
,ℓ − ,ℓ ,ℓ − ,ℓ
Поскольку в эти соотношения входят не только параметры α, αi, β, βj,
но и контравариантные компоненты метрики γkℓ, Тейтельбойм показал,
что в ОТО, где имеется единственная метрика пространства-времени, и
она является динамической переменной, величины , должны быть
i
H H
связями.
При наличии фонового пространства, и соответственно, нединамиче-
ской метрики в гамильтониане, требуется, чтобы она также изменялась,
как при преобразованиях координат на гиперповерхности, так и при де-
формацияхгиперповерхности. Этообычнодостигается введениемдопол-
нительных гамильтоновых переменных: функций вложения eα(t,xi) исо-
пряженных к ним импульсов p (t,xi). Мы не будем вводить этих пере-
α
менных, и поэтому наша скобка для гамильтонианов, зависящих от про-
извольных функций, не будет полностью совпадать с ответом Дирака и
Тейтельбойма. Тем не менее, мы считаем полезным привести явный от-
вет для этой скобки. Переход к узкому классу произвольных функций,
соответствующему алгебре Пуанкаре, будет проводиться на базе полу-
ченного общего результата.
2 Гамильтонов формализм РТГ
За динамические переменные в РТГ могут быть взяты, например, 10
компонент римановой метрики и поля материи (здесь это будет массив-
ное скалярное поле без самодействия). Соответствующие 10 компонет
плоской метрики Минковского считаются известными функциями коор-
динат пространства-времени. Состояние задается на каждой из однопа-
раметрического (параметр t считается временем) семейства простран-
ственноподобных гиперповерхностей, которая в свою очередь задается
четырьмя функциями пространственных (внутренних) координат Xα =
2
eα(t,xi) и из метрики выделяются 6 компонент индуцированной метри-
ки γ = g eµeν (здесь сделано традиционное [5] упрощение обозначений:
ij µν i j
eα eα), точно так же, как в ОТО. Биметризм проявляется в возмож-
i ≡ ,i
ности по-разному записать гамильтониан РТГ:
H = N +Ni d3x (4)
i
H H
Z (cid:16) (cid:17)
N¯ ¯ +N¯i ¯
i
≡ H H
Z
m2√η f⊥⊥ f⊥if⊥jη 1 γ 1
+ N 1 + ij η γij 1 , (5)
ij
κ "− − 2 2f⊥⊥ − f⊥⊥ η (cid:18)2 − (cid:19)#!
где
1 γ f⊥i
N¯ = N, N¯i = Ni N,
−f⊥⊥ η − f⊥⊥
s
1 γ f⊥i
¯ ¯
=
i
H −f⊥⊥sηH− f⊥⊥H
m2√η f⊥⊥ f⊥if⊥jη 1 γ 1
+ 1 + ij η γij 1 ,
ij
κ "− − 2 2f⊥⊥ − f⊥⊥ η (cid:18)2 − (cid:19)#
1 1 π2 π2 1 1
¯ = γR˜ +κ(Spπ2 )+ φ + γγij∂ φ∂ φ+ γM2φ2 ,
i j
H √γ −κ − 2 2 2 2 !
¯ j
= = 2π +π φ . (6)
Hi Hi − i|j φ ,i
Черта над величиной обозначает определение этой величины на основе
римановой метрики, а соответствующие величины без черты определя-
ются на основе метрики Минковского. Как было показано в работе [6], 4
проекции тензора римановой метрики вдоль нормали и сопряженные к
ним импульсы могут быть исключены из числа независимых гамильто-
новых переменных разрешением связей 2-го рода:
κ
f⊥i = ηij ¯ , (7)
m2√η Hj
κ m2√η γ m2√ηγ 1
f⊥⊥ = ηij ¯ ¯ +2 ¯ + η γij 1 .
