Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker

474 Pages·2009·2.859 MB·German

by  Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister (auth.)

Klemens Burg | Herbert Haf | Friedrich Wille | Andreas Meister
Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen
Klemens Burg | Herbert Haf
Friedrich Wille | Andreas Meister
Partielle
Differentialgleichungen
und funktionalanalytische
Grundlagen
Höhere Mathematik für Ingenieure,
Naturwissenschaftler und Mathematiker
4., überarbeitete und erweiterte Auflage
Bearbeitet von
Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel
Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, Universität Kassel
STUDIUM
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Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, geb. 1938 in Pfronten/Allgäu.1956–1960 Studium der Feinwerk-
technik-Optik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München.1960–1966 Studium der Mathematik
und Physik an der RWTH Aachen.1966 Diplomprüfung in Mathematik.1966–1970 Wiss. Ass., 1968
Promotion.1970–1974 Akad. Rat/Oberrat an der Universität Stuttgart.1968–1974 Lehraufträge an
der Universität Stuttgart.1974–2003 Prof. für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel.
Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Approximationstheorie.
Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, geb. 1966 in Einbeck.1987–1993 Studium der Mathematik mit
Nebenfach Informatik an der Georg-August-Universität Göttingen.1993 Diplomprüfung in Mathe-
matik.1993–1996 Promotionsstipendium an der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt
in Göttingen, 1996 Promotion an der TH Darmstadt.1996 Wiss. Mitarb. am Fraunhofer Institut für
Techno- und Wirtschaftsmathematik Kaiserslautern.1996–1997 Wiss. Mitarb., 1997–2002 Wiss.
Ass. an der Universität Hamburg. 2001 Habilitation und Privatdozent am FB Mathematik der
Universität Hamburg. 2002–2003 Hochschuldozent an der Universität zu Lübeck. Seit 2003 Prof.
für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel.
Arbeitsgebiete: Numerik partieller Differentialgleichungen und Numerik linearer Gleichungssysteme.
1. Auflage 1989
4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009
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Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann
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Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0861-5
Meinem verehrten akademischen Lehrer Prof. Dr. Peter Werner
gewidmet
Vorwort
Die vorliegende Neuauflage der Höheren Mathematik mit dem Schwerpunkt Partielle Diffe-
rentialgleichungenundderBereitstellungvonHilfsmittelnderFunktionalanalysisstelltdieAb-
rundung unserer Lehrbuchreihe dar. Aufgrund ihrer Bedeutung für die Elektrodynamik haben
wir zusätzlich eine Einführung in die Theorie der Maxwellschen Gleichungen in diesen Band
aufgenommen(s.Abschn.8).
DieAdressatensind—wieschonbeidenanderenBänden—inersterLinieStudierendeder
Ingenieurwissenschaften,aberdarüberhinausauchderAngewandtenMathematik,insbesondere
derTechnomathematik,sowiederPhysik,derPhysikalischenChemieundderInformatik.Auch
der»reineMathematiker«wirdmanchesLesenswerteindiesemBuchfinden.
ZumLernen,begleitendzurVorlesungoderzumSelbststudium,zumVertiefen,Nachschlagen
und Wiederholen sind die Bände von Nutzen. Bei der Examensvorbereitung, wie auch in der
späterenBerufspraxisfindetderLeserHilfeindieser»Wissensbank«.
Auch dieser Band ist relativ unabhängig von den übrigen Bänden gestaltet. Das nötige Vor-
wissen steht natürlich in den vorangehenden Bänden, aus denen es der Leser entnehmen kann.
Er kann es natürlich auch anders erworben haben. Auch muß man die vorangehenden Bände
nichtWortfürWortdurchstudierthaben,umdiesenverstehenzukönnen.BenötigteInhalteaus
früheren Bänden werden gezielt zitiert, oft sogar kurz wiederholt, so daß sich umständliches
Nachschlagenerübrigt.
DerersteThemenbereichdiesesBandesistdurchdieFunktionalanalysisgegeben.Siewurde
imletztenJahrhundertentwickeltundstelltmittlerweileauchfürdenprimäranAnwendungen
Interessierten ein nützliches und modernes mathematisches Instrumentarium dar. Nicht zuletzt
istdiemoderneNumerischeMathematikinhohemMaßeaufsieangewiesen.DieFunktionalana-
lysisistzweifellosvonhöheremAbstraktionsgrad.DochschonderTeilpartielleDifferentialglei-
chungenzeigtrechtüberzeugend,wieleistungsfähigdieFunktionalanalysisist.
UmdieTheoriefürdenvonunsangesprochenenLeserkreisnichtausufernzulassen,haben
wirnichtsämtlichePrinzipienderFunktionalanalysisindiesenBandaufgenommen.Stattdessen
haben wir uns in der Regel auf solche beschränkt, mit denen wir auch weitergearbeitet haben.
