Phänomenologie der Mathematik: Elemente einer phänomenologischen Aufklärung der mathematischen Erkenntnis nach Husserl

249 Pages·1989·5.289 MB·German

by  Dieter Lohmar (auth.)

PHÄNOMENOLOGIE DER MATHEMATIK
PHAENOMENOLOGICA
COLLECTION FONDEE PAR H.L. VA N BREDA ET PUBLIEE
SOUS LE PATRONAGE DES CENTRES D'ARCHIVES-HUSSERL
114
DIETER LOHMAR
PHÄNOMENOLOGIE DER MATHEMATIK
Comite de r6daction de la collection:
President: S. IJsseling (Leuven)
Membres: L. Landgrebe (Köln), W. Marx (Freiburg i. Br.),
J.N. Mohanty (philadelphia), P. Ricceur (paris), E. Ströker (Köln),
J. Taminiaux (Louvain-Ia-Neuve), Secretaire: J. Taminiaux
DIETER LOHMAR
Phänomenologie
der Mathematik
Elemente einer phänomenologischen Aufklärung
der mathematischen Erkenntnis
nach H usserl
KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS
DORDRECHT I BOSTON I LONDON
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Lohmar. Dieter. 1955-
Phänomenologie der Mat~e~atik : EleMente einer phänonenolog1schen
Aufklärung der mathenatischen Erkenntnis nach Husserl I Dieter
Lohmar.
p. cm. -- (Phaenomenologica ; 114)
Bibl iography: p.
1ncludes index.
1. Mathematlcs--Phi losophy. 2. Phenomenology. 1. Tit le.
11. Series.
QA8.4.L64 1989
510·.1--dc19 89-31231
ISBN-13: 978-94-010-7551-0 e-ISBN-13: 978-94-009-2337-9
DOI: 10.1007/978-94-009-2337-9
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
LABSCHNITT
HISTORISCHE RÜCKBESINNUNG AUF DIE WANDLUNG DER
MATHEMATIK IM 19.JAHRHUNDERT UND DIE ZUGEHÖRIGEN
PHILOSOPHISCHEN PROBLEME
1. Die Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert 11
a. Die Entwicklung der Geometrie 11
b. Die Entwicklung von Analysis und Arithmetik 17
c. Mathematische Logik und Algebra 21
2. Philosophische Probleme des Wandels der Mathematik
im 19.Jahrhundert 25
3. Grundlagenkrise und Lösungsversuche 29
II .ABSCHNITT
ELEMENTE EINER PHÄNOMENOLOGISCHEN AUFKLÄRUNG DER
MATHEMATISCHEN ERKENNTNIS
1. Der phänomenologische Zugang zu Gegenständen der
Mathematik 37
2. Erkennen als kategoriale Anschauung 44
a. Erster Zugriff: Schlichte und kategoriale Anschauung 44
b. Husserls erster Ansatz in der Frage des kategorialen
Repräsentanten und die vorherrschende Interpretation
der kategorialen Anschauung 50
VI INHAL TSVERZEICHNIS
c. Die Frage nach der Erfüllung der kategorialen
Intention 52
d. Erweiterung des Beispielbereichs auf Kollektiva 57
e. Die Einbeziehung der genetischen Fragestellung in
"Erfahrung und Urteil" 61
3. Husserls Ansatz zur originären Selbstgegebenheit der
Zahl 70
a. Der Ausgangspunkt in der Kollektion partikulärer
Termini 70
b. Eine sinngemäße Rekonstruktion der "Bestimmung"
der "unbestimmten Vielheit" als Vergleich 72
c. Die Gründe für die Abweisung des Husserlschen
Ansatzes in der Frage der Selbstgegebenheit der
Zahlen 75
4. Die originäre Selbstgegebenheit der Anzahlen im Zählen 81
a. Vorbemerkung zur Methode und erste Charakteristik
des Zählaktes 81
b. Die Frage nach dem Sinn der Zahlwortverwendung
im fortlaufenden Zählen 84
c. Über markierende Aktivitäten und ihren Beitrag zur
Erfüllung der Anzahlprädikation 89
5. Anschauung des Allgemeinen und Zahlen als ideale
Gegenstände 93
a. Vorüberlegungen. Die Veränderung der Husserlschen
Stellungnahme zur Identität der Bedeutung 93
b Anschauung eines Allgemeinen 94
c. Zur Fragwürdigkeit der Konzeption der
