Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik: Funktionalanalytische Losungsmethoden

359 Pages·2005·3.28 MB·German

by  Prof. Dr. Friedrich Sauvigny (auth.)

Sauvigny
Partielle Differentialgleichungen
der Geometrie und der Physik 2
Friedrich Sauvigny
Partielle
Differentialgleichungen
der Geometrie
und der Physik
Funktionalanalytische Lösungsmethoden
Unter Berücksichtigung der Vorlesungen
von E. Heinz
123
Prof. Dr. Friedrich Sauvigny
Brandenburgische Technische Universität Cottbus
Fakultät 1, Lehrstuhl Mathematik, inbes. Analysis
Universitätsplatz 3/4
03044 Cottbus, Deutschland
e-mail: [email protected]
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Vorwort zu Band 2 - Funktionalanalytische
L¨osungsmethoden
MitdemnunvorliegendenzweitenTeil FunktionalanalytischeL¨osungsmetho-
”
den“ setzenwirunserLehrbuch PartielleDifferentialgleichungenderGeome-
”
trieundderPhysik“ fort.AusbeidenGebietenwerdenwirzentraleFragestel-
lungenwie etwaKru¨mmungsgleichungenoder Eigenwertproblemebehandeln.
MitdemTitelunseresLehrbuchswollenwirauchdenreinenundangewandten
Aspekt der Partiellen Differentialgleichungen hervorheben. Es stellt sich her-
aus, daß der L¨osungsbegriff in der Theorie partieller Differentialgleichungen
sich st¨andig erweitert. Dabei verlieren die klassischen Konzepte jedoch nicht
anBedeutung.Nebender n-dimensionalenTheoriewollenwirhierebensodie
zweidimensionale Theorie pr¨asentieren.
WirwerdendieDifferentialgleichungenmitderKontinuit¨atsmethode,derVa-
riationsmethode oder der TopologischenMethode l¨osen. Die Kontinuit¨atsme-
thode erscheintvomgeometrischenStandpunktbesondersgeeignet,zumalsie
die Stabilit¨at der L¨osung untersucht. Die Variationsmethode ist auch vom
physikalischenStandpunkt sehrattraktiv, stellt aber schwierigeRegularit¨ats-
fragen an die schwache L¨osung. Die Topologische Methode kontrolliert die
L¨osungsgesamtheitw¨ahrendeinerDeformationdesProblems,undsieisteben-
so wie die Variationsmethode nicht angewiesen auf die Eindeutigkeit.
In Kapitel VII werden i.a. nichtlineare Operatoren im Banachraum behan-
delt. Auf der Grundlage des Brouwerschen Abbildungsgrades aus Kapitel III
beweisen wir in §1 den Schauderschen Fixpunktsatz, und wir erg¨anzen den
Banachschen Fixpunktsatz. Mittels Approximation erkl¨aren wir dann in §2
den Leray-Schauderschen Abbildungsgrad im Banachraum und weisen des-
sen Fundamentaleigenschaften in §3 nach. In diesem Teil beru¨cksichtigenwir
die Vorlesung [H4] meines akademischen Lehrers, Herrn Prof.Dr.E.Heinz in
G¨ottingen.
Wir gehen dann u¨ber zu linearen Operatoren im Banachraum, und mit dem
Abbildungsgrad zeigen wir den fundamentalen L¨osbarkeitssatz von F.Riesz.
Zum Abschluß beweisen wir mit dem Zornschen Lemma den Hahn-Banach-
schen Fortsetzungssatz (vgl. [HS]).
vi Vorwort zu Band 2 - FunktionalanalytischeL¨osungsmethoden
In Kapitel VIII u¨ber Lineare Operatoren im Hilbertraum transformieren wir
in§1dieEigenwertproblemevonSturm-LiouvilleundH.Weylfu¨rDifferential-
operatoreninIntegralgleichungsprobleme.Dannbetrachtenwirin§2schwach
singul¨are Integraloperatoren und beweisen einen Satz von I.Schur u¨ber ite-
rierte Kerne. In §3 vertiefen wir die Ergebnisse aus Kapitel II, §6 u¨ber
den Hilbertschen Raum und vervollst¨andigen abstrakt den Pr¨a-Hilbertraum.
Mit beschr¨ankten linearen Operatoren im Hilbertraum befassen wir uns
in §4: Fortsetzungssatz, Adjungierte und Hermitesche Operatoren, Hilbert-
Schmidt-Operatoren, Inverse Operatoren, Bilinearformen und der Satz von
Lax-Milgram werden vorgestellt. In §5 wird die Transformation von Fourier-
Plancherel als unit¨arer Operator auf dem Hilbertraum L2(Rn) studiert.