−m2√ηvu HiHj κ "sηH κ η (cid:18)2 ij − (cid:19)#
u
t (8)
3
и переходом к скобкам Дирака, которые в данном случае определяются
формулой
δF δG δF δG δF δG δF δG
F,G = d3x + . (9)
{ } RZ3 "δγij δπij δφ δπφ − δπij δγij − δπφ δφ#
При нахождении вариационных производных по переменным γ , πij
ij
гамильтониан берется в виде (5), в каком он был первоначально получен
в работе [6]. Тогда
δH
= N¯√γγij∂ φ +N¯√γM2φ N¯iπ , (10)
j φ
δφ − ,i − ,i
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
δH π
= N¯ φ +N¯iφ , (11)
,i
δπ √γ
φ
δH 1 1
= N¯√γ(γijγmn γimγjn)∂ φ∂ φ+ N¯√γγijM2φ2
m n
δγ 2 − 2
ij
1 N¯
+ N¯√γ(Rij γijR) κ (ππij 2πikπj)
κ − − √γ − k
1
√γ(N¯|ij γijN|k) (πijN¯k) +πikN¯j +πkjN¯i
− κ − |k − |k |k |k
m2 1
N¯√γ γij + η γkiγlj γijγkl , (12)
kl
− κ 2 −
(cid:20) ¯ (cid:16) (cid:17)(cid:21)
δH 2N π
= N¯ +N¯ +κ (π γ ). (13)
δπij i|j j|i √γ ij − ij2
(14)
3 Генераторы алгебры Пуанкаре
Среди вариантов гамильтоновой эволюции, разнообразие которых про-
истекает из произвола в выборе функций N(x), Ni(x) в (4), содержатся
преобразования, сохраняющие метрику Минковского. В принципе, при
их рассмотрении можно было бы не ограничивать ни класс простран-
ственноподобных гиперповерхностей, ни системы координат на них, тре-
буя только, чтобы векторные поля Nα = ∂Xα/∂t были полями векторов
Киллинга метрики Минковского
N +N = 0. (15)
α;β β;α
4
Тогда 3+1-разложение этих уравнений привело бы нас к формулам, со-
держащим тензор внешней кривизны гиперповерхности (по отношению
к плоской метрике). Если же ограничиться гиперплоскостями, то фор-
мулы упрощаются до следующего вида
N = 0, N +N = 0, (16)
|ij i|j j|i
а если еще и координаты выбрать декартовыми, то метрика, индуци-
рованная на гиперплоскостях метрикой Минковского будет простейшей
η η eαeβ = δ , а ковариантные производные, согласованные с ней,
ij ≡ αβ i j ij
станут обычными частными производными. Анализ этого случая вполне
достаточен для иллюстрации роли алгебры Пуанкаре. Мы получаем на
гиперплоскостях функции преобразований (16) в виде
N = A xk +a, Ni = A xk +ai, (17)
k ik
где
A = A .
ik ki
−
Тогда гамильтониан (4),ввидуего линейности по функциям N(x), Ni(x),
примет вид
1
H = P0a Piai +MkA + MikA , (18)
k ik
− 2
где
m2
P0 = 1+f⊥⊥ d3x, (19)
− κ
m2 Z (cid:16) (cid:17)
P = f⊥id3x d3x, (20)
i i
− κ ≡ − H
Z Z
m2
Mik = xif⊥k xkf⊥i d3x xk xi d3x, (21)
i k
− κ − ≡ H − H
m2 Z (cid:16) (cid:17) Z (cid:16) (cid:17)
Mk = xk(1+f⊥⊥)d3x. (22)
− κ
Z
Обозначенияформул(17),(18)выбраныдляудобствасравнения санало-
гичными формулами работы [3], где рассматривалась алгебра Пуанкаре
в асимптотически плоском пространстве ОТО.
5
4 Алгебра Пуанкаре
Полезно получить алгебру скобок Дирака для гамильтонианов общего
вида. С вычислительной точки зрения, при выводе удобно использовать
гамильтониан в виде (5), а связи 2-го рода учитывать только после вы-
числения скобок, что позволяет при вычислениях не принимать во вни-
мание зависимость N¯, N¯i от f⊥⊥, f⊥i. Как обычно, при расчетах от-
брасываются все поверхностные интегралы, что оправдано характером
асимптотического поведения метрики в массивной гравитации.
Результаты вычислений представим в форме, удобной для сравнения
с аналогичной формулой ОТО:
H(α,αi),H(β,βj) = d3x λ¯ ¯ +λ¯k ¯
k
{ } " H H
Z
+ α¯(β¯k|ℓ +β¯ℓ|k) β¯(α¯k|ℓ +α¯ℓ|k)
−
(cid:16) 1 m2 1 (cid:17) m2√γ
γ ¯ √γγ (1 η γmn) η ,
kℓ kℓ mn kℓ
× 2 H− κ − 2 − κ 2 !#
(23)
где
λ¯ = α¯iβ¯ β¯iα¯ ,
,i ,i
−
λ¯k = γkℓ(α¯β¯ β¯α¯ )+α¯ℓβ¯k β¯ℓα¯k. (24)
,ℓ − ,ℓ ,ℓ − ,ℓ
Отличия от ОТО проявляются здесь как в появлении членов, пропор-
циональных квадрату массы гравитона, так и в коэффициенте при ¯.
