Pilas de Arena y Grafos de Ramanujan

58 Pages·2011·0.28 MB·English

Pilas de Arena y Grafos de Ramanujan
Tesis de Maestr(cid:237)a en MatemÆticas
Universidad Industrial de Santander
Sterling Castaæeda
Autor
Dr. Rer. Nat. Juan AndrØs Montoya Arg(cid:252)ello
Director
Agosto 22 de 2011
Abstract
Pilas de Arena y Grafos de Ramanujan
Sterling Castaæeda
2011
In this work we study the behavior of The Abelian Sandpile Model on graphs of high
connectivity, we focus our research on Ramanujan graphs.
We conjectured that the avalanche process is optimal on Ramanujan graphs,
that is: we conjecture that the avalanches that can take place on Ramanujan graphs
are short. For general graphs the best upper bound is Tardos(cid:146)bound which states
that the lenght of the avalanches triggered by the addition of two-critical con(cid:133)gura-
tions is O(n3) and this bound is tight. We prove that on Ramanujan graphs critical
avalanches are very much shorter, their length is O(n1;5):
Resumen. En este trabajo se estudia el comportamiento asintotico del modelo
de pilas de arena sobre grafos de alta conectividad. Centramos nuestra atencion en
grafos de Ramanujan.
Nosotrosconjeturabamosqueelprocesodeestabilizacionesveloz(e(cid:133)ciente)sobre
clasesdegrafosdeRamanujan,estoes:conjeturabamosquesobreestaclasedegrafos
las avalanchas eran mucho mas cortas. La mejor cota superior para la longitud de
avalanchas criticas sobre grafos generales es la cota de Tardos la cual estipula que las
avalanchastienenunalongitudacotadaporO(n3);siendoestacotaoptima.Nosotros
probamos que sobre grafos de Ramanujan las avalanchas criticas tienen una longitud
acotada por O(n1;5):
Copyright c 2011 by Sterling Castaæeda
(cid:13)
All rights reserved.
i
˝ndice general
Introducci(cid:243)n
IV
1. Teor(cid:237)a Espectral de Grafos: Una invitaci(cid:243)n 1
1.1. De(cid:133)niciones bÆsicas y notaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. El espectro de un grafo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Caminos de longitud (cid:133)ja: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. `lgebra de Adyacencia de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4. Grafos k-regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Grafos de Ramanujan 8
3. El Modelo de Pilas de Arena 18
4. Estad(cid:237)stica de avalanchas cr(cid:237)ticas 32
4.1. Avalanchas cr(cid:237)ticas y clases de grado acotado. . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Estad(cid:237)stica de avalanchas cr(cid:237)ticas tridimensionales . . . . . . . . . . . 35
5. Pilas de Arena de Ramanujan 41
5.1. Cotas subcœbicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ii
Prefacio
En esta tesis estudiamos dos tematicas de las matematicas discretas las cuales,
en principio, no tienen ninguna relacion entre si. Estas tematicas son los grafos de
Ramanujan y el modelo abeliano de pilas de arena. Hemos logrado combinar estas
dos tematicas considerandopilas de arenasobre grafos de Ramanujan. Si ladinamica
de las pilas de arena sobre grafos de Ramanujan es singular, es de esperar que esta
singularidad consista en que sobre grafos de ramanujan las avalanchas son cortas y
los procesos de relajacion son veloces. Esto es asi dado que los grafos de Ramanujan
son redes optimas para la transmision de informacion y el proceso de estabilizacion
en el modelo de pilas de arena es un proceso de transmision de informacion en el que
se comunican bits y diferencias de potencial. Asi pues la conjetura basica, de la que
parteestetrabajo,esqueengrafosdeRamanujanlasavalanchassonparticularmente
cortas.Nosotroshemoslogradounexitoparcialestableciendocotassuperioresparala
longitud de las avalanchas sobre grafos de Ramanujan que son mejores que toda otra
cota superior para longitud de avalanchas que pueda ser encontrada en la literatura.
iii
Introducci(cid:243)n
El Modelo Abeliano de Pila de Arena y los Grafos de Ramanujan son los protago-
nistas de esta historia. El Modelo de Pila de Arena o modelo BTW,( introducido por
los f(cid:237)sicos Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld en 1988), es un sistema dinÆmico
disipativo discreto de(cid:133)nido sobre un grafo en el que hay intercambio de informaci(cid:243)n
entre los vØrtices del grafo. Decimos que un grafo G es (cid:243)ptimo para el Modelo de Pila
de Arena si y solo si la dinÆmica del modelo se estabiliza rÆpidamente. La mejor cota
superior conocida para calcular la velocidad de convergancia de estas dinÆmicas, en
grafos generales, es la cota de G. Tardos
L(f) V(G) f d(G)
(cid:20) j jk k
(donde L(f) denota la longitud de la avalancha generada por la con(cid:133)guraci(cid:243)n f
y d(G) denota el diametro del grafo).El objetivo de nuestro trabajo consiste en
establecer una mejor cota superior para la longitud de las avalanchas en una clase
particular de grafos: los Grafos de Ramanujan, introducidos por A. Lubotzky, R.
