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Physik 2 Elektrodynamik und Optik Thomas Klinker Hochschule fu¨r Angewandte Wissenschaften Hamburg 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Elektrostatik 5 1.1 Das COULOMBsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Potential und Feld eines elektrischen Dipols . . . . . . . . . . . 15 1.5 Das GAUSSsche Gesetz fu¨r das elektrische Feld . . . . . . . . . 19 2 Anwendungen der Gesetze der Elektrostatik 27 2.1 Das elektrische Feld einer ebenen Ladungsverteilung . . . . . . . 27 2.2 Das elektrische Feld einer linearen Ladungsverteilung . . . . . . 28 2.3 Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel . . . . . . . 30 2.4 Elektrische Felder von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Der FARADAYsche Käfig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.8 Die Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9 Das elektrische Feld in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Der elektrische Strom 51 3.1 Strom und die Bewegung von Ladungen . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Elektrische Leitfähigkeit und das OHMsche Gesetz . . . . . . . 53 3.3 Mikroskopisches Modell fu¨r das OHMsche Gesetz . . . . . . . . 54 3.4 Die elektrische Leistung eines Stromes an einem Widerstand . . 56 3.5 Die KIRCHHOFFschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Das magnetische Feld 63 4.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . 63 4.2 Das BIOT-SAVARTsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3 Das GAUSSsche Gesetz fu¨r das Magnetfeld . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Das AMPEREsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1 2 INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Drehmoment auf eine Leiterschleife im Magnetfeld . . . . . . . . 81 4.6 Der HALL-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.7 Bahnen freier Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 85 5 Induktion 89 5.1 Das FARADAYsche Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 Die LENZsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3 Beispiele zum Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.5 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.6 Der RL-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.7 Die Energie des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.8 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6 Elektromagnetische Wellen 113 6.1 Das AMPERE-MAXWELLsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2 Die MAXWELLschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3 Grundlagen der Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4 Wellengleichung fu¨r das elektrische und magnetische Feld . . . . 123 6.5 Energiedichte und Intensität einer elektromagnetischen Welle . . 130 7 Geometrische Optik 133 7.1 Das HUYGENSsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2 Prämisse der geometrischen Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.3 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4 Brechung an sphärischen Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . 143 7.5 Abbildung durch Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.6 Das menschliche Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.7 Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.7.1 Vergrößerung durch optische Instrumente . . . . . . . . . 157 7.7.2 Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.7.3 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.7.4 Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8 Beugung 163 8.1 FRAUNHOFERsche und FRESNELsche Beugung . . . . . . . . 163 8.2 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.3 Beugung an einer kreisförmigen O¨ffnung . . . . . . . . . . . . . 