pénzügyi matematika

450 Pages·2014·2.87 MB·Hungarian

PÉNZÜGYI MATEMATIKA
Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához
sorozat
Algoritmuselmélet
Algoritmusok bonyolultsága
Analitikus módszerek a pénzügyekben
Bevezetés az analízisbe
Differential Geometry
Diszkrét optimalizálás
Diszkrét matematikai feladatok
Geometria
Igazságos elosztások
Interaktív analízis feladatgyűjtemény matematika BSc hallgatók számára
Introductory Course in Analysis
Pénzügyi matematika
Mathematical Analysis – Exercises 1-2
Mértékelmélet és dinamikus programozás
Numerikus funkcionálanalízis
Operációkutatás
Operációkutatási példatár
Optimális irányítások
Parciális differenciálegyenletek
Példatár az analízishez
Szimmetrikus kombinatorikai struktúrák
Többváltozós adatelemzés
Medvegyev Péter
PÉNZÜGYI
MATEMATIKA
Budapesti Corvinus Egyetem
Typotex
2014
(cid:13)c 2014–2019, Dr. Medvegyev Péter, Budapesti Corvinus Egyetem,
Matematika tanszék
Lektorálta: Dr. Badics Tamás
Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)
A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon má-
solható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.
ISBN 978 963 279 255 2
Készült a Typotex Kiadó (http://www.typotex.hu) gondozásában
Felelős vezető: Votisky Zsuzsa
Műszaki szerkesztő: Gerner József
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú, „Jegyzetek és pél-
datárak a matematika egyetemi oktatásához” című projekt keretében.
KULCSSZAVAK:Arbitrázs,arbitrázslehetetlensége,martingál,lokálismar-
tingál, szemimartingál, opciók, opciók árazása, európai opciók, amerikai op-
ciók,ázsiaiopciók,származtatotttermékek,sztochasztikusdifferenciálegyen-
letek, Itô-formula, sztochasztikus analízis, Wiener-folyamat, kvadratikus va-
riáció, sztochasztikus integrálás, kamatlábmodellek, Black–Scholes-modell.
ÖSSZEFOGLALÁS: A könyv a pénzügyi matematika legismertebb modell-
jeit foglalja össze. Az első rész a diszkrét és véges időhorizonton definiált
modellekettárgyalja,amásodikrészafolytonosidőábrázoláseseténdefiniált
modellek elméletét ismerteti. A közismert európai és barrier opciók mellett
bemutatásrakerülnekazamerikaiésazázsiaiopciókis.Akönyvamesterszin-
tű egyetemi pénzügyimatematika-oktatás számára készült, és a közgazdasági
alkalmazások mellett tartalmazza a szükséges matematikai alapokat is.
Tartalomjegyzék
Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. A várható jelenérték szabálya és martingálmértékek 3
1.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Martingálok és a várható jelenérték szabály . . . . . . . . . . 8
2. Az eszközárazás alaptétele diszkrét időhorizonton 17
2.1. A Dalang–Morton–Willinger-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. A tétel kimondása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Az L0 tér elemi tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3. A Kreps–Yan szeparációs tétel . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4. A tétel bizonyítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. A piac teljessége, az eszközárazás második alaptétele . . . . . 30
2.3. Európai eszközök árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Nincs diszkontálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Diszkontálás, önfinanszírozó portfóliók . . . . . . . . . 38
2.3.3. Elveszett illúziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Az amerikai opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1. Szuperreplikálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2. A megállási opciókról szóló tétel . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3. Az optimális megállítás problémája. . . . . . . . . . . 46
2.4.4. Snell-féle burkoló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.5. Optimális megállításra vonatkozó példák. . . . . . . . 54
2.4.6. A Doob–Meyer-felbontás és a szuperhedge létezése . . 59
3. Néhány tétel a sztochasztikus folyamatok elméletéből 63
3.1. Néhány alapfeltevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Sztochasztikus integrálás folytonos integrandusok esetén . . . 75
3.2.1. A sztochasztikus integrál definíciója . . . . . . . . . . 76
3.2.2. Az integrál létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3. A Fisk-féle egyértelműségi tétel . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.4. Az integrál és a határérték felcserélhetősége . . . . . . 90
i
3.2.5. A kvadratikus variáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.6. Helyettesítéses integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.7. Mikor lesz egy sztochasztikus integrál valódi martingál 104
3.2.8. Sztochasztikus integrálás és arbitrázs . . . . . . . . . . 108
3.3. Itô-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4. Girszanov-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.1. Lokálisan ekvivalens mértékcsere . . . . . . . . . . . . 125
3.4.2. Mértékcserék konstruálása . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4.3. Egy érdekes ellenpélda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5. Sztochasztikus differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . 144
3.5.1. A megoldás egyértelműsége . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.2. Erős megoldás létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.5.3. A martingálprobléma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.5.4. Gyenge megoldások létezése, Szkorohod tétele . . . . . 172
