Overholonomic arithmetical D-modules

0.56 MB·English

by  Daniel Caro

D-modules arithmétiques surholonomes
(Overholonomic arithmetical D-modules)
8 Daniel Caro ∗
0
0
2

n Abstract
a
J Letkbeaperfectfieldofcharacteristicp>0,U beavarietyoverkandFbeapowerofFrobenius.Weconstruct
thecategoryofoverholonomicarithmetical(F-)D-modulesoverUandthecategoryofoverholonomic(F-)complexes
8
1 overU. WeshowthatoverholonomiccomplexesoverU arestablesbydirectimages,inverseimages,extraordinary
inverseimages, extraordinary direct images, dual functors. Moreover, whenU issmooth, wecheck that unit-root

] overconvergentF-isocrystalsonU areoverholonomic. Thisimpliesthattheyareholonomic,whichprovesinparta
G
Berthelot’sconjecture.
A
. Résumé
h
t
a Soientk uncorps parfait decaractéristique p>0,U une variétésur k etF une puissance deFrobenius. Nous
m construisonslacatégoriedes(F-)D-modulesarithmétiquessurholonomessurU etcelledes(F-)D-complexessur-
holonomessurU.Nousmontronsquelescomplexessurholonomes surU sontstablesparimagesdirectes,images
[
inverses,imagesinversesextraordinaires,imagesdirectesextraordinaires,foncteursduaux.Deplus,danslecaslisse,

3 nousvérifionsquelesF-isocristauxsurconvergentsunitéssontsurholonomes.Celaimpliquequeceux-cisontholo-
v nomes,cequiprouveenpartieuneconjecturedeBerthelot.
2
4
4 Table des matières
2
0
1 RappelssurlesD-modulesarithmétiques 4
5
0
/ 2 Uncritèred’holonomie 11
h
t
a 3 Surholonomieetstabilité 13
m
4 D-modulesarithmétiquessurholonomessurunevariété.Cassimple 17
:
v
Xi 5 D-modulesarithmétiquessurholonomessurunevariété 25
r
a 6 ApplicationauxfonctionsL 27
7 SurholonomiedesF-isocristauxsurconvergentsunités 29
8 Surlesconjecturesdelastabilitédel’holonomie 33
Introduction
Donnons-nousF ,uncorpsfinidecaractéristique p,etX unevariétésurF (i.e.unF -schémaséparéetdetype
q q q
fini).AfindeprouverlarationalitédelafonctionzêtadeWeilassociéeàX etsurtoutdeleurdonneruneinterprétation
cohomologiquequifûtconjecturéeparWeil,l’idéedeGrothendieckfûtdegénéralisercesfonctionsàdescoefficients
∗L’auteurabénéficiédusoutienduréseaueuropéenTMRArithmeticAlgebraicGeometry(contratnuméroUEMRTN-CT-2003-504917).
1
surXplusgénéraux,lecoefficientconstantredonnantlafonctionzêtadeX.Cescoefficients,lesQ-faisceauxconstruc-
l
tibles(pourla topologieétale),avecl unnombrepremierdifférentde p, vérifientlestroispropriétésfondamentales
suivantes:
1. Lorsque X est réduit à un point, les Q-faisceaux constructibles sont les Q-espaces vectoriels de dimension
l l
finie;
2. Ilscontiennentlescoefficientsconstants;
3. IlssontstablesparlessixopérationscohomologiquesdeGrothendieck,àsavoir⊗,Hom, f , f∗, f et f!.
∗ !
Lesopérationscohomologiquespermettentdechangerdevariétés.Afind’établirl’interprétationcohomologiquedes
fonctions,ditesL,associéesauxQ-faisceauxconstructibles,ilprocèdealors,grâceàlastabilitédelaconstructibilité,
l
àunerécurrencesurladimensiondeX (eneffectuantdesfibrations).
Nousaimerionsavoiruneanalogiep-adiquedececi,i.e.,construireunecatégoriedeQ -faisceauxoudecomplexes
p
deQ -faisceauxsurX quivérifielestroispropriétésci-dessus.Àcettefin,l’idéedeBerthelotest,ens’inspirantdela
p
caractéristiquenulle,d’élaborerunethéoriedeD-modulesarithmétiques.
Plus précisément, soient V un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (0, p) de corps
résiduelparfaitk,PunV-schémaformellisseetPsafibrespéciale.Berthelotconstruitalorslefaisceaudesopérateurs
différentielsd’ordreinfinietdeniveaufinisurP,D† (voir[Ber96c]),quel’onpeutvoircommelecomplétéfaible
P,Q
tensoriséparQdufaisceaudesopérateursdifférentielsusuelssurP,D .D’oùlanotiondeD-modulesarithmétiques
P
surP,i.e.,deD† -modules(toujoursàgauchepardéfaut).Ensuite,aprèsavoirdéfinil’holonomieens’inspirantde
P,Q
lacaractéristiquenulle([Ber02,5]),aprèsavoirconstruitleursopérationscohomologiques([Ber02,2,3,4]),ildonne
lesconjecturesdebase(voir[Ber02,5.3.6])surlastabilitédel’holonomie.Sicelles-ciétaientexactes,nouspourrions
définirlesfoncteursg ,g+,g etg! auniveaudesvariétéssurk defaçonanalogueàceuxdéfinisicidans4.19pour
+ !
lescomplexessurholonomes.Deplus,lesF-complexesholonomes(lesymbole«F»signifiequelescomplexessont
munis d’une action de Frobenius) constitueraient ainsi une catégorie de coefficients stables par les cinq opérations
cohomologiques de Grothendieck ⊗, g , g+, g et g! ainsi que par le foncteur dual, le produit tensoriel externe.
+ !
Pourl’instant,seulelastabilitédel’holonomieparproduitstensorielsexternes([Ber02,5.3.5.(v)])etfoncteursduaux
([Vir00, III.4.4])est obtenuedansle cas général.Rappelonsque, lorsque P est une courbe,sa stabilité par foncteur
cohomologiquelocaladéjàétévalidée([Car06b,2.3.3]).
Cependant, afin de disposer d’une bonne cohomologie p-adique, nous proposons ici, une approche légèrement
différente : nous remplaçons l’étude de l’holonomiepar celle de la surholonomie. Les liens entre ces deux notions
sont les suivants: un F-D-modulearithmétique surholonomeest holonome.De plus, la réciproqueest validée si et
seulementsilaconjecturesurlastabilitédel’holonomieparfoncteurcohomologiquelocalestexacte(voir8.2).
Décrivonsmaintenantlecontenudecetarticle.