Vollstetige bzw. kompakte Operatoren werden in §6 im Zusammenhang mit
schwacherKonvergenzuntersucht.Als Beispiel geben wir die Operatorenmit
endlicherQuadratnorman.DerL¨osbarkeitssatzvonFredholmu¨berOperator-
gleichungenim Hilbertraum wirdauf die entsprechende Aussage von F.Riesz
im Banachraum zuru¨ckgefu¨hrt. Wir spezialisieren dann diese Ergebnisse auf
schwach singul¨are Integraloperatoren.
Mit Variationsmethodenwirdin §7 der Spektralsatz vonF.Rellichu¨ber voll-
stetige, Hermitesche Operatoren bewiesen. Dann wenden wir uns in §8 dem
Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblem zu und entwickeln die auftretenden
Integralkerne nach den Eigenfunktionen. Nach Ideen von H.Weyl behandeln
wirin§9dasEigenwertproblemfu¨rdieSchwingungsgleichunginGebietendes
Rn mitderIntegralgleichungsmethode.AuchindiesemKapitelprofitierenwir
von einer Vorlesung von Professor Dr.E.Heinz (vgl. [H3]). Insbesondere zum
Studium der Eigenwertproblemeempfehlen wir das klassische Lehrbuch [CH]
von R.Courantund D.Hilbert, welches den Weg auchin die moderne Physik
gewiesen hat.
Wir haben uns in die Funktionalanalysis anhand von Problemen u¨ber Dif-
ferentialoperatoren der Mathematischen Physik leiten lassen (vgl. [He1] und
[He2]).Deru¨blicheLehrstoffzurFunktionalanalysisistdenKapitelnII§§6-8,
VII und VIII zu entnehmen. Daru¨ber hinaus haben wir auch die L¨osbarkeit
nichtlinearer Operatorgleichungenim Banachraumbehandelt. Zum Spektral-
satz fu¨r unbeschr¨ankte, selbstadjungierte Operatoren verweisen wir auf die
Literatur.
In unserem Lehrbuch werden wir nun mit funktionalanalytischen Metho-
den direkt klassische L¨osungen fu¨r Rand- und Anfangswertprobleme linearer
undnichtlinearerpartiellerDifferentialgleichungenkonstruieren.Mita-priori-
Absch¨atzungenbezu¨glichderH¨oldernormsichernwirdieExistenzvonL¨osun-
gen in klassischen Funktionenr¨aumen.
In Kapitel IX, §§1-3 folgen wir i.w. dem Buch von I.N.Vekua [V] und l¨osen
mit der Integralgleichungsmethode das Riemann-Hilbertsche Randwertpro-
blem. Unter Benutzung der Vorlesung [H6] stellen wir in §§4-7 die Schauder-
sche Kontinuit¨atsmethode zur Behandlung von Randwertaufgaben linearer
Vorwort zu Band 2 - Funktionalanalytische L¨osungsmethoden vii
elliptischer Differentialgleichungen in n Ver¨anderlichen vor. Hierzu erbringen
wir die Schauderschen Absch¨atzungen.
InKapitelXu¨berschwacheL¨osungenelliptischerDifferentialgleichungenpro-
fitieren wir von den Grundlehren [GT] chapter 7 und 8 von D.Gilbarg und
N.S.Trudinger. Hier empfehlen wir auch das Lehrbuch [Jo] von J.Jost und
die Monographie [E] von L.C.Evans.
Wirfu¨hrenSobolevr¨aumein§1einundbehandelndieEinbettungss¨atzein§2.
Nachdem wir in §3 die Existenz schwacher L¨osungen etabliert haben, zeigen
wir mit der Moserschen Iterationsmethode in §4 die Beschr¨anktheit schwa-
cherL¨osungen.Dannuntersuchenwirin§§5-7dieH¨olderstetigkeitschwacher
L¨osungen im Innern und am Rand. Indem wir uns auf interessante Teilklas-
senkonzentrieren,k¨onnenwireinleuchtenddieBeweismethodenpr¨asentieren.
Dann wenden wir in §8 die Resultate auf Gleichungen in Divergenzform an.