Phillips y P. Sarnak en 1988. Estos grafos se de(cid:133)nen en tØrminos de los autovalores
delamatrizdeadyacenciadelgrafo.Podriapensarsequeestosgrafossonparad(cid:243)jicos,
puessusvØrticesestÆnaltamenteconectadosy,sinembargo,poseenunnœmeroescaso
de aristas. En diseæo de redes, los Grafos de Ramanujan son redes (cid:243)ptimas para la
transmisi(cid:243)n de la informaci(cid:243)n (expander graphs).
El resultado principal de nuestro tabajo es el siguiente teorema:
Sea (G ) una secuencia de grafos de Ramanujan k-regulares, dado n 1 y
n n 1 (cid:21)
(cid:21)
iv
dadas f;g K(G ) se tiene que
n
2
f +g pm
L(f) k k
(cid:20) k 2 pk 1
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:1)
donde f +g es el nœmero de granos de arena al inicio de la avalancha y m es el
k k
tamaæo del grafo, es decir, m = V(G ) .
n
j j
Este resultado, junto con el hecho de que los Grafos de Ramanjuan poseen
diÆmetro logar(cid:237)tmico, son demostrados en el cap(cid:237)tulo 5, cap(cid:237)tulo (cid:133)nal de la tesis.
Conviene iniciar con algunas palabras acerca de los grafos en general. La teor(cid:237)a
de grafos, que se remonta al conocido problema de los (cid:147)siete puentes de K(cid:246)nisberg(cid:148)
propuesto por Euler, ha tenido gran desarrollo desde la segunda mitad siglo XX
debido a sus aplicaciones en las ciencias de la computaci(cid:243)n. ,
Los grafos son los primeros objetos de estudio de la MatemÆtica Discreta. Son
modelos matemÆticos de diferentes situaciones reales. En Ciencias Naturales y Hu-
manas ellos modelan relaciones entre muchas especies, sociedades, compaæ(cid:237)as, etc.
En ciencias de la computaci(cid:243)n ellos representan redes de comunicaci(cid:243)n, estructuras
de datos; as(cid:237) mismo, un algoritmo puede representarse mediante un grafo al que se
llama (cid:147)diagrama de (cid:135)ujo del algoritmo(cid:148). En F(cid:237)sica Estad(cid:237)stica, los grafos pueden
representar conecciones locales entre las partes que interactœan en un sistema, as(cid:237)
como las dinÆmicas de los procesos f(cid:237)sicos en estos sistemas. En matemÆticas, los
Grafos de Cayley son de vital importancia en Teor(cid:237)a de Grupos.
El estudio de las propiedades estructurales de los grafos, usando la informaci(cid:243)n
codi(cid:133)cada en su matriz de adyacencia y en particular en los valores propios de estas
matrices, es la llamada Teor(cid:237)a Espectral de Grafos, de la cual introduciremos algunos
conceptos y resultados necesarios para nuestro trabajo en el cap(cid:237)tulo 1.
Existe una clase bien particular de grafos a los que llamamos Grafos de Ramanu-
jan. Formalmente un grafo de Ramanujan es un grafo regular, (cid:133)nito y conexo tal que
para todo autovalor no trivial (cid:22) de G, se tiene que (cid:22) 2pk 1: En el cap(cid:237)tulo
j j (cid:20) (cid:0)
2 introducimos la constante de expansi(cid:243)n de un grafo G, denotada por el simbolo
v
h(G), y los prinicpales resultados que relacionan dicha constante y el espectro de
autovalores del grafo, que son los que motivan y dan sentido a nuestra de(cid:133)nici(cid:243)n de
Grafos de Ramanujan.
