Planar graphs : non-aligned drawings, power domination and enumeration of Eulerian orientations

164 Pages·2017·4 MB·English

by  Claire Pennarun

Planar graphs: non-aligned drawings, power domination
and enumeration of Eulerian orientations
Claire Pennarun
To cite this version:
Claire Pennarun. Planar graphs: non-aligned drawings, power domination and enumeration of Eu-
lerian orientations. Other [cs.OH]. Université de Bordeaux, 2017. English. ￿NNT: 2017BORD0609￿.
￿tel-01591010￿
HAL Id: tel-01591010
https://theses.hal.science/tel-01591010
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
THÈSE
PRÉSENTÉEÀ
L’UNIVERSITÉ DE BORDEAUX
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET
D’INFORMATIQUE
par Claire Pennarun
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ:INFORMATIQUE
Planar graphs: non-aligned drawings,
power domination and enumeration of Eulerian orientations
Datedesoutenance: 14juin2017
Devantlacommissiond’examencomposéede:
Nicolas BONICHON ........ Maîtredeconférences,UniversitédeBordeaux Directeur
Mireille BOUSQUET-MÉLOU Directricederecherche,CNRS ................ Examinatrice
Nadia BRAUNER-VETTIER . Professeur,UniversitéJosephFourier ......... Présidentedujury
Paul DORBEC .............. Maîtredeconférences,UniversitédeBordeaux Directeur
Éric FUSY .................. Chargéderecherches,ÉcolePolytechnique ... Rapporteur
Michael HENNING ......... Professeur,UniversityofJohannesburg ....... Rapporteur
2017

Graphesplanaires: dessinsnon-alignés,dominationdepuissanceeténuméra-
tiond’orientationsEulériennes
Danscettethèse,nousétudionstroisproblèmesconcernantlesgraphesplanaires.
Nous travaillons tout d’abord sur les dessins planaires non-alignés, c’est-à-dire des
dessinsplanairesdegraphessurunegrillesansquedeuxsommetssetrouventsurlamême
ligneoulamêmecolonne. Nouscaractérisonslesgraphesplanairespossédantunteldessin
surunegrilleànlignesetncolonnes,etnousprésentonsdeuxalgorithmesgénérantun
dessin planaire non-aligné avec arêtes brisées sur cette grille pour tout graphe planaire,
avecn 3oumin(2n−5,# trianglesséparateurs +1)brisuresautotal. Nousproposons
− 3 { }
égalementdeuxalgorithmesdessinantundessinplanairenon-alignésurdesgrillesd’aire
O(n4). Nousdonnonsdesrésultatsspécifiquesconcernantlesgraphes4-connexesetdetype
triangle-emboîté.
Lesecondsujetdecettethèseestladominationdepuissancedanslesgraphesplanaires.
Nousexhibonsunefamilledegraphesayantunnombrededominationdepuissanceγ
P
aumoinségalà n. NousmontronsaussiquepourtoutgrapheplanairemaximalGàn 6
sommets,γ (G)6 n−2. Enfin,nousétudionslesgrillestriangulairesT àbordhexago≥nal
P ≤ 4 k
dedimensionketnousmontronsqueγ (T )= k .
P k (cid:100)3(cid:101)
Nousétudionségalementl’énumérationdesorientationsplanairesEulériennes. Nous
proposonstoutd’abordunenouvelledécompositiondecescartes. Puis,enconsidérantles
orientationsdesdernières2k 1arêtesautourdelaracine,nousdéfinissonsdessous-et
−
sur-ensemblesdesorientationsplanairesEulériennesparamétréspark. Pourchaqueclasse,
nousproposonsunsystèmed’équationsfonctionnellesdéfinissantleursériegénératrice,et
nousprouvonsquecelle-ciesttoujoursalgébrique. Nousmontronsainsiquelaconstance
decroissancedesorientationsplanairesEulériennesestcompriseentre11.56et13.005.
Listedesmots-clés: grapheplanaire,algorithme,dessinplanaire,dominationdepuis-
sance,énumération
Planar graphs: non-aligned drawings, power domination and enumeration
ofEulerianorientations
Inthisthesis,wepresentresultsonthreedifferentproblemsconcerningplanargraphs.
