Periods and Nori Motives

381 Pages·2017·4.18 MB·English

by  Annette Huber

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge
A Series of Modern Surveys in Mathematics 65
Annette Huber
Stefan Müller-Stach
Periods
and Nori
Motives
With contributions by
Benjamin Friedrich and Jonas von Wangenheim
Ergebnisse der Mathematik und Volume 65
ihrer Grenzgebiete
3. Folge
A Series of Modern Surveys
in Mathematics
Editorial Board
L. Ambrosio, Pisa V. Baladi, Paris
G.-M. Greuel, Kaiserslautern
M. Gromov, Bures-sur-Yvette
G. Huisken, Tübingen J. Jost, Leipzig
J. Kollár, Princeton G. Laumon, Orsay
U. Tillmann, Oxford J. Tits, Paris
D.B. Zagier, Bonn
Forfurther volumes:
http://www.springer.com/series/728
ü
Annette Huber (cid:129) Stefan M ller-Stach
Periods and Nori Motives
With contributions by
Benjamin Friedrich and Jonas von Wangenheim
123
Annette Huber StefanMüller-Stach
Mathematisches Institut Institut für Mathematik
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg JohannesGutenberg-Universität Mainz
Freiburg Mainz
Germany Germany
ISSN 0071-1136 ISSN 2197-5655 (electronic)
ErgebnissederMathematikundihrerGrenzgebiete.3.Folge/ASeriesofModernSurveys
in Mathematics
ISBN978-3-319-50925-9 ISBN978-3-319-50926-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-319-50926-6
LibraryofCongressControlNumber:2016960728
MathematicsSubjectClassification(2010):11J81,11G99,14C15,14F20,14F42,14F45,14L15,16G20,
18E99,19E15,32G15,32G20,55N35
©SpringerInternationalPublishingAG2017
Thisworkissubjecttocopyright.AllrightsarereservedbythePublisher,whetherthewholeorpart
of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations,
recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission
orinformationstorageandretrieval,electronicadaptation,computersoftware,orbysimilarordissimilar
methodologynowknownorhereafterdeveloped.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this
publicationdoesnotimply,evenintheabsenceofaspecificstatement,thatsuchnamesareexemptfrom
therelevantprotectivelawsandregulationsandthereforefreeforgeneraluse.
Thepublisher,theauthorsandtheeditorsaresafetoassumethattheadviceandinformationinthisbook
arebelievedtobetrueandaccurateatthedateofpublication.Neitherthepublishernortheauthorsorthe
editorsgiveawarranty,expressorimplied,withrespecttothematerialcontainedhereinorforanyerrors
oromissionsthatmayhavebeenmade.
Printedonacid-freepaper
ThisSpringerimprintispublishedbySpringerNature
TheregisteredcompanyisSpringerInternationalPublishingAG
Theregisteredcompanyaddressis:Gewerbestrasse11,6330Cham,Switzerland
Contents
Part I Background Material
1 General Set-Up .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 3
1.1 Varieties .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 3
1.1.1 Linearising the Category of Varieties . .... ..... .... 3
1.1.2 Divisors with Normal Crossings . .... .... ..... .... 4
1.2 Complex Analytic Spaces .... .... .... .... .... ..... .... 5
1.2.1 Analytification .. .... .... .... .... .... ..... .... 5
1.3 Complexes ... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 6
1.3.1 Basic Definitions .... .... .... .... .... ..... .... 6
1.3.2 Filtrations . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 7
1.3.3 Total Complexes and Signs .... .... .... ..... .... 8
1.4 Hypercohomology . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 9
1.4.1 Definition . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 10
1.4.2 Godement Resolutions .... .... .... .... ..... .... 11
1.4.3 Čech Cohomology ... .... .... .... .... ..... .... 13
1.5 Simplicial Objects . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 15
1.6 Grothendieck Topologies . .... .... .... .... .... ..... .... 20
1.7 Torsors . .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 22
1.7.1 Sheaf-Theoretic Definition . .... .... .... ..... .... 23
1.7.2 Torsors in the Category of Sets . .... .... ..... .... 24
1.7.3 Torsors in the Category of Schemes
(Without Groups) .... .... .... .... .... ..... .... 27
2 Singular Cohomology ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 31
2.1 Relative Cohomology ... .... .... .... .... .... ..... .... 31
2.2 Singular (Co)homology .. .... .... .... .... .... ..... .... 34
2.3 Simplicial Cohomology .. .... .... .... .... .... ..... .... 36
2.4 The Künneth Formula and Poincaré Duality .. .... ..... .... 41
2.5 The Basic Lemma . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 45
v
vi Contents
2.5.1 Formulations of the Basic Lemma ... .... ..... .... 45
2.5.2 Direct Proof of Basic Lemma I . .... .... ..... .... 47
2.5.3 Nori’s Proof of Basic Lemma II . .... .... ..... .... 49
2.5.4 Beilinson’s Proof of Basic Lemma II . .... ..... .... 52
2.5.5 Perverse Sheaves and Artin Vanishing .... ..... .... 55
2.6 Triangulation of Algebraic Varieties .... .... .... ..... .... 59
2.6.1 Semi-algebraic Sets .. .... .... .... .... ..... .... 60
2.6.2 Semi-algebraic Singular Chains . .... .... ..... .... 66
2.7 Singular Cohomology via the h0-Topology ... .... ..... .... 70