Последнее связано с тем, что коэффициент при ¯, т.е. функция N¯, прHо-
H
порционален √γ. Соотношения (23), таким образом, не представляют
собой алгебру деформаций гиперповерхности (2), (3), т.к. функции N¯,
N¯i не являются ее параметрами и т.к. мы не включили в скобку пере-
менные eα, p .
α
Подстановка в соотношения (23) вместо произвольных функций α,
αi, β, βj выражений вида (17), отвечающих преобразованиям Пуанкаре,
приводит к соотношениям алгебры Пуанкаре:
P0,P = 0, P ,P = 0, (25)
i i j
{ } { }
P0,Mik = 0, P ,Mjk = δ P δ P , (26)
i ik j ij k
{ } { } −
Mij,Mkℓ = δ Mjℓ δ Mjk +δ Mik δ Miℓ, (27)
ik iℓ jℓ jk
{ } − −
6
P0,Mi = Pi, P ,Mj = δ (P0 c0), (28)
i ij
{ } − { } − −
Mk,Mij = δ (Mi ci) δ (Mj cj), Mi,Mj = Mij.(29)
kj ki
{ } − − − { } −
Аддитивные вклады c0 = m2/κ d3x и ci = m2/κ xid3x в P и Mi, не за-
0
висящие от канонических переменных и выражаюшиеся расходящимися
R R
интегралами по всему пространству, играют роль центральных зарядов
в канонической реализации алгебры Пуанкаре и отвечают классической
перенормировке энергии вакуума.
5 Заключение
С одной стороны, РТГ является теорией поля на фиксированном плос-
ком фоне и поэтому к ней должны быть применимы результаты Дирака
относительно параметризованных теорий поля.
С другой стороны, язык РТГ близокязыку ОТО ив качестве гамиль-
тоновых переменных в ней могут быть выбраны те же самые величины
γ и πij.
ij
ВОТОмыполучаемалгебрудеформацийгиперповерхностибезвклю-
чения в число переменных eα и p . В параметризованных теориях поля
α
это включение необходимо. Мы останавливаемся в промежуточной по-
зиции – используем γ , πij и метрику Минковского без eα, p – и соот-
ij α
ветственно, получаем соотношения, отличные от (2). Эти соотношения
достаточны для перехода от них к алгебре Пуанкаре.
Различия между РТГ и ОТО здесь весьма существенны.
Во-первых, в ОТО величины ¯ и ¯ являются связями, т.е. обра-
i
H H
щаются в нуль на решениях уравнений движения. В РТГ эти величины
отличны от нуля и например ¯ оказывается пропорциональной плотно-
i
H
сти импульса.
Во-вторых, в ОТО поля (величины γ η ) убывают медленно, и при
ij ij
−
вычислении скобок Пуассона, соответствующих алгебре Пуанкаре, необ-
ходимо сохранять поверхностные интегралы. В РТГ все поверхностные
интегралы отбрасываются, т.к. γ η убывают быстро.
ij ij
−
Отсутствие связей первого рода приводит к тому, что гамильтонианы
РТГ, в частности, генераторы группы Пуанкаре, в отличие от гамиль-
тонианов ОТО, не сводятся к поверхностным интегралам на решениях
уравнений движения. Таким образом, в рамках РТГ определена плот-
ность энергии-импульса и других интегралов движения.
7
Вопросы канонического квантования мы надеемся рассмотреть в сле-
дующих работах.
Список литературы
[1] Логунов А.А. Релятивистская теория гравитации. М.: Наука, 2006.
[2] Dirac P.A.M. Lectures on Quantum Mechanics. Yeshiva Univ., N.Y.,
1964. (Имеется перевод: П.А.М. Дирак. Лекции по квантовой меха-
нике. М.: Мир, 1968)
[3] Regge T., Teitelboim C. Ann. of Phys. v.88 (1974) 286-318.
[4] Teitelboim C. Ann. of Phys. v.79 (1973) 542-557.
[5] Kucha˘r K. J. Math. Phys. v.17 (1977) 777-791; 792-800; 801-820; 18
(1978) 1589-1597.
[6] Соловьев В.О., Чичикина М.В. Канонический формализм реляти-
вистской теории гравитации. arXiv:0812.4616v1
8