Wefirstgivesomenewresultsonplanarnon-aligneddrawings,i.e.,planargriddraw-
ingswhereverticesareallondifferentrowsandcolumns. Weshowthatnoteveryplanar
graphhasanon-aligneddrawingonagridwithnrowsandcolumns,butwepresenttwo
algorithmsgeneratinganon-alignedpolylinedrawingsonsuchagridrequiringeithern 3
ormin(2n−5,# separatingtriangles +1)bendsintotal. Concerningnon-minimalgri−ds,
3 { }
wegivetwoalgorithmsdrawingaplanarnon-aligneddrawingongridswithareaO(n4).
Wealsogivespecificresultsfor4-connectedgraphsandnested-trianglegraphs.
Thesecondtopicispowerdominationinplanargraphs. Wepresentafamilyofgraphs
withpowerdominatingnumberγ atleast n. Wethenprovethatforeverymaximalplanar
P 6
graphGofordern,γ (G) n−2,andwegiveaconstructivealgorithm. Wealsoprovethat
P ≤ 4
fortriangulargridsT ofdimensionkwithhexagonal-shapeborder,γ (T )= k .
k P k (cid:100)3(cid:101)
Finally,wefocusontheenumerationofplanarEulerianorientations. Afterproposing
anewdecompositionforthesemaps,wedefinesubsetsandsupersetsofplanarEulerian
orientationswithparameterk,generatedbylookingattheorientationsofthelast2k 1
−
edgesaroundtherootvertex.Foreachset,wegiveasystemoffunctionalequationsdefining
itsgeneratingfunction,andweprovethatitisalwaysalgebraic. Thisway,weshowthatthe
growthrateofplanarEulerianorientationsisbetween11.56and13.005.
Listofkeywords: planargraph,algorithm,graphdrawing,powerdomination,enumer-
ation
Drawings,powerdominationandenumerationofplanargraphs iii
iv ClairePennarun
Contents
Résumé(enfrançais) 1
Introduction 9
1 Preliminaries 17
1.1 Graphsandmaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Planargraphsandmaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Enumerativecombinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Anexample: theenumerationofrootedplanetrees . . . . . . 24
1.2.2 Usingmorevariables: theenumerationofplanarmaps . . . . 26
1.2.3 Analyzingthegeneratingfunction . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Non-aligneddrawingsofgraphs 29
2.1 Ontheminimalgrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Existenceofaminimalnon-aligneddrawing . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Linear-timealgorithmcreatingn 3bends . . . . . . . . . . . 35
−
2.1.3 Polynomial-timealgorithmcreatingatmost 2n−5 bends . . . 44
3
2.1.4 ProofofLemma2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Increasingthegridsize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1 Drawingonan(n 1) O(n3)-grid . . . . . . . . . . . . . . . 55
− ×
2.2.2 DrawingonanO(n2) O(n2)-grid . . . . . . . . . . . . . . . 59
×
2.2.3 Thespecialcaseofnestedtriangles . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Conclusionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Powerdominationofplanargraphs 65
3.1 Powerdominationintriangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 Monitoringspecialconfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Structureofspecialconfigurations . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.3 ExpansionofS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1
3.1.4 Monitoringtheremainingcomponents . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.5 ProofofLemma3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 Powerdominationintriangulargrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
v
CONTENTS
3.2.1 Upperbound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.2 Lowerbound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Conclusionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 PlanarEulerianorientations 99
4.1 DecompositionofEulerianmapsandorientations . . . . . . . . . . . 103
4.1.1 Standarddecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.2 Primedecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Subsetswithstandarddecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.1 AnalgebraicsystemforL(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.3 Asymptoticanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.4 Backtoexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3 Subsetswithprimedecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.1 AnalgebraicsystemforL(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.3 Asymptoticanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.4 Backtoexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Supersetswithstandarddecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.1 FunctionalequationsforU(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2 Algebraicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5 Supersetswithprimedecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.1 FunctionalequationsforU(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.2 Algebraicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 Conclusionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Conclusion 141
Bibliography 143
vi ClairePennarun
Remerciements
Cestroisansdethèseontétéunebelleetincroyableexpérience,pendantlaquelle
j’airencontrédespersonnesformidables,voyagéénormément,apprisdesmilliers
dechoses,àlafoisenthéoriedesgraphesetsurmoi-même. Cettepériodedemavie
n’auraitpasétéaussifructueusesansl’aidedenombreusespersonnesquejeveux
remercier ici (et aussi sûrement quelques unes que j’aurais malencontreusement
oublié,qu’ellesmepardonnent).
