Pensare l’infinito. Filosofia e matematica dell’infinito in Bernard Bolzano e Georg Cantor.

266 Pages·2016·2.773 MB·Italian

by  Filippo Costantini

MIMESIS / LA SCALA E L’ALBUM
N. 35
Collana e sezione dirette da Luigi Perissinotto
comitato scientifico
Franco Biasutti (Università di Padova)
Silvana Borutti (Università di Pavia)
Giuseppe Cantillo (Università Federico II di Napoli)
Franco Ferrari (Università di Salerno)
Massimo Ferrari (Università di Torino)
Elio Franzini (Università Statale di Milano)
Hans-Helmuth Gander (Albert-Ludwigs-Universitaet Freiburg)
Jeff Malpas (University of Tasmania, Australia)
Salvatore Natoli (Università di Milano-Bicocca)
Stefano Poggi (Università di Firenze)
Ramon Garcia Rodriguez (Universidad Complutense de Madrid)

filippo costantini
PENSARE L’INFINITO
Filosofia e Matematica dell’Infinito
in Bernard Bolzano e Georg Cantor
MIMESIS
Il volume è stato pubblicato con il contributo del Dipartimento di Filosofia e Beni
culturali dell’Università “Ca’ Foscari” di Venezia.
MIMESIS EDIZIONI (Milano – Udine)
www.mimesisedizioni.it
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Collana: La scala e l’album n. 35
Isbn: 9788857538150
© 2016 – MIM EDIZIONI SRL
Via Monfalcone, 17/19 – 20099
Sesto San Giovanni (MI)
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INDICE
prefazione
di Paolo Pagani 11
introduzione 19
ringraziamenti 23
parte prima
BERNARD BOLZANO
1. logica e matematica in Bolzano 29
1.1 Breve panoramica sulla logica di Bolzano 29
Proposizioni e rappresentazioni in sé 30
Bolzano e il mentitore 34
Carattere eterno delle verità in sé 35
Analiticità e validità 37
Compatibilità 39
Deducibilità 40
Probabilità 43
Relazione di fondazione (Abfolge) 44
1.2 La matematica nel pensiero di Bolzano 45
1.3 Quale relazione tra matematica e logica? 50
2. il concetto di “infinito” e primi conati insiemistici 53
2.1 Il concetto bolzaniano di “insieme” 54
2.2 Il concetto di “infinito” 58
2.3 Rapporti di grandezza tra insiemi 61
3. dalla matematica alla filosofia della natura 65
3.1 I concetti di “successione” e di “continuo” 65
3.2 La continuità dello spazio e del tempo 67
3.3 Breve intermezzo: Zenone vs Weierstrass 73
3.4 La continuità nell’ambito delle sostanze 82
La natura del movimento 83
4. l’infinito attuale 89
4.1 L’intero come “somma di tutte le cose” 89
Che cos’è l’infinito attuale 88
Coerenza di tale posizione all’interno della filosofia
bolzaniana: applicazione dei concetti matematici
all’ambito del reale 92
Il concetto di Dio 92
Discussione sull’infinito hegeliano 94
4.2 Negazione dialettica e negazione analitica 96
4.3 Le rappresentazioni negative 100
4.4 La rappresentazione in sé “qualcosa” 105
Sull’infinito attuale e il principio di non contraddizione 109
4.5 Appendice al capitolo 4: Hume o Euclide? 110
parte seconda
GEORG CANTOR
5. dai numeri reali alla teoria degli insiemi 115
5.1 Le “sezioni” di Dedekind 117
5.2 La teoria dei reali di Cantor e sviluppi insiemistici 122
6. insiemi, numeri cardinali e ordinali 129
6.1 Il concetto di “insieme” 129
6.2 I numeri cardinali 140
Un’ulteriore definizione per astrazione 145
Ancora Bolzano! 149
Riflessività come infinità di un insieme 151
6.3 I numeri ordinali 153
7. numeraBile e continuo 157
7.1 Insiemi numerabili 157
7.2 Non numerabilità del continuo: la diagonalizzazione 163
7.3 Figure geometriche a più dimensioni 166
Borges, Cantor e l’eterno ritorno 171
8. teoria del transfinito 173
8.1 Insiemi lineari di punti 173
8.2 Numeri ordinali transfiniti 177
8.3 Numeri cardinali transfiniti 184
Differenza tra i numeri finiti e i numeri infiniti 188
Transfinito e irrazionalità 189
8.4 Il principio del dominio e le sue implicazioni filosofiche 191
L’assoluto non è un insieme 194
Matematica e libertà 196
8.5 Questioni filosofiche sollevate dal transfinito 198
9. le antinomie logiche 207
9.1 Esposizione informale dei tre principali paradossi 207
Il paradosso di Burali-Forti 207
Il paradosso di Russell 209
Il paradosso di Cantor 210
L’approccio cantoriano alle antinomie 211
9.2 La struttura logica delle antinomie: l’inclosure schema 213
9.3 Che cosa ci dicono i paradossi? 215
Estensibilità indefinita 216
Perché l’estensibilità indefinita? 217
Qual è il significato della indefinita estensibilità? 219
Spunti metafisici a partire dai paradossi 223
parte terza
LA TEORIA ASSIOMATICA DEGLI INSIEMI ZFC
1. Ogni insieme può essere bene ordinato:
la dimostrazione di Zermelo del 1904 231
2. Il sistema assiomatico Zermelo-Fraenkel 238
Breve nota sulla questione della nozione definita 245
3. Alcuni interessanti sviluppi della logica matematica
inerenti alla teoria assiomatica degli insiemi 246
4. Nota conclusiva: quale rapporto tra le teorie assiomatiche
e i paradossi? 248
conclusioni 251
BiBliografia 255

Ai miei genitori