InKapitelXI,§§1-2legenwirzun¨achstGrundlagenausderDifferentialgeome-
trie(siehe[BL])undderVariationsrechnung.DannbehandelnwirdieCharak-
teristikentheorie nichtlinearer hyperbolischer Differentialgleichungen in zwei
Ver¨anderlichen (vgl. [CH], [G], [H5]) in §3 und l¨osen in §4 das Cauchysche
Anfangswertproblemmit dem BanachschenFixpunktsatz. In§6 pr¨asentieren
wirH.LewysBeweisdesBernsteinschenAnalytizit¨atstheorems.Hierm¨ochten
wir auch auf P.Garabedians Monographie [G] hinweisen.
Auf der Grundlage von Kapitel IV u¨ber verallgemeinerte analytische Funk-
tionen aus dem Band 1 behandeln wir in Kapitel XII nichtlineare elliptische
Systeme. Zu Beginn dieses Kapitels geben wir einen U¨berblick u¨ber die dort
behandelten Resultate. Nach dem J¨agerschen Maximumprinzip aus §1 ent-
wickeln wir die Theorie in §§2-5 aus der grundlegenden Arbeit von E.Heinz
[H7]u¨bernichtlineareelliptischeSysteme.ImZentrumstehthiereinExistenz-
satz fu¨r nichtlineare elliptische Systeme, der mit dem Leray-Schauderschen
Abbildungsgradgewonnenwird.In§§6-10wendenwirdie Ergebnisseaufdif-
ferentialgeometrische Probleme an. Hier fu¨hren wir mit einer nichtlinearen
Kontinuit¨atsmethode konforme Parameterin eine nichtanalytische Riemann-
sche Metrik ein. Die notwendigen a-priori-Absch¨atzungen haben wir direkt
bis zum Rand erbracht. Schließlich l¨osen wir das Dirichletproblem fu¨r die
nichtparametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Kru¨mmung mit der
Uniformisierungsmethode. Zu diesem Kapitel studiere man auch [DHKW],
insbesondere chapter7, von U.Dierkes und S.Hildebrandt, wo die Theorie
der Minimalfl¨achen pr¨asentiert wird. Mittels nichtlinearer elliptischer Syste-
me kann aber auch die Monge-Amp`eresche Differentialgleichung behandelt
werden, welche nicht mehr quasilinear ist. Diese Theorie wurde von H.Lewy,
E.Heinz und F.Schulz (vgl. [Sc]) entwickelt zur Behandlung des Weylschen
Einbettungsproblems.
Das Lehrbuch Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Phy-
”
sik“ ist entstanden aus Vorlesungen, welche ich seit dem Wintersemester
1992/93 an der Brandenburgischen Technischen Universit¨at in Cottbus hal-
viii Vorwort zu Band 2 - FunktionalanalytischeL¨osungsmethoden
te. Diese Monographie beru¨cksichtigt die Vorlesungen von Herrn Prof.Dr.
E.Heinz, die ich als Student in G¨ottingen von 1971 bis 1978 kennenlernen
durfte. Als Assistent in Aachen von 1978 bis 1983 habe ich die elegan-
ten Vorlesungszyklen von Herrn Prof.Dr.G.Hellwig sch¨atzen gelernt. Herr
Prof.Dr.S.Hildebrandt hat seit meinem Forschungsaufenthalt 1989/90 in
Bonnmitf¨orderndemInteressestetsmeineLehrt¨atigkeitbegleitet.Ihnenallen
gilt immer mein ganz herzlicher Dank!
Fu¨r die Ausarbeitung von Kapitel IX danke ich Herrn Dipl.-Math.Matthias
Bergnerrechtherzlich.HerrDr.FrankMu¨llerhatinausgezeichneterWeisedie
weiterenKapitelbearbeitetunddasgesamteTEX-Manuskripterstellt.Fu¨rsei-
neunsch¨atzbarewissenschaftlicheHilfebinichihmvonHerzendankbar.Dem
Springer-Verlag danke ich sehr herzlich fu¨r die vertrauensvolle Zusammenar-
beit.