Nousdonnonsdans la première partie quelquesrappelssur les D-modulesarithmétiquesqui nousserontutiles.
Nous formulons dans une deuxième partie un critère d’holonomie. Il nous permettra d’établir qu’un F-D-module
arithmétiquesurholonomeestholonome.
Nous introduisons dans le troisième chapitre la notion de F-D† -modules surholonomes et de F-complexes
P,Q
de D† -modulessurholonomes.Cette appellationvientdufait qu’unF-D† -modulesurholonomeest holonome.
P,Q P,Q
Soient f :P′→PunmorphismedeV-schémasformelslisses.Nousprouvonslastabilitédelasurholonomieparfonc-
teursduaux,parfoncteurscohomologiqueslocaux,parimagesinversesextraordinairesetimagesinversespar f. De
plus,lorsque f estpropre,nousobtenonssastabilitéparlesfoncteursimagesdirectesetimagesdirectesextraordinaires
par f.Lastabilitéparproduitstensorielsinternesetexternesresteconjecturale.
Nousconstruisonsdanslaquatrièmepartie,pourtoutek-variétéU plongeabledansunV-schémaformelpropreet
lisse,lacatégoriedes(F-)complexessurholonomessurU quel’onnote(F-)Db (D ).Nousdéfinissonsensuitele
surhol U
foncteurdualsurU notéD :Db (D )→Db (D ).Pourtoutmorphismeg:U′→U dek-variétés(onsuppose
U surhol U surhol U
iciqu’ilexistedesV-schémasformelspropresetlissesdanslesquelsU etU′peuventseplongerrespectivement),nous
construisons,surlescatégoriesdeF-complexessurholonomescorrespondantes,lesimagesdirectes,imagesdirectes
extraordinaires,imagesinversesextraordinaires,imagesinversespargquel’ondésignerespectivementparg ,g ,g!,
+ !
g+(voir4.19).Deplus,nousprouvonslastabilitédelasurholonomieparcelles-ci.
Dans la cinquième partie (et dans la quatrième partie pour le cas simple), nous construisons pour toute variété
U sur k, la catégorie des (F-)D-modules arithmétiques surholonomes surU, que l’on note (F-)M+. On obtient la
U
2
catégorie(F-)Db(M+),cequidonneunanaloguede(F-)Db (D ).Ondéfinitdeplusle«coefficientconstantsur
U surhol U
U»notéO .
U
SoitU une variété sur k se plongeant dans un V-schéma formel propre et lisse. Dans une sixième partie, nous
définissonslesfonctionsLassociéesauxF-complexessurholonomessurU etnousendonnonsuneformulecohomo-
logique.Celacorrespondàuneextensiondelaformulecohomologiqued’ÉtesseetLeStumdesfonctionsLassociées
auxF-isocristauxsurconvergentssurU (voir[ÉLS93]).LapreuvesefaitparrécurrencesurladimensiondeU ense
ramenantàlasituationgéométriquedéjàconnue(voir[Car04b]).Remarquonsquel’hypothèsequeU seplongedans
un V-schémaformelpropreet lisse est sûrementévitable(ils’agit d’étendrelesopérationscohomologiquesvia des
diagrammesdetopos[Ber74,V.3.4.1]),maisnousnenoussommespasintéresséàcepoint.
Soient P un V-schéma formel séparé et lisse, X un sous-schéma fermé lisse de P et T un diviseur de P tel que
T :=T∩X soitundiviseurdeX.Dans[Car06b,4],lorsquePestunecourbepropreetlisse etP=X,nousavions
X
établi l’holonomie des F-isocristaux surconvergents sur X\T , ce qui avait généralisé les premiers examples non
X
triviaux de F-D† -modulesholonomessur les courbesde Berthelotde [Ber90, 5] (le cas trivial est celui où T est
P,Q
vide,i.e.,celuioùlesF-isocristauxsontconvergents).Danslaseptièmepartiedecetarticle,nousobtenonslespremiers
exemples(nontriviaux)endimensionsupérieuredeF-D-modulesarithmétiquesholonomes.Plusprécisément,nous
démontronsquelesF-isocristauxsurconvergentsunitéssur X\T surconvergentsle longdeT sontsurholonomes.
X X
Cela implique que le coefficient constant O d’une variété U sur k est surholonome. De plus, nous vérifions que,
U
pour toute variétéU lisse sur k, le F-D -module arithmétique associé à un F-isocristal unité surconvergentsurU
U
(voir 1.20) est surholonome. En particulier, on obtient leur holonomie, ce qui valide une conjecture fondamentale
de Berthelot (voir [Ber02, 5.3.6.D]).Il faut noter que l’utilisation de la surholonomie(et surtoutde sa stabilité) est
l’élémentcléde lapreuve.Lastabilité de la surholonomiepermetainside résoudredesproblèmessurl’holonomie.
Plusgénéralement,ilestraisonnabledepenserquel’onpuisseétablirdemanièreanalogue(maisilfautaupréalable
disposerd’unthéorèmederéductionsemi-stableendimensionsupérieure:voirlestravauxdeKedlayade[Kedb]et
[Kedc]) la surholonomiedesF-isocristauxsurconvergentssur les variétéslisses. Ilen résulteraitleur holonomie,ce
qui homologue la conjecture [Ber02, 5.3.6.D] de Berthelot. Par dévissage (voir [Car06a]), on en déduirait aussitôt
la stabilité par produits tensoriels de la surholonomie. Les travaux de [Car06c] sont une première étape dans cette
direction.
Nousprouvonsdansladernièrepartiequelaconjecture[Ber02,5.3.6.B]deBerthelotsurlastabilitédel’holono-
mie par imageinverseextraordinaireimpliqueque les notionsd’holonomie,de surholonomie,de surcohérencesont
identiques.Onendéduitquecetteconjecture[Ber02,5.3.6.B]entraîneenparticulier(pouruneversionplusgénérale
voir8.9)lastabilitédel’holonomieparimagedirecteparunmorphismepropredeV-schémasformelslisses(cequi
étaitconjecturédans[Ber02,5.3.6.A]).
Notations
Tout au long de cet article, nous garderons les notations suivantes : les schémas formels seront notés par des
lettrescalligraphiquesou gothiquesetleurfibrespéciale parleslettres romanescorrespondantes.Si f : X′→X est
un morphisme de schémas ou de schémas formels, on note d la dimension de X et d la dimension relative.