Enpremierlieu,j’aimeraisremerciermes(fabuleux,ilfautbienledire)directeurs
dethèse,NicolasetPaul. Cefutungrandplaisirdetravailleraveceux,etj’espère
quebeaucoupd’autresdoctorantsaurontlachancedeprofiterdeleurencadrement
etdeleursconseils. Mercipourvotreconfianceetvotresoutienpendantcestrois
ans!
MerciàMikeHennningetàEricFusy,d’avoiracceptéd’êtrerapporteurspour
mathèse. C’estungrandplaisirdevouscompterdanscejury. Merciégalementà
mesdeuxexaminatrices, NadiaBrauneretMireilleBousquet-Mélou. Mireille, tu
as été comme ma "marraine" de thèse pendant ces trois ans, et j’espère que nous
discuteronsencoresouventdeféminismeetdevélo!
J’aieulachanced’effectuermathèsedansuncadreidéal,auLaBRI,etjesuis
déjà triste à l’idée de quitter un jour cet endroit. L’équipe CombAlgo a été une
merveilleuseéquiped’accueil,etjetiensàremerciertouslesmembresdesgroupes
de travail de combinatoire du vendredi matin et celui de théorie des graphes du
vendredi après-midi. Grâce à vous tous, les fins de semaines étaient toujours
studieuses, joyeuses et pleines de victuailles ! Des remerciements particuliers à
touslescollègues(pasnécessairement"grapheux"ou"combinatoriciens")avecqui
j’ai discuté de la recherche ou d’autres choses (souvent), rigolé (régulièrement),
bavardéenréunion(unpeu)oupartagédesrepas(beaucoup, aussibienauBleu
qu’auHaut-Carré). Merciaussiàtoutel’équipeadministrative,quiapermisque
cettethèsesedérouledelameilleuremanièresurleplandelapaperassediverse
etvariée. Jetienségalementàremerciertouslesdoctorantsetanciensdoctorants
avecquij’aitraversélathèse,etbiensûrmesco-bureaux,Matthieu(râleurmaison
l’aimebien)etTristan(etsonrégimedebananes),cefuttrèsagréabledepartagerce
grandbureauavecvous!
Merciàmescollèguesdel’IUT,avecquicefutsiagréabledetravaillerpendant
mes trois ans de monitorat. Merci notamment à Isabelle, Romain et Olivier, qui
vii
CONTENTS
ont suivi mon parcours d’enseignante pendant cette thèse et qui ont toujours été
disponibles et à l’écoute. Je remercie aussi mes étudiants, qui ont fait que ces
cours n’ont jamais été monotones. Grâce à vous tous, j’ai appris beaucoup sur
l’enseignement(etj’aigagnéunecarteàmoneffigie).
Pendantmathèse, j’aieulachancedebeaucoupvoyageretj’airencontrédes
personnesformidables. MerciàAline,Valentin,Daniel,LucasetLouisdem’avoir
accueilli et d’avoir partagé leur bureau et leurs connaissances avec moi pendant
messéjoursenmétropole. ThankyoutoJit,forinvitingmeforthreegreatmonths
inCanada,andforyourneverendingscientificcuriosity,toTherese,forbeingthe
firstpersontoshowinterestinmyresultsandtrustedmetoworktogether,toallthe
membersoftheComputationalGeometrygroupinOttawa(inparticularCarsten
andSander,forbeingpositiveandhelpfulwhenneeded,anddreadfullyresearch-
efficienttoo!),toLiz,BuddyandSarahforwelcomingmewithsuchwarmthduring
Canada’sbitterwinter(InowhaveaCanadianfamily,mindyou!).
Faire de la recherche, ce n’est possible que si vous avez des guides. Alors
merci à tous les professeurs que j’ai eu la chance de rencontrer sur mon chemin,
avecunmercienparticulieràMarcErb,SylviaRamond,ClaireSageauxetFrançois
Maricourt,quiontétédesguidesformidables. Merciaussiàmesencadrantsdestage
derecherchependantmesétudes,LislWeynans,AnneCanteaut,AncaMuscholl,
Sylvain Salvati et David Auber, qui m’ont vu progresser en recherche depuis le
débutdemalicence.
