Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik: Grundlagen und Integraldarstellungen

426 Pages·2004·53.19 MB·German

by  Prof. Dr. Friedrich Sauvigny (auth.)

Sauvigny
Partielle Differentialgleichungen
der Geometrie und der Physik
Springer
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Paris
To kio
Friedrich Sauvigny
Partielle
Differentialgleichungen
der Geometrie
und der Physik
Grundlagen und Integraldarstellungen
Unter Beriicksichtigung der Vorlesungen
von E. Heinz
Springer
Prof: Dr. Friedrich Sauvigny
Brandenburgische Techn. Universitat Cottbus
Fakultat 1, Lehrstuhl Mathematik, insbes. Analysis
Universitatsplatz
3/4
03044 Cottbus, Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (2000):35,30,31,45,46,49,53
ISBN 3-540-20453-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
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Vorwort zu Band 1 - Grundlagen und
Integraldarstellungen
Partielle Differentialgleichungen treten sowohl in der Physik als auch in der
Geometrie auf. Innerhalh der Mathematik einigen sie die Funktionentheo-
rie. die Differentialeeometrie und die Variationsrechnune. Ihre Untersuchun~
sind, konkurrieren bei den partiellen Differentialgleichungen verschiedene Me-
thoden. Wir wollen nun mit diesem zweihandigen Lehrbuch Studenten mittle-
ren Semesters dieses theorie- und anwendungsreiche Gesamtgebiet PARTIEL-
LE DIFFERENTIALGLEICHUNvoGrEstNell en. Wir setzen Grundkenntnisse der
Analysis voraus, wie sie et,wa in S. Hildebrandt,~w nnderschonen Vorlesnngen
[Hi1,2]o der den Skripten [S1,2] dargestellt sind. Zur Bequemlichkeit des Lesers
entwickeln wir die weiteren Grundlagen der Analysis in einer Form, wie sie fiir
die partiellen Differentialgleichungen angemessen ist. So klinnte dieses Lehr-
buch fiir einen mehrsemestrigen Kurs venvendet werden. Eine Gesamtuber-
sicht iiher die behandelten Themen ist dem Inhaltsverzeichnis zu entnehmen.
Fortgeschrittene Leser konnen jedes Kapitel auch unabhejlgig voneinander
studieren.
In Kapitel I wird die Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten
behandelt, wobei wir das uneigentliche Ftiemannsche Integral verwenden. Nach
dem Weierstraflschen Approximationssatz in 5 1 werden in 5 2 Differentialfor-
men als Funktionale auf Flachen wie in [R] eingefiihrt. Ihre Rechenregeln
ergeben sich sofort aus den Determinantengesetzen und der Transformations-
formel fiir mehrfache Integrale. Mit Hilfe der Zerlegnng der Eins und geeigne-
ter Approximation wird dann in 5 4 der Stokessche Integralsatz bewiesen fiir
Mannigfaltigkeiten, welche neben einem reguliiren auch einen singuliiren Rand
der Kapazitat Null haben. Wir erhalten in 5 5 insbesondere den GauDschen
Integralsatz ftir singnlare Gebiete wie in [HI], welcher fiir die Theorie part,i-
eller Differentialgleichungen unverzichtbar ist. Nach den Kurvenintegralen in
5 6 werden wir [GL] folgend in 5 7 A. Weils Beweis des Poincar6schen Lemmas
darstellen. In 5 8 konstruieren wir explizit den *-Operator fiir gewisse Diffe-
vi Vorwort zu Band 1 - Grundlagen und Integraldarstellungen
rentialformen und erklaren damit die Beltrami-Operatoren. SchlieBlich stellen
wir den Laplaceoperator in n-dimensionalen Kugelkoordinaten dar.
In Kapitel I1 werden konstruktiv die Grundlagen der Funktionalanalysis be-
reitgestellt. Nachdem wir in § 1 das Daniellsche Integral vorgestellt haben,
kijnnen wir in 2 das Riemannsche Integral fortsetzen zum Lebesgue-Integral.
Letzteres ist durch Konvergenzsatze fur punktweise konvergente Funktionen-
folgen ausgezeichnet. Die Theorie der Lebesgue- meBbaren Mengen und Funk-
tionen ergibt sich auf natiirliche Weise in § 3 und § 4. In § 5 vergleichen wir
das Lebesgue- mit dem Riemann-Integral. Danu behandeln wir Banach- und
Hilbert-Raume in 8 6 und stellen in § 7 als klassische Banach-Raume die Le-
besgueschen Raume LP(X) vor. Von zentraler Bedeutung sind Auswahlsiitze
beziiglich der fast-iiberall- Konvergenz von H. Lebesgue und beziiglich schwa-
cher Konvergenz von D. Hilbert. Mit Ideen von J. v. Neumann untersuchen
wir in 8 beschrankte lineare Funktionale auf Lp(X). Fur dieses Kapitel habe
ich sehr profitiert von einem Proseminar iiber Funktionalanalysis bei meinem
akademischen Lehrer, Herrn Prof. Dr. E. Heinz, an welchem ich als Student
mitarbeiten konnte.