Eine Ausnahme stellt hier der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach dar. Aufgrund seiner allge-
meinenBedeutungerscheintunsseineAufnahmeunverzichtbar.Erfindetsich(mitBeweis)im
Anhang.
Einige lineare Integralgleichungen, etwa solche vom Volterraschen Typ oder verschiedene
FredholmscheIntegralgleichungen2-terArt,wurden—wieheuteüblich—indenFunktional-
analysis-Teilintegriert.
AbweichendvomStandardweg,derüberdieLebesgue-Theorieführt,sindwirzurEinführung
◦
desLebesgueraumesL undderSobolevräumeH undH einemvonP.Werner[62]eröffneten
2 m m
Zugang gefolgt (s. Abschnitt 3). Diese Räume werden hierbei auf funktionalanalytische Weise,
genauer,unterdistributionentheoretischenGesichtspunkten,diskutiert.WelcheGründesprechen
dafür?ZumeinenstehenunsdiebenötigtenfunktionalanalytischenHilfsmitteldurchdievorher-
gehendenAbschnitte1und2bereitsinvollemUmfangzurVerfügung,sodaßwiraufziemlich
rascheundeleganteWeisezudiesenRäumengelangen.EinweitererVorzugbestehtdarin,daß
sicheinfürdie»Hilbertraummethoden«(s.Abschn.10)benötigterschwacherAbleitungsbegriff
imRahmendiesesZugangsganznatürlicheinordnet.
DiepartiellenDifferentialgleichungen,diedeneigentlichenSchwerpunktdiesesBandesaus-
machen,besitzeneinegroßeAnwendungsrelevanz.VondaheristhiereineMotivierungmöglich,
dieunmittelbarvonkonkretenSachverhaltenausgeht.SowohldasAufstellenvonpartiellenDif-
ferentialgleichungen(s.Abschn.4.1.3),alsauchdieErarbeitungvonLösungsmethodenzeigen,
daßwirden»Abnehmer«vonMathematiksehrwohlimBlickhaben.Aufgrundderaußerordent-
lichen Breite des Gebietes ist es unumgänglich, eine Auswahl der Differentialgleichungstypen
wieauchderLösungsverfahrenzutreffen.SohabenwirausschließlichlinearepartielleDifferen-
tialgleichungenundimRahmenderlinearenTheorieinsbesonderedie»Schwingungsgleichung«,
die»Wärmeleitungsgleichung«unddie»Wellengleichung«untersucht(Abschnitte5bis7).Parti-
elleDifferentialgleichungenersterOrdnungsindvonunsnurkurzgestreiftundaufSystemevon
gewöhnlichenDifferentialgleichungenzurückgeführtworden(s.Abschn.4.2).EineAnwendung
aufdieKontinuitätsgleichungfindetsichinAbschnitt4.2.2.
DieHelmholtzscheSchwingungsgleichungmitihremwichtigenSpezialfall,derPotentialglei-
chung, nimmtin diesem Band einenbesonders breiten Raumein (s. Abschn. 5). Dies läßtsich
durchdieSchlüsselstellungdieserGleichungbegründen.NebenihrerunmittelbarenBedeutung
für die Anwendungen führen Separationsansätze bei der Wärmeleitungsgleichung, der Wellen-
gleichungunddenMaxwellschenGleichungenaufdieSchwingungsgleichung(s.Abschn.4.3.2
undÜb.4.7).
GanzraumproblemehabenwirganzallgemeinimRnuntersucht.Dadurchgewinnenwirfürje-
deDimensionngeeigneteAbklingbedingungenimUnendlichen,diezureindeutigenLösungvon
Randwertaufgaben benötigt werden. Dabei lassen sich die in Burg/Haf/Wille [21], Abschnitt 5
mitfunktionentheoretischenMethodenerarbeitetenResultateüberdieHankelschenFunktionen
besondersschönanwenden.
Es ist uns ein Anliegen, den mathematisch interessierten Leser möglichst schonend in zwei
interessante und wichtige neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der partiellen Differentialglei-
chungeneinzuführen:Indie»Integralgleichungsmethoden«(s.Abschn.5.3)undindie»Hilbert-
raummethoden« (s. Abschn. 10). Beide Bereiche sind in der zweiten Hälfte des vorigen Jahr-
hunderts entstanden. An ihnen wird der Nutzen der Funktionalanalysis überzeugend deutlich.
DiedenHilbertraummethodenzugrundeliegenden»schwachenFormulierungen«(oder»Variati-
onsformulierungen«)derentsprechendenDifferentialgleichungsproblemestellendenAusgangs-
punktfürmodernenumerischeVerfahrenzuderenLösungdar(Ritz-Galerkin-Verfahren,Metho-
dederfinitenElemente).
Dieser Band kann die umfangreiche Numerik der partiellen Differentialgleichungen nicht
abdecken. Hier verweisen wir auf die einschlägige Literatur (s. Literaturverzeichnis). In Ab-
schnitt5.5,dervonF.Willegeschriebenwurde,gebenwireinekurzeEinführungindiewichtige
MethodederfinitenElemente.DieserAbschnittistunabhängigvondenAbschnitten3bzw.10
gestaltet, um den an Theorie weniger interessierten Lesern dennoch eine Methode zur numeri-
schen Lösungsbestimmung an die Hand zu geben. Zum besseren Verständnis der »Hintergrün-
de« empfiehlt sich allerdings ein Studium der genannten Abschnitte. Weiterführende Literatur
zurNumerikpartiellerDifferentialgleichungen,findetsichinsbesondereamEndederjeweiligen
Abschnitte.
Wir haben uns auch in diesem Band wieder um eine Ausgewogenheit zwischen Theoriean-
spruchundAnwendungsbezogenheitbemüht.Rücksichtnahmeaufden»Abnehmer«vonMathe-
matik,ohnePreisgabemathematischerGenauigkeit,warunsdabeiwichtig.
ImTeilpartielleDifferentialgleichungenspiegeltsichdieprägendeWirkungzahlreicheraus-
gezeichneterVorlesungenundVorträgewieder,diederVerfasseralsStudentbeidenProfessoren
R. Leis und C. Müller, bzw. als Assistent und Mitarbeiter bei Professor P. Werner gehört hat.
Ihnen möchten wir an dieser Stelle danken. Besonderer Dank gebührt hierbei Herrn Prof.Dr.
P.Werner(UniversitätStuttgart),demdieserBandgewidmetist.SeinRat,seinewertvollenHin-
weiseundAnregungenwarenunssehrhilfreich.OriginalarbeitenvonihmbildendieGrundlage
fürdieAbschnitte3und10.
Ferner danken wir Herrn Dipl.-Inf. J. Barner für die Erstellung der ausgezeichneten LATEX-
Vorlage.
Nicht zuletzt gilt unser Dank dem Verlag B.G. Teubner für seine ständige Gesprächsbereit-
schaft,RücksichtnahmeaufTerminproblemeundGestaltungswünsche.
Kassel,Juli2004 HerbertHaf
VorwortzurviertenAuflage
Die vorliegende vierte Auflage dieses Bandes stellt eine Überarbeitung und Erweiterung der
vorangehendenAuflagedar.AufgrundihrerBedeutungfürdieStrömungsmechanikwurdendie
Eulerschen Gleichungen der Gasdynamik aufgenommen. Die Verfasser hoffen nun, daß dieser
letzteBandunseressechsteiligenGesamtwerkes»HöhereMathematikfürIngenieure«auchwei-
terhineinefreundlicheAufnahmedurchdieLeserfindet.FürAnregungensindwirdankbar.
Unser Dank gilt in besonderer Weise Herrn Prof. Dr. Thomas Sonar von der Technischen
UniversitätBraunschweigfürdiekritischeSichtungderneuenAbschnitteundfürwertvolleHin-
weisezudiesemBand.DesweiterenmöchtenwirHerrnDr.-Ing.JörgBarnerfürdieErstellung
der hervorragenden LATEX-Vorlage und Herrn Klaus Strube für die gewohnt präzise Erstellung
derindieserAuflageneuaufgenommenenAbbildungendanken.Nichtzuletztdankenwirdem
VerlagVieweg+TeubnerfüreinebewährteundangenehmeZusammenarbeit.
Kassel,Juni2009 HerbertHaf,AndreasMeister
Inhaltsverzeichnis
I Funktionalanalysis 1
1 GrundlegendeRäume 5
1.1 MetrischeRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 TopologischeHilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 KonvergenzinmetrischenRäumen.Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 BestapproximationinmetrischenRäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5 DerBanachscheFixpunktsatz.Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 NormierteRäume.Banachräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1 LineareRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.2 NormierteRäume.Banachräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Skalarprodukträume.Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1 Skalarprodukträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.2 Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.3 EinApproximationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.4 DerZerlegungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.5 OrthonormalsystemeinHilberträumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.3.6 FourierentwicklunginHilberträumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3.7 StrukturvonHilberträumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 LineareOperatoreninnormiertenRäumen 75
2.1 BeschränktelineareOperatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 StetigkeitundBeschränktheit.Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.2 FolgenundReihenvonbeschränktenOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1.3 DieNeumannscheReihe.Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.4 LineareFunktionaleinnormiertenRäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.5 DerRieszscheDarstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.1.6 AdjungierteundsymmetrischeOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2 FredholmscheTheorieinSkalarprodukträumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2.1 VollstetigeOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.2 AusgearteteOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2.3 DieFredholmscheAlternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.2.4 DerFredholmscheAlternativsatzinHilberträumen . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.2.5 DerFredholmscheAlternativsatzinSkalarprodukträumen . . . . . . . . . . . 109
2.3 SymmetrischevollstetigeOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
XII Inhaltsverzeichnis
2.3.1 Eigenwerteund-elementevollstetigersymmetrischerOperatoren.Fourierent-
wicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3.2 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.3.3 AnwendungaufsymmetrischeIntegraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.3.4 EinSturm-LiouvilleschesEigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.3.5 DasSpektrumeinessymmetrischenOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3 DerHilbertraum L (Ω)undzugehörigeSobolevräume 147
2
3.1 DerHilbertraum L (Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2
3.1.1 Motivierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.2 Definitionvon L (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2
3.1.3 EinbettungvonC∞(Ω)in L (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
0 2
3.1.4 RestriktionundnorminvarianteErweiterungvon L -Funktionalen . . . . . . . 155
2
3.1.5 Produktvon L -FunktionalenmitstetigenFunktionen . . . . . . . . . . . . . 156
2
3.1.6 Differentiationin L (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2
3.2 Sobolevräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.2.1 DerSobolevraum H (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
◦m
3.2.2 DerSobolevraum H (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
m
3.2.3 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
II PartielleDifferentialgleichungen 171
4 Einführung 173
4.1 WasisteinepartielleDifferentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.1 PartielleDifferentialgleichungenbeliebigerOrdnung . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.1.3 HerleitungvonpartiellenDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2 LinearepartielleDifferentialgleichungen1-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2.1 ZurückführungaufSystemegewöhnlicherDifferentialgleichungen . . . . . . . 180
4.2.2 AnwendungaufdieKontinuitätsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.3 LinearepartielleDifferentialgleichungen2-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.1 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.2 Separationsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.4 DerReynoldsscheTransportsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 HelmholtzscheSchwingungsgleichungundPotentialgleichung 195
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.1 HilfsmittelausderVektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1.2 RadialsymmetrischeLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.1.3 DieDarstellungsformelfürInnengebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.1.4 MittelwertformelundMaximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.1.5 Flächen-undVolumenpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2 Ganzraumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2.1 VolumenpotentialeundinhomogeneSchwingungsgleichung . . . . . . . . . . 208
Inhaltsverzeichnis XIII
5.2.2 DieSommerfeldscheAusstrahlungsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.2.3 DieDarstellungsformelfürAußengebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2.4 Ganzraumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.3 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.3.1 ProblemstellungenundEindeutigkeitsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.3.2 Sprungrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.3.3 LösungsnachweisemitIntegralgleichungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 239
5.4 EinEigenwertproblemderPotentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.4.1 DieGreenscheFunktionzumDirichletschenInnenraumproblem . . . . . . . . 253
5.4.2 EigenwerteundEigenfunktionendesLaplace-Operators . . . . . . . . . . . . 256
5.5 EinführungindieFinite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.5.1 DieFréchet-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.5.2 Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.5.3 ElliptischeRandwertproblemeundäquivalenteVariationsprobleme . . . . . . 267
5.5.4 PrinzipderFinite-Elemente-Methode(FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.5.5 DiskretesVariationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.5.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
5.5.7 AusblickaufweitereMöglichkeitenderFinite-Elemente-Methode . . . . . . . 285
6 DieWärmeleitungsgleichung 291
6.1 Rand-undAnfangswertprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.1.1 EinRand-undAnfangswertproblemmitDirichletscherRandbedingung . . . . 292
6.1.2 DieEindeutigkeitsfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.1.3 LösungsbestimmungmittelsEigenwerttheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.2 EinAnfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.2.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.2.2 DieGrundlösungderWärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.2.3 LösungsbestimmungmittelsFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . 298
7 DieWellengleichung 303
7.1 DiehomogeneWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.1.1 AnfangswertproblemeimR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.1.2 AnfangswertproblemeimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.1.3 AnfangswertproblemeimR2(»Methodofdescent«) . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1.4 DasHuygensschePrinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
7.1.5 BemerkungenzuRand-undAnfangswertproblemen . . . . . . . . . . . . . . 316
7.2 DieinhomogeneWellengleichungimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.2.1 DasDuhamelschePrinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.2.2 DieKirchhoffscheFormel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2.3 ErzwungeneSchwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323