3 Algebraic de Rham Cohomology ... .... .... .... .... ..... .... 73
3.1 The Smooth Case . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 73
3.1.1 Definition . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 73
3.1.2 Functoriality .... .... .... .... .... .... ..... .... 76
3.1.3 Cup Product .... .... .... .... .... .... ..... .... 77
3.1.4 Change of Base Field . .... .... .... .... ..... .... 79
3.1.5 Étale Topology .. .... .... .... .... .... ..... .... 80
3.1.6 Differentials with Log Poles .... .... .... ..... .... 81
3.2 The General Case: Via the h-Topology .. .... .... ..... .... 83
3.3 The General Case: Alternative Approaches ... .... ..... .... 87
3.3.1 Deligne’s Method .... .... .... .... .... ..... .... 87
3.3.2 Hartshorne’s Method . .... .... .... .... ..... .... 90
3.3.3 Using Geometric Motives .. .... .... .... ..... .... 91
3.3.4 The Case of Divisors with Normal Crossings ... .... 94
4 Holomorphic de Rham Cohomology .... .... .... .... ..... .... 97
4.1 Holomorphic de Rham Cohomology .... .... .... ..... .... 97
4.1.1 Definition . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 97
4.1.2 Holomorphic Differentials with Log Poles . ..... .... 99
4.1.3 GAGA ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 100
4.2 Holomorphic de Rham Cohomology via the h0-Topology . .... 102
4.2.1 h0-Differentials .. .... .... .... .... .... ..... .... 102
4.2.2 Holomorphic de Rham Cohomology . .... ..... .... 103
4.2.3 GAGA ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 104
5 The Period Isomorphism ..... .... .... .... .... .... ..... .... 107
5.1 The Categoryðk;QÞ(cid:2)Vect .... .... .... .... .... ..... .... 107
5.2 A Triangulated Category . .... .... .... .... .... ..... .... 108
5.3 The Period Isomorphism in the Smooth Case . .... ..... .... 109
5.4 The General Case (via the h0-Topology) . .... .... ..... .... 111
5.5 The General Case (Deligne’s Method) ... .... .... ..... .... 113
Contents vii
6 Categories of (Mixed) Motives .... .... .... .... .... ..... .... 117
6.1 Pure Motives . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 117
6.2 Geometric Motives ..... .... .... .... .... .... ..... .... 119
6.3 Absolute Hodge Motives . .... .... .... .... .... ..... .... 124
6.4 Mixed Tate Motives .... .... .... .... .... .... ..... .... 129
Part II Nori Motives
7 Nori’s Diagram Category .... .... .... .... .... .... ..... .... 137
7.1 Main Results . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 137
7.1.1 Diagrams and Representations .. .... .... ..... .... 137
7.1.2 Explicit Construction of the Diagram Category .. .... 139
7.1.3 Universal Property: Statement .. .... .... ..... .... 140
7.1.4 Discussion of the Tannakian Case ... .... ..... .... 144
7.2 First Properties of the Diagram Category .... .... ..... .... 145
7.3 The Diagram Category of an Abelian Category .... ..... .... 149
7.3.1 A Calculus of Tensors .... .... .... .... ..... .... 150
7.3.2 Construction of the Equivalence . .... .... ..... .... 156
7.3.3 Examples and Applications .... .... .... ..... .... 164
7.4 Universal Property of the Diagram Category .. .... ..... .... 165
7.5 The Diagram Category as a Category of Comodules ..... .... 168
7.5.1 Preliminary Discussion .... .... .... .... ..... .... 168
7.5.2 Coalgebras and Comodules .... .... .... ..... .... 169
8 More on Diagrams . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 177
8.1 Multiplicative Structure .. .... .... .... .... .... ..... .... 177
8.2 Localisation .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 188
8.3 Nori’s Rigidity Criterion . .... .... .... .... .... ..... .... 191
8.4 Comparing Fibre Functors .... .... .... .... .... ..... .... 195
8.4.1 The Space of Comparison Maps .... .... ..... .... 196
8.4.2 Some Examples . .... .... .... .... .... ..... .... 201
8.4.3 The Description as Formal Periods ... .... ..... .... 204
9 Nori Motives .. .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 207
9.1 Essentials of Nori Motives ... .... .... .... .... ..... .... 207
9.1.1 Definition . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 207
9.1.2 Main Results ... .... .... .... .... .... ..... .... 209
9.2 Yoga of Good Pairs ..... .... .... .... .... .... ..... .... 212
9.2.1 Good Pairs and Good Filtrations .... .... ..... .... 212
9.2.2 Čech Complexes .... .... .... .... .... ..... .... 213
9.2.3 Putting Things Together ... .... .... .... ..... .... 216
9.2.4 Comparing Diagram Categories . .... .... ..... .... 218
viii Contents
9.3 Tensor Structure .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 220
9.3.1 Collection of Proofs .. .... .... .... .... ..... .... 225
9.4 Artin Motives .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 226
9.5 Change of Fields .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 228
10 Weights and Pure Nori Motives ... .... .... .... .... ..... .... 233
10.1 Comparison Functors .... .... .... .... .... .... ..... .... 233
10.2 Weights and Nori Motives ... .... .... .... .... ..... .... 236