X X′/X
De plus,la lettre Vdésigneraunanneaude valuationdiscrètecomplet,de corpsrésiduelparfaitk de caractéristique
p>0, decorpsde fractionsK de caractéristique0. Onfixe s≥1un entiernatureletF sera la puissances-ième de
l’endomorphismedeFrobenius.SiEestunfaisceauabélien,E désigneraE⊗ Q.Lorsquecelan’estpasprécisé,les
Q Z
modulessontdesmodulesàgauche,lesvariétéssontdesvariétéssurk,i.e.,desk-schémasséparésetdetypefini.Tous
lesk-schémasserontréduits.LorsquenousconsidéreronsdesproduitsdeV-schémasformels(resp.k-schémas),nous
omettronsparfoisd’indiquerSpfV(resp.Speck).Lorsquelesymboleensemblevide«0/ »apparaîtdansunenotation,
nousne l’indiqueronspas non plus(e.g., dans les opérationscohomologiquesde la section 1 lorsqu’undiviseur est
vide;e.g.,«D† »àlaplacede«D†(0/) »).
X,Q X Q
Si A est un faisceau d’anneaux,Db(A), D+(A) et D−(A) désignentrespectivementles catégories dérivées des
complexesdeA-modulesàcohomologiebornée,bornéeinférieurementetbornéesupérieurement.Lorsquel’onsou-
haiterapréciserentredroiteetgauche,onnoteraalorsD∗(gA)ouD∗(Ad),où∗estl’undessymboles0/,+,−,oub.De
plus,lesindices«qc»,«coh»,«surcoh»,«parf»et«hol»signifientrespectivement«quasi-cohérent»,«cohérent»,
«surcohérent»«parfait»et«holonome»(voirlasection1).
Remerciements
3
LasurholonomierépondàdesquestionsdeK.Kedlaya,B.LeStumetN.Tsuzukiconcernantuneextensionlogique
delanotiondesurcohérence.LeurintérêtàcesujetetaussinotammentceuxdeA.AbbesetC.Huyghe-Nootontété
unegrandesourcedemotivation.JeremercieB.LeStumetA.Virrionpourleurattentiontrèsstimulanterelativeau
critèred’holonomie.
1 Rappels sur les D-modules arithmétiques
Nousavons regroupédans cette section toutes les définitionset propriétésconcernantla théorie des D-modules
arithmétiquesquenousutiliseronsconstammentdanscemanuscrit.Nousnoussommesdoncfocalisésurcequisera
sans cesse nécessaire. Ainsi, ce survol ne se prétend pas exhaustif. Le lecteur néophyte pourra aussi se reporter à
[Ber02]oupouruneversionplusrécenteà[Keda].
SoientX,X′ deuxV-schémasformelslisses, f : X′→X unmorphismedek-schémassurlesfibresspéciales,T
0
undiviseurdeX telqueT′:= f−1(T)soitundiviseurdeX′.OnnoteY:=X\T,Y′:=X′\T′lesouvertsrespectifsde
0
X,X′.Saufmentionexpliciteducontraire(e.g.,pourlesdéfinitionsdel’imagedirecteetdel’imageinverseextraor-
dinaire),poursimplifierl’exposé,onsupposeraque f serelèveenunmorphisme f : X′→XdeV-schémasformels
0
lisses.
1.1(Opérateursdifférentielsdeniveaum). Berthelota construitpourtoutentierm≥0donnéle «faisceaudesopé-
rateurs différentielsde niveau m sur X», qu’ilnote D(Xm) (voir [Ber96c, 2]). Comme p n’est pas inversible sur OX,
on remarque que le faisceau DX des opérateurs différentiels usuels sur X n’est pas cohérent. Par contre, les fais-
ceaux(D(Xm))m∈N donneunefiltrationcroissanteexhaustivedeDX pardesOX-algèbrescohérentes(voirparexemple
[Ber96c,2.2.1.7,2.2.3.1]etremarquerqueOXn’apasd’élémentsde p-torsion).
IlaaussiconstruituneOX-algèbrequ’ilnoteB(Xm)(T)(voir[Ber96c,4.2]).Lorsque f ∈OX relèveuneéquation
définissantT dansX,B(Xm)(T)−∼→ OX[t]/(fpm+1t−p),cettedernièreétantindépendanteàisomorphismecanonique
prèsduchoixdurelèvement f.IlendéduitainsilaconstructiondeB(m)(T)parrecollement.
X
«coOmnplpéotésepe-nadfiinquDbe(Xmd)u(Tfa)is:c=eaBu(Xdme)(sTo)p⊗bérOaXteDur(Xsm)diqfuféerel’notnielpsoduerrnaiitveaapupemlé,sus’rilXfaàllcaoiteaffibcsoielnutmsesnutrcluoinvdeorngneenrtsunlenloomng,
deT ».
1.2(Complexesquasi-cohérents,définitions). Lanotionde«complexesquasi-cohérentssurlesschémasformels»a
été introduite par Berthelot (voir [Ber02]). Soient B un faisceau de OX-algèbres(non nécessairement commutatif),
E∈D−(Bd), F ∈D−(gB). On pose B :=B/p i+1B, E :=E⊗L B, F :=B ⊗L F, E⊗LF:=RlimE ⊗L F. On
i i B i i i B bB ←− i Bi i
i
définitdemêmeE(•)⊗LB(•)F(•) lorsqueB(•) estunsystèmeinductifdeOX-algèbres,E(•) etF(•) sontdescomplexes
deB(•)-algèbres. b
L L
•LecomplexeE(resp.F)estdit«B-quasi-coherent»silemorphismecanoniqueE→E⊗ B(resp.F→B⊗ F)
B B
estunisomorphisme.Pour∗=gou∗=d,ondésigneparD−(∗B)(resp.Db (∗B))lasouscabtégoriepleinedeD−b(∗B)
qc qc
(resp.Db(∗B))descomplexesquasi-cohérents.
•OnremarquequepuisqueD(m)(T)estunB(m)(T)-moduleplat(pourlesstructuresdroiteougauche),uncom-
bX bX
plexe de D(m)(T)-modules à gaucheou à droite est D(m)(T)-quasi-cohérentsi et seulement s’il est B(m)(T)-quasi-
bX bX bX
cohérent. De plus, on dispose de l’isomorphisme : Bb(Xm)(T)⊗LVV/p i+1 −∼→ Bb(Xm)(T)⊗VV/p i+1 (cela découle de
[Ber96c,4.3.3.(i)]).Ainsi,uncomplexedeBb(Xm)(T)-modulesestBb(Xm)(T)-quasi-cohérentsietseulements’ilestOX-
quasi-cohérentsietseulements’ilestV-quasi-cohérent.