170 8.4 Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 A Aufgaben mit Lösungen 177 INHALTSVERZEICHNIS 3 B Lineare Differentialgleichungen 199 C Literaturverzeichnis 203 D Physikalische Konstanten 205 E Das Griechische Alphabet 207 4 INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 1 Grundlagen der Elektrostatik 1.1 Das COULOMBsche Gesetz Durch Reiben eines Plastikstabes an einem Fell oder eines Glasstabes an Seide kann man Körper elektrisch aufladen. Dabei zeigt sich, dass sich die aufgela- denen Gegenstände entweder anziehen oder abstoßen. Die Erklärung ist, dass alle Materie zwei Arten von Ladung besitzt, positive und negative. Ungeladene KörperhabengleichvielpositivewienegativeLadung.DurchReibenkannnun Ladung von einem Körper auf einen anderen u¨bergehen. Ist dieser Aufladungs- vorgang beendet, hat der eine Körper einen U¨berschuss an positiver Ladung, der andere einen U¨berschuss an negativer Ladung. Weiter zeigt sich, dass sich Objekte mit gleicher Ladung abstoßen, während sich Objekte mit ungleicher Ladung anziehen. Reibt man einen Glasstab an Seide, so gibt er beispielsweise Elektronen an die Seide ab. Träger der Ladung sind die Protonen und Elek- tronen der Atome. Es zeigt sich weiter, dass die Ladung quantisiert ist, d.h. Ladung tritt in der Natur nur als ganzzahliges Vielfaches einer Elementarla- dung auf. Diese Elementarladung konnte zum ersten Mal 1909 von MILLIKAN mit seinem beru¨hmten O¨ltröpfchenversuch bestimmt werden. Sie hat den Wert e = 1,602 10−19 C . (1.1) · Das Coulomb (C) ist hierbei die Einheit der Ladung, auf die wir weiter unten zu sprechen kommen. Ein weiteres fundamentales Gesetz ist das Gesetz der Ladungserhaltung: In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten, egal welche Vorgänge in diesem System im Detail ablaufen. Die Kraft zwischen ruhenden elektrischen Ladungen wurde von COULOMB untersucht, und er fand ein Gesetz ähnlich dem NEWTONschen Gravitations- gesetzt. Es lautet: 5 6 1 Grundlagen der Elektrostatik Eine Ladung q u¨bt auf eine Ladung q eine Kraft aus, die dem 1 0 Produkt aus beiden Ladungen proportional und dem Quadrat des Abstandes beider Ladungen umgekehrt proportional ist. Die Kraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie zwischen beiden Ladungen, in Zeichen q q ~ 0 1 ˆ F = k ~r . (1.2) r2 01 01 Hierbei ist ~r der Vektor, der vom Ort der Ladung q zum Ort 01 1 ˆ der Ladung q zeigt, ~r der zugehörige Einheitsvektor und r der 0 01 01 Abstand beider Ladungen. Der Wert der Proportionalitätskonstanten k hängt von dem verwendeten Ein- heitensystem ab. Im SI-Einheitensystem setzt man die Proportionalitätskon- stante k zu 1 k = , (1.3) 4πε 0 wobei die elektrische Feldkonstante ε den Wert 0 ε = 8,854 10−12 C2m−2N−1 (1.4) 0 · erhält. Damit hat k den Wert 1 k = = 8,9876 109 Nm2C−2 . (1.5) 4πε · 0 Hierbei steht C fu¨r die Einheit der Ladung, das Coulomb. Der exakte Wert von ε kann erst später genau begru¨ndet werden. Er ergibt sich dadurch, das 0 die Einheit der Ladung nicht durch Gl. (1.2) festgelegt wird, sondern an die Definition der Einheit der Stromstärke, das Ampere (A), geknu¨pft ist, siehe Kap. 4.1. Mit der in Kap. 6.4 hergeleiteten Gleichung 1 c = , √ε µ 0 0 wobei µ die magnetische Feldkonstante und c die Lichtgeschwindigkeit im 0 Vakuum ist, ergibt sich obiger Wert fu¨r ε . Wir wollen dies hier nicht weiter 0 verfolgen, sondern verweisen auf die entsprechenden späteren Kapitel. Aus Gl. (1.2) läßt sich aber ablesen, das fu¨r die Ladungseinheit Coulomb gilt: Ein Coulomb ist diejenige Ladung, die eine gleichgroße Ladung in einem Abstand von 1 m mit einer Kraft von etwa 9 109 N abstößt. · 1.1 Das COULOMBsche Gesetz 7 Wirken auf eine Ladung q mehrere Ladungen q (i = 1,...,n), so zeigt 0 i die experimentelle Beobachtung, dass sich die Gesamtkraft auf die Ladung q einfach durch Addition der einzelnen Kräfte gemäß dem COULOMBschen Gesetz (1.2) ergibt, in Zeichen 1 n q q ~ 0 i ˆ F = ~r . (1.6) 4πε r2 0i 0 i=1 0i X Hierbei ist ~r der Vektor, der vom Ort der Ladung q zum Ort der Ladung q 0i i 0 ˆ zeigt, ~r der zugehörige Einheitsvektor und r der Abstand beider Ladungen. 