Cottbus, im September 2004 Friedrich Sauvigny
Inhaltsverzeichnis von Band2:
Funktionalanalytische L¨osungsmethoden
VII Operatoren im Banachraum .............................. 1
§1 Fixpunkts¨atze ......................................... 1
§2 Der Leray-SchauderscheAbbildungsgrad .................. 11
§3 Fundamentaleigenschaften des Abbildungsgrades ........... 17
§4 Lineare Operatoren im Banachraum ...................... 21
VIII Lineare Operatoren im Hilbertraum...................... 29
§1 Verschiedene Eigenwertprobleme ......................... 29
§2 Integralgleichungsprobleme .............................. 42
§3 Der abstrakte Hilbertraum .............................. 51
§4 Beschr¨ankte lineare Operatoren im Hilbertraum............ 61
§5 Unit¨are Operatoren..................................... 72
§6 Vollstetige Operatoren im Hilbertraum.................... 83
§7 Spektraltheorie vollstetiger Hermitescher Operatoren ....... 99
§8 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem ................105
§9 Das Weylsche Eigenwertproblemfu¨r den Laplaceoperator....112
IX Lineare elliptische Differentialgleichungen ................123
§1 Die Differentialgleichung ∆φ+p(x,y)φ +q(x,y)φ =r(x,y) 123
x y
§2 Die Schwarzsche Integralformel ..........................129
§3 Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem ...............131
§4 PotentialtheoretischeAbsch¨atzungen......................139
§5 Die Schaudersche Kontinuit¨atsmethode ...................151
§6 Existenz- und Regularit¨atss¨atze ..........................156
§7 Die Schauderschen Absch¨atzungen........................163
X Schwache L¨osungen elliptischer Differentialgleichungen ...179
§1 Sobolevr¨aume..........................................179
§2 Einbettung und Kompaktheit............................192
§3 Existenz schwacher L¨osungen ............................198
x Inhaltsverzeichnisvon Band2
§4 Beschr¨anktheit schwacher L¨osungen ......................203
§5 H¨olderstetigkeit schwacher L¨osungen......................206
§6 Schwache potentialtheoretische Absch¨atzungen.............216
§7 Randverhalten schwacher L¨osungen.......................221
§8 Gleichungen in Divergenzform ...........................225
XI Nichtlineare partielle Differentialgleichungen .............233
§1 Die Fundamentalformen und Kru¨mmungen einer Fl¨ache.....233
§2 Zweidimensionale parametrische Integrale .................237
§3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und
Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter) ....245
§4 Das Cauchysche Anfangswertproblem fu¨r quasilineare
hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter
Ordnung ..............................................252
§5 Die Riemannsche Integrationsmethode ....................262
§6 Das Bernsteinsche Analytizit¨atstheorem...................266
XII Nichtlineare elliptische Systeme ..........................273
§1 Maximumprinzipien fu¨r das H-Fl¨achensystem..............273
§2 Gradientenabsch¨atzungenfu¨r nichtlineare elliptische Systeme 280
§3 Globale Absch¨atzungen fu¨r nichtlineare Systeme ...........292
§4 Das Dirichletproblem fu¨r nichtlineare elliptische Systeme ....295
§5 Verzerrungsabsch¨atzungenfu¨r ebene elliptische Systeme.....303
§6 Eine Kru¨mmungsabsch¨atzung fu¨r Minimalfl¨achen...........311
§7 Globale Absch¨atzungen fu¨r konforme Abbildungen
bezu¨glich einer Riemannschen Metrik .....................315
§8 Einfu¨hrung konformer Parameter in eine Riemannsche Metrik323
§9 Die Uniformisierungsmethode bei quasilinearen elliptischen
Differentialgleichungen und das Dirichletproblem ...........329
§10 Ein Ausblick auf das Plateausche Problem.................340
Literaturverzeichnis ...........................................345
Sachverzeichnis ................................................347
Inhaltsverzeichnis von Band1 -
Grundlagen und Integraldarstellungen
I Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten
§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz
§2 ParameterinvarianteIntegrale und Differentialformen
§3 Die ¨außere Ableitung von Differentialformen
§4 Der Stokessche Integralsatz fu¨r Mannigfaltigkeiten
§5 Der Gaußsche und der Stokessche Integralsatz
§6 Kurvenintegrale
§7 Das Poincar´escheLemma
§8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator
II Grundlagen der Funktionalanalysis
§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen
§2 Fortsetzung des Daniell-Integrals zum Lebesgue-Integral
§3 Meßbare Mengen
§4 Meßbare Funktionen
§5 Das Riemannsche und Lebesguesche Integral auf Quadern
§6 Banach- und Hilbertr¨aume
§7 Die Lebesgueschen R¨aume Lp(X)
§8 Beschr¨ankte lineare Funktionale auf Lp(X) und schwache
Konvergenz
III DerBrouwerscheAbbildungsgradmitgeometrischenAn-
wendungen
§1 Die Umlaufszahl
§2 Der Abbildungsgrad im Rn
§3 Geometrische Existenzs¨atze
§4 Der Index einer Abbildung
§5 Der Produktsatz
§6 Die S¨atze von Jordan-Brouwer