• On note D(•)(T) le système inductive (D(m)(T)) . En localisant deux fois Db(D(•)(T)) (ces localisations
bX bX m∈N bX
remplacent respectivementles foncteurs −⊗ Q et «limite inductive sur le niveau m»), on obtient LDb(D(•)(T))
Z −→Q bX
(voir [Ber02, 4.2.1 et 4.2.2]). Soit E(•) =(E(m)) ∈LDb(D(•)(T)). D’après [Ber02, 4.2.3] (voir aussi [Car06b,
m∈N −→Q bX
1.1.3]),E(•) estditquasi-cohérentsietseulementsi,pourtoutm,E(m) estD(m)(T)-quasi-cohérent.Lasous-catégorie
bX
pleinedescomplexesquasi-cohérentsestnotéeLDb (D(•)(T)).
−→Q,qc bX
4
1.3 (Quasi-cohérenceet variation du diviseur). Soient T ⊂T deux diviseurs de X. Avec les remarquesde 1.2, on
1 2
disposedufoncteuroubli:LDb (D(•)(T ))→LDb (D(•)(T ))quel’onnoteoub .
−→Q,qc bX 2 −→Q,qc bX 1 T1,T2
Réciproquement, on définit un foncteur (†T ,T ) : LDb (D(•)(T ))→LDb (D(•)(T )) en posant, pour tout
2 1 −→Q,qc bX 1 −→Q,qc bX 2
E(•)∈LDb (D(•)(T )),
−→Q,qc bX 1
(†T ,T )(E(•)):=D(•)(T )⊗L E(•),
2 1 bX 2 bDb(X•)(T1)
oùD(•)(T )⊗L E(•) désignelesystèmeinductif(D(m)(T )⊗L E(m)) .
bX 2 bDb(X•)(T1) bX 2 bDb(Xm)(T1) m∈N
Lorsque T est vide, on note simplement oub et (†T ). On dispose pour ces deux foncteurs des formules de
1 T2 2
transitivité en les diviseurs évidentes. D’après [Car06b, 1.1.8], on bénéficie aussi de l’isomorphisme (†T ,T )−∼→
2 1
(†T )◦oub . Cela implique que les foncteurs de la forme oub sont pleinement fidèles (voir [Car06b, 1.1.8]). Il
2 T1 T1
en est donc de même des ceux de la forme oub . On pourra ainsi sans aucune ambiguïté omettre d’indiquer les
T1,T2
inclusions canoniques oub : LDb (D(•)(T ))⊂LDb (D(•)(T )) et identifier les deux foncteurs (†T ,T ) et
T1,T2 −→Q,qc bX 2 −→Q,qc bX 1 2 1
(†T ).
2
1.4(Produitstensorielsinternes). SoientE(•),F(•) ∈LDb (D(•)(T)). On définitle «produittensorielinterne» de
−→Q,qc bX
E(•) etF(•) enposantdansLDb (D(•)(T)):
−→Q,qc bX
L
E(•)⊗† F(•):=E(•)⊗L F(•), (1.4.1)
OX(†T)Q bBb(X•)(T)
oùE(•)⊗L F(•) désignelesystèmeinductif(E(m)⊗L F(m)) .
bBb(X•)(T) bBb(Xm)(T) m∈N
Soient T ⊂T deux diviseurs et E(•) ∈LDb (D(•)(T )). Pour simplifier les notations, on écrira abusivement
OX(†T2)Q⊗L†O1X(†T12)QE(•) pour Bb(X•)(T2)(•)⊗L†O−X→(†QT1,q)cQEb(•X). D1’après [Car06b, 1.1.7.1], on dispose alors de l’isomor-
phismecanonique:
OX(†T2)Q⊗L†OX(†T1)QE(•)−∼→ (†T2,T1)(E(•)). (1.4.2)
1.5(Produitstensorielsexternes). SoientX ,X deuxV-schémasformelslisses,E(•)∈LDb (D(•)),E(•)∈LDb (D(•)),
1 2 1 −→Q,qc bX1 2 −→Q,qc bX2
p1 : X1×SX2→X1etp2 : X1×SX2→X2lesprojectionscanoniques.Le«produittensorielexterne»deE(1•)etE(2•)
estdéfinienposant(voir[Ber02,4.3.5]):
E(1•)⊠L†OSE(2•):=p!1(E(1•))⊗L†OX1×SX2,Qp!2(E(2•))[−dX1−dX2]. (1.5.1)
1.6(Imagesdirectesetimagesinversesextraordinaires). LefaisceauDb(Xm′→) X(T′,T):=B(Xm′)(T′)⊗bOX′f∗Db(Xm)(T)est
muniparfonctorialitéd’unestructurede(D(m)(T′),f−1(D(m)(T)))-bimodule.
bX′ bX
Ondéfinitlefoncteur f! :LDb (D(•)(T))→LDb (D(•)(T′))«imageinverseextraordinairepar f àcoefficients
T −→Q,qc bX −→Q,qc bX′
surconvergentlelongdeT »enposant,pourtoutE(•)∈LDb (D(•)(T)),:
−→Q,qc bX
fT!(E(•)):=Db(X•′)→X(T′,T)⊗bLf-1Db(X•)(T)f-1E(•)[dX′/X]. (1.6.1)
PosonsDbX(m←)X′(T,T′):=B(Xm′)(T′)⊗bOX′(w X′⊗OX′ fg∗(Db(Xm)(T)⊗OXw −X1),l’indice«g»signifiantquel’onachoi-
sit pour calculer l’image inverse la structure gauche de D(m)(T)-module à gauche. Par fonctorialité, D(m) (T,T′)
bX bX←X′
est munid’unestructure de (f−1(D(m)(T)),D(m)(T′))-bimodule.On définitle foncteur f : LDb (D(•)(T′))→
bX bX′ T,+ −→Q,qc bX′
LDb (D(•)(T)) «image directe par f à coefficients surconvergent le long de T » en posant, pour tout E′(•) ∈
−→Q,qc bX
LDb (D(•)(T′)):
−→Q,qc bX′
f (E′(•)):=Rf (D(•) (T,T′)⊗L E′(•)). (1.6.2)
T,+ ∗ bX←X′ bDb(Xm′)(T′)
5
D’après[Car06b,1.1.9,1.1.10],ondisposedesisomorphismescanoniquesdefoncteurs:
oubT◦fT,+−∼→ f+◦oubT′ et oubT′◦fT! −∼→ f!◦oubT. (1.6.3)
Enomettantd’indiquerlesinclusionsdelaformeoub : LDb (D(•)(T))⊂LDb (D(•)),onpourraainsiparabus
T −→Q,qc bX −→Q,qc bX
denotationsécrire f! pour f! (resp. f pour f ).