0i 0i Diese Gleichung kann auch in der folgenden Form geschrieben werden: 1 n q q ~r ~r ~ 0 i i F = − . (1.7) 4πε ~r ~r 2 ~r ~r 0 Xi=1 | − i| | − i| Hierbei bezeichnet ~r den Ort der Ladung q und ~r den Ort, an dem sich die 0 i Ladung q befindet, siehe Abb. 1.1. ~r =~r ~r ist der Vektor, der vom Ort i 0i i − ˆ ~r der Ladung q zum Ort ~r der Ladung q zeigt. ~r = (~r ~r )/~r ~r ist der i i 0 0i i i − | − | zugehörige Einheitsvektor und ~r ~r der Abstand, den die Ladungenq und i 0 | − | q voneinander haben. Die in Gl. (1.7) beschriebene vektorielle Addition der i Einzelkräfte zur Gesamtkraft wird auch als Superpositionsprinzip bezeichnet. Abbildung 1.1: Kraft auf eine Ladung q am Ort ~r verursacht von mehreren 0 Punktladung q an den Orten ~r (i = 1,...,n). i i 8 1 Grundlagen der Elektrostatik 1.2 Das elektrische Feld ~ Das elektrische Feld E einer Ladungsverteilung an einem Ort ~r wird definiert als die Kraft, die diese Ladungsverteilung auf eine Probeladung q am Orte ~r 0 bewirkt, dividiert durch den Wert dieser Probeladung, in Zeichen ~ F ~ E := . (1.8) q 0 Damit lässt sich die Kraft auf die Probeladung q schreiben in der Form 0 ~ ~ F = q E . (1.9) 0 Die im COULOMBschen Gesetz beschriebene Fernwirkung der elektrostati- schen Kraft auf eine Ladung wird auf diese Weise gedeutet als lokale Wechsel- wirkung dieser Ladung mit einem von den u¨brigen Ladungen erzeugten Feld. Diese Idee geht auf FARADAY zuru¨ck. Aus der Definitionsgleichung des elek- ~ trischen Felds Gl. (1.8) und Gl. (1.7) folgt direkt fu¨r das elektrische Feld E am Orte ~r, bewirkt von n Punktladungen q (i = 1,...,n), die sich an den i Raumpunkten ~r befindet: i 1 n q ~r ~r ~ i i E(~r) = − . (1.10) 4πε ~r ~r 2 ~r ~r 0 Xi=1 | − i| | − i| Fu¨r das elektrische Feld einer einzigen Punktladung q, die sich im Koordina- tenursprung befindet, ergibt sich insbesondere 1 q ~ ˆ E(~r) = ~r . (1.11) 4πε r2 0 ˆ Hierbei ist ~r der Einheitsvektor in Richtung von ~r. Gl. (1.11) werden wir im folgenden noch sehr oft verwenden. IstdieLadungsverteilungnichtpunktförmig,sondernkontinuierlich,somuss sie durch eine Dichtefunktion ̺(~r) beschrieben werden. Die Funktion ̺(~r) gibt dabei die Ladungsdichte an der Stelle ~r an. Sie ist definiert durch ∆Q ̺(~r) = lim . (1.12) ∆V→0 ∆V Hierbei ist ∆Q die Ladung eines Volumens ∆V, welches sich bei der Grenz- wertbildung in Gl. (1.12) auf den Raumpunkt ~r zusammenzieht. Die Einheit der Ladungsdichte ̺ ergibt sich zu C/m3. Um das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung zu berechnen, teilt man das Gesamtvolumen 1.2 Das elektrische Feld 9 Abbildung 1.2: Zur Berechnung des elektrischen Feldes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung. V, u¨ber das sich die Ladung erstreckt, in kleine Volumenelemente ∆V mit i i = 1,...,n. Sind die Volumenelemente ∆V hinreichend klein, so kann die La- i dungsdichte u¨ber jedem Volumenelement ∆V als konstant angesehen werden i mit dem Wert ̺(~r ), wobei ~r der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt des i i Volumenelementes ∆V ist. Das Volumenelementes ∆V trägt damit die La- i i dung ∆Q = ̺(~r )∆V . Das elektrische Feld der gesamten Ladungsverteilung i i i ergibt sich dann mit Gl. (1.10) zu 1 n ̺(~r ) ~r ~r ~ i i E(~r) = lim − ∆V . (1.13) ∆Vi→0 4πε0 Xi=1 |~r−~ri|2 |~r−~ri| i Bei obiger Grenzwertbildung streben alle Volumenelemente ∆V gegen 0 und i ihre Gesamtzahl n damit gegen . Der Grenzwert in Gl. (1.13) wird als Vo- ∞ lumenintegral bezeichnet und geschrieben in der Form: 1 ̺(~r′) ~r ~r′ E~(~r) = − dV′ . (1.14) 4πε ~r ~r′ 2 ~r ~r′ 0 VZ | − | | − | dV′ ist hierbei das differentielle Volumenelement (siehe Abb. 1.2), welches bei Verwendung kartesischerkoordinaten die Form hat dV′ = dx′dy′dz′. Mit den Gln. (1.10) und (1.14) kann im Prinzip das elektrische Feld jeder Ladungsver- teilung berechnet werden. Allerdings bringt die Auswertung des Volumenin- tegrals in Gl. (1.14) manchmal erhebliche mathematische Probleme mit sich. Wir verfolgen dies deshalb hier nicht weiter, weil wir später auch noch andere Methoden kennenlernen werden, elektrische Felder zu berechnen.