Cestroisansontaussiétél’occasiondefaired’autresactivitésquel’enseignement
etlarecherche,etc’étaitparfoisprimordial. AlorsmerciàmescollèguesdeMaths
à Modeler (et leurs vieilles cigognes), à mes amies de Femmes et Sciences, à mes
camaradesdesateliersdusamedietdesdifférenteschoralesoùj’aipuchanter,àmes
anciensprofesseursetleurscollèguespourm’avoiraccueilliaulycéePapeClément
si souvent. Un grand merci à Jean-Laurent, qui a su transformer mon énergie en
chantpendantcettethèse!
Merci à tous les potes et tous les proches, d’ici et d’ailleurs, qui ont partagé
des bières, des blagues, des soirées... Ces remerciements sont l’occasion de vous
dire à quel point vous êtes importants pour moi. Vous savoir derrière moi m’a
toujoursaidéàprogresser(notammentparcequej’aipeurdevousdesfois). Merci
enparticulieràArnaud,Arno,Alexandre,AlexisB.etAlexisC.,Antoine,Benjamin,
Boris,Clara,Germain,Grégoire,Jaufré,Lena,Lucas,Jean-Laurent,NinaetValentine
(lastbutnotleast!). Lavieseraitbientristesansvoustous!
Merciàmafamille,avecunementiontrèsspécialeàmesparentsetmasoeur,
quim’onttoujoursaidé,supportéetpermisdem’épanouir,etquisontlespersonnes
lesplusextraordinairesetdrôlesdumonde. Jevousaime:)
Surtout,merciàAlex,pourtout. Grâceàtoi,jesaismieuxquijesuisetquije
veuxêtre.
viii ClairePennarun
Résumé (en français)
“ Jeneconnaispaslesréponses,maisilyaquelquesjoursjenesavaispas
qu’ilyavaitdesquestions. ”
TerryPratchett,Nation
Cechapitreconsisteenunetraductiondirectedel’introductionenanglaisverslefrançais.
Lesrésultatsprésentésdanscettethèse,bienquetrèsdifférentslesunsdesautres,
appartiennenttousaudomainedelathéoriedesgraphes. Cerésuméestdoncpour
moiunebonneopportunitédeprésenterleconceptdesgraphes,etenquoilathéorie
desgraphesestunemanièredepenserintéressantequandonessaiederésoudre
certainstypesdeproblèmes.
Afin d’illustrer cela, prenons un exemple simple, mais parlant. Si vous faites
régulièrementdelapâtisserie,ilvousestsûrementdéjàarrivélachosesuivante:
vousaviezprévudefairedescrèpes,etvousréalisezquevousn’avezplusdebeurre.
Qu’à cela ne tienne, la recette indique justement que vous pouvez remplacer le
beurrepardel’huiled’olive(etvousenavez,çatombebien),donctoutvapourle
mieux. Maintenant, supposez que votre placard et votre frigo sont assez réduits,
et que vous oubliez souvent de faire les courses avant de préparer votre repas.
Quelssontlesingrédients"clé"quevousdevrieztoujoursavoirsouslamainafinde
pouvoirfairen’importequelplat(ensubstituantpeut-êtredesingrédientsàceux
prévusdanslarecette)sansavoirbesoind’allerfairelescourses? End’autrestermes,
quel est le nombre minimum d’ingrédients que vous devriez avoir de telle sorte
quetoutingrédientquevousn’avezpaspeutêtreremplacéparuningrédientque
vous avez ? (Attention : ceci n’est pas un livre de cuisine. Nous ne garantissons
pas que le résultat soit bon, ou même consommable.) On pourra considérer que
deuxingrédientssontinterchangeablessiaumoinsunerecetteautoriseàremplacer
l’unparl’autre. Unepremièrefaçondefaireestdenoterlesnomsdechaquepaire
d’ingrédientsinterchangeables,commedanslaFigure1a. Maiscettesolutionrend
lalecturedesrelationsentrelesingrédientsdifficiles,etnesembledoncpasefficace
pourrésoudreceproblème.
Uneautremanièredevoirnotreproblèmede"placardminimal"estd’essayerde
seconcentrersurlecoeurduproblème,c’est-à-direséparerl’informationpertinente
1