T + T+
Lorsque f ne se relève pas, les bimodules D(m) (T′,T) et D(m) (T,T′) peuvent néanmoins être défini par
0 bX′→X bX←X′
recollement(e.g.,voir[Ber00,2.1.6]).Onconstruitainsidemanièreidentiquelesfoncteursimageinverseextraordi-
naireetimagedirectepar f ,quel’onnoterespectivementpar f! et f .Onobtientenparticulierlanotiond’image
0 0 0+
inverseparF ,oùF désignelapuissances-ièmedel’endomorphismedeFrobeniusabsoludeX.Cefoncteursenote
X X
simplementF∗.NousverronsqueF∗ commuteàl’imagedirecteetl’imageinverseextraordinaire(voir1.7et1.12).
1.7(CommutationàFrobeniusettransitivitédel’imageinverseextraordinaire). Soient f :X′→X,g:X′′→X′eth:
X′′′→X′′ troismorphismesdeV-schémasformelslisses.
On dispose, pourtoutE(•) ∈LDb (D(•)), de l’isomorphismecanoniquedit de «transitivité de l’image inverse
extraordinaire»,g!◦f!−∼→ (f◦g−)→!,Qv,éqcrifibaXntlaconditiond’associativité:lesdeuxisomorphismesh!g!f!−∼→ h!(f◦
g)!−∼→ (f◦g◦h)!eth!g!f!−∼→ (g◦h)!f!−∼→ (f◦g◦h)!sontidentiques(voir[Car06b,1.2.2]).
Enparticulier,endésignantparF lesmorphismesabsolusdeFrobeniusdeX ouY,ondisposedesisomorphismes
canoniquesdecommutationàFrobenius:F∗◦f!(E(•))−∼→ f!◦F∗(E(•))(carF∗=F!).Lesisomorphismesdetran-
sitivitédel’imageinverseextraordinairesontcompatiblesàFrobenius.
1.8(Passageàlalimitesurleniveauetcohérence). BerthelotdéfiniparpassageàlalimiteOX(†T)Q:=l−i→mBb(Xm)(T)Q
m
le«faisceaudesfonctionssurXàsingularitéssurconvergenteslelongdeT »([Ber96c,4.2.4]).Ilconstruitdemême
D†(†T) :=limD(m)(T) etlenomme«faisceaudesopérateursdifférentielsdeniveaufini,àsingularitéssurconver-
X Q −→ bX Q
m
genteslelongdeT »([Ber96c,4.2.5]).
EnpassantàlalimitesurleniveaupuisentensorisantparQsurZ,onobtientlefoncteurnotéabusivement(pour
simplifier les notations)lim : LDb (D(•)(T))→D(D†(†T) ) (e.g.,voir [Ber02, 4.2.2]).Celui-ciinduituneéqui-
−→ −→Q,qc bX X Q
valencedecatégoriesentreDb (D†(†T) )etunesous-catégoriepleinedeLDb (D(•)(T)),notéeLDb (D(•)(T))
coh X Q −→Q,qc bX −→Q,coh bX
(voir[Ber02,4.2.4]).Parabusdenotations,ilnousarriverad’omettrelefoncteurlim,i.e.,d’identifierLDb (D(•)(T))
−→ −→Q,coh bX
avecDb (D†(†T) ).DecettemanièreDb (D†(†T) )estunesous-catégoriepleinedeLDb (D(•)(T)).
coh X Q coh X Q −→Q,qc bX
1.9 (Cohérence : comment se ramener au cas sans diviseur). Nous utiliserons énormémentle résultat fondamental
suivantdeBerthelot(voir[Ber96c,4.3.12]):unD†(†T) -modulecohérentestnulsietseulementsisarestrictionsur
X Q
Yestnulle.Celaimpliqueparexemplequ’unmorphismedeD†(†T) -modulescohérentsestinjectif(resp.surjectif)si
X Q
etseulementsisarestrictionsurYestinjectif(resp.surjectif).Onendéduitaussiqu’unmorphismedeDb (D†(†T) )
coh X Q
estunisomorphismesietseulementsisarestrictionsurYestunisomorphisme.Laphilosophieestqu’unD†(†T) -
X Q
modulecohérent«vitessentiellementsurY».
1.10(Opérationscohomologiquesdecomplexescohérents). ConsidéronslesbimodulessuivantsD† (†T′,T) :=
X′→X Q
limD(m) (T′,T) ,D† (†T,T′) :=limD(m) (T,T′) .SoientT⊂T undiviseurdeX,E(•)∈LDb (D(•)(T)),
−→ bX′→X Q X←X′ Q −→bX←X′ Q 2 −→Q,coh bX
m m
F(•) ∈LDb (D(•)(T)), E′(•) ∈LDb (D(•)(T′)), E:=limE(•), F:=limF(•), E′ :=limE′(•). On définitalorsles
−→Q,coh bX −→Q,coh bX′ −→ −→ −→
foncteurssuivantsenposant:
(†T ,T)(E):=D†(†T ) ⊗ E, (1.10.1)
2 X 2 Q D†X(†T)Q
fT!(E):=D†X′→X(†T′,T)Q⊗Lf−1D†X(†T)Q f−1E[dX′/X], (1.10.2)
f (E′):=Rf (D† (†T,T′) ⊗L E′), (1.10.3)
T+ ∗ X←X′ Q D†X′(†T′)Q
6
oùnousavonsomisd’inscrirelesymbole«L»danslepremierproduittensorielcarl’homomorphismeD†(†T) →
X Q
D†(†T ) est plat (voir [Ber96c, 4.3.10-11]). On dispose des isomorphismes (†T ,T)(E) −∼→ lim(†T ,T)(E(•)),
X 2 Q 2 2
−→
f!(E)−∼→ limf!(E(•)), f (E′)−∼→ limf (E′(•)). Les notations relatives à ces foncteurs sont donc compatibles.
T T T+ T+
−→ −→
Deplus,onpose(voir1.4.1,1.5.1):
L L
E⊗† F:=limE(•)⊗† F(•), (1.10.4)
OX(†T)Q −→ OX(†T)Q
L L
E⊠† F:=limE(•)⊠† F(•). (1.10.5)
OS −→ OS
•PourtoutG∈D (D† (†T)),Virriondéfinitson«foncteurdualD† (†T)-linéaire»(voir[Vir00,I.3.2])en
parf X,Q X,Q
posant:
DT(G):=RHomD†X(†T)Q(G,D†X(†T)Q⊗OX,Qw −X1,Q[dX]). (1.10.6)
Elleaaussivérifié(voir[Vir00,II.3.5])quel’ondisposedel’«isomorphismedebidualité»compatibleàFrobenius:
D ◦D (G)−∼→ G. (1.10.7)
T T
•RappelonsqueNoot-Huyghe([NH])aprouvéquelefaisceauD†(†T) estdedimensioncohomologiquefinie.