10.2.1 André’s Motives . .... .... .... .... .... ..... .... 237
10.2.2 Weights .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 238
10.3 Tate Motives . .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 241
Part III Periods
11 Periods of Varieties .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 247
11.1 First Definition ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 247
11.2 Periods for the Categoryðk;QÞ(cid:2)Vect ... .... .... ..... .... 250
11.3 Periods of Algebraic Varieties . .... .... .... .... ..... .... 253
11.3.1 Definition . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 253
11.3.2 First Properties .. .... .... .... .... .... ..... .... 255
11.4 The Comparison Theorem .... .... .... .... .... ..... .... 256
11.5 Periods of Motives ..... .... .... .... .... .... ..... .... 258
12 Kontsevich–Zagier Periods ... .... .... .... .... .... ..... .... 261
12.1 Definition ... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 261
12.2 Comparison of Definitions of Periods ... .... .... ..... .... 265
13 Formal Periods and the Period Conjecture .. .... .... ..... .... 273
13.1 Formal Periods and Nori Motives .. .... .... .... ..... .... 273
13.2 The Period Conjecture ... .... .... .... .... .... ..... .... 277
13.2.1 Formulation in the Number Field Case ... ..... .... 278
13.2.2 Consequences ... .... .... .... .... .... ..... .... 279
13.2.3 Special Cases and the Older Literature .... ..... .... 282
13.2.4 The Function Field Case .. .... .... .... ..... .... 284
13.3 The Case of 0-Dimensional Varieties ... .... .... ..... .... 287
Part IV Examples 289
14 Elementary Examples .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 291
14.1 Logarithms .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 291
14.2 More Logarithms .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 293
14.3 Quadratic Forms .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 294
14.4 Elliptic Curves .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 297
14.5 Periods of 1-Forms on Arbitrary Curves . .... .... ..... .... 301
Contents ix
15 Multiple Zeta Values ... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 307
15.1 A (cid:2)-value, the Basic Example . .... .... .... .... ..... .... 307
15.2 Definition of Multiple Zeta Values . .... .... .... ..... .... 310
15.3 Kontsevich’s Integral Representation .... .... .... ..... .... 312
15.4 Relations Among Multiple Zeta Values .. .... .... ..... .... 314
15.5 Multiple Zeta Values and Moduli Space
of Marked Curves . ..... .... .... .... .... .... ..... .... 320
15.6 Multiple Polylogarithms . .... .... .... .... .... ..... .... 321
15.6.1 The Configuration ... .... .... .... .... ..... .... 322
15.6.2 Singular Homology .. .... .... .... .... ..... .... 323
15.6.3 Smooth Singular Homology .... .... .... ..... .... 326
15.6.4 Algebraic de Rham Cohomology and the Period
Matrix of ðX;DÞ . .... .... .... .... .... ..... .... 327
15.6.5 Varying the Parameters a and b . .... .... ..... .... 331
16 Miscellaneous Periods: An Outlook .... .... .... .... ..... .... 337
16.1 Special Values of L-Functions . .... .... .... .... ..... .... 337
16.2 Feynman Periods .. ..... .... .... .... .... .... ..... .... 341
16.3 Algebraic Cycles and Periods . .... .... .... .... ..... .... 343
16.4 Periods of Homotopy Groups . .... .... .... .... ..... .... 347
16.5 Exponential Periods ..... .... .... .... .... .... ..... .... 349
16.6 Non-periods .. .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 350
Glossary.. .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 355
References.... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 359
Index .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... ..... .... 369
Preface, with an Extended Introduction
Theaimofthisbookistopresentthetheoryofperiodnumbersandtheirstructural
properties.Thesecondmainthemeisthetheoryofmotivesandcohomologywhich
lies behind these structural properties.
The genesis of this book is involved. Some time ago, we were fascinated by a
theorem of Kontsevich [Kon99], stating that his algebra of formal periods is a
pro-algebraic torsor under the motivic Galois group of motives. He attributed this
result to Nori, but no proof was indicated.
We came to understand that it would indeed follow more or less directly from
Nori’s unpublished description of an abelian category of motives. After realising
this, we started to work out many details in our preprint [HMS11] from 2011.
Over the years, we have also realised that periods themselves generate a lot of
interest,veryoftenfromnon-specialistswhoarenotfamiliarwithallthetechniques
contributing to the story. Hence, we thought it would be worthwhile to make this
background accessible to a wider audience.
We started to write this monograph in a style that is also suited for non-expert
readers by adding several introductory chapters and many examples.
General Introduction
So what are periods?
A Naive Point of View
Period numbers are complex numbers defined as values of integrals
Z
!
(cid:3)
xi