Parkettierungen der Ebene: Von Escher über Möbius zu Penrose

289 Pages·2018·9.54 MB·German

by  Ehrhard Behrends

Ehrhard Behrends
Parkettierungen
der Ebene
Von Escher über Möbius zu Penrose
Parkettierungen der Ebene
Ehrhard Behrends
Parkettierungen der Ebene
Von Escher über Möbius zu Penrose
Mit zahlreichen farbigen Abbildungen
EhrhardBehrends
FachbereichMathematikundInformatik
FreieUniversitätBerlin
Berlin,Deutschland
ISBN978-3-658-23269-6 ISBN978-3-658-23270-2(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-23270-2
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Vorwort
DasvorliegendeBuchbeschäftigtsichmitdreispeziellenAspektendesThemas„Parket-
tierungenderEbene“,dieeineninteressantenmathematischenHintergrundhaben.Dabei
versteht man unter einer Parkettierung eine lückenlose und überlappungsfreie Überde-
ckungderEbene,beiderdieeinzelnenBausteinedurchein„einfaches“Bildungsgesetz–
etwadurchdieWirkungeinerBewegungsgruppe–auseinanderhervorgehen.
Im ersten Teil geht es um die Geometrie der Ebene. Wir betrachten Bewegungender
Ebene,dieAbständeerhaltenundstudierendannObjekte,dieuntergewissen Bewegun-
geninvariantsind:DasführtzumBegriffderSymmetrie.AlsganzeinfachesBeispielzur
IllustrationkönntemanetwadenBuchstaben„M“betrachten:WennmanihnanderMit-
telsenkrechten spiegelt, geht er in sich über. Weit interessanter sind natürlich Beispiele
aus der Architektur (Rotations- und Spiegelsymmetrie) oder der Kunst: Allgemein be-
kanntsind dieBilder des holländischen Grafikers Maurits CornelisEscher, der sich von
denMusterninderAlhambrainGranadainspirierenließunddannverschiedeneAspekte
der Symmetrie in seinen Grafiken meisterhaft realisierte. Wir werden Escher sozusagen
„überdieSchultersehen“unddiejenigenmathematischenErgebnisseundKonstruktions-
verfahrenherleiten, dieer KraftkünstlerischerIntuitionfinden konnte,ohnejemals eine
mathematischeAusbildunggehabtzuhaben.
EineRosetteausdemMuseumfürangewandteKunstinWien
V
VI Vorwort
ImzweitenTeilwirddasThemaSymmetrieausSichtderFunktionentheorieinterpretiert.
Die natürlichen „Bewegungen“der komplexen Zahlenkugel sind diejenigen, die erstens
holomorphundzweitensbijektivsind.Siesindleichtzubeschreiben,siehabendieForm
z 7! .az C b/=.cz C d/, wobei a;b;c;d komplexe Zahlen mit ad (cid:2) bc ¤ 0 sind.
HeutewerdensieMöbiustransformationengenannt.WirwerdenMöbiustransformationen
klassifizieren und sehen, wie sie und die von ihnen erzeugten Gruppen zu interessanten
ParkettierungenderEbeneAnlassgeben.
EineVisualisierungeinerspeziellenMöbiustransformation
Der dritteTeil schließlich ist Penrose-Parkettierungen gewidmet.Dagehtmanvonzwei
einfachzubeschreibendenDreieckenaus,beiderenSeitenverhältnissendieZahldesgol-
denenSchnittseinewichtigeRollespielt.WennmanbeliebigvielevondiesesDreiecken
zur Verfügunghat und einige Anlegeregelnpostuliert, so zeigt sich: Man kann die Ebe-
neaufüberabzählbarprinzipiellverschiedeneWeisen mitdiesenDreieckenparkettieren,
aber keine dieser Parkettierungen ist periodisch, kann also nicht durch eine nichttriviale
Translation in sich überführt werden. Dadurch wird das jahrzehntelang offene Problem
gelöst, ob es im Fall einer Parkettierung mitgewissen Bausteinen auch eineperiodische
ParkettierungmitdiesenBausteinengebenmuss.
EinePenroseparkettierung(Ausschnitt)
Vorwort VII
Das Buch ist sehr ausführlich geschrieben und deswegen nicht nur als Vorlage für eine
VorlesungodereinSeminar,sondernauchzumSelbststudiumgeeignet.Durchzahlreiche
BilderwerdendiemathematischenSachverhaltevisualisiert,unddieLeserinnenundLe-
serwerdenvielleichtangeregt,einBildàlaEscherselbstherzustellen,einattraktivesBild
unterVerwendungeinerGruppevonMöbiustransformationenselbstzuerzeugenodersich
aneinerPenroseparkettierungzuversuchen.
ImRahmenvonProseminarenundSeminarenhabeichdieverschiedenenAspektedes
Themas„Parkettierungen“mehrfachaufgegriffen,undimWintersemester2017/18gabes
eine Vorlesung dazu, die mit dem Titel des vorliegendenBuches angekündigtwurde. In
ihr habeich vieleAnregungenvonden Teilnehmern erhalten,denen ich an dieser Stelle
herzlichdankenmöchte.
Berlin,Deutschland EhrhardBehrends
2018
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
TeilI EscherüberdieSchultergesehen
2 SymmetrienundFundamentalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 WasistSymmetrie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 WelcheBewegungengibtes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 GruppenvonBewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 DiskontinuierlicheGruppenundFundamentalbereiche . . . . . . . . . . . 24
3 DiediskontinuierlichenSymmetriegruppenderEbene . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 WievieleverschiedeneGruppenvonBewegungengibtes?. . . . . . . . . 27
3.2 EndlicheGruppenvonBewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 DieUntergruppederTranslationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Die7Friesgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 F :nurTranslationen.nnnn/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
3.4.2 F1:nurSpiegelungenvomTyp1(jnnn) . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
3.4.3 F2:nurSpiegelungenvomTyp2(njnn) . . . . . . . . . . . . . . . 47
1
3.4.4 F3:echteGleitspiegelungen(nnnj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
3.4.5 F :nurRotationen(nnjn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2
3.4.6 F1:Rotationen,Typ-1-undTyp-2-Spiegelungen(jjjn) . . . . . . 51
2
3.4.7 F2:echteGleitspiegelungen,Typ-2-SpiegelungenundRotationen
2
(njjj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.9 Klassifikation:EinTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.10 HinweisefürKünstler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Die17ebenenKristallgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1 DiekristallographischeRestriktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 Translationen,Spiegelungen:4Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.3 Translationen,2-Rotationen,Spiegelungen:5Gruppen . . . . . . . 71
IX
X Inhaltsverzeichnis
3.5.4 Translationen,3-Rotationen,(Gleit-)Spiegelungen:3Gruppen . . 79
3.5.5 Translationen,4-Rotationen,Spiegelungen:3Gruppen . . . . . . . 86
3.5.6 Translationen,6-Rotationen,Spiegelungen:2Gruppen . . . . . . . 91
3.5.7 Klassifikation:EinTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 DieHeesch-Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1 GitterundNetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 DieHeesch-Konstruktionen:Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 DieHeesch-Konstruktionen:28Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
LiteraturzuTeilI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
TeilII Möbiustransformationen
5 Möbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1 KomplexeZahlen:einigeErinnerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Möbiustransformationen:DefinitionenundersteErgebnisse . . . . . . . . 149
5.3 MöbiustransformationenundKreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4 FixpunktevonMöbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.5 KonjugierteMöbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.6 Charakterisierung:Fixpunkteinf0;1g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.7 Charakterisierung:derallgemeineFall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.8 Wunschzettel/Visualisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6 GruppenvonMöbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.1 ErsteBeispielefürGruppenvonMöbiustransformationen . . . . . . . . . 180
6.2 FundamentalbereicheunddiskreteGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.3 SpezielleMöbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.4 Exkurs:hyperbolischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.4.1 HyperbolischeGeometrieI:dieobereHalbebeneH . . . . . . . . 194
6.4.2 HyperbolischeGeometrieII:derEinheitskreisU . . . . . . . . . . 200
6.5 DiemodulareGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.6 GruppenmitzweiErzeugern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.7 Schottkygruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.8 DasMysteriumdesparabolischenKommutators . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.9 DieStrukturKleinscherGruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.9.1 DieisometrischenKreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.9.2 DieLimesmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.9.3 EinFundamentalbereich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.10 ParabolischeKommutatoren:Konstruktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
LiteraturzuTeilII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Inhaltsverzeichnis XI
TeilIII Penroseparkettierungen
7 Penroseparkettierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.1 NichtperiodischeParkettierungen:DasProblem . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2 Die„goldenen“Penrose-Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.3 WelcheParkettierungensindmöglich? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.4 IndexfolgenerzeugenParkettierungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.5 IsomorphienvonPenroseparkettierungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.6 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
LiteraturzuTeilIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283