X Q
CommeD†(†T) estaussicohérent([Ber96c,5.4]),onobtientD (D†(†T) )=Db (D†(†T) ).Ainsi,lefoncteur
X Q parf X Q coh X Q
D préserve la cohérence. Par contre, le foncteur f (resp. f!) ne préserve pas la cohérence lorsque f est une
T T+ T
immersionouverte(resp.immersionfermée)différentede l’identité.Berthelot(voir[Ber02])a néanmoinsvérifiéla
stabilitédelacohérenceparlefoncteur f (resp. f!)lorsque f estunmorphismepropre(resp.unmorphismelisse).
T+ T
•Lorsquecelaauraunsens,onnoteraalorsrespectivement fT+:=DT′◦fT!◦DT et fT,!:=DT◦fT+◦DT′ «l’image
inverse»et«l’imagedirecteextraordinaire».
1.11 (Isomorphisme de dualité relative). Dans toute cette section concernant l’isomorphisme de dualité relative, f
estpropre.Virrionconstruitdans[Vir04]unisomorphismedecommutationentrelesfoncteursduauxrespectifsetle
foncteurimagedirectepar f. Untelisomorphismeestappelé«isomorphismededualitérelative».Enreprenantses
constructions(notamment,celuitrèstechniquedumorphismetrace),nousavonsvérifiédans[Car06b,1.2.7]quecet
isomorphismededualitérelatives’étenddelamanièresuivante:pourtoutE′∈Db (D† (†T′) ),ilexistealorsdans
coh X′ Q
Db (D†(†T) )l’isomorphismecanonique:
coh X Q
fT,+◦DT′(E′)−∼→ DT◦fT,+(E′). (1.11.1)
Lorsque le diviseur est vide, on retrouve un cas particulier du contexte de [Vir04]. Lorsque le diviseur T n’est pas
vide,iln’estpasclairquelescatégoriesutiliséesdans[Vir04]correspondentauxcomplexesàcohomologiebornéeet
cohérente.C’estprécisémentcequinousavaitconduitàvérifier1.11.1pourE′∈Db (D† (†T′) ).
coh X′ Q
En outre, lorsque f est une immersion fermée, nous avons vérifié dans [Car05c, 2.4.3] que 1.11.1 commute à
Frobenius(plusprécisément,auximagesinversesparFrobeniusF∗)
Lethéorèmededualité relativeimpliquele fait suivant:pourtousE′ ∈Db (D† (†T′) ), E∈Db (D†(†T) ),
coh X′ Q coh X Q
ondisposealorsdel’isomorphismecanoniqued’adjonctionfonctorielenEetE′ :
adj :Hom (f (E′),E)−∼→ Hom (E′,f!(E)), (1.11.2)
f,T D†X,Q(†T) T,+ D†X′,Q(†T′) T
oùHom (−,−):=H0◦RHom (−,−)=Hom (−,−).
D†X,Q D(D†X,Q) D(D†X,Q)
D’après[Car06b, 1.2.15](voir aussi [Car05b, 1.2.8]avec la remarque[Car05b, 1.2.9]),cet isomorphismed’ad-
jonctionesttransitifpourlacompositiondesmorphismespropres.
7
1.12 (Commutation à Frobenius de l’image directe par un morphisme propre d’un complexe cohérent). Berthelot
a construit (voir [Ber02, 4.3.9.1] ou [Ber00, 3.4.4]), pour tout E(•) ∈LDb (D(•)), l’isomorphisme canonique de
commutationdel’imagedirectepar f àFrobenius: f F∗(E(•))−∼→ F∗f−→(EQ,(q•c)).bX
+ +
Lorsque f estpropre,d’après[Car06b,1.2.12.1],pourtoutE∈Db (D†(†T) ),ondisposed’unesecondeconstruc-
coh X Q
tiondel’isomorphisme f F∗(E)−∼→ F∗f (E). Ce dernierisomorphismeestcaractériséparlefaitque,pourtous
T+ T+
E′∈Db (D† (†T′) ),E∈Db (D†(†T) ),lemorphismed’adjonctionde1.11.2
coh X′ Q coh X Q
adj :Hom (f (E′),E)−∼→ Hom (E′,f!(E)),
f,T D†X,Q(†T) T,+ D†X′,Q(†T′) T
estalorscompatibleauxisomorphismesdecommutationàFrobenius(voir[Car06b,1.2.21]).Deplus,lesmorphismes
d’adjonctionentrel’imagedirecteetl’imageinverseextraordinaireparunmorphismepropre(i.e.,lorsqu’ilsexistent,
ceuxdelaforme f f!(E)→EouE′ → f! f (E′))sontalors,pourcettesecondeconstruction,aussicompatibles
T,+ T T T,+
à Frobenius (voir [Car06b, 1.2.13, 1.2.14]). En outre, d’après [Car05b, 1.2.11], ces morphismes d’adjonction sont
transitifspourlacompositiondemorphismespropres(voiraussi[Car05b,1.2.8]aveclaremarque[Car05b,1.2.9]).
Iln’estpasévidentquecesdeuxconstructionscoïncident.Cependant,lorsque f estuneimmersionfermée,celaa
déjàétévérifié(voir[Car05c,2.5.4]).Enoutre,toujourslorsque f estuneimmersionfermée,nousavonsétabli(voir
[Car05c,2.4.3])que,pourtoutE′∈Db (D† (†T′) ),l’isomorphismededualitérelative
coh X′ Q
fT,+◦DT′(E′)−∼→ DT◦fT,+(E′)
de1.11.1estcompatibleàFrobenius.
Nousn’utiliseronsdanscetarticlequel’isomorphisme f F∗(E)−∼→F∗f (E)construitdans[Car06b,1.2.12.1].
T+ T+
Concernantla transitivité de l’image directe par un morphismepropreet sa compatibilité à Frobenius,cela sera
traitédemanièreplusapprofondidanslasection3.12danslecasdescomplexessurholonomes.