3.5.5. Néhány példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.5.6. Erős Markov-tulajdonság . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.7. Infinitezimális generátor és a resolvens operátor . . . . 199
3.6. Az integrálás kiterjesztése előrejelezhető integrandusokra . . . 206
3.6.1. Előrejelezhető folyamatok és kiterjesztés Itô-izometriával206
3.6.2. A kiterjesztett integrál tulajdonságai . . . . . . . . . . 210
3.6.3. Az integrál további kiterjesztése . . . . . . . . . . . . 215
3.6.4. Folytonos szemimartingálok szerinti integrálás. . . . . 218
3.6.5. Sztochasztikus integrálás és mértékcsere . . . . . . . . 221
3.7. Az integrálreprezentációs tétel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.7.1. Lokális martingálokkal való integrálreprezentációs tétel 224
3.7.2. Négyzetesen integrálható martingálokkal való integrál-
reprezentációs tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.7.3. Lokális martingálok reprezentálása . . . . . . . . . . . 239
4. Az eszközárazás diffúziós modellje 243
4.1. Önfinanszírozó portfóliók és az ármérce . . . . . . . . . . . . 245
4.2. Ekvivalens lokális martingálmérték és arbitrázs . . . . . . . . 249
4.3. Új ármércére való áttérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.4. Az eszközárazás diffúziós modellje . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.5. A kockázat piaci ára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.6. Lokális martingálmérték létezése, Girszanov-formula . . . . . 261
4.7. A lokális martingálmérték egyértelmű . . . . . . . . . . . . . 263
4.8. Integrálreprezentációs tétel és mértékcsere . . . . . . . . . . . 264
4.9. A piac teljessége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.10.Árazási képlet és arbitrázs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.11.A Black–Scholes-differenciálegyenlet . . . . . . . . . . . . . . 270
ii
5. Black–Scholes-világ 273
5.1. Európai opciók árazása. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.1.1. Határidős termékek árazása . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.1.2. Vanilia call opciók árazása, Black–Scholes-formula ki-
számolása Bayes-formulával . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.1.3. Néhány további egyszerű opció . . . . . . . . . . . . . 277
5.1.4. Összetett opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.1.5. Csere opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.1.6. Quanto termékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.2. Útfüggő opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.2.1. A tükrözési elv és a maximumfolyamatok eloszlása . . 290
5.2.2. Barrier opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.2.3. Dupla barrier opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.2.4. Visszatekintő opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.2.5. Ázsiai opciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6. Amerikai opciók folytonos időhorizonton 339
6.1. Az optimális megállítás problémája . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.1.1. A megállási opciókról szóló tétel nem negatív szuper-
martingálokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.1.2. A Snell-burkoló konstruálása . . . . . . . . . . . . . . 344
6.1.3. Az optimalitási kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.1.4. Az optimális megállítási idő létezése . . . . . . . . . . 355
6.1.5. Az optimális megállási idő és a találati idő. . . . . . . 361
6.2. Homogén Itô-diffúziók és az erős Markov-tulajdonság . . . . . 362
6.2.1. Az optimális megállítás problémája Itô-diffúziókra . . 365
6.2.2. Szuperharmonikus függvények. . . . . . . . . . . . . . 365
6.2.3. Szuperharmonikus burkoló és az értékfüggvény . . . . 369
6.2.4. A kilépési idő mint legkisebb optimális megállítás . . . 374
6.2.5. Az optimális megállítás létezése . . . . . . . . . . . . . 375
6.3. Amerikai put opciók árazása és a Doob–Meyer-dekompozíció 378
6.3.1. Amerikai call opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . 381
6.3.2. Az amerikai put opció árazó függvényének tulajdonságai382
7. Kamatlábmodellek 403
7.1. Forward ráták és hozamgörbék . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.2. Azonnali rövid kamatlábmodellek . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.3. A HJM nincsen arbitrázs feltétel . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.1. A HJM-feltétel levezetése . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.2. Markov-tulajdonság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
7.4. Sztochasztikus diszkontfaktor modellek . . . . . . . . . . . . . 424
7.4.1. A feltételes várható értékre vonatkozó Fubini-tétel . . 426
iii
7.4.2. A Flesaker–Hughston-formula . . . . . . . . . . . . . . 428
7.5. Kamat opciók árazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.5.1. A LIBOR-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
7.5.2. A LIBOR-modell konzisztenciája . . . . . . . . . . . . 436
Tárgymutató 438
iv
Előszó
Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében
a Corvinus egyetemen tartott matematikai előadásaim kibővített verziója.