Bedeutungsidentität im Rahmen der "Logischen
Untersuchungen" 96
d. Die Identität der Verstandesgegenstände in
"Erfahrung und Urteil". Der Gesichtspunkt der
Zeitlichkeit 98
6. Von der Geltungsausweisung im selbstgebenden,
zählenden Rechnen zum strengen Beweisen 10 3
a. Gleichheit und Rechenoperationen im selbstgebenden,
zählenden Rechnen 103
INHALTSVERZEICHNIS VII
b. Die gleichlautenden leeren Setzungen und das
Beweisen 106
Bemerkung zum analogischen Beweis 112
c. Husserls These von der Steigerung der Fülle in rein
signitiven Zusammenhängen 113
d. Aufbauprinzipien leer angesetzter Satzsysteme 116
7. Formalisierung und Formalbegriffe 120
a. Formalisierung und Subsumtion unter
Formalbegriffe 120
b. Typisierung von Variablen nach der niedrigsten
syntaktisch-kategorialen Form 123
c. Gattungsbegriffe und Formalbegriffe 128
8. Idealitäten in Logik und Mathematik 133
a. Husserls Plan einer Kritik der idealisierenden
Voraussetzungen von Logik und Mathematik 133
b. Handlungs- und Erkenntnisidealitäten 136
c. Die vernünftige Motivation von Idealitäten 141
d. Die Bedeutung des Begriffs der vernünftigen
Motivation in fachwissenschaftlicher Hinsicht 143
9. Die Schichten subjektiver Leistungen in den
Formalwissenschaften 147
a. Allgemeine Charakteristik des Vorhabens 147
b. Die Evidenz der Formenlehre 148
c. Die Formenlehre der Urteile als Disziplin 151
d. Die Deutlichkeit als Evidenz der Konsequenzlogik 153
e. Die Konsequenzlogik als Disziplin 157
f. Die dritte Schicht von Leistungen und die
Wahrheitslogik 159
g. Die Identität des Urteils 161
h. Über zwei Richtungen von Evidenzen, die sich in
der Dreischichtung der formalen Logik kreuzen 162
10. Husserls Konzept einer Mathematik und Logik
umgreifenden "formalen Logik" 169
a. Die formale Urteilslehre als korrelative Disziplin der
formalen Mathematik 169
VIII INHALTSVERZEICHNIS
b. Formale Mathematik als Wissenschaft purer Sinne
und als formale Ontologie 172
c. Die Einfügung der Mannigfaltigkeitslehre in die
formale Logik 174
d. Die Architektur der formalen Logik. Das Verhältnis
der drei Schichten von Leistungen und drei Stufen
von Aufgaben 177
11. Zum Begriff der Definitheit 183
a. Problemstellung. Die verschiedenen Formulierungen
und Husserls Verwendung des Begriffs der
Definitheit 183
b. Husserls Selbstbeurteilung bezüglich Hilbert 189
c. Ein ideengeschichtlicher Aspekt des Begriffes der
Vollständigkeit: Die Erfindungskunst 190
d. Husserls Begriff der Definitheit und die Ergebnisse
der Grundlagenforschung 192
12. Bemerkungen zu Grundfragen der Philosophie der
Mathematik 198
a. Was ist Mathematik? 198
b. Was bedeutet mathematische Existenz? 206
Bemerkung zu den Existenzkriterien von
Intuitionismus und Formalismus 211
c. Wie gelten mathematische Aussagen? 213
13. Abschließende Bemerkungen 218
Literaturverzeichnis 225
Register 236
Einleitung
Dieses Buch ist in erster Linie als ein Beitrag zur phänomenologi
schen Aufklärung der mathematischen Erkenntnis gedacht. Phä
nomenologie als Methode kann nur im handanlegenden Bearbei
ten von Bewußtseinsleistungen ihre Angemessenheit und ihre Lei
stung erweisen. Weiterhin ist eine phänomenologische Klärung
der Möglichkeit der Erkenntnis in Mathematik und Logik nahelie
gend, weil es deren Erkenntnisprobleme waren, die Husserl zur
Philosophie und schließlich zur Phänomenologie geführt haben.