1.13 (Structure de Frobenius, holonomie, critère d’holonomie de Virrion). Rappelons la convention suivante de
Berthelot ([Ber02, 5.1]) : un F-D†(†T) -module est la donnée d’un D†(†T) -module E et d’un isomorphisme
X Q X Q
D†(†T) -linéaireF :E−∼→ F∗E.LesmorphismesdeF-D†(†T) -modulessontlesmorphismesD†(†T) -linéaires
X Q X Q X Q
commutant à l’action de Frobenius. De même, nous appellerons F-D†(†T) -complexe la donnée d’un complexe
X Q
E ∈ Db (D†(†T) ) et d’un isomorphisme F : E −∼→ F∗E dans Db (D†(†T) ). On notera cette catégorie F-
coh X Q coh X Q
Db (D† (†T)). Par abus de notations, on pourra omettre d’indiquer la structure de Frobenius F et ainsi écrire E
coh X,Q
àlaplace(E,F ).
•SoitEunF-D† -modulecohérent.Berthelotdéfinitdans[Ber02,5.2.7]lavariétécaractéristiquedeE,quel’on
X,Q
noteraCar(E).Enoutre,d’après[Ber02,5.3.4],l’inégalitédeBernsteinestvérifiée:siEestnonnulalors,pourtout
pointxdusupportdeE,ona
dim Car(E)≥dim X. (1.13.1)
x x
ConformémentàVirrion(voir[Vir00,III.1.2]),ondéfinitla«dimensiondeE»enposantdimE:=sup (dim Car(E)).
x x
De plus, la «codimensionde E» est pardéfinitioncodim(E):=2d −dim(E) (c’estdoncla codimensionde la va-
X
riété caractéristiqueCar(E) associée à Edansle fibré cotangent).Ces deuxdéfinitionss’étendentnaturellementaux
F-D†P,Q-modulescohérentsàdroitevialesfoncteursquasi-inverses−⊗OXw Xet−⊗OXw −X1.
L’inégalitédeBernsteinassureque,siE6=0,alorsdimE≥d .Autrementdit,unF-D† -modulecohérentEest
X X,Q
holonomesietseulementsidim(E)≤dsietseulementsicodim(E)≥d.
D’après la terminologie de Berthelot, un F-D† -module cohérent E est holonome si E=0 ou si dimE=d .
X,Q X
De plus, un F-complexe E∈F-Db (D† ) est holonome si ses faisceaux de cohomologie le sont. Nous noterons
coh X,Q
F-Db (D† )lasous-catégoriepleinedeF-Db (D† )desF-D† -complexesholonomes.
hol X,Q coh X,Q X,Q
•Ondisposeenfindu«critèrehomologique»del’holonomiedûàVirrion(voir[Vir00,III.4.2])quinousseratrès
utile:unF-D†X,Q-modulecohérentEestholonomesietseulementsi,pourtouti6=dX,onaitExtDi †X,Q(E,D†X,Q)=0.
8
Ainsi,siEestunF-D† -moduleholonomeondisposealorsdel’isomorphismecanoniqueH0D(E)−∼→ D(E). De
X,Q
plus,VirrionavérifiéqueH0D(E)estaussiunF-D† -moduleholonomequiseranotéE∗(voir[Vir00,III.4.3]).Cela
X,Q
impliquequel’holonomieeststableparlefoncteurdualD(voir[Vir00,III.4.4]).
1.14 (Analogue arithmétique de Berthelot du théorème de Kashiwara). On suppose ici que f est une immersion
0
ferméequineserelèvepasforcémentenunmorphismedeV-schémasformelslisses.
1. PourtoutD†(†T) -modulecohérent(resp.F-D† -moduleholonome)EàsupportdansX′,pourtoutD† (†T′) -
X Q X,Q X′ Q
modulecohérentE′ (resp.F-D† -moduleholonome)Hkf (E)=0etHkf!(E)=0.
X′,Q 0+ 0
2. Les foncteurs f et f! sont des équivalences quasi-inverses entre la catégorie des D†(†T) -modules cohé-
0+ 0 X Q
rentsàsupportdansX′ (resp.F-D† -modulesholonomesàsupportdansX′)etcelledesD† (†T′) -modules
X,Q X′ Q
cohérents(resp.F-D† -modulesholonomes).
X′,Q
Le cas non respectif a été vérifié par Berthelot (voir 1.14 ou [Car04b, 3.1.6]).Le cas respectif s’en déduitgrâce au
critèred’holonomiedeVirrion(voir1.13)etàl’isomorphismededualitérelative.
1.15 (Foncteur cohomologiquelocal). Nous exposonsici les principauxrésultats de [Car04b, 2.2]. Soit Z un sous-
schémafermédeX.Le «foncteurcohomologiquelocalà supportstrictdansZ»construitdans[Car04b, 2.2.6]sera
notéRG † : LDb (D(•)(T))→LDb (D(•)(T))(ondisposed’unedeuxièmeconstructionparBerthelotdonnéedans
Z −→Q,qc bX −→Q,qc bX
[Ber02,4.4.4,4.4.5]).Rappelonsendeuxmotssaconstruction.LorsqueZestundiviseurdeX,RG † estpardéfinitionle
Z
foncteurcohomologiquelocalàsupportstrictdansZconstruitparBerthelot(voir[Ber02,4.4.4,4.4.5]).SiZestl’inter-
sectiondesdiviseursT ,...,T,alors,pourtoutE(•)∈LDb (D(•)(T)),onposeRG †(E(•))=RG † ◦···◦RG † (E(•)).
1 r −→Q,qc bX Z T1 Tr
CettedéfinitiondeRG †(E(•))abienunsenscarcelle-ciest(àisomorphismecanoniqueprès)indépendanteduchoix
Z
desdiviseursT ,...,T telsqueZ=∩ T (voir[Car04b,2.2.4–6]).Pourtoussous-schémasfermésZ,Z′deX,on
1 r l=1,...,r r
obtientalorsl’isomorphismecanoniquecompatibleàFrobeniusetfonctorielenZetZ′ (voir[Car04b,2.2.8]):
RG † −∼→ RG †◦RG † . (1.15.1)
Z∩Z′ Z Z′
De plus, pour tous sous-schémas fermés Z, Z′, Z′′ de X, les deux morphismes composés canoniques suivants sont
égaux:
RG † −∼→ RG † ◦RG † −∼→ RG †◦RG † ◦RG † ,
Z∩Z′∩Z′′ Z∩Z′ Z′′ Z Z′ Z′′
RG † −∼→ RG †◦RG † −∼→ RG †◦RG † ◦RG † . (1.15.2)
Z∩Z′∩Z′′ Z Z′∩Z′′ Z Z′ Z′′
• Lorsque Z est un diviseur, pour tout E(•) ∈LDb (D(•)(T)), Berthelot a établi que l’on dispose du triangle
−→Q,qc bX
distinguédelocalisationenZ(voir[Ber02,5.3.6]ou[Car04b,2.2]):
RG †(E(•))→E(•)→(†Z)(E(•))→RG †(E(•))[1], (1.15.3)
Z Z
oùlefoncteur(†Z)estceluidéfinidans1.3.