In Kapitel I11 werden die topologischen Eigenschaften stetiger Abbildungen
im Rn st,udiert und das Losen nichtlinearer Gleichungssysteme untersucht.
Hierzu verwendet man den Brouwerschen Abbildungsgrad, fiir welchen man
E. Heinz eine geniale Integraldarstellung verdankt (vgl. [H8]). Neben den Fun-
damentaleigenschaften des Abbildungsgrades erhalt,en wir klassische Satze der
Topologie, wie etwa den Igelsatz von PoincarA oder das Theorem von Jordan-
Brouwer uber topologische Spharen im Rn. Im Fall n = 2 ergibt sich die
Theorie der Umlaufszahl. In diesem Kapitel stellen wir im wesentlichen den
ersten Teil der Vorlesung [H4] von E. Heinz uber Fixpunktsatze dar.
In Kapitel IV behandeln wir Funktionentheorie im eigentlichen Sinne, nejnlich
die Theorie holomorpher Funktionen in einer und mehreren komplexen Ver-
anderlichen. Da wir den Stokesschen Integralsatz verwenden, kommen wir
sehr schnell zu den wohlbekannten Aussagen der Funktionentheorie in 82
und 3. In den nachfolgenden Paragraphen studieren wir auch die LBsungen
der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung, die vollstandig
von L. Bers und I. N. Vekua (siehe [V]) untersucht worden ist. In 5 6 stellen
wir Aussagen uber pseudoholomorphe Funktionen zusammen, welche in ih-
rem Nullstellenverhalten den holomorphen Funktionen tUmlich sind. In 7
beweisen wir den Riemannschen Abbildungssatz mit einer Extremalmethode
und untersuchen in 8 das Randverhalten konformer Abbildungen. In die-
sem Kapitel hoffen wir vom Glanz der Vorlesung [Gr] von H. Grauert uber
Funktionentheorie et,was vermitt,eln zu kiinnen.
Dann widmen wir uns in Kapitel V der Potentialtheorie im Rn. Mit Hilfe
des GauDschen Integralsatzes wird in 1 und 2 die Poissonsche Differential-
gleichung studiert und insbesondere ein Analytizitatstheorem bewiesen. Mit
der Perronschen Methode wird in 3 das Dirichletproblem fur die Laplace-
Vorwort zu Band 1 - Grundlagen und Integraldarstellungen vii
gleichung gelost. Aus der Poissonschen Integraldarstellung wird in 54 und
5 die Theorie der Kugelfunktionen im Rn entwickelt, welche von Legend-
re begrtindet und von G. Herglotz in dieser Eleganz dargestellt wurde. Auch
in diesem Kapitel habe ich entscheidend von der Vorlesung [H2] tiber Par-
tielle Differentialgleichungen meines akademischen Lehrers, Herrn Professor
Dr. E. Heinz in Gottingen, profitiert.
In Kapitel VI betrachten wir lineare, partielle Differentialgleichungen im Rn.
Wir beginnen in 5 1 mit dem Maximumprinzip fur elliptische Differentialglei-
chungen und wenden dieses in $2 auf quasilineare, elliptische Differential-
gleichungen an (vgl. die Vorlesung [H6]). In § 3 wenden wir uns der Warme-
leitungsgleichung zu und preentieren das parabolische Maximum-Minimum-
Prinzi~D. ann wollen wir in S 4 die Bedeutunc charakterist,ischer Flacben ver-
Dimensionen n = 1,3,2 gelast. Mit Hilfe der Abelschen Integralgleichung
lasen wir dieses Problem ftir alle n 2 2 in 6 (vgl. die Vorlesung [H5]). Dann
betrachten wir in 5 7 die inhomogene Wellengleichung und ein Anfangsrand-
wertproblem. Fiir parabolische und hyperbolische Gleichungen empfehlen wir
die Lehrbiicher [GuLe] und [J].
SchlieDlich klassifizieren wir die linearen, partiellen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung in 8. Als invariante Transformationen fiir die Wellenglei-
chung erhalten wir die Lorentztransformationen (vgl. [GI).
Mit den Kapiteln V und VI haben wir versucht, eine geometrisch orientierte
Einfiihrung in die Theorie partieller Differentialgleichungen zu geben, ohne
funktionalanalytische Kenntnisse voraussetzen zu miissen.