En el cap(cid:237)tulo 3 se introducen las de(cid:133)niciones bÆsicas y algunos de los hechos mÆs
importantes del Modelo Abeliano de Pila de Arena (ASM), introducido por el f(cid:237)sico
Indœ D. Dhar en 1990. El Modelo Abeliano de Pila de Arena comienza con un grafo
que tiene un nœmero (cid:133)nito de vØrtices y aristas y luego se colocan granos de arena
en cada vØrtice. Si existe un nœmero su(cid:133)ciente de granos de arena en un vØrtice, el
vØrtice dispara ((cid:133)res) o se derrumba (topples), enviando un grano de arena a travØs
de cada una de sus aristas hacia sus vØrtices vecinos; estos vØrtices a su vez pueden
alcanzar un nœmero su(cid:133)ciente de granos de arena para disparar, y as(cid:237) sucesivamente,
creando una avalancha. Se designa un vØrtice sumidero, que es un vertice que s(cid:243)lo
absorbe granos de arena. Como el grafo es conexo, para cada vØrtice en el grafo
existe un camino que lo comunica con el vØrtice sumidero, cualquier con(cid:133)guraci(cid:243)n de
granos de arena dispuesta sobre el grafo serÆ, despuØs de una secuencia de disparos,
eventualmente estabilizada. Este estado es independiente del orden de los disparos.
En el cap(cid:237)tulo 4 se establecen cotas inferiores y superiores en la longitud de las
avalanchas que tienen lugar en diferentes clases de grafos de arena. Nuestra atenci(cid:243)n
se concentra en un cierto tipo de avalanchas denominadas avalanchas cr(cid:237)ticas y en
familias de grafos de grado acotado. Los resultados referentes a la estad(cid:237)stica de las
avalanchas cr(cid:237)ticas tridimensionales son tomadas de la referencia [10].
vi
Cap(cid:237)tulo 1
Teor(cid:237)a Espectral de Grafos: Una
invitaci(cid:243)n
La teoria espectral de grafos [1] es el estudio de las propiedades estructurales
de los grafos usando la informaci(cid:243)n codi(cid:133)cada en su matriz de adyacencia, y en
particular en los valores propios de estas matrices. La matriz de adyacencia de un
grafo determina completamente el grafo, y sus propiedades espectrales se relacionan
con propiedades del grafo. Por ejemplo, si el grafo G es k-regular entonces para
cualquier autovalor (cid:21) de G se tiene que (cid:21) k. Intentamos en este cap(cid:237)tulo resaltar
j j (cid:20)
algunos resultados y de(cid:133)niciones de la teor(cid:237)a espectral de grafos que serÆn necesarios
en nuestra investigaci(cid:243)n.
1.1. De(cid:133)niciones bÆsicas y notaci(cid:243)n.
Formalmente un grafo G consiste de un conjunto no vac(cid:237)o V de objetos llamados
vØrtices y un conjunto E del conjunto de todos los subconjuntos de V de tamaæo 2,
los elementos de E seran llamados aristas.
1
1.1.1. El espectro de un grafo.
Comenzamos por de(cid:133)nir una matriz que jugarÆ un papel importante en este
trabajo. Suponga que G es un grafo cuyo conjunto de vØrtices V es el conjunto
v ;v ;:::;v y considere E como un conjunto de parejas no ordenadas de elementos
1 2 n
f g
en V . Si v ;v estÆ en E, entonces decimos que v y v son vØrtices adyacentes.
i j i j
f g
De(cid:133)nici(cid:243)n 1 La matriz de adyacencia de G que denotamos con el s(cid:237)mbolo A(G),
es la matriz A(G) = [a ] de(cid:133)nida por
ij i;j n
(cid:20)
1 si v y v son adyacentes;
i j
a =
ij 8
>0 en otro caso.
<
>
:
Consideramos la matriz A(G) sobre el campo de los complejos. Se sigue direc-
tamente de la de(cid:133)nici(cid:243)n que A(G) es una matriz simØtrica real, y que su traza es
igual a cero. Puesto que las (cid:133)las y las columnas de A(G), estÆn determinadas por
la marcaci(cid:243)n arbitraria que se (cid:133)ja sobre el conjunto V, y puesto que nos interesa
estudiar las propiedades de G que son independientes de la marcacion escogida, es
claro entonces que nos interesan aquellas propiedades de la matriz de adyacencia que
son invariantes bajo permutaciones de (cid:133)las y columnas. Una de tales propiedades es
el espectro de la matriz.
De(cid:133)nici(cid:243)n 2 El espectro de un grafo G es el conjunto de nœmeros que son auto-
valores de A(G) junto con sus multiplicidades. Si los distintos autovalores de A(G)
son (cid:21) ;(cid:21) ;:::;(cid:21) y sus respectivas multiplicidades son m((cid:21) );m((cid:21) );:::;m((cid:21) ),
0 1 s 1 0 1 s 1
(cid:0) (cid:0)
entonces escribimos
(cid:21) (cid:21) ::: (cid:21)
0 1 s 1
Spect(G) = (cid:0)
0 m((cid:21) ) m((cid:21) ) ::: m((cid:21) ) 1
0 1 s 1
(cid:0)
@ A
2