Will man sich bei diesem Vorhaben an der phänomenologischen
Methode orientieren, so kann eine Sammlung und Darstellung der
verstreuten Husserlschen Stellungnahmen zur Philosophie der
Mathematik nicht ausreichen. Jede dieser Stellungnahmen muß
darüberhinaus an der phänomenologischen Methode gemessen
werden, die Husserl mit viel größerer Mühe ausgearbeitet hat als
seine Ansätze zu Einzelfragen, wie z.B. zur Klärung der Mathema
tik, die im Rahmen seines philosophischen Gesamtvorhabens
schließlich nur noch ein Problem neben anderen darstellten. In
dem Vorhaben, Phänomenologie als Philosophie der Mathematik
zu entfalten, mußten die wichtigsten, von Husserl vorgegebenen
Lösungsansätze seinem eigenen Willen gemäß kritisch geprüft
werden. Wo es sich als unumgänglich erwies, mußte im Namen der
Methode auch eine andere Lösung bevorzugt werden. Die vorlie
gende Schrift unterscheidet sich im wesentlichen von den bisheri
gen Darstellungen von "Husserls Philosophie der Mathematik"
durch die weiterführende Anwendung der phänomenologischen
Methode auf Fragen der mathematischen Erkenntnisgewinnung.
Husserls Äußerungen zu philosophischen Fragen der Mathema
tik finden sich in allen seinen veröffentlichten phänomenologi-
2 EINLEITUNG
sehen Schriften verstreut. Die Ausführungen der 4. und
6.Logischen Untersuchung zur Schichtung des logisch-mathema
tischen Bereichs in Formen- und Geltungslehre werden in "For
male und transzendentale Logik" von einem tieferliegenden me
thodischen Standpunkt her aufgenommen und in den Rahmen
einer umfassenden Struktur eingefügt, der Husserl den Namen
"Formale Logik" gibt. Der erste Abschnitt von "Formale und
transzendentale Logik" ist die ausführlichste thematische Stel
lungnahme Husserls zur Mathematik aus der späteren phänome
nologischen Position.
Die Behandlung im ersten Abschnitt der "Logik" geht aller
dings davon aus, daß ein großer Teil der phänomenologischen
Konstitutionsanalysen einzelner Setzungen noch zu leisten ist.
Diese 'subjektiven Forschungen', die allein die Quellen der Gel
tung objektiver Gebilde freilegen können, werden (im II.Ab
schnitt der "Logik") einer Transzendentalen Logik aufgetragen,
die zwar detailliert doch lediglich als Programm angegeben wird.
Im Rahmen der phänomenologischen Befragung der mathemati
schen Erkenntnis geht es demnach um die Untersuchung folgender
kategorialer Gegenstände bzw. Urteilsformen: das Kollektivum,
die Anzahlbestimmung, die Operationen mit Zahlen und Mengen,
das Formalisieren und schließlich das Beweisen. Insofern sollen
die ersten Ansätze zu einer phänomenologischen Klärung der Er
kenntnis in der 6.Logischen Untersuchung, die ihrem Sinn gemäß
auch die Fragen mathematischer Erkenntnis umfassen, von einem
transzendentalen Standpunkt aus fortgeführt und methodisch auf
die Stufe der genetischen Phänomenologie gebracht werden.
In "Erfahrung und Urteil" finden sich viele Ansätze zur Kon
stitutionsanalyse dieser Gegenstände. Die höherstufigen Bewußt
seinsleistungen, das prädikative Urteil bis hin zu den Leistungen
des begreifenden Denkens werden auf dem Hintergrund der vor
prädikativen Erfahrung hinsichtlich ihres Ursprungs in selbst
gebenden Akten untersucht. Hierbei stellt Husserl für einige
grundlegende Gegenstände der Mathematik die zunächst irritie
rende Tatsache heraus, daß sie keine Vorform in der vor
prädikativen Erfahrung haben. Daher kann für die Intention auf
Kollektiva und Anzahlbestimmungen die Erfüllung nicht allein in
dem Beitrag der Sinnlichkeit gefunden werden.
Erst von der hiermit gewonnenen methodischen Basis der gene-