•Onétendalorsnaturellementladéfinitiondufoncteur(†Z)aucasoùZestunsous-schémaferméquelconquede
Xendéfinissant(†Z)(E(•))commeégaleauconedumorphismecanoniqueRG †(E(•))→E(•).Onl’appellefoncteurde
Z
localisationendehorsdeZ(ou,defaçonabusive,foncteurrestrictionendehorsdeZ).SiZ,Z′sontdeuxsous-schémas
fermésdeX,onbénéficied’après[Car04b,2.2.14]del’isomorphismecanoniquecompatibleàFrobenius:
(†Z)◦(†Z′)(E(•))−∼→ (†Z∪Z′)(E(•)). (1.15.4)
•D’après[Car04b,2.2.6.1],pourtoutE(•)∈LDb (D(•)),
−→Q,qc bX
RG †Z(OX,Q)⊗L†OX,QE(•)−∼→ RG †Z(E(•)), (†Z)(OX,Q)⊗L†OX,QE(•)−∼→ (†Z)(E(•)), (1.15.5)
9
où nous avons identifié le système inductif de L−→DbQ,qc(Db(X•)) constant égal à OX avec OX,Q. Cela implique que les
foncteursdelaformeRG † et(†Z)commutentdeuxàdeux(voir[Car04b,2.2.6.1]).
Z
•Sanssupposerque f serelève,soitZunsous-schémafermédeXetZ′:= f−1(Z).PourtousE(•)∈LDb (D(•)),
0 −→Q,qc bX
E′•∈LDb (D(•)),ondisposedesisomorphismesfonctorielsenZ,compatiblesàFrobenius(voir[Car04b,2.2.18]):
−→Q,qc bX′
f!◦RG †(E)−∼→ RG † ◦f!(E), f!◦(†Z)(E)−∼→ (†Z′)◦f!(E), (1.15.6)
0 Z Z′ 0 0 0
RG †◦f (E′)−∼→ f ◦RG † (E′), (†Z)◦f (E′)−∼→ f ◦(†Z′)(E′). (1.15.7)
Z 0+ 0+ Z′ 0+ 0+
•SoientZ ,Z deuxsous-schémasfermésdeX etE∈LDb (gD(•)).Ondisposeaussidestrianglesdistinguésde
1 2 −→Q,qc bX
localisationdeMayer-Vietoris(voir[Car04b,2.2.16]):
RG † (E)→RG † (E)⊕RG † (E)→RG † (E)→RG † (E)[1], (1.15.8)
Z1∩Z2 Z1 Z2 Z1∪Z2 Z1∩Z2
(†Z ∩Z )(E)→(†Z )(E)⊕(†Z )(E)→(†Z ∪Z )(E)→(†Z ∩Z )(E)[1]. (1.15.9)
1 2 1 2 1 2 1 2
• Supposons maintenant que f : X′ ֒→ X soit une immersion fermée. On bénéficie alors de l’isomorphisme
0
canonique:
RG † (E(•))−∼→ f f!(E(•)) (1.15.10)
X′ 0+ 0
Eneffet, f0+f0!(E(•))= f0+(OX′,Q⊗L†OX′,Qf0!(E(•))−∼→ f0+(OX′,Q[dX′/X])⊗L†OX,QE(•)−∼→ f0+f0!(OX,Q)⊗L†OX,QE(•),où
le premier isomorphisme est l’exemple de [Car04b, 2.1.4]. Avec 1.15.5, il suffit donc de prouver RG †X′(OX,Q)−∼→
f0+f0!(OX,Q).CommeRG †X′(OX,Q)∈Dbcoh(D†X,Q)etestàsupportdansX′ (voir[Ber96a]),celadécouleduthéorème
deKashiwaraetde1.15.6(enremarquantaussiqueRG † estl’identitésurLDb (D(•))).CommeBerthelotaobtenu
X′ −→Q,qc bX′
unisomorphismesimilaire(voir[Ber02,4.4.4,4.4.5]),celaimpliquequelesdeuxconstructionsdufoncteurcohomo-
logiquelocalàsupportstrictdansunsous-schémaferméZserejoignentlorsqueZestlisse.
1.16(Surcohérence). Lanotionde«surcohérence»(voir[Car04b,3.1.1])estdéfiniedelamanièresuivante:soitEun
(F-)D†(†T) -modulecohérent(resp.un objetde (F-)Db (D†(†T) )). On dit queE est «D†(†T) -surcohérent»
X Q coh X Q X Q
si pour tout morphisme lisse de V-schémas formels lisses g : P→X, pour tout diviseur H de P, (†H)(g∗E) est un
(F-)D†(†g−1(T)) -modulecohérent(resp.unobjetde(F-)Db (D†(†g−1(T)) )).Onnote(F-)Db (D†(†T) ),
P Q coh P Q surcoh X Q
lasous-catégoriepleinede(F-)Db (D†(†T) )descomplexessurcohérents.
coh X Q
Un complexe est surcohérent si et seulement si ses espaces de cohomologie le sont (cela vient du fait que les
foncteursdelaformeg∗ et(†H)sontexactssigestlisseetH estundiviseur).Lasurcohérenceeststableparimage
directeparunmorphismepropre,parimageinverseextraordinaireetparfoncteurcohomologiquelocal(voir[Car04b,
3.1.7,3.1.9]).
1.17(IsocristauxsurconvergentsassociésauxD-modulesarithmétiques:Casdelacompactificationlisse). Lepointde
départestlethéorèmesuivantdeBerthelot(voir[Ber]oupouruneversionpubliée[Ber96c,4.4.5]et[Car06b,2.2.12])
qui améliore la caractérisation [Ber96c, 4.4.5] (et [Ber00, 4.6] pour la commutation à Frobenius) des isocristaux
surconvergents:
Théorème (Berthelot). On note X la fibre génériquede X comme K-espaceanalytiquerigide, et sp : X →X le
K K
morphismedespécialisation.
Lesfoncteurssp etsp∗induisentdeséquivalencesquasi-inversesentrelacatégoriedesisocristauxsurY,surcon-
∗
vergentsle longde T, etcelle desD†X(†T)Q-modulescohérentsOX(†T)Q-cohérents.Ceux-cicommutenten outreà
Frobenius.
De plus, un D†X(†T)Q-module cohérent E est OX(†T)Q-cohérent si et seulement si la restriction E|Y est OY,Q-
cohérente.
10