A könyv lényegében két részből áll. Az egyik rész, amely egyetlen fejezet-
ből a harmadik fejezetből áll, a sztochasztikus integrálás és a sztochasztikus
differenciálegyenletek elméletét tartalmazza. Ez utóbbi nem szerepelt az elő-
adásokon, így csak a teljesség kedvéért került az anyagba. A másik rész a
többi fejezetből áll, amelyek a matematikai pénzügyek klasszikus, mondhat-
nám standard elméletét mutatják be. Némiképpen ezt a részt is kibővítet-
tem, ugyanis hozzácsaptam az anyaghoz néhány speciális származtatott ter-
mékrészletestárgyalását.Ígytöbbekközöttrészletesenbemutatomazázsiai
opciókat vagy a különböző barrier opciókat. Ezektől eltekintve a tananyag
megegyezik a korábbi előadások anyagával.
Egy ilyen jellegű tankönyv megírásakor a szerző fő problémája az, hogy
milyentípusúelőismeretekreépítsen.Kártagadni,ajelentankönyvönmagá-
ban nem igazán követhető, ugyanis a sztochasztikus folyamatok elméletének
aktívismeretéttételezemfel.Előszörarragondoltam,hogyalábjegyzetekben
visszautalokkorábbikönyveimre,vagyazirodalombanfellelhetőegyébforrá-
sokra, de aztán ezek elhagyása mellett döntöttem, ugyanis ezek az utalások
csak elbizonytalanítanák az olvasót és az előképzettséggel nem rendelkező
olvasónak amúgy sem segítenének. Általában a jegyzet nem tartalmaz iro-
dalomjegyzéket. Mielőtt ezt valaki a szememre hányná megjegyzem, hogy a
pénzügyimatematikairodalmaolyannagy,hogyáttekintéseszámomraelkép-
zelhetetlenül nehéz lenne, idegen tollakkal, vagyis mások irodalomjegyzéké-
nek az átvételével meg nem akartam ékeskedni. Ha valaki a könyv elolvasása
után a területen akar kutatni, akkor számos olyan könyvet találhat, amelyek
részletesenbemutatjákazirodalmatésmegfelelőutalásokattartalmaznak.A
legkimerítőbb talán Monique Jeanblanc, Marc Yor és Marc Chesney kiváló
monográfiája, amelynek címe Mathematical Methods for Financial Markets,
és a Springer kiadó gondozásában jelent meg 2009-ben. Én ezt a könyvet és
számos más hasonló művet részletesen áttanulmányozva próbáltam az anya-
got összeállítani.
Végezetül kellemes kötelezettségemnek szeretnék eleget tenni. Őszinte há-
lával tartozom egy sor embernek, akik segítettek a könyv megírásakor. Ezek
közüliskiemelkedikBadicsTamás,akiakönyvetátnézteésazabbantalálha-
tó számtalan hibát kijavította. Természetesen csak reménykedhetek abban,
hogy a megmaradt hibák nem teszik a könyvet használhatatlanná.
Medvegyev Péter
1