Mein ganz herzlicher Dank gilt Herrn Dr. Steffen Frohlich und Herrn Dr. Frank
Muller fur ihre unermudliche Mitarbeit bei der Anfertigung der zugrunde lie-
genden Vorlesungsskripten an der BTU Cottbus. Fur die vielen wertvollen
Hinweise und die Erstellung des gesamten w-Manuskripts bin ich Herrn
Dr. Frank Mtiller von Herzen dankbar. Er hat in gewohnt souveraner Wei-
se dieses Lehrbuch ausgearbeitet. Dem Springer-Verlag danke ich far die
verstandnisvolle Zusammenarbeit.
Cottbus, im September 2003 Friedrich Sauuigny
Inhaltsverzeichnis von Band 1 .
Grundlagen und Integraldarstellungen
I Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten .... 1
$1 Der WeierstraBsche Approximationssatz .................... 2
$2 Parameterinvariante Integrale und Differentialformen ........ 12
$3 Die BuDere Ableit.u ng von Differentialformen ................ 22
$4 Der Stokessche Integralsatz fiir Mannigfaltigkeiten .......... 29
$5 Der GauBsche und der Stokessche Integralsatz .............. 38
$6 Kurvenintegrale ......................................... 54
$7 Das Poincaresche Lemma ................................ 66
$8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator ......... 70
I1 Grundlagen der Funktionalanalysis ........................ 89
$1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen .................... 89
$2 Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral ..... 94
$3 MeDbareMengen ....................................... 106
$4 MeDbareFunktionen .................................... 118
$5 Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern .... 131
$6 Banach- und Hilbertriiume ............................... 136
$7 Die Lebesgueschen Gume LP(X) ......................... 148
$8 Beschrejlkte lineare Funktionale auf LP(X) und schwache
Konvergenz ............................................ 157
I11 Der Brouwersche Abbildungsgrad mit geometrischen
Anwendnngen ............................................. 169
$1 Die Umlaufszahl ........................................ 169
$2 Der Abbildungsgrad im Rn ............................... 177
$3 Geometrische Existenzsatze .............................. 186
$4 Der Index einer Abbildung ............................... 187
$5 Der Produktsatz ........................................ 195
$6 Die Satze von Jordan-Brouwer ............................ 201
x Inhaltsverzeichnis von Band I
IV Verallgemeinerte analytische Funktionen .................. 205
$1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung .............. 205
$2 Holomorphe Funktionen im Cn ........................... 209
$3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in C . . 222
$4 Isoliert.e Singularitaten und der allgemeine Residuensatz ..... 230
$5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung ...2 42
$6 Pseudoholomorphe Funktionen ........................... 253
$7 Konforme Abbildungen .................................. 257
$8 Randverhalten konformer Abhildnngen .................... 272
V Potentialtheorie und Kugelfunktionen ..................... 283
$1 Die Poissonsche Differentialgleichung im Rn ................ 283
$2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen ........ 294
$3 Das Dirichletproblem fiir die Laplacegleichung im Rn ........ 306
$4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen ............. 318
$5 Die Theorie der Kugelfunktionen in n Vaxiablen ............ 323
.
VI Lineare ~artielleD ifferentialeleichun~eni m Rn ............ 339
"
~~~
$1 Das Maximumprinzip fur elliptische Differentialgleichungen. ..3 39
$2 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen .............. 349
$3 Die Warmeleitungsgleichung .............................. 354
$4 Charakteristische Flachen ................................ 367
$5 Die Wellengleichung im Rn fiir n = 1.3. 2 .................. 377
$6 Die Wellengleichung im Rn fur n 2 2 ...................... 385
$7 Die inhomogene Wellengleichung nnd ein
Anfangsrandwertproblem ................................ 396
$8 Klassifikation. Transformation und Reduktion partieller
Differentialgleichungen ................................... 401
Literaturverzeichnis ........................................... 411
Inhaltsverzeichnis von Band 2 -
Funktionalanalytische Losungsmethoden
VII Operatoren im Banachraum
$1 Fixpunktsatze
$2 Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad
$3 Fundamentaleigenschaften des Ahbildungsgrades
$4 Lineare Operatoren im Banachraum
VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum
$1 Verschiedene Eigenwertprobleme
$2 Integralgleichungsprobleme
$3 Der ahstrakte Hilbertraum
$4 Beschrankte lineare Operatoren im Hilbertraum
$5 Unitare Operatoren
$6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum
$7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren
$8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem
$9 Das Weylsche Eigenwertprohlem
IX Lineare elliptische Differentialgleichungen
$1 Die Differentialgleichung
A~(GY+) P (X,Y)~~(~+> ~Y()x ,Y)~,(%Y)= T(X,Y)
$2 Die Schwarzsche Integralformel
$3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertprohlem
$4 Potentialtheoretische Abschatzungen
$5 Die Schaudersche Kontinuitatsmethode
$6 Existenz- und Regularitatssatze
$7 Die Schauderschen Ahsch&tzungen
X Schwache Lasungen elliptischer Differentialgleichungen
$1 Sobolevraume
$2 Einbettung und Kompaktheit
$3 